微专题一 数形结合思想
考法指导
数形结合的思想方法在数学教学中具有十分重要的意义，运用这种思想方法去解决数学问题，常常可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化。一般说来，把几何问题转化为代数问题，把数量关系问题转化为图形性质问题，从而化难为易，这是数形结合的数学思想方法的具体运用。
命题思想
此类数形结合命题主以两类思想为主，第一类型思想是以数助形，借助建立平面直角坐标系把几何问题代数化求解，第二类题型以形助数，利用所求代数几何意义，把代数问题几何化解题。
考法1 利用线段长与点坐标关系的数形结合
考法指导
利用平面直角坐标系中,点的坐标与线段长的三种关系，把几何问题代数化，从而求解面积，线段长等问题。
A（x1，y1），B（x2，y2），当AB直线平行于x轴或者在X轴时。上两点之间的距离为|X1_X2|.即AB线段长为|x1_x2|。
A（x1，y1），B（x2，y2），当AB直线平行于y轴或者在y轴上时，A,B两点之间的距离为|y1_y2|，即AB线段长为|y1-y2|。
A（x1，y1），B（x2，y2），当A,B为平面上任意两点时，有平面上任意点之间的距离公式
另外中点公式的应用也是此类考题的考点。若A（x1，y1），B（x2，y2），点C为线段AB的中点，则点C的坐标为（，）。
题型1：已知点坐标及函数解析式，求解线段长及其最值（以数助形）
【典例精析】
例题1．（2019·河北中考真题）勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了A，B，C三地的坐标，数据如图（单位：km）．笔直铁路经过A，B两地．
（1）A，B间的距离为______km；
（2）计划修一条从C到铁路AB的最短公路l，并在l上建一个维修站D，使D到A，C的距离相等，则C，D间的距离为______km．
【答案】20 13
【详解】
（1）由A、B两点的纵坐标相同可知：AB∥x轴，∴AB=12﹣（﹣8）=20；
（2）过点C作l⊥AB于点E，连接AC，作AC的垂直平分线交直线l于点D，由（1）可知：CE=1﹣（﹣17）=18，AE=12，设CD=x，∴AD=CD=x，由勾股定理可知：x2=（18﹣x）2+122，∴解得：x=13，∴CD=13．
故答案为：（1）20；（2）13．
【针对训练】
1．（2019·辽宁中考真题）如图，抛物线与x轴相交于两点，与轴相交于点，点在抛物线上，且．与轴相交于点，过点的直线平行于轴，与拋物线相交于两点，则线段的长为_____．
【答案】
【详解】
解：由图可知，
当时，，
解得：，，
∴点的坐标为；
当时，，
∴点的坐标为(0，2)；
当时，，
解得：，，
∴点的坐标为．
设直线的解析式为，
将，代入，得：
，解得：，
∴直线的解析式为．
当时，，
∴点的坐标为．
当时，，
解得：，，
∴点的坐标为，点的坐标为，
∴．
故答案为：．
2．（2019·贵州省中考真题）如图，抛物线与直线分别相交于，两点，且此抛物线与轴的一个交点为，连接，．已知，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线对称轴上找一点，使的值最大，并求出这个最大值；
【答案】（1）；（2）点M的坐标为（，）时，取最大值为；
【详解】
解：（1）将，代入得：
，解得：，
∴抛物线的解析式是；
（2）解方程组：，得，，
∵，∴
当点、、三点不共线时，根据三角形三边关系得，
当点、、三点共线时，，
∴当点、、三点共线时，取最大值，即为的长，
如图，过点作BE⊥x轴于点，则在中，由勾股定理得：，∴取最大值为；
易求得直线BC的解析式为：y=－x－3，抛物线的对称轴是直线，当时，，∴点M的坐标为（，）；
∴点M的坐标为（，）时，取最大值为；
3．（2019·内蒙初三期末）如图，抛物线y=x2+bx+c与直线y=x+3交于A，B两点，交x轴于C、D两点，连接AC、BC，已知A（0，3），C（﹣3，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线对称轴l上找一点M，使|MB﹣MD|的值最大，并求出这个最大值；
【答案】（1）抛物线的解析式是y=x2+x+3；（2）|MB﹣MD|取最大值为；（3）存在点P（1，6）．
详解：（1）将A（0，3），C（﹣3，0）代入函数解析式，得
，解得，
抛物线的解析式是y=x2+x+3；
（2）由抛物线的对称性可知，点D与点C关于对称轴对称，
∴对l上任意一点有MD=MC，
联立方程组 ，
解得（不符合题意，舍），，
∴B（﹣4，1），
当点B，C，M共线时，|MB﹣MD|取最大值，即为BC的长，
过点B作BE⊥x轴于点E，
，
在Rt△BEC中，由勾股定理，得
BC=，
|MB﹣MD|取最大值为；
4．（2019·湖北中考模拟）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（4，0），C（0，3）三点，D为直线BC上方抛物线上一动点，DE⊥BC于E．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，求线段DE长度的最大值；
【答案】(1)y=﹣x2+x+3；(2) 当a=2时，DE取最大值，最大值是；
【详解】
（1）由题意，得，
解得，
抛物线的函数表达式为y=-x2+x+3；
（2）设直线BC的解析是为y=kx+b，
，
解得，
∴y=-x+3，
设D（a，-a2+a+3），（0＜a＜4），过点D作DM⊥x轴交BC于M点，如图1
，
M（a，-a+3），
DM=（-a2+a+3）-（-a+3）=-a2+3a，
∵∠DME=∠OCB，∠DEM=∠BOC，
∴△DEM∽△BOC，
∴，
∵OB=4，OC=3，
∴BC=5，
∴DE=DM
∴DE=-a2+a=-（a-2）2+，
当a=2时，DE取最大值，最大值是，
5．（2019·江西省初三期中）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC交于点M，连接PC
①求线段PM的最大值；
【答案】（1）二次函数的表达式y=x2﹣2x﹣3；（2）①PM最大=；
【详解】
（1）将A，B，C代入函数解析式，
得，解得，
这个二次函数的表达式y=x2﹣2x﹣3；
（2）设BC的解析式为y=kx+b，
将B，C的坐标代入函数解析式，得
，解得，
BC的解析式为y=x﹣3，
设M（n，n﹣3），P（n，n2﹣2n﹣3），
PM=（n﹣3）﹣（n2﹣2n﹣3）=﹣n2+3n=﹣（n﹣）2+，
当n=时，PM最大=；
题型2：已知线段长及关系，求解点坐标及函数解析式（以形助数）
【典例精析】
例题1．（2019·四川中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，，，则对角线交点的坐标为( )
A． B． C． D．
【答案】D
解：过点作轴于点，
∵四边形为菱形，，
∴，OB⊥AC，，
∵，∴，
∴，
∴，，
∴，
∴．
故选：D．
【针对训练】
1．（2019·陕西中考真题）如图，D是矩形AOBC的对称中心，A(0,4)，B（6，0），若一个反比例函数的图象经过点D，交AC于点M，则点M的坐标为___.
