华东师大版数学八年级下册第19章《矩形、菱形与正方形》单元测试卷（含详细答案）

华东师大版八年级下册第19章单元测试卷
满分120分
班级:________姓名:________座位:________成绩:________
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．检查一个门框（已知两组对边分别相等）是不是矩形，不可用的方法是（　　）
A．测量两条对角线是否相等
B．用重锤线检查竖门框是否与地面垂直
C．测量两条对角线是否互相平分
D．测量门框的三个角是否都是直角
2．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．若∠BAD＝50°，则∠CBD＝（　　）
A．25° B．40° C．65° D．75°
3．如图，要使?ABCD成为菱形，则需添加的一个条件是（　　）
A．AC＝AD B．BA＝BC C．∠ABC＝90° D．AC＝BD
4．在矩形ABCD中，对角线AC＝10cm，AB：BC＝4：3，则它的周长为（　　）cm．
A．14 B．20 C．28 D．30
5．如图，菱形ABCD的周长是20，对角线AC，BD相交于点O，若BD＝6，则菱形ABCD的面积是（　　）
A．6 B．12 C．24 D．48
6．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，过对角线交点O作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F，则DE的长是（　　）
A．1 B． C．2 D．
7．如图，在一张长方形纸片上画一条线段AB，将右侧部分纸片四边形ABCD沿线段AB翻折至四边形ABC'D'，若∠ABC＝58°，则∠1＝（　　）
A．60° B．64° C．42° D．52°
8．如图，点E为正方形ABCD内一点，AD＝ED，∠AED＝70°，连结EC，那么∠AEC的度数是（　　）
A．105° B．130° C．135° D．140°
9．如图，四边形ABCD是菱形，DH⊥AB于H，若AC＝8，BD＝6，则DH的长度为（　　）
A．2.4 B．3.6 C．4.8 D．7.2
10．如图，正方形ABCD中，点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，CE、DF交于G，连接AG、HG．下列结论：①CE⊥DF；②AG＝DG；③∠CHG＝∠DAG；④2HG＝AD．正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共6小题，满分18分）
11．如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，若矩形ABCD的面积是12，那么阴影部分的面积是　 　．
12．如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相等且互相平分，再添加一个条件，使得四边形ABCD是正方形，可添加的条件是　 　．（写出一个条件即可）
13．如图，矩形ABCD中，直线MN垂直平分AC，与CD，AB分别交于点M，N．若DM＝2，CM＝3，则矩形的对角线AC的长为　 　．
14．如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠CDA＝120°，则对角线AC的长为　 　．
15．如图，延长正方形ABCD的边BC至E，使CE＝AC，则∠E＝　 　．
16．如图，正方形ABCD的边长为10，点M在AD上，AM＝8，过M作MN∥AB，分别交AC、BC于H、N两点，若E、F分别为CH、BM的中点，则EF的长为　 　．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．如图，在矩形ABCD中，点E是CD边上的中点．求证：AE＝BE．
18．如图，在菱形ABCD中，过点B作BE⊥AD于E，过点B作BF⊥CD于F，求证：AE＝CF．
19．如图，AC为正方形ABCD的对角线，E为AC上一点，且AB＝AE，EF⊥AC，交BC于F，试说明EC＝EF＝BF．
20．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥BD，
（1）求证：四边形OCED是菱形；
（2）若∠E＝60°，DE＝2，求矩形ABCD的面积．
21．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，E为边BC上一点，且EC＝AD，
连结AC．
（1）求证：四边形AECD是矩形；
（2）若AC平分∠DAB，AB＝5，EC＝2，求AE的长，
22．如图（1），正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AC上一点，连结EB，过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM与BD相交于点F．
（1）求证：OE＝OF；
（2）如图2若点E在AC的延长线上，AM⊥BE于点M，AM交DB的延长线于点F，其他条件不变，结论“OE＝OF”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．
23．在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，AC＝BD，AC、BD相交于点G，过点A作AE∥DB交CB的延长线于点E，过点B作BF∥CA交DA的延长线于点F，AE、BF相交于点H．
