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6 直线和圆的位置关系
第1课时 直线和圆的位置关系
第三章 圆
答案显示
C
B
D
A
A
C
C
答案显示
(1，1)或(3，1)或(2，0)或(2，2)
(1)图略.(2)BC与⊙P相切
1．若直线m与⊙O的公共点个数不小于1，则直线m与⊙O的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相交或相切 D．相离
C
2．下列命题：①如果一条直线与圆没有公共点，那么这条直线与圆相离；②如果一条射线与圆没有公共点，那么这条射线所在的直线与圆相离；③如果一条线段与圆没有公共点，那么这条线段所在的直线与圆相离．其中为真命题的有( )
A．① B．② C．③ D．①②③
A
3．【2018·湘西州】已知⊙O的半径为5 cm，圆心O到直线l的距离为5 cm，则直线l与⊙O的位置关系为( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．无法确定
B
4．已知⊙O的半径为3，M为直线AB上一点，若MO＝3，则直线AB与⊙O的位置关系为( )
A．相切 B．相交
C．相切或相离 D．相切或相交
D
5．【2019·广州】平面内，⊙O的半径为1，点P到O的距离为2，过点P可作⊙O的切线的条数为( )
A．0条 B．1条
C．2条 D．无数条
C
6．已知⊙O的半径r＝3，设圆心O到一条直线的距离为d，圆上到这条直线的距离为2的点的个数为m，给出下列结论：
①若d＞5，则m＝0；
②若d＝5，则m＝1；
③若1＜d＜5，则m＝3；
④若d＝1，则m＝2；
⑤若d＜1，则m＝4.
其中正确的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．5
C
7．如图，已知两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的长的取值范围是( )
A．8≤AB≤10 B．8＜AB≤10
C．4≤AB≤5 D．4＜AB≤5
A
【点拨】本题易因考虑圆与哪三条边相切不周而致错．
9．如图，在平面直角坐标系第一象限内有一矩形OABC，B(4，2)，现有一圆同时和这个矩形的三边都相切，则此圆的圆心P的坐标为______________________________．
(1，1)或(3，1)或(2，0)或(2，2)
10．【中考·怀化】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°.
(1)先作∠ACB的平分线交AB边于点P，再以点P为圆心，PA长为半径作⊙P；(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
解：如图所示．
(2)请你判断BC与(1)中⊙P的位置关系，并证明你的结论．
解：BC与⊙P相切．证明如下：
如图，过P作PD⊥BC，交BC于点D.
∵CP为∠ACB的平分线，且PA⊥AC，PD⊥CB，∴PD＝PA.∴点P到BC的距离等于⊙P的半径．∴BC与⊙P相切．
11．如图，OC平分∠AOB，D是OC上任意一点，⊙D和OA相切于点E，连接CE.
(1)求证：OB与⊙D相切．
证明：如图，连接DE，过点D作DF⊥OB于F，则DE⊥OA.∵D是∠AOB的平分线OC上一点，
∴DE＝DF.即D点到直线OB的距离等于⊙D的半径．∴⊙D与OB相切．
(2)若OE＝4，⊙D的半径为3，求CE的长．
12．已知∠MAN＝30°，O为边AN上一点，以O为圆心，2为半径作⊙O，交AN于D，E两点，设AD＝x.
(1)如图①，当x取何值时，⊙O与AM相切？
解：如图①，过O点作OF⊥AM于点F，当OF＝r＝2时，⊙O与AM相切，此时OA＝4，故AD＝2.即当x＝2时，⊙O与AM相切．
(2)如图②，当x取何值时，⊙O与AM相交于B，C两点，且∠BOC＝90°？
13．【中考·扬州】如图，已知平行四边形OABC的三个顶点A，B，C在以O为圆心的半圆上，过点C作CD⊥AB，分别交AB，AO的延长线于点D，E，AE交半圆O于点F，连接CF.
(1)判断直线DE与半圆O的位置关系，并说明理由．
解：DE与半圆O相切．理由：∵CD⊥AD，∴∠D＝90°，∵四边形OABC是平行四边形，∴AD∥OC，∴∠D＝∠OCE＝90°.∴CO⊥DE.又∵CO为半径，∴DE与半圆O相切．
(2)①求证：CF＝OC.