【答案】
【详解】
如图，连接AB，作DE⊥OB于E，
∴DE∥y轴，
∵D是矩形AOBC的中心，
∴D是AB的中点，
∴DE是△AOB的中位线，
∵OA=4，OB=6，
∴DE=OA=2，OE=OB=3，
∴D(3,2)，
设反比例函数的解析式为，
∴，
∴反比例函数的解析式为，
∵AM∥x轴，
∴M的纵坐标和A的纵坐标相等为4，
把y=4代入，得4=，解得：x=，
∴M点的横坐标为，
∴点M的坐标为，
故答案为：.
2．（2019·江苏省中考真题）如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，D为顶点，其中点B的坐标为，点D的坐标为．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）点E是线段BD上的一点，过点E作x轴的垂线，垂足为F，且，求点E的坐标．
【答案】（1）；（2）点E的坐标为；
【详解】
（1）依题意，设二次函数的解析式为
将点B代入得，得
∴二次函数的表达式为：
（2）依题意，点，点，设直线BD的解析式为
代入得，解得
∴线段BD所在的直线为，
设点E的坐标为：
∴
∵
∴
整理得
解得，（舍去）
故点E的纵坐标为
∴点E的坐标为
3．（2019·青海中考真题）如图1（注：与图2完全相同），在直角坐标系中，抛物线经过点三点,,．
（1）求抛物线的解析式和对称轴；
（2）是抛物线对称轴上的一点，求满足的值为最小的点坐标（请在图1中探索）；
【答案】（1），函数的对称轴为：；（2）点；
【详解】
解：根据点,的坐标设二次函数表达式为：，
∵抛物线经过点，
则，解得：，
抛物线的表达式为： ，
函数的对称轴为：；
连接交对称轴于点，此时的值为最小，
设BC的解析式为：，
将点的坐标代入一次函数表达式：得：
解得：
直线的表达式为：，
当时，，
故点；
4．（2019·辽宁中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边交轴于点，轴，反比例函数的图象经过点，点的坐标为，．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）点为轴上一动点，当的值最小时，求出点的坐标．
【答案】（1）；（2）
【详解】
解：（1）∵是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵轴，
∴，
∴，
∵
∴，即
把点 代入的得，
∴反比例函数的解析式为：．
答：反比例函数的解析式为：．
（2）过点作垂足为，
∵，，
∴，
∴，
∴，
则点关于轴的对称点，直线与轴的交点就是所求点，此时最小，
设直线AB1的关系式为，将 ,，代入得，
解得：，，
∴直线的关系式为，
当时，，
∴点
答：点的坐标为．
5．（2020·安徽）如图，平面直角坐标系中，矩形的边分别在轴，轴上，点的坐标为，点在矩形的内部，点在边上，满足∽，当是等腰三角形时，点坐标为_____．
【答案】或
【详解】
解：∵点在矩形的内部，且是等腰三角形，
∴点在的垂直平分线上或在以点为圆心为半径的圆弧上；
①当点在的垂直平分线上时，点同时在上，的垂直平分线与的交点即是，如图1所示：
∵，，
∴，
∴∽，
∵四边形是矩形，点的坐标为，
∴点横坐标为﹣4，，，，
∵∽，
∴，即，
解得：，
∴点；
②点在以点为圆心为半径的圆弧上，圆弧与的交点为，
过点作于，如图2所示：
∵，
∴，
∴∽，
∵四边形是矩形，点的坐标为，
∴，，，
∴，
∴，
∵∽，
∴，即：，
解得：，，
∴，
∴点；
综上所述：点的坐标为：或；
故答案为：或．
6．（2019·天津中考真题）已知抛物线（为常数，）经过点，点是轴正半轴上的动点．
（Ⅰ）当时，求抛物线的顶点坐标；
（Ⅱ）点在抛物线上，当，时，求的值；
（Ⅲ）点在抛物线上，当的最小值为时，求的值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.
【详解】
解：（Ⅰ）∵抛物线经过点，
∴．即．
当时，，
∴抛物线的顶点坐标为．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，抛物线的解析式为．
∵点在抛物线上，
∴．
由，得，，
∴点在第四象限，且在抛物线对称轴的右侧．
如图，过点作轴，垂足为，则点．
∴，．得．
∴在中，．
∴．
由已知，，
∴．
∴．
（Ⅲ）∵点在抛物线上，
∴．
可知点在第四象限，且在直线的右侧．
考虑到，可取点，
如图，过点作直线的垂线，垂足为，与轴相交于点，
有，得，
则此时点满足题意．
过点作轴于点，则点．
在中，可知．
∴，．
∵点，
∴．解得．
∵，
∴．
∴．
7．（2020·全国初三）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，，连接，以为边向上作等边三角形．
（1）求点的坐标；
（2）求线段所在直线的解析式．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）由点、点，易知线段的长度，，而为等边三角形，得轴，即可知的长即为点的纵坐标，即可求得点的坐标
（2）由（1）知点纵标，已知点的坐标，利用待定系数法即可求线段所在的直线的解析式
【详解】
解：（1）如图，过点作轴，
点坐标为，，点坐标为，，
，
，
，
，
为等边三角形，
，
，
点的纵坐标为2，
点的坐标为，，
（2）由（1）知点的坐标为，，点的坐标为，，设直线的解析式为：，
则，解得，
故直线的函数解析式为.
【点睛】
此题主要考查待定系数求一次函数的解析式及等边三角形的性质，此题的关键是利用等边三角形的性质求得点的坐标，再利用待定系数法求一次函数的解析式.
8．（2019·上海中考真题）在平面直角坐标系xoy中（如图），已知一次函数的图像平行于直线，且经过点A（2，3），与x轴交于点B。
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）设点C在y轴上，当AC＝BC时，求点C的坐标。
【答案】（1）；（2）点C的坐标是（0，）
【详解】
（1）设一次函数解析式为y＝kx＋b（k＝0）.
一次函数的图像平行于直线，∴
又∵一次函数的图像经过点A（2，3），
∴，解得b＝2.
所以，所求一次函数的解析式是
（2）由y＝，令y＝0，得号＝0，解得x＝－4.
∴一次函数的图像与x轴的交点为B（－4，0）.
∵点C在y轴上，.设点C的坐标为（0，y）.
由AC＝BC，得，解得y＝
经检验：y＝是原方程的根.
∴点C的坐标是（0，）
题型3：线段长及关系与点坐标及函数解析式（数形综合）
【典例精析】
例题1．（2019·福建中考真题）在平面直角坐标系xOy中，□OABC的三个顶点O(0,0)、A(3,0) 、 B(4,2),则其第四个顶点是_______.
【答案】(1,2)
【详解】
解：∵O（0，0）、A（3，0），
∴OA＝3，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴BC∥OA，BC＝OA＝3，
∵B（4，2），
∴点C的坐标为（4?3，2），即C（1，2）；
故答案为：（1，2）．
【针对训练】
1．（2019·四川中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数(且)的图象在第一象限交于点、，且该一次函数的图象与轴正半轴交于点，过、分别作轴的垂线，垂足分别为、．已知，．
(1)求的值和反比例函数的解析式；
(2)若点为一次函数图象上的动点，求长度的最小值．
【答案】(1)的值为4或-1；；(2).
