选修2-3 第一章 计数原理 1.1分类加法计数原理与分步乘法计 课件（67张）

(共67张PPT)
　第一章 计 数 原 理
1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
第1课时 分类加法计数原理与分步乘法
计数原理及其简单应用　
主题1　分类加法计数原理
一个小朋友的玩具盒子中有红色玻璃球20个,蓝色玻璃球1个,黄色玻璃球8个,现在他要从中取出一个玻璃球,有几种方法?
1.这个小朋友要“完成的一件事”是什么?
提示:从盒子中取出一个玻璃球.
2.按照小球的颜色分为几类?
提示:小球有三种颜色,所以分为三类.
3.他完成这件事有几种方法?
提示:他可以取一个红色玻璃球,有20种方法,也可以取一个蓝色玻璃球,有1种方法,还可以取一个黄色玻璃球,有8种方法,所以共有20+1+8=29种不同的取法.
结论:
1.分类加法计数原理
完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有m种不同
的方法,在第2类方案中有n种不同的方法,那么完成这
件事共有N=____种不同的方法.
m+n
2.对加法计数原理的说明
(1)核心:原理的核心为“分类”,完成一件事的方法为若干类.
(2)特点:相互独立;各类方案相互独立,各类方案中的各种方法也相互独立,并且用任何一类方法都可以独立完成这件事.
(3)应用:①根据问题的特点确定一个分类标准;
②在确定的标准下进行分类;
③分类不能重复,不能遗漏.
【对点训练】
1.有一数学问题可用综合法和分析法两种方法证明,有5名同学只会用综合法证明,有3名同学只会用分析法证明,现从这些同学中任选1名同学证明这个问题,不同的选法种数为 (　　)
A.8 B.15 C.18 D.30
【解析】选A. 解决问题分成两类,一是可以用综合法证明,有5种方法,一是可以用分析法证明,有3种方法,根据分类加法计数原理知共有3+5=8种.
2.小明计划在2020年的暑假从他居住的昆明到北京去游学,他可以坐动车,也可以乘普通火车,还可以乘飞机,已知动车每日5班,普通火车每日10班,飞机每日2班,则小明在某一天从昆明到北京有______种出行方式.?
【解析】出行方式分3类,动车有5种方式,普通火车有10种方式,飞机有2种方式,这三类的每一种方式都可以达到出行目的,所以由分类加法计数原理,共有5+10+2=17种出行方式.
答案:17
主题2　分步乘法计数原理
一个小朋友的书橱中有童话故事书20本,少年哲学书1本,《十万个为什么》18本,要求三种类型的书各取一本,则这个小朋友有几种取法?
1.完成的一件事是什么?
提示:要求三种类型的书各取一本.
2.分几个步骤?
提示:分3个步骤.
3.完成这件事共有几种方法?
提示:第一步取1本童话故事书,有20种方法,第二步取1本少年哲学书,有1种方法,第三步取1本《十万个为什么》,有18种方法,所以共有20×1×18=360种方法.
结论:
1.分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤,做第1步有m种不同的方法,
做第2步有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=
_____种不同的方法.
m×n
2.对分步乘法计数原理的说明
(1)明确题目中的“完成这件事”是什么,确定完成这
件事需要几个步骤,且每步都是独立的.
(2)将完成这件事划分为几个步骤,各步骤之间有一定
的连续性,只有当所有步骤都完成了,整个事件才算完
成.
(3)计算公式的推广:完成一件事需要n个步骤,做第1步有m1种方法,做第2步有m2种方法,……,做第n步有mn种方法,完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种方法.
【对点训练】
1.某班小张等4位同学报名参加A,B,C三个课外活动小组,每位同学限报其中一个小组,且小张不能报A小组,则不同的报名方法有 (　　)
A.27种 B.36种 C.54种 D.81种
【解析】选C.根据题意,分析可得:除小张外,每位同学都可以报A,B,C三个课外活动小组中任意一个,都有3种选择,小张不能报A小组,只有2种选择,
所以不同的报名方法有3×3×3×2=54(种).
2.某地计划2019年下派4名干部到4个贫困村担任驻村干部去完成精准扶贫的任务,每个村派一名干部,则下派方法有 (　　)
A.24种　　 B.16种　　 C.256种　 D.8种
【解析】选A.完成的一件事是“下派4名干部到4个贫
困村”,分为4个步骤,第一步从4个干部中选一个下派
到第一个贫困村,第二步从余下的3个干部中选一个下
派到第二个贫困村,第三步从余下的2个干部中选一个
下派到第三个贫困村,第四步下派余下的那个干部到第
四个贫困村,所以由分步乘法计数原理得下派方法共有4×3×2×1=24种.
