(共28张PPT)
4 圆周角和圆心角的关系
第2课时 圆周角和直径的关系
第三章 圆
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D
C
D
D
C
A
C
B
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D
60°或120°
(1)见习题.(2)8.
1．【中考·张家界】如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，若∠OBC＝60°，则∠BAC的度数是( )
?A．75° B．60° C. 45° D．30°
D
C
C
【点拨】如图，连接CD.由圆周角定理的推论得出∠BDC＝90°，求出∠ACD＝90°－∠A＝20°，再由圆周角定理得出∠DOE＝2∠ACD＝40°.
4．【中考·滨州】如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，且OC∥BD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论：
①AD⊥BD；
②∠AOC＝∠AEC；
③BC平分∠ABD；
④AF＝DF；
⑤BD＝2OF；
⑥△CEF≌△BED.
其中一定成立的是( )
A．②④⑤⑥ B．①③⑤⑥
C．②③④⑥ D．①③④⑤
【答案】 D
5．【2019·襄阳】如图，AD是⊙O的直径，BC是弦，四边形OBCD是平行四边形，AC与OB相交于点P，下列结论错误的是( )
A．AP＝2OP B．CD＝2OP
C．OB⊥AC D．AC平分OB
A
【答案】 C
7．下列结论正确的是( )
?A．直径所对的角是直角
B．90°的圆心角所对的弦是直径
C．同一条弦所对的圆周角相等
D．半圆所对的圆周角是直角
D
B
8．【中考·台州】从下列三角尺与圆弧的位置关系中，可判定圆弧为半圆的是( )
D
60°或120°
易错总结：对于“图形不明确型”问题，在解答时一般要进行分类讨论．一条弦(非直径)所对的圆周角有两种情况：顶点在优弧上的圆周角和顶点在劣弧上的圆周角，解题时要分情况求解，否则容易漏解．例如本题应分两种情况：点P在弦AB所对的优弧上和点P在弦AB所对的劣弧上．
12．【2018·宜昌】如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的半圆交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使EF＝AE，连接FB，FC.
(1)求证：四边形ABFC是菱形．
证明：∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，∴AE⊥BC.
∵AB＝AC，∴BE＝CE.又∵AE＝EF，
∴四边形ABFC是平行四边形．
∵AC＝AB，∴四边形ABFC是菱形．
(2)若AD＝7，BE＝2，求半圆形和菱形ABFC的面积．
13．如图，已知ED为⊙O的直径且ED＝4，点A(不与E，D重合)为⊙O上一个动点，线段AB经过点E，且EA＝EB，F为⊙O上一点，∠FEB＝90°，BF的延长线与AD的延长线交于点C.
(1)求证：△EFB≌△ADE.
(2)当点A在⊙O上移动时，直接回答四边形FCDE的最大面积为多少．
解：四边形FCDE的最大面积＝4×2＝8.
证明：如图，连接AE.
∵∠BAC＝90°，∴CF是⊙O的直径．
∵AC＝EC，∴CF⊥AE.∵AD是⊙O的直径，
∴∠AED＝∠ACD＝90°，即DG⊥AE.
∴CF∥DG.
∵∠BAC＋∠ACD＝180°，∴AB∥CD.
∴四边形DCFG是平行四边形．
(共24张PPT)
4 圆周角和圆心角的关系
第3课时 圆内接四边形
第三章 圆
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B
C
D
B
A
A
B
D
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C
C
C
D
(1)2.(2)见习题.
1．下列说法正确的是( )
A．在圆内部的多边形叫做圆内接多边形
B．过四边形的四个顶点的圆叫做这个四边形的外接圆
C．任意一个四边形都有外接圆
D．一个圆只有唯一一个内接四边形
B
A
2．下列多边形中一定有外接圆的是( )
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
3．下列命题中，不正确的是( )
A．矩形有一个外接圆
B．弦的垂直平分线一定平分弦所对的弧
C．菱形有一个外接圆
D．任何一个三角形都有一个外接圆
C
4．【2019·兰州】如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝40°，则∠C的度数等于( )
A．110° B．120° C．135° D．140°
D
A
6．【2018·邵阳】如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝120°，则∠BOD的大小是( )
A．80° B．120° C．100° D．90°
B
7．【中考·牡丹江】如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB经过圆心，∠B＝3∠BAC，则∠ADC等于( )
?A．100° B．112.5° C．120° D．135°
B
【答案】D
9．【2019·天水】如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A，C，D，与BC相交于点E，连接AC，AE.若∠D＝80°，则∠EAC的度数为( )
A．20° B．25° C．30° D．35°
C
C
11．【中考·潍坊】如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，延长AB与DC相交于点G，AO⊥CD，垂足为E，连接BD，∠GBC＝50°，则∠DBC的度数为( )
A．50° B．60° C．80° D．85°
C
12．已知△ABC内接于⊙O，OD⊥AC于点D，如果∠COD＝32°，那么∠B的度数为( )
A．16° B．32° C．16°或164° D．32°或148°
【点拨】点B可能在弦AC所对的优弧上，也可能在弦AC所对的劣弧上．本题没有给出图形，其易错之处在于画图时考虑不全而漏解．
D
14．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠B＝50°，∠ACD＝25°，∠BAD＝65°.求证：
(1)AD＝CD；
证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC＝180°－∠B＝130°.