【详解】
解：(1)将点代入，得，，解得，，，
∴的值为4或-1；反比例函数解析式为：；
(2)∵轴，轴，∴，
∴，∴，
∵，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴，∴，
将，代入，
得：，解得，，，
∴，
设直线与轴交点为，
当时，；当时，∴，，则，
∴为等腰直角三角形，∴，
则当垂直于时，由垂线段最短可知，有最小值，
此时．
2．（2019·辽宁中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，点在的延长线上，轴，垂足为，与反比例函数的图象相交于点，连接，．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）若，设点的坐标为，求线段的长．
【答案】（1）；（2）3
【详解】
解：
（1）∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数；
答：反比例函数的关系式为：；
（2）过点作，垂足为，连接，
设直线的关系式为，将代入得，，
∴直线的关系式为，
∵点，把代入，得：，把代入，得：，
∴），即，
，即
∵，
∴，即，解得：，
∴；
答：线段的长为3．
3．（2018·贵州中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A是反比例函数y=（x＞0，m＞1）图象上一点，点A的横坐标为m，点B（0，﹣m）是y轴负半轴上的一点，连接AB，AC⊥AB，交y轴于点C，延长CA到点D，使得AD=AC，过点A作AE平行于x轴，过点D作y轴平行线交AE于点E．
（1）当m=3时，求点A的坐标；
（2）DE= ，设点D的坐标为（x，y），求y关于x的函数关系式和自变量的取值范围；
【答案】（1）点A坐标为（3，6）；（2）1，y=（x＞2）；
【详解】（1）当m=3时，y=，
∴当x=3时，y=6，
∴点A坐标为（3，6）；
（2）如图，延长EA交y轴于点F，
∵DE∥x轴
∴∠FCA=∠EDA，∠CFA=∠DEA，
∵AD=AC，
∴△FCA≌△EDA，
∴DE=CF，
∵A（m，m2﹣m），B（0，﹣m），
∴BF=m2﹣m﹣（﹣m）=m2，AF=m，
∵Rt△CAB中，AF⊥x轴，
∴△AFC∽△BFA，
∴AF2=CF?BF，
∴m2=CF?m2，
∴CF=1，
∴DE=1，
故答案为：1；
由上面步骤可知，点E坐标为（2m，m2﹣m），
∴点D坐标为（2m，m2﹣m﹣1），
∴x=2m，
y=m2﹣m﹣1，
∴把m=代入y=m2﹣m﹣1，
∴y=（x＞2）；
题型4：已知点坐标及函数解析式，求面积及其最值（以数助形）
【解题策略】
此类题型解题核心是利用铅锤分割法，或者其他割补法把求面积问题转化为求线段或者求线段长的最值问题。
铅锤分割法介绍：
二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与x轴交于A(－3, 0)、B(1, 0)两点，与y轴交于点C(0,－3m)（m＞0），顶点为D．
（1）求该二次函数的解析式（系数用含m的代数式表示）；
（2）如图1，当m＝2时，点P为第三象限内抛物线上的一个动点，设△APC的面积为S，试求出S与点P的横坐标x之间的函数关系式及S的最大值；
（3）如图2，当m取何值时，以A、D、C三点为顶点的三角形与△OBC相似？
图1 图2
第（2）题还可以这样割补：
如图6，过点P作x轴的垂线与AC交于点H．
由直线AC：y＝－2x－6，可得H(x,－2x－6)．
又因为P(x, 2x2＋4x－6)，所以HP＝－2x2－6x．
因为△PAH与△PCH有公共底边HP，高的和为A、C两点间的水平距离3，所以
S＝S△APC＝S△APH＋S△CPH
＝(－2x2－6x)
＝． 图6
这种分割方法称之为铅锤分割法。
【典例精析】
例题1．（2019·甘肃中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，与轴相交于点．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）若点与点关于轴对称，求的面积；
【答案】（1）一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为；（2）；
【详解】
解：（1）反比例函数经过点，
，
点在上，
，
，
把坐标代入，则有，
解得，
一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为．
（2）直线交轴于，
，
关于轴对称，
轴，
．
【针对训练】
1．（2019·甘肃中考真题）如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）、B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点E是二次函数第四象限图象上一点，过点E作x轴的垂线，交直线BC于点D，求四边形AEBD面积的最大值及此时点E的坐标．
【答案】（1）y＝x2﹣4x+3；（2）最大值为 ，E（，﹣）．
【详解】
解：（1）用交点式函数表达式得：y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3；
故二次函数表达式为：y＝x2﹣4x+3；
（2）直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，
设点E坐标为（x，x2﹣4x+3），则点D（x，﹣x+3），
S四边形AEBD＝AB（yD﹣yE）＝﹣x+3﹣x2+4x﹣3＝﹣x2+3x，
∵﹣1＜0，故四边形AEBD面积有最大值，
当x＝，其最大值为，此时点E（，﹣）．
2．（2019·海南中考真题）如图，已知抛物线经过，两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连结CD．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点P为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），设点P的横坐标为t．
①当点P在直线BC的下方运动时，求的面积的最大值；
【答案】（1）；（2）①；
【详解】
解：（1）将点A、B坐标代入二次函数表达式得：，解得：，
故抛物线的表达式为：…①，
令，则或，
即点；
（2）①如图1，过点P作y轴的平行线交BC于点G，
将点B、C的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线BC的表达式为：…②，
设点，则点，
，
，有最大值，当时，其最大值为；
3．（2019·四川中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数和的图象相交于点，反比例函数的图象经过点.
（1）求反比例函数的表达式；
（2）设一次函数 的图象与反比例函数 的图象的另一个交点为，连接，求的面积.
【答案】（1）反比例函数的表达式为；（2）的面积为.