证明：如图，连接OB.
∵OA＝OC，∴四边形OABC是菱形．
∴OA＝OB＝AB.∴△AOB为等边三角形．
∴∠BAO＝60°.∵AD∥OC，∴∠COF＝∠BAO＝60°.∵OC＝OF，∴△OCF是等边三角形，∴CF＝OC.
②若半圆O的半径为12，求阴影部分的周长．
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6 直线和圆的位置关系
第2课时 切线的性质
第三章 圆
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B
B
A
D
C
A
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B
B
(1)见习题.(2)4.
见习题.
(1)∠ABC＝52°.
∠ABD＝45°. (2)26°.
1．【2019·重庆】如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，若∠C＝40°，则∠B的度数为( )
A．60° B．50° C．40° D．30°
B
2．【中考·无锡】如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，BC交⊙O于点D，若∠C＝70°，则∠AOD的度数为( )
A．70° B．35° C．20° D．40°
D
3．【2019·福建】如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，点C在⊙O上，且∠ACB＝55°，则∠APB等于( )
A．55° B．70° C．110° D．125°
B
4．【2019·包头】如图，BD是⊙O的直径，A是⊙O外一点，点C在⊙O上，AC与⊙O相切于点C，∠CAB＝90°.若BD＝6，AB＝4，∠ABC＝∠CBD，则弦BC的长为________．
5．【2018·舟山】如图，量角器的0度刻度线为AB，将一矩形直尺与量角器部分重叠，使直尺一边与量角器相切于点C，直尺另一边交量角器于点A，D，量得AD＝10 cm，点D在量角器上的读数为60°.则该直尺的宽度为________cm.
C
7．【2019·泰安】如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A＝119°，过点C的圆的切线交BO的延长线于点P，则∠P的度数为( )
A．32° B．31° C．29° D．61°
【点拨】如图所示，设BP交⊙O于点D，连接OC，CD，
∵PC是⊙O的切线，∴PC⊥OC，∴∠OCP＝90°.
∵∠A＝119°，∴∠ODC＝180°－∠A＝61°.
∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC＝61°，
∴∠DOC＝180°－2×61°＝58°，
∴∠P＝90°－∠DOC＝32°.
【答案】A
【答案】A
9．【2019·玉林】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点O是AB的三等分点，半圆O与AC相切，M，N分别是BC与半圆弧上的动点，则MN的最小值和最大值之和是( )
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
10．【中考·嘉兴】如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝3，AC＝4，以点C为圆心的圆与AB相切，则⊙C的半径为( )
A．2.3 B．2.4
C．2.5 D．2.6
【答案】B
11．【2019·贵阳】如图，已知AB是⊙O的直径，点P是⊙O上一点，连接OP，点A关于OP的对称点C恰好落在⊙O上．
(1)求证：OP∥BC.
(2)过点C作⊙O的切线CD，交AP的延长线于点D.如果∠D＝90°，DP＝1，求⊙O的直径．
13．【2019·贺州】如图，BD是⊙O的直径，弦BC与OA相交于点E，AF与⊙O相切于点A，交DB的延长线于点F，∠F＝30°，∠BAC＝120°，BC＝8.
(1)求∠ADB的度数；
(2)求AC的长度．
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6 直线和圆的位置关系
第3课时 切线的判定
第三章 圆
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C
A
A
A
C
见习题.
D
C
答案显示
(1)直线DE与⊙O相切．理由略.(2)1.
(1)直线AF与⊙O相切．理由略.(2)16.
见习题.
1．下列四个命题：
①与圆有公共点的直线是圆的切线；
②垂直于圆的半径的直线是圆的切线；
③到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；
④过直径端点，且垂直于此直径的直线是圆的切线．
其中是真命题的是( )
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
C
2．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，下列选项中，能使过点A的直线EF与⊙O相切于点A的条件是( )
A．∠EAB＝∠C B．∠EAB＝∠BAC
C．EF⊥AC D．AC是⊙O的直径
A
3．如图，点P在⊙O的直径BA的延长线上，PC与⊙O相切，切点为C，点D在⊙O上，已知PC＝PD＝BC.下列结论：
①PD与⊙O相切；②四边形PCBD是菱形；
③PO＝AB；④∠PDB＝120°.