类型一　分类加法计数原理及其应用
【典例1】(1)在所有的两位数中,个位数字大于十位数字的两位数有________个 (　　)?
A.36　　 B.90　 C.72　　　 D.45
(2)满足a,b∈{-1,0,1,2},且关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序数对(a,b)的个数为________.?
【解题指南】(1)首先按照十位数字的取值情况分成8类,或者按照十位数字与个位数字的比较大小分成3类,其次分别计算各类中的方法数,最后把这些方法数相加即得所求.
(2)分a=0与a≠0两种情况,当a≠0时再借助判别式讨论求解.
【解析】(1)选A.
方法一:因为十位数字只能从1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个
数字中选取,所以按照十位数字分类,要使得个位数字
大于十位数字,所以分为8类,
当十位数字为8时,个位数字是9,只有1种,
当十位数字为7时,个位数字是8,9,有2种,
当十位数字为6时,个位数字是7,8,9,有3种,
当十位数字为5时,个位数字是6,7,8,9,有4种,
当十位数字为4时,个位数字是5,6,7,8,9,有5种,
当十位数字为3时,个位数字是4,5,6,7,8,9,有6种,
当十位数字为2时,个位数字是3,4,5,6,7,8,9,有7种,
当十位数字为1时,个位数字是2,3,4,5,6,7,8,9,有8种,
所以共有1+2+3+4+5+6+7+8=36种.
方法二:所有的两位数从10到99共90个,按照个位数字与十位数字的大小分为三类:
①个位数字等于十位数字,这样的两位数有9个,
②个位数字大于十位数字,设这样的两位数为x个,
③个位数字小于十位数字,其中个位数字为0的两位数有9个,个位数字不是0的两位数有x个,
所以9+x+9+x=90,解得x=36.
(2)当a=0时,关于x的方程为2x+b=0,
此时有序数对(0,-1),(0,0),(0,1),(0,2)均满足要求,
共4个;
当a≠0时,由Δ=4-4ab≥0,得ab≤1,
此时满足要求的有序数对为(-1,-1),(-1,0),(-1,1),

(-1,2),(1,-1),(1,0),(1,1),(2,-1),(2,0)共9个.
综上,满足要求的有序数对共有4+9=13个.
答案:13
【方法总结】
1.应用分类加法计数原理解题的一般步骤
(1)分类:确定分类的标准,把要完成的一件事的方法分为两类方案.
(2)计算:计算每一类中的方法数,即求m,n.
(3)求和:N=m+n.
2.分类加法计数原理的推广
完成一件事有n类不同方案,在第1类方案中有m1种不同的方法,在第2类方案中有m2种不同的方法,……,在第n类方案中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法.
【拓展延伸】分类讨论的标准:不重不漏
设要讨论的元素构成的集合为U(全集)
1.分成的所有类(集合)的并集为U(没有遗漏),每一个元素必定属于某一个集合.
2.任意两类的交集为空集(没有重复),每一个元素不会同时属于两个集合.
【跟踪训练】
1.如图所示,连接正八边形的三个顶点而成的三角形中,
与正八边形有公共边的三角形有 (　　)
A.40个 B.30个 C.20个 D.10个
【解析】选A.把与正八边形有公共边的三角形分为两
类:
第一类,有一条公共边的三角形共有8×4=32(个)
第二类,有两条公共边的三角形共有8个.由分类加法计
数原理知,共有32+8=40(个).
2.设集合A中有20个元素,集合B中有18个元素,集合
A∩B中有9个元素,则集合A∪B中有________个元素.
(　　)?
A.38　　 B.47　　 C.2　　 D.29
【解析】选D.要数清楚A∪B中的元素个数,如图,可以分成三类:

(1)属于A但是不属于B:有20-9=11个元素,
(2)属于A∩B:有9个元素,
(3)属于B但是不是属于A:有18-9=9个元素,由分类加法计数原理得集合A∪B中有11+9+9=29个元素.
类型二　分步乘法计数原理及其应用
【典例2】(1)设集合A={1,3,5,7,9},
B={2,4,6,8},a∈A,b∈B,则直线ax+b=2 018有
________条 (　　)?
A.4　　　 B.5　　 C.20　 D.9
(2)(2019·牡丹江高二检测)用0,1,…,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为 (　　)
A.252 B.279 C.243 D.900
【解题指南】(1)分两个步骤:先确定a,再确定b.
(2)先求出所有三位数的个数,再减去没有重复数字的个数即可.
【解析】(1)选C.分两个步骤:第一步确定a,有5种方法,第二步确定b,有4种方法,所以由分步乘法计数原理得直线有5×4=20条.