【详解】
（1）由题意：联立直线方程，可得，故A点坐标为（-2,4）
将A（-2,4）代入反比例函数表达式，有，∴
故反比例函数的表达式为
（2）联立直线与反比例函数，
解得，当时，，故B（-8,1）
如图，过A，B两点分别作轴的垂线，交轴于M、N两点，由模型可知
S梯形AMNB=S△AOB，
∴S梯形AMNB=S△AOB===
4．（2019·辽宁中考真题）如图，在平面直角坐标系中，的边在轴上，，以为顶点的抛物线经过点，交y轴于点，动点在对称轴上．
（1）求抛物线解析式；
（2）若点从点出发，沿方向以1个单位/秒的速度匀速运动到点停止，设运动时间为秒，过点作交于点，过点平行于轴的直线交抛物线于点，连接，当为何值时，的面积最大？最大值是多少？
【答案】（1）；（2）当时，其最大值为1；
【详解】
解：（1）将点的坐标代入二次函数表达式得：，解得：，
故抛物线的表达式为：，
则点；
（2）将点的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线的表达式为：，
点，则点，设点，
，
∵，故有最大值，当时，其最大值为1；
题型5：已知面积及最值，列方程求点坐标及函数解析式（以形助数）
【典例精析】
例题1．（2019·山西中考真题）综合与探究
如图，抛物线经过点A(-2,0)，B(4,0)两点，与轴交于点C，点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为.连接AC，BC，DB，DC，
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)△BCD的面积等于△AOC的面积的时，求的值；
【答案】(1)；(2)3；
【详解】
(1)抛物线经过点A(-2,0)，B(4,0)，
∴，
解得，
∴抛物线的函数表达式为；
(2)作直线DE⊥轴于点E，交BC于点G，作CF⊥DE，垂足为F，
∵点A的坐标为(-2,0)，∴OA=2，
由，得，∴点C的坐标为(0,6)，∴OC=6，
∴S△OAC=，
∵S△BCD=S△AOC，
∴S△BCD =，
设直线BC的函数表达式为，
由B，C两点的坐标得，解得，
∴直线BC的函数表达式为，
∴点G的坐标为，
∴，
∵点B的坐标为(4,0)，∴OB=4，
∵S△BCD=S△CDG+S△BDG=，
∴S△BCD =，
∴，
解得(舍)，，
∴的值为3；
【针对训练】
1．（2019·湖北省中考真题）如图，抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点A（0，2），对称轴为直线x=﹣2，平行于x轴的直线与抛物线交于B、C两点，点B在对称轴左侧，BC=6．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）点P在x轴上，直线CP将△ABC面积分成2：3两部分，请直接写出P点坐标．
【答案】（1）抛物线的解析式为y=x2+4x+2；（2）P的坐标为（﹣6，0）或（﹣13，0）．
【详解】（1）由题意得：x=﹣=﹣=﹣2，c=2，
解得：b=4，c=2，
则此抛物线的解析式为y=x2+4x+2；
（2）∵抛物线对称轴为直线x=﹣2，BC=6，
∴B横坐标为﹣5，C横坐标为1，
把x=1代入抛物线解析式得：y=7，
∴B（﹣5，7），C（1，7），
设直线AB解析式为y=kx+2，
把B坐标代入得：k=﹣1，即y=﹣x+2，
作出直线CP，与AB交于点Q，过Q作QH⊥y轴，与y轴交于点H，BC与y轴交于点M，
可得△AQH∽△ABM，
∴，
∵点P在x轴上，直线CP将△ABC面积分成2：3两部分，
∴AQ：QB=2：3或AQ：QB=3：2，即AQ：AB=2：5或AQ：QB=3：5，
∵BM=5，
∴QH=2或QH=3，
当QH=2时，把x=﹣2代入直线AB解析式得：y=4，
此时Q（﹣2，4），直线CQ解析式为y=x+6，令y=0，得到x=﹣6，即P（﹣6，0）；
当QH=3时，把x=﹣3代入直线AB解析式得：y=5，
此时Q（﹣3，5），直线CQ解析式为y=x+，令y=0，得到x=﹣13，此时P（﹣13，0），
综上，P的坐标为（﹣6，0）或（﹣13，0）．
2．（2019·广东中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点，其中点的坐标为，点的坐标为.
（1）求这两个函数的表达式；
（2）点在线段上，且，求点的坐标.
【答案】（1），；（2）
【详解】
(1)把代入，得，
∴，
∵点在上，∴，
∴，
把，代入得
，解得，
∴；
(2)设与轴交于点，
∵点在直线上，∴，
，
又，
∴，，
又，∴点在第一象限，
∴，
又，∴，解得，
把代入，得，
∴.
3．（2019·山东省中考真题）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，P为抛物线上在第二象限内的一点，若△PAC面积为3，求点P的坐标；
【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）点P的坐标为（﹣1，4）或（﹣2，3）；
【详解】
（1）把A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）代入抛物线解析式y＝ax2+bx+c得
，
解得，
所以抛物线的函数表达式为y＝﹣x2﹣2x+3．
（2）如解（2）图1，过P点作PQ平行y轴，交AC于Q点，
∵A（﹣3，0），C（0，3），
∴直线AC解析式为y＝x+3，
设P点坐标为（x，﹣x2﹣2x+3．），则Q点坐标为（x，x+3），
∴PQ＝﹣x2﹣2x+3﹣（x+3）＝﹣x2﹣3x．
∴S△PAC＝，
∴，
解得：x1＝﹣1，x2＝﹣2．
当x＝﹣1时，P点坐标为（﹣1，4），
当x＝﹣2时，P点坐标为（﹣2，3），
综上所述：若△PAC面积为3，点P的坐标为（﹣1，4）或（﹣2，3），
题型6：点坐标及函数解析式与锐角三角函数的数形结合
【解题策略】
此类题型的解题核心是根据锐角三角函数的定义求算，其实质就是线段的比值问题，通过构建直角三角形，把求三角函数问题转化为求线段值问题，在利用坐标与线段长关系，数形结合求解问题。
【典例精析】
例题1．（2019·江苏中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数图象的顶点坐标为，该图象与轴相交于点、，与轴相交于点，其中点的横坐标为1．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）求．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】
（1）由题意可设抛物线解析式为：，将代入解析式来求的值．
（2）由锐角三角函数的定义解答即可．
【详解】
（1）由题意可设抛物线解析式为：．
把代入，得，
解得．故该二次函数解析式为；
（2）令，则．则．
∵二次函数图象的顶点坐标为，，则点与点关系直线对称，
∴，∴．
∴，即．
【点睛】
本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，待定系数法确定函数关系式以及解直角三角形等知识．解题时充分利用二次函数图象的对称性质是关键．
【针对训练】
1．（2019·辽宁省中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交点C，抛物线过A，C两点，与x轴交于另一点B．
（1）求抛物线的解析式．
（2）在直线AC上方的抛物线上有一动点E，连接BE，与直线AC相交于点F，当时，求的值．
【答案】（1）；（2）的值为或；
解：（1）在中，当时，当时，
∴、，
∵抛物线的图象经过A、C两点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）令，解得，，∴，
设点E的横坐标为t，则，
如图，过点E作轴于点H，过点F作轴于点G，则，∴△BFG∽△BEH，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴点F的横坐标为，
∴，
∴，
∴，
解得，，
当时，，
当时，，
∴，，
当点E的坐标为时，在中，，，
∴，
∴；
同理，当点E的坐标为时，，
∴的值为或；
2．（2019·重庆中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴上，点，．若反比例函数经过点C，则k的值等于（ ）
A．10 B．24 C．48 D．50
【答案】C
【详解】
解：如图，过点C作于点E，
∵菱形OABC的边OA在x轴上，点，
∴，
∵．
∴，
∴
∴点C坐标
∵若反比例函数经过点C，
∴
故选C．
3．（2019·湖北省中考真题）如图，抛物线的图象经过点C(0，-2)，顶点D的坐标为（1，），与轴交于A、B两点.
（1）求抛物线的解析式.
（2）连接AC，E为直线AC上一点，当△AOC∽△AEB时，求点E的坐标和的值.
【答案】（1）；（2）E，；
【详解】
（1）∵的图象经过点C(0，-2)，顶点D的坐标为（1，），
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为：.
（2）∵抛物线解析式为：.