∵∠ACD＝25°，∴∠DAC＝180°－∠ADC－∠ACD＝180°－130°－25°＝25°.∴∠DAC＝∠ACD.∴AD＝CD.
(2)AB是⊙O的直径．
解：∵∠BAC＝∠BAD－∠DAC＝65°－25°＝40°，∠B＝50°，
∴∠ACB＝180°－∠B－∠BAC＝180°－50°－40°＝90°.
∴AB是⊙O的直径．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点M是AC的中点，以AB为直径作⊙O分别交AC，BM于点D，E.
(1)求证：MD＝ME.
证明：在Rt△ABC中，点M是AC的中点，∴MA＝MB，
∴∠A＝∠MBA.连接DE，则四边形ABED是⊙O的内接四边形，∴∠MDE＝∠MBA；同理可得∠MED＝∠A，
∴∠MDE＝∠MED，∴MD＝ME.
解：∵∠C＝30°，∠ABC＝90°，∴∠A＝60°，
∴∠ABM＝60°.∵OB＝OE，∴△OBE为等边三角形，∴∠BOE＝60°，∴∠BOE＝∠A，∴OE∥AC，同理可得OD∥BM，∴四边形ODME为平行四边形，而OD＝OE，∴四边形ODME是菱形．
(2)连接OD，OE，当∠C＝30°时，求证：四边形ODME是菱形．
(共25张PPT)
4 圆周角和圆心角的关系
第1课时 圆周角和圆心角、弧的关系
第三章 圆
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C
B
B
D
4；∠C与∠D；
∠A与∠B
B
A
B
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B
D
A
见习题
见习题
(1)78°.(2)见习题
1．【中考·柳州】下列四个图中，∠x为圆周角的是( )
C
4
∠C与∠D
∠A与∠B
3．【2018·衢州】如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB＝35°，则∠AOB的度数是( )
A．75° B．70° C．65° D．35°
B
B
B
6．【2019·宜昌】如图，点A，B，C均在⊙O上，当∠OBC＝40°时，∠A的度数是( )
A．50° B．55° C．60° D．65°
A
7．【2019·柳州】如图，A，B，C，D是⊙O上的点，则图中与∠A相等的角是( )
A．∠B B．∠C C．∠DEB D．∠D
D
B
B
【答案】D
A
12．如图，在⊙O中，弦AB⊥弦CD于点E.求证：∠BOC＋∠AOD＝180°.
【点拨】利用圆周角定理可使问题转化，如本题中，利用圆周角定理，可把证明“∠BOC＋∠AOD＝180°”转化为证明“∠BAC＋∠ACD＝90°”，而证明后者，利用“直角三角形的两锐角互余”即可轻松解决．
14．【中考·台州】如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC＝BC＝DC.
(1)若∠CBD＝39°，求∠BAD的度数．
解：∵BC＝DC，∴∠CBD＝∠CDB＝39°.
∵∠BAC＝∠CDB＝39°，∠CAD＝∠CBD＝39°，∴∠BAD＝∠BAC＋∠CAD＝39°＋39°＝78°.
14．【中考·台州】如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC＝BC＝DC.
(2)求证：∠1＝∠2.
证明：∵EC＝BC，∴∠CEB＝∠CBE.
而∠CEB＝∠2＋∠BAE，∠CBE＝∠1＋∠CBD，
∴∠2＋∠BAE＝∠1＋∠CBD.
∵∠BAE＝∠BDC＝∠CBD，∴∠1＝∠2.
等边三角形
解：PA＋PB＝PC.理由：如图①，在PC上截取PD＝PA，连接AD.∵∠APC＝60°，∴△PAD是等边三角形．
∴PA＝AD，∠PAD＝60°.∵∠BAC＝60°，∴∠PAD＝∠BAC.∴∠PAB＝∠DAC.
又∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，
∴△PAB≌△DAC，∴PB＝DC.
∵PD＋DC＝PC，∴PA＋PB＝PC.