(2)选A.用0,1,2,…,9十个数字,所有三位数个数为:900,其中没有重复数字的三位数百位数从非0的9个
数字中选一个,十位数从余下的9个数字中选一个,个位
数再从余下的8个数字中选一个,所以共有:9×9×8=
648,所以可以组成有重复数字的三位数的个数为:900-
648=252.
【方法总结】
1.应用分步乘法计数原理解题的一般步骤
(1)分步:确定分步的标准,把要完成的一件事的方法分为两个步骤.
(2)计算:计算每一步中的方法数,即求m,n.
(3)求积:N=m×n.
2.分步乘法计数原理的推广
完成一件事需要n个步骤,做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法,……,做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1×m2×m3×…×mn种不同的方法.
【跟踪训练】
1.已知集合A中有4个元素,B中有3个元素,C中有9个元素,则集合{(x,y,z)|x∈A,y∈B,z∈C}中的元素个数为________.?
【解析】分三个步骤,第一步确定x,有4种方法,第二步确定y,有3种方法,第三步确定z,有9种方法,由分步乘法计数原理得集合中的元素个数为4×3×9=108.
答案:108
2.有4个同学各自在2018年10月1日的三天假期中任选一天去敬老院参加活动,则有多少种结果?
【解析】每个同学都有3种选择,所以4个同学的选法共有3×3×3×3=81种.
类型三　两个计数原理的简单应用
【典例3】现有高一年级的四个班的学生34人,其中一、二、三、四班各7人、8人、9人、10人,他们自愿组成数学课外小组.
(1)选其中一人为负责人,有多少种不同的选法?
(2)每班选一名组长,有多少种不同的选法?
(3)推选两人做中心发言,这两人需来自不同的班级,有多少种不同的选法?
【解析】(1)分四类:
第一类,从一班学生中选1人,有7种选法;
第二类,从二班学生中选1人,有8种选法;
第三类,从三班学生中选1人,有9种选法;
第四类,从四班学生中选1人,有10种选法,
所以,共有不同的选法N=7+8+9+10=34(种).
(2)分四步:第一、二、三、四步分别从一、二、三、四班学生中选一人任组长.所以,共有不同的选法N=7×8×9×10=5 040(种).
(3)分六类,每类又分两步,
从一班、二班学生中各选1人,有7×8种不同的选法;
从一班、三班学生中各选1人,有7×9种不同的选法;
从一班、四班学生中各选1人,有7×10种不同的选法;
从二班、三班学生中各选1人,有8×9种不同的选法;
从二班、四班学生中各选1人,有8×10种不同的选法;
从三班、四班学生中各选1人,有9×10种不同的选法.
所以共有不同的选法N=7×8+7×9+7×10+8×9+8×10+9×10=431(种).
【方法总结】运用两个原理解决计数问题应注意的事项
(1)在处理具体的应用题时,首先必须弄清是“分类”还是“分步”,其次要搞清“分类”或“分步”的具体标准是什么.选择合理的标准处理事件,可以避免计数的重复或遗漏.
(2)对于一些比较复杂的既要运用分类加法计数原理又要运用分步乘法计数原理的问题,我们可以恰当地画出示意图或列出表格,使问题更加直观、清晰.
【跟踪训练】
1.已知集合A={1,2,3,4},B={5,6,7},C={8,9}.现在从这三个集合中取出两个集合,再从这两个集合中各取出一个元素,组成一个含有两个元素的集合,则一共可以组成集合的个数为 (　　)
A.24 B.36 C.26 D.27
【解析】选C.所有情况分为三类:一类是从A,B中各取
一个元素,一类是从A,C中各取一个元素,一类是从B,C
中各取一个元素.“从A,B中各取一个元素”的方法数
有4×3=12种.“从A,C中各取一个元素”的方法数有
4×2=8种.“从B,C中各取一个元素”的方法数有3×2=
6种.由于A,B,C三个集合的元素互不相同,故总的方法
数有12+8+6=26种.
2.某班要从5名男生和3名女生中选出2人作为社区服务志愿者,若用变量x表示选出的志愿者中女生的人数,y表示对应的方法数,试用列表法表示这个函数.
【解析】x的取值为0,1,2
(1)x=0,即选出的2人都是男生,把5名男生编号为
1,2,3,4,5,则选出的两人有12,13,14,15,23,24,
25,34,35,45,共10种方法,此时y=10.
(2)x=1,即选出的2人中有1个男生,1个女生,分两个步骤,第一步选出男生,有5种方法,第二步选出女生,有3种方法,所以共有5×3=15种方法,此时y=15.
(3)x=2,即选出的2人都是女生,有3种方法,此时y=3.
列表如下:
x 0 1 2
y 10 15 3
【知识思维导图】