∴当y=0时，=0，
解得：x1=-1，x2=3，
∴OA=1，OB=3，AB=4，
∵C（0，-2），
∴OC=2，
∴AC=，
设直线AC的解析式为：，则
解得：
∴直线AC的解析式为：
当△AOC∽△AEB时（如图）
∵
∴
∴，
即，
∴，
∴，
将代入，得，
∴E，
∵△AOC∽△AEB，
∴，
∴，
4．（2019·四川省中考真题）如图1，已知抛物线过点．
（1）求抛物线的解析式及其顶点C的坐标；
（2）设点D是x轴上一点，当时，求点D的坐标；
【答案】（1），顶点C的坐标为-（-1,4）；（2）；
【详解】
解：（1）由题意把点代入，
得，，
解得，
∴此抛物线解析式为：，顶点C的坐标为
（2）∵抛物线顶点，
∴抛物线对称轴为直线，
设抛物线对称轴与x轴交于点H，
则，
在中，，
，
∴当时，
如图1，当点D在对称轴左侧时，
，
，
，
，
，
当点D在对称轴右侧时，点D关于直线的对称点D'的坐标为，
∴点D的坐标为或；
5．（2019·四川省中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像在第二象限交于点，与轴交于点，点在轴上，满足条件：，且，点的坐标为，。
（1）求反比例函数的表达式；
（2）直接写出当时，的解集。
【答案】（1）；（2）
【详解】
解：（1）如图作轴于点
则
∴
∵点的坐标为
∴
∵
∴，
在和中
有
∴≌
∴，
∴，即
∴
∴反比例函数解析式为
（2）因为在第二象限中，点右侧一次函数的图像在反比例函数图像的下方,
所以当时，的解集为.
题型7：存在性问题
【解题策略】
此类题型的解题策略在于假设逆推的逻辑审题，把存在性问题转化为满足条件的方程问题解题。例如若点P为抛物线上的一点，点F为对称轴上的一点，且以点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标。解题时假设此时四边形ABPF已经是平行四边形，利用对边相等的性质，得到线段关系，从而转化为已知线段长关系，利用坐标公式等列方程解题的思路求解问题。
7.1存在性平行四边形及特殊平行四边形问题
【典例精析】
例题1．（2019·山东中考真题）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣3）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若以点A为圆心的圆与直线BC相切于点M，求切点M的坐标；
（3）若点Q在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）M（﹣，﹣）；（3）存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形，P的坐标为（1+，3）或（1﹣，3）或（2，﹣3）．
【详解】
（1）把A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣3）代入抛物线解析式得：，
解得：，
则该抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3；
（2）设直线BC解析式为y=kx﹣3，
把B（﹣1，0）代入得：﹣k﹣3=0，即k=﹣3，
∴直线BC解析式为y=﹣3x﹣3，
∴直线AM解析式为y=x+m，
把A（3，0）代入得：1+m=0，即m=﹣1，
∴直线AM解析式为y=x﹣1，
联立得：，
解得：，
则M（﹣，﹣）；
（3）存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形，
分两种情况考虑：
设Q（x，0），P（m，m2﹣2m﹣3），
当四边形BCQP为平行四边形时，由B（﹣1，0），C（0，﹣3），
根据平移规律得：﹣1+x=0+m，0+0=﹣3+m2﹣2m﹣3，
解得：m=1±，x=2±，
当m=1+时，m2﹣2m﹣3=8+2﹣2﹣2﹣3=3，即P（1+，3）；
当m=1﹣时，m2﹣2m﹣3=8﹣2﹣2+2﹣3=3，即P（1﹣，3）；
当四边形BCPQ为平行四边形时，由B（﹣1，0），C（0，﹣3），
根据平移规律得：﹣1+m=0+x，0+m2﹣2m﹣3=﹣3+0，
解得：m=0或2，
当m=0时，P（0，﹣3）（舍去）；当m=2时，P（2，﹣3），
综上，存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形，P的坐标为（1+，3）或（1﹣，3）或（2，﹣3）．
【针对训练】
1．（2019·甘肃中考真题）如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）、B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点P为抛物线上的一点，点F为对称轴上的一点，且以点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；
【答案】（1）y＝x2﹣4x+3；（2）点P（4，3）或（0，3）或（2，﹣1）；【解析】
【详解】
解：（1）用交点式函数表达式得：y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3；
故二次函数表达式为：y＝x2﹣4x+3；
（2）①当AB为平行四边形一条边时，如图1，
则AB＝PE＝2，
则点P坐标为（4，3），
当点P在对称轴左侧时，即点C的位置，点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，
故：点P（4，3）或（0，3）；
②当AB是四边形的对角线时，如图2，
AB中点坐标为（2，0）
设点P的横坐标为m，点F的横坐标为2，其中点坐标为： ，
即：＝2，解得：m＝2，
故点P（2，﹣1）；
故：点P（4，3）或（0，3）或（2，﹣1）；
2．（2019·青海中考真题）如图1（注：与图2完全相同），在直角坐标系中，抛物线经过点三点,,．
（1）求抛物线的解析式和对称轴；
（2）在第四象限的抛物线上是否存在点，使四边形是以为对角线且面积为的平行四边形？若存在，请求出点坐标，若不存在请说明理由.（请在图2中探索）
【答案】（1），函数的对称轴为：；（2）存在，点的坐标为或．
【详解】
解：根据点,的坐标设二次函数表达式为：，
∵抛物线经过点，
则，解得：，
抛物线的表达式为： ，
函数的对称轴为：；
（2）存在，理由：
四边形是以为对角线且面积为的平行四边形，
则 ，
点在第四象限，故：则，
将该坐标代入二次函数表达式得：
，
解得：或，
故点的坐标为或．
3．（2018·贵州中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A是反比例函数y=（x＞0，m＞1）图象上一点，点A的横坐标为m，点B（0，﹣m）是y轴负半轴上的一点，连接AB，AC⊥AB，交y轴于点C，延长CA到点D，使得AD=AC，过点A作AE平行于x轴，过点D作y轴平行线交AE于点E．
（1）当m=3时，求点A的坐标；
（2）连接BD，过点A作BD的平行线，与（2）中的函数图象交于点F，当m为何值时，以A、B、D、F为顶点的四边形是平行四边形？
【答案】（1）点A坐标为（3，6）；（2）m=2时，以A、B、D、F为顶点的四边形是平行四边形．
【详解】（1）当m=3时，y=，
∴当x=3时，y=6，
∴点A坐标为（3，6）；
（2）由题意可知，AF∥BD
当AD、BF为平行四边形对角线时，
由平行四边形对角线互相平分可得A、D和B、F的横坐标、纵坐标之和分别相等
设点F坐标为（a，b）
∴a+0=m+2m
b+（﹣m）=m2﹣m+m2﹣m﹣1
∴a=3m，b=2m2﹣m﹣1
代入y=，得
2m2﹣m﹣1=，
解得m1=2，m2=0（舍去）
当FD、AB为平行四边形对角线时，
同理设点F坐标为（a，b），
则a=﹣m，b=1﹣m，则F点在y轴左侧，由（2）可知，点D所在图象不能在y轴左侧
∴此情况不存在，
综上当m=2时，以A、B、D、F为顶点的四边形是平行四边形
4．（2019·辽宁中考真题）如图，在平面直角坐标系中，的边在轴上，，以为顶点的抛物线经过点，交y轴于点，动点在对称轴上．
（1）求抛物线解析式；
（2）若点是平面内的任意一点，在轴上方是否存在点，使得以点为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）①；②点或或
【详解】
解：（1）将点的坐标代入二次函数表达式得：，解得：，
故抛物线的表达式为：，
则点；
（2）设点，点，
①当是菱形一条边时，
当点在轴下方时，
点向右平移3个单位、向下平移3个单位得到，
则点平移3个单位、向下平移3个单位得到，
则，，
而得：，
解得：，
故点；
当点在轴上方时，
同理可得：点；
②当是菱形一对角线时，
则中点即为中点，
则，，
而，即，
解得：，
故，，
故点；
综上，点或或
5．（2019·山西中考真题）综合与探究
如图，抛物线经过点A(-2,0)，B(4,0)两点，与轴交于点C，点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为.连接AC，BC，DB，DC，
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)△BCD的面积等于△AOC的面积的时，求的值；
(3)在(2)的条件下，若点M是轴上的一个动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M,使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)；(2)3；(3).