其中，正确的有( )
A．4个 B．3个
C．2个 D．1个
A
D
5．【2018·无锡】如图，在矩形ABCD中，G是BC的中点，过A，D，G三点的圆O与边AB，CD分别交于点E、点F，给出下列说法：
①AC与BD的交点是圆O的圆心；
②AF与DE的交点是圆O的圆心；
③BC与圆O相切．其中正确的说法的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
C
6．如图，P是⊙O外一点，OP交⊙O于点A，OA＝AP.甲、乙两人想作一条过点P且与⊙O相切的直线，其作法如下．
甲：以点A为圆心，AP长为半径画弧，交⊙O于B点，作直线BP，则直线BP即为所求．
乙：过点A作直线MN⊥OP，以点O为圆心，OP长为半径画弧，交射线AM于点B，连接OB，交⊙O于点C，作直线CP，则直线CP即为所求．
对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是( )
A．甲正确，乙错误 B．甲错误，乙正确
C．两人都正确 D．两人都错误
C
7．如图，已知在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，作∠ABC的平分线交AC于D，以D为圆心，DA长为半径作圆，与射线BD交于点E，F.有下列结论：①△ABC是直角三角形；②⊙D与直线BC相切；③点E是线段BF的黄金分割点；④tan∠CDF＝2.其中正确的结论有( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
A
证明：如图，连接OA，过点O作OB⊥PM于点B.
∵PN与⊙O相切于点A，∴OA⊥PN.
又∵点O在∠MPN的平分线上，OB⊥PM，∴OB＝OA.
∴点O到直线PM的距离等于⊙O的半径．∴PM为⊙O的切线．
8．如图，点O为∠MPN的平分线上一点，以点O为圆心的⊙O与PN相切于点A.求证：PM为⊙O的切线．
易错总结：利用切线的判定定理需满足两个条件．(1)经过半径外端．(2)与这条半径垂直，这两个条件缺一不可．证明一条直线是圆的切线时，当直线和圆未明确是否有公共点时，应“作垂直，证半径”，而本题易错解为“连半径，证垂直”．
9．【2019·淮安】如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点F，弦AD平分∠BAC，DE⊥AC，垂足为E.
(1)试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
解：直线DE与⊙O相切．理由如下：
如图，连接OD.∵AD平分∠BAC，∴∠OAD＝∠CAD.∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA.
∴∠ODA＝∠CAD.∴OD∥AC.∵DE⊥AC，∴DE⊥OD.∴直线DE与⊙O相切．
(2)若⊙O的半径为2，∠BAC＝60°，求线段EF的长．
10．【2019·贵港】如图，在矩形ABCD中，以BC边为直径作半圆O，OE⊥OA交CD边于点E，对角线AC与半圆O的另一个交点为P，连接AE.
(1)求证：AE是半圆O的切线．
(2)若PA＝2，PC＝4，求AE的长．
解：直线AF与⊙O相切．理由如下：
∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∴AC⊥BF.
∵CF＝CD，∴AD＝AF.∴∠FAC＝∠EAC.
∵AC＝CE，∴∠E＝∠EAC.∵∠B＝∠E，
∴∠B＝∠FAC.∵∠B＋∠BAC＝90°，
∴∠FAC＋∠BAC＝90°.∴BA⊥AF.又∵点A在⊙O上，
∴直线AF是⊙O的切线．
12．【2019·临沂】如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点O作OD⊥AB，交BC的延长线于D，交AC于点E，F是DE的中点，连接CF，OC.
(1)求证：CF是⊙O的切线．
证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ACD＝90°.
∵点F是ED的中点，∴CF＝EF＝DF，∴∠AEO＝∠FEC＝∠FCE.∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC.∵OD⊥AB，∴∠OAC＋∠AEO＝90°，∴∠OCA＋∠FCE＝90°，∴∠FCO＝90°，即OC⊥FC，∴CF是⊙O的切线．
(2)若∠A＝22.5°，求证：AC＝DC.
解：如图，连接AD.∵OD⊥AB，AC⊥BD，
∴∠AOE＝∠ACD＝90°.
∵∠AEO＝∠DEC，∴∠OAE＝∠CDE＝22.5°.