（1）证明：△ABD≌△BAC．
（2）证明：四边形AHBG是菱形．
（3）若AB＝BC，证明四边形AHBG是正方形．
24．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝OC，连接CE、OE，连接AE交OD于点F．
（1）求证：OE＝CD；
（2）若菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝60°，求AE的长．
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．【解答】解：∵门框两组对边分别相等，
∴门框是个平行四边形，
∵对角线相等的平行四边形是矩形，
故A不符合题意；
∵竖门框与地面垂直，门框一定是矩形；
故B不符合题意，
∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，
∴C符合题意，
∵三个角都是直角的四边形是矩形，
故D不符合题意；
故选：C．
2．【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴∠DAB+∠ABC＝180°，BD平分∠ABC，
∵∠BAD＝50°，
∴∠ABC＝130°，
∴∠CBD＝∠ABC＝65°，
故选：C．
3．【解答】解：邻边相等的平行四边形为菱形．如图，要使?ABCD成为菱形，则需添加的一个条件是BA＝BC．
故选：B．
4．【解答】解：设AB＝4xcm，则BC＝3xcm，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，AB＝CD，AD＝BC，
∴AC＝＝＝5x（cm），
∴5x＝10cm，
∴x＝2cm，
∴AB＝8cm，BC＝6cm，
∴矩形ABCD的周长＝2（8+6）＝28（cm），
故选：C．
5．【解答】解：∵菱形ABCD的周长是20，
∴AB＝20÷4＝5，AC⊥BD，OB＝BD＝3，
∴OA＝＝4，
∴AC＝2OA＝8，
∴菱形ABCD的面积是：AC?BD＝×8×6＝24．
故选：C．
6．【解答】解：连接CE，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，CD＝AB＝4，AD＝BC＝6，OA＝OC，
∵EF⊥AC，
∴AE＝CE，
设DE＝x，则CE＝AE＝6﹣x，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：x2+42＝（6﹣x）2，
解得：x＝，
即DE＝；
故选：D．
7．【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，且∠ABC＝58°，
∴∠BAD＝122°，
∵将右侧部分纸片四边形ABCD沿线段AB翻折至四边形ABC'D'，
∴∠BAD＝∠BAD'＝122°，
∴∠1＝122°+122°﹣180°＝64°，
故选：B．
8．【解答】解：∵AD＝DE，
∴∠DAE＝∠AED＝70°，
∴∠ADE＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠ADC＝90°，
∴∠EDC＝50°，
∴DC＝DE，
∴∠DEC＝∠DCE＝（180°﹣50°）＝65°，
∴∠AEC＝∠AED+∠DEC＝135°，
故选：C．
9．【解答】解：设AC与BD的交点为O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝4，OB＝OD＝3，
∴AB＝5，
∴S菱形ABCD＝AC?BD＝AB?DH，
∴DH＝＝4.8．
故选：C．
10．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠BCD＝90°，
∵点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，
∴BE＝CF，
在△BCE与△CDF中，，
∴△BCE≌△CDF，（SAS），
∴∠ECB＝∠CDF，
∵∠BCE+∠ECD＝90°，
∴∠ECD+∠CDF＝90°，
∴∠CGD＝90°，
∴CE⊥DF；故①正确；
在Rt△CGD中，H是CD边的中点，
∴HG＝CD＝AD，
即2HG＝AD；故④正确；
连接AH，如图所示：
同理可得：AH⊥DF，
∵HG＝HD＝CD，
∴DK＝GK，
∴AH垂直平分DG，
∴AG＝AD；
若AG＝DG，则△ADG是等边三角形，
则∠ADG＝60°，∠CDF＝30°，
而CF＝CD≠DF，
∴∠CDF≠30°，
∴∠ADG≠60°，
∴AG≠DG，故②错误；
∴∠DAG＝2∠DAH，
同理：△ADH≌△DCF，
∴∠DAH＝∠CDF，
∵GH＝DH，
∴∠HDG＝∠HGD，
∴∠GHC＝∠HDG+∠HGD＝2∠CDF，
∴∠CHG＝∠DAG；故③正确；
正确的结论有3个，
故选：C．
二．填空题（共6小题）
11．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，OA＝OC，
∴∠EAO＝∠FCO，
在△AOE和△COF中，，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴S△AOE＝S△COF，
∴S阴＝S△COD＝S矩形ABCD＝3，
故答案为：3．
12．【解答】解：∵对角线AC与BD互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，
∴四边形ABCD为矩形，
需添加一个条件是：AB＝BC，
∴四边形ABCD是正方形；答案不唯一，