【解析】
【分析】
(1)利用待定系数法进行求解即可；
(2)作直线DE⊥轴于点E，交BC于点G，作CF⊥DE，垂足为F，先求出S△OAC=6，再根据S△BCD=S△AOC，得到S△BCD =，然后求出BC的解析式为，则可得点G的坐标为，由此可得，再根据S△BCD=S△CDG+S△BDG=，可得关于m的方程，解方程即可求得答案；
(3)存在，如下图所示，以BD为边或者以BD为对角线进行平行四边形的构图，以BD为边时，有3种情况，由点D的坐标可得点N点纵坐标为±，然后分点N的纵坐标为和点N的纵坐标为两种情况分别求解；以BD为对角线时，有1种情况，此时N1点与N2点重合，根据平行四边形的对边平行且相等可求得BM1=N1D=4，继而求得OM1= 8，由此即可求得答案.
【详解】
(1)抛物线经过点A(-2,0)，B(4,0)，
∴，
解得，
∴抛物线的函数表达式为；
(2)作直线DE⊥轴于点E，交BC于点G，作CF⊥DE，垂足为F，
∵点A的坐标为(-2,0)，∴OA=2，
由，得，∴点C的坐标为(0,6)，∴OC=6，
∴S△OAC=，
∵S△BCD=S△AOC，
∴S△BCD =，
设直线BC的函数表达式为，
由B，C两点的坐标得，解得，
∴直线BC的函数表达式为，
∴点G的坐标为，
∴，
∵点B的坐标为(4,0)，∴OB=4，
∵S△BCD=S△CDG+S△BDG=，
∴S△BCD =，
∴，
解得(舍)，，
∴的值为3；
(3)存在，如下图所示，以BD为边或者以BD为对角线进行平行四边形的构图，
以BD为边时，有3种情况，
∵D点坐标为，∴点N点纵坐标为±，
当点N的纵坐标为时，如点N2，
此时，解得：(舍)，
∴，∴；
当点N的纵坐标为时，如点N3，N4，
此时，解得：
∴，，
∴，；
以BD为对角线时，有1种情况，此时N1点与N2点重合，
∵，D(3，)，
∴N1D=4，
∴BM1=N1D=4，
∴OM1=OB+BM1=8，
∴M1(8，0)，
综上，点M的坐标为：.
7.2存在性面积问题
【典例精析】
例题1．（2019·江苏省中考真题）如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，D为顶点，其中点B的坐标为，点D的坐标为．
（1）求该二次函数的表达式；
（3）试问在该二次函数图象上是否存在点G，使得的面积是的面积的？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）存在，点G的坐标为或.
【详解】
（1）依题意，设二次函数的解析式为
将点B代入得，得
∴二次函数的表达式为：
（2）存在点G，
设点G的坐标为
∵点B的坐标为，对称轴
∴点A的坐标为
∴设AD所在的直线解析式为
代入得，解得
∴直线AD的解析式为
∴ AD的距离为5
点G到AD的距离为：
由（2）知直线BD的解析式为：，
∵BD的距离为5
∴同理得点G至BD的距离为：
∴
整理得
∵点G在二次函数上，
∴
代入得
整理得
解得，
此时点G的坐标为或
【针对训练
1．（2019·山东中考真题）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点、．
(1)求、满足的关系式及的值．
(2)当时，若的函数值随的增大而增大，求的取值范围．
(3)如图，当时，在抛物线上是否存在点，使的面积为1？若存在，请求出符合条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；；(2)；(3)存在，点或或.
【解析】
【分析】
(1)求出点、的坐标，即可求解；
(2)当时，若的函数值随的增大而增大，则函数对称轴，而，即：，即可求解；
(3)过点作直线，作轴交于点，作于点，，则，即可求解．
【详解】
(1)，令，则，令，则，
故点、的坐标分别为、，则，
则函数表达式为：，
将点坐标代入上式并整理得：；
(2)当时，若的函数值随的增大而增大，
则函数对称轴，而，
即：，解得：，
故：的取值范围为：；
(3)当时，二次函数表达式为：，
过点作直线，作轴交于点，作于点，
∵，∴，
，
则，
在直线下方作直线，使直线和与直线等距离，
则直线与抛物线两个交点坐标，分别与点组成的三角形的面积也为1，
故：，
设点，则点，
即：，
解得：或，
故点或 或.
7.3存在性三角形全等、相似问题
【典例精析】
例题1．（2019·贵州省中考真题）如图，抛物线与直线分别相交于，两点，且此抛物线与轴的一个交点为，连接，．已知，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点为轴右侧抛物线上一动点，连接，过点作交轴于点，问：是否存在点使得以，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）存在点．
【详解】
解：（1）将，代入得：
，解得：，
∴抛物线的解析式是；
（2）存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似．
设点坐标为，
在中，∵，∴，
在中，∵，∴，
∴，，
过点作于点，过点作轴于点，如图，
∵，，∴∽，
∵，
∴①当时，∽，
∴，解得，，（舍去）
∴点的纵坐标为，∴点为；
②当时，∽，
∴，解得（舍去），（舍去），
∴此时无符合条件的点；
综上所述，存在点．
【针对训练】
1．（2019·陕西中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线L：经过点A（-3，0）和点B（0，-6），L关于原点O对称的抛物线为.
（1）求抛物线L的表达式；
（2）点P在抛物线上，且位于第一象限，过点P作PD⊥y轴，垂足为D.若△POD与△AOB相似，求符合条件的点P的坐标.
【答案】(1) y=－x2－5x－6；(2)符合条件的点P的坐标为(1，2)或(6，12)或(，)或(4，2)。
【详解】
(1)由题意，得，
解得：，
∴L：y=－x2－5x－6；
(2)∵抛物线L关于原点O对称的抛物线为，
∴点A(-3，0)、B(0，-6)在L′上的对应点分别为A′(3，0)、B′(0，6)，
∴设抛物线L′的表达式y＝x2＋bx＋6，
将A′(3，0)代入y＝x2＋bx＋6，得b＝－5，
∴抛物线L′的表达式为y＝x2－5x＋6，
∵A(－3，0)，B(0，－6)，
∴AO＝3，OB＝6，
设P(m，m2－5m＋6)(m＞0)，
∵PD⊥y轴，
∴点D的坐标为(0，m2－5m＋6)，
∵PD＝m，OD＝m2－5m＋6，
∵Rt△PDO与Rt△AOB相似，
∴有Rt△PDO∽Rt△AOB或Rt△ODP∽Rt△AOB两种情况，
①当Rt△PDO∽Rt△AOB时，则，即，
解得m1＝1，m2＝6，
∴P1(1，2)，P2(6，12)；
②当Rt△ODP∽Rt△AOB时，则，即，
解得m3＝，m4＝4，
∴P3(，)，P4(4，2)，
∵P1、P2、P3、P4均在第一象限，
∴符合条件的点P的坐标为(1，2)或(6，12)或(，)或(4，2).