∵AO＝BO，∴AD＝BD，
∴∠ADO＝∠BDO＝22.5°，∴∠ADB＝45°，
∴∠CAD＝∠ADC＝45°，∴AC＝DC.
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6 直线和圆的位置关系
第4课时 三角形的内切圆
第三章 圆
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C
C
A
B
C
D
B
A
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A
见习题.
(1)见习题.(2)见习题.
(3)5.
(1)见习题.(2)1?：12.
1．下列说法错误的是( )
A．三角形的内切圆与三角形的三边都相切
B．一个三角形一定有唯一一个内切圆
C．一个圆一定有唯一一个外切三角形
D．等边三角形的内切圆与外接圆是同心圆
C
2．【中考·广州】如图，⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的( )
A．三条边的垂直平分线的交点
B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点
D．三条高的交点
B
3．【2018·烟台】如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC＝124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数为( )
A．56° B．62° C．68° D．78°
C
4．【2018·河北】如图，点I为△ABC的内心，AB＝4，AC＝3，BC＝2，将∠ACB平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为( )
A．4.5 B．4 C．3 D．2
B
5．【2019·云南】如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB＝5，BC＝13，CA＝12，则阴影部分(即四边形AEOF)的面积是( )
A．4 B．6.25 C．7.5 D．9
【答案】A
6．【中考·德州】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题：“今有勾八步，股十五步．问勾中容圆径几何？”其意思是“今有直角三角形，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)直径是多少？”( )
A．3步 B．5步 C．6步 D．8步
C
【点拨】连接BI，如图，∵△ABC的内心为I，∴∠1＝∠2，∠5＝∠6.∵∠3＝∠1，∴∠3＝∠2.∵∠4＝∠2＋∠6＝∠3＋∠5，∴∠4＝∠DBI，∴DI＝DB.
7．【2019·荆门】如图，△ABC的内心为I，连接AI并延长交△ABC的外接圆于D，则线段DI与DB的关系是( )
A．DI＝DB B．DI>DB
C．DIA
【答案】D
9．【2018·荆门】如图，在平面直角坐标系xOy中，A(4，0)，B(0，3)，C(4，3)，I是△ABC的内心，将△ABC绕原点逆时针旋转90°后，I的对应点I′的坐标为( )
A．(－2，3)
B．(－3，2)
C．(3，－2)
D．(2，－3)
【答案】A
10．如图，在△ABC中，点I是△ABC的内心，∠BAC的平分线和△ABC的外接圆交于点D，和BC交于点E.求证：DI＝DB.
易错总结：三角形的内心是三角形内切圆的圆心，即三角形三条角平分线的交点；三角形的外心是三角形外接圆的圆心，即三角形三边垂直平分线的交点．本题中既出现了三角形的外接圆，又出现了三角形的内切圆，易混淆三角形的内心与外心的概念，造成证明错误．
11．如图，以点O为圆心的圆与△ABC的三边分别交于点E，F，G，H，M，N，且EF＝GH＝MN，求证：点O是△ABC的内心．
证明：如图，过点O作OD⊥AB于点D，OP⊥BC于点P，OQ⊥AC于点Q，连接OE，OF，OG，OH，OM，ON.
∵EF＝GH＝MN，OE＝OF＝OG＝OH＝OM＝ON，
∴△OEF≌△OGH≌△OMN.∴OD＝OP＝OQ.
∴点O是△ABC的内心．
证明：连接AE，如图．
∵PA为⊙O的切线，∴∠PAE＋∠OAE＝90°.
∵AD⊥ED，∴∠EAD＋∠AED＝90°.
∵OE＝OA，∴∠OAE＝∠AED，
∴∠PAE＝∠DAE，即AE平分∠PAD.
∵PA，PB为⊙O的切线，∴PD平分∠APB交∠PAD的平分线于E，∴E为△PAB的内心．
14．【2019·呼和浩特】如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径的⊙O交斜边AC于点D，过点D作⊙O的切线与BC交于点E，弦DM与AB垂直，垂足为H.
(1)求证：E为BC的中点．
(2)若⊙O的面积为12π，两个三角形△AHD和△BMH的外接圆面积之比为3，求△DEC的内切圆面积S1和四边形OBED的外接圆面积S2的比．