故答案为：AB＝BC．
13．【解答】解：如图，连接AM．
∵直线MN垂直平分AC，
∴MA＝MC＝3，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝90°，
∵DM＝2，MA＝3，
∴AD2＝AM2﹣DM2＝32﹣22＝5，
∴AC＝＝＝；
故答案为：．
14．【解答】解：连接BD交AC于O，如图，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC，AD＝AB＝2，
∴∠CDA＝120°，
∴∠DAB＝60°，
∴△ADB为等边三角形，
∴OA＝AB＝，
∴AC＝2OA＝2．
故答案为：2．
15．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB＝45°，
∵AC＝CE，
∴∠E＝∠CAF，
∵∠ACB是△ACE的外角，
∴∠E＝∠ACB＝22.5°，
故答案为：22.5°．
16．【解答】解：过F作FG⊥BC于点G，过E作EP⊥BC于点P，EK⊥FG于点K交MN于点Q，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，BC＝10，
∵MN∥AB，
∴四边形ABNM是矩形，
∴BN＝AM＝8，MN＝10，
∴CN＝2，
∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴∠CHN＝∠HCN＝45°，
∴HN＝CN＝2，
∵E为CH的中点，EP⊥BC，
∴EP是△CHN的中位线，
∴EQ＝EP＝HN＝1，CP＝PN＝CN＝1，
∵F为BM的中点，FG⊥BC，
∴FG是△BMN的中位线，
∴FG＝MN＝5，BG＝NG＝BN＝4，
∵EK⊥FG，∴四边形PEQN是正方形，四边形QKGN是矩形，
∴GK＝EP＝1，QK＝NG＝4，
∴EK＝EQ+QK＝5，FK＝FG﹣GK＝4，
在Rt△EFK中，EF＝＝＝．
三．解答题（共8小题）
17．【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠D＝∠C＝90°，
∵E为CD边上的中点，
∴DE＝CE，
∴△ADE≌△BCE（SAS），
∴AE＝BE．
18．【解答】证明：∵菱形ABCD，
∴BA＝BC，∠A＝∠C，
∵BE⊥AD，BF⊥CD，
∴∠BEA＝∠BFC＝90°，
在△ABE与△CBF中
，
∴△ABE≌△CBF（AAS），
∴AE＝CF．
19．【解答】解：在Rt△AEF和Rt△ABF中，
，
∴Rt△AEF≌Rt△ABF（HL），
∴FE＝FB．
∵正方形ABCD，
∴∠ACB＝∠BCD＝45°，
在Rt△CEF中，
∵∠ACB＝45°，
∴∠CFE＝45°，
∴∠ACB＝∠CFE，
∴EC＝EF，
∴FB＝EC＝EF．
20．【解答】证明：（1）∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，
∴OC＝OD，
∴四边形OCED是菱形；
（2）∵四边形OCED是菱形
∴OC＝OD＝DE＝2，∠E＝∠DOC＝60°
∴BD＝4，△OCD是等边三角形
∴CD＝OC＝2
∴BC＝＝2
∴矩形ABCD的面积＝BC×CD＝4
21．【解答】解：（1）证明：∵AD∥BC，EC＝AD，
∴四边形AECD是平行四边形．
又∵∠D＝90°，
∴四边形AECD是矩形．
（2）∵AC平分∠DAB．
∴∠BAC＝∠DAC．
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB．
∴∠BAC＝∠ACB．
∴BA＝BC＝5．
∵EC＝2，
∴BE＝3．
∴在Rt△ABE中，AE＝＝＝4．
22．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形．
∴∠BOE＝∠AOF＝90°，OB＝OA．
又∵AM⊥BE，
∴∠MEA+∠MAE＝90°＝∠AFO+∠MAE，
∴∠MEA＝∠AFO．
在△BOE和△AOF中，
∵，
∴△BOE≌△AOF．
∴OE＝OF．
（2）OE＝OF成立．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BOE＝∠AOF＝90°，OB＝OA．
又∵AM⊥BE，
∴∠F+∠MBF＝90°，
∠E+∠OBE＝90°，
又∵∠MBF＝∠OBE，
∴∠F＝∠E．
在△BOE和△AOF中，
∵，
∴△BOE≌△AOF．
∴OE＝OF．
23．【解答】解：（1）∵AB＝BA，AC＝BD，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）．
（2）∵AH∥GB，BH∥GA，
∴四边形AHBG是平行四边形．
∵△ABC≌△BAD，
∴∠ABD＝∠BAC，
∴GA＝GB，
∴平行四边形AHBG是菱形．
（3）∵AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAG＝45°，
又∵△ABC≌△BAD，
∴∠ABG＝∠BAG＝45°，
∴∠AGB＝90°，
∴菱形AHBG是正方形．
24．【解答】（1）证明：∵DE＝OC，DE∥AC，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠COD＝90°，
∴平行四边形OCED是矩形．
∴OE＝CD．
（2）解：在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，
∴AC＝AB＝4，
∴在矩形OCED中，CE＝OD＝＝2，
∴在△ACE中，AE＝＝2．