2．（2019·山东中考真题）如图，以D为顶点的抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，直线BC的表达式为y=﹣x+3．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在x轴上是否存在一点Q，使得以A、C、Q为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y=﹣x2+2x+3；（2）当Q的坐标为（0，0）或（9，0）时，以A、C、Q为顶点的三角形与△BCD相似．
【详解】
（1）把x=0代入y=﹣x+3，得：y=3，
∴C（0，3）．
把y=0代入y=﹣x+3得：x=3，
∴B（3，0），A（﹣1，0）.
将C（0，3）、B（3，0）代入y=﹣x2+bx+c得： ，解得b=2，c=3．
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．
（2）y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
∴D（1，4）．
又∵C（0，3，B（3，0），
∴CD=，BC=3，DB=2．
∴CD2+CB2=BD2，
∴∠DCB=90°．
∵A（﹣1，0），C（0，3），
∴OA=1，CO=3．
∴．
又∵∠AOC=DCB=90°，
∴△AOC∽△DCB．
∴当Q的坐标为（0，0）时，△AQC∽△DCB．
如图所示：连接AC，过点C作CQ⊥AC，交x轴与点Q．
∵△ACQ为直角三角形，CO⊥AQ，
∴△ACQ∽△AOC．
又∵△AOC∽△DCB，
∴△ACQ∽△DCB．
∴，即，解得：AQ=10．
∴Q（9，0）．
综上所述，当Q的坐标为（0，0）或（9，0）时，以A、C、Q为顶点的三角形与△BCD相似．
3．（2019·辽宁省中考真题）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点是轴负半轴上的一点，且，点在对称轴右侧的抛物线上运动，连接，与抛物线的对称轴交于点，连接，当平分时，求点的坐标．
（3）直线交对称轴于点，是坐标平面内一点，请直接写出与全等时点的坐标．
【答案】（1）；（2）点的坐标为：，；（3）若与全等，点有四个，坐标为，，，．
【详解】
（1）抛物线经过，两点，
，
解得：，
抛物线的解析式为：．
（2）如图1，设对称轴与轴交于点，
平分，
，
又，
，
，
．
在中，，．
，
；．
①当时，直线解析式为：，
依题意得：．
解得：，，
点在对称轴右侧的抛物线上运动，
点纵坐标．
，
②当时，直线解析式为：，
同理可求：，
综上所述：点的坐标为：，，
（3）由题意可知：，，，
，
，
，
直线经过，，
直线解析式为，
抛物线对称轴为，而直线交对称轴于点，
坐标为；
，
设点坐标为，
则，
则，
，若与全等，有两种情况，
Ⅰ．，，即．
，
解得：，，
即点坐标为，．
Ⅱ．，，即．
，
解得：，，
即点坐标为，．
故若与全等，点有四个，坐标为，，，．
7.4存在性角相等问题
【典例精析】
例题1．（2019·海南中考真题）如图，已知抛物线经过，两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连结CD．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点P为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），设点P的横坐标为t．
①当点P在直线BC的下方运动时，求的面积的最大值；
②该抛物线上是否存在点P，使得若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）①；②存在，或．
【详解】
解：（1）将点A、B坐标代入二次函数表达式得：，解得：，
故抛物线的表达式为：…①，
令，则或，
即点；
（2）①如图1，过点P作y轴的平行线交BC于点G，
将点B、C的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线BC的表达式为：…②，
设点，则点，
，
，有最大值，当时，其最大值为；
②设直线BP与CD交于点H，
当点P在直线BC下方时，
，点H在BC的中垂线上，
线段BC的中点坐标为，
过该点与BC垂直的直线的k值为﹣1，
设BC中垂线的表达式为：，将点代入上式并解得：
直线BC中垂线的表达式为：…③，
同理直线CD的表达式为：…④，
联立③④并解得：，即点，
同理可得直线BH的表达式为：…⑤，
联立①⑤并解得：或（舍去），
故点；
当点在直线BC上方时，
，，
则直线BP′的表达式为：，将点B坐标代入上式并解得：，
即直线BP′的表达式为：…⑥，
联立①⑥并解得：或（舍去），
故点；
故点P的坐标为或．
【针对训练】
1．（2019·内蒙古自治区中考真题）如图，直线与轴、轴分别交于两点，抛物线经过点，与轴另一交点为，顶点为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在轴上找一点，使的值最小，求的最小值；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）（1，2＋2）或（1，?2?2）．
【解析】
【分析】
（1）直线y＝?x＋3与x轴、y轴分别交于B、C两点，则点B、C的坐标分别为（3，0）、（0，3），将点B、C的坐标代入二次函数表达式，即可求解；
（2）如图1，作点C关于x轴的对称点C′，连接CD′交x轴于点E，则此时EC＋ED为最小，即可求解；
（3）分点P在x轴上方、点P在x轴下方两种情况，分别求解．
【详解】
解：（1）直线与轴、轴分别交于两点，则点的坐标分别为，
将点的坐标代入二次函数表达式得：，解得：，
故函数的表达式为：，
令，则或3，故点；
（2）如图1，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则此时为最小，
函数顶点坐标为，点，
将的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线的表达式为：，
当时， ，
故点；
（3）①当点在轴上方时，如下图2，
∵，则，
过点作，设，
则，
由勾股定理得：，
，解得：m2＝8＋4，
则PB2＝2m2＝16＋8
则yP＝
∴P（1，）；
②当点P在x轴下方时，
则yP＝?（2＋2）；
故点P的坐标为（1，2＋2）或（1，?2?2）．
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰三角形性质、点的对称性等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
2．（2019·天津中考真题）如图，已知点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，1）在抛物线y=ax2+bx+c上．
（1）求抛物线解析式；
（2）在直线BC上方的抛物线上求一点P，使△PBC面积为1；
（3）在x轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点Q，使∠BQC=∠BAC？若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）抛物线的解析式为y=﹣x2+x+1；（2）点P的坐标为（1，）或（2，1）；（3）存在，理由见解析．
【详解】
（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣3），将C（0，1）代入得﹣3a=1，解得：a=﹣，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+1；
（2）过点P作PD⊥x，交BC与点D，
设直线BC的解析式为y=kx+b，则，解得：k=﹣，
∴直线BC的解析式为y=﹣x+1，
设点P（x，﹣ x2+x+1），则D（x，﹣ x+1），
∴PD=（﹣x2+x+1）﹣（﹣x+1）=﹣x2+x，
∴S△PBC=OB?DP=×3×（﹣x2+x）=﹣x2+x，
又∵S△PBC=1，
∴﹣x2+x=1，整理得：x2﹣3x+2=0，解得：x=1或x=2，
∴点P的坐标为（1，）或（2，1）；
（3）存在．
∵A（﹣1，0），C（0，1），
∴OC=OA=1，
∴∠BAC=45°，
∵∠BQC=∠BAC=45°，
∴点Q为△ABC外接圆与抛物线对称轴在x轴下方的交点，
设△ABC外接圆圆心为M，则∠CMB=90°，
设⊙M的半径为x，则Rt△CMB中，由勾股定理可知CM2+BM2=BC2，即2x2=10，
解得：x=（负值已舍去），
∵AC的垂直平分线的为直线y=﹣x，AB的垂直平分线为直线x=1，
∴点M为直线y=﹣x与x=1的交点，即M（1，﹣1），
∴Q的坐标为（1，﹣1﹣）．
考法2 点在直线上与三点共线
考法指导
利用点在直线上的思想，来证明几何三点共线问题，其具体做法是先求出任意两点的直线解析式，把第三点坐标带入上述解析式，若方程无解，则三点不共线，若方程有解则三点共线。
【典例精析】
例题1．（2019·福建中考真题）已知抛物y=ax2+bx+c(b<0)与轴只有一个公共点.
(1)若公共点坐标为(2，0)，求a、c满足的关系式；
(2)设A为抛物线上的一定点，直线l：y=kx+1－k与抛物线交于点B、C两点，直线BD垂直于直线y=－1,垂足为点D.当k＝0时，直线l与抛物线的一个交点在?y轴上，且△ABC为等腰直角三角形.
①求点A的坐标和抛物线的解析式；
②证明：对于每个给定的实数?k，都有A、D、C三点共线.
【答案】(1) y=a(x－2)2, c=4a;(2) ①顶点A(1,0)，y= x2－2x+1,②见解析.
【详解】
解：（1）抛物线与x轴的公共点坐标即为函数顶点坐标，故：y＝a（x?2）2，则c＝4a；
(2) y=kx+1－k= k(x－1)+1过定点(1,1),
且当k＝0时，直线l变为y=1平行x轴,与y轴的交点为(0,1)
又△ABC为等腰直角三角形，∴点A为抛物线的顶点
①c=1，顶点A(1,0)
抛物线的解析式: y= x2－2x+1.
②
x2－(2+k)x+k＝0,
x＝(2+k±)
xD＝xB＝(2+k－), yD=－1；
则D
yC＝(2+k2+k,
C，A(1,0)
∴直线AD表达式中的k值为：k AD==，
直线AC表达式中的k值为：k AC=
∴k AD= k AC, 点A、C、D三点共线.
【针对训练】
1．（2019·福建初三月考）已知点A（-2，1），B（0，4），C（8，16），O（0，0），P（m，n），抛物线y=ax2（a≠0）经过A，B，C，其中的一点，
（1）求抛物线y=ax2（a≠0）的解析式；
（2）若直线y=mx（m≠0）与直线y=nx（n≠0）分别经过点A与点C，判断点P（m，n）是否在反比例函数y=-的图象上；
（3）若点P（m，n）是反比例函数y=-的图象上任一点，且直线y=mx（m≠0）与直线y=nx（n≠0）分别与抛物线y=ax2（a≠0）交于点M，点N（不同于原点），求证：M，B，N三点在一条直线上．
【答案】（1）y=x2；（2）点P在反比例函数y=-的图象上；（3）证明见解析
【详解】
解：（1）∵抛物线y=ax2的顶点坐标为（0,0）
∴抛物线一定不过点B
把A（-2，1）代入y=ax2，得a=，
把C（8，16）代入y=ax2，得a=，
故该抛物线解析式为：y=x2．
（2）∵直线y=mx（m≠0）与直线y=nx（n≠0）分别经过点A（-2，1）与点C（8，16），
∴1=-2m，16=8n．
∴m=-，n=2．
∴点P的坐标是（-，2）．
把x=-代入y=-，得y=2．
∴点P在反比例函数y=-的图象上．
（3）证明：∵点M，点N分别是直线y=mx（m≠0）与直线y=nx（n≠0）分别与抛物线y=ax2（a≠0）的交点，
∴可列方程组：，
解得．
∴点M的坐标是（4m，4m2）．
同理，，
解得．
∴点N的坐标是（4n，4n2）．
设经过点M、N的直线为：y=kx+b（k≠0）．
把M（4m，4m2），N（4n，4n2）分别代入，得．
解得．
∵点P（m，n）在反比例函数y=-的图象上，
∴mn=-1．即b=-mn=-4×（-1）=4．
∴y=（m+n）x+4．
把x=0代入，得y=4，即点B（0，4）在直线MN上．
∴点M，B，N三点在一条直线上．
2．（2016·山东中考真题）已知，点M是二次函数y=ax2（a＞0）图象上的一点，点F的坐标为（0，），直角坐标系中的坐标原点O与点M，F在同一个圆上，圆心Q的纵坐标为．
（1）求a的值；
（2）当O，Q，M三点在同一条直线上时，求点M和点Q的坐标；
（3）当点M在第一象限时，过点M作MN⊥x轴，垂足为点N，求证：MF=MN+OF．
【答案】（1）y=x2；（2）M1（，），Q1（，），M2（﹣，），Q2（﹣，）；（3）详见解析.
【详解】
（1）∵圆心O的纵坐标为，
∴设Q（m，），F（0，），
∵QO=QF，
∴m2+（）2=m2+（﹣）2，
∴a=1，
∴抛物线为y=x2．
（2）∵M在抛物线上，设M（t，t2），Q（m，），
∵O、Q、M在同一直线上，
∴KOM=KOQ，
∴=，
∴m=，
∵QO=QM，
∴m2+（）2=（m﹣t）2=（﹣t2）2，
整理得到：﹣t2+t4+t2﹣2mt=0，
∴4t4+3t2﹣1=0，
∴（t2+1）（4t2﹣1）=0，
∴t1=，t2=﹣，
当t1=时，m1=，
当t2=﹣时，m2=﹣．
∴M1（，），Q1（，），M2（﹣，），Q2（﹣，）．
（3）设M（n，n2）（n＞0），
∴N（n，0），F（0，），
∴MF===n2+，MN+OF=n2+，
∴MF=MN+OF．
考法3 利用函数图像交点与方程根的个数
考法指导
利用两条函数图像的交点个数，其本质上是两条函数联立方程后形成方程的根的个数这种数形结合的思想进行解题。例如一次函数y=kx+b（k≠0）与二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的交点个数就是两条函数联立方程的得到的一元二次方程ax2+（b-a）x+（c-b）=0的根的个数：
当方程只有一个根时，说明此时一次函数与二次函数图像只有一个交点
当方程有两个不相等的根时，说明此时一次函数与二次函数图像有两个交点
当方程无解时，说明一次函数与二次函数图像没有交点
【典例精析】
例题1．（2017·江苏省中考真题）若函数的图象与坐标轴有三个交点，则的取值范围是（ ）
A．且 B． C． D．
【答案】A
【详解】
∵函数y=x2-2x+b的图象与坐标轴有三个交点，
∴，
解得b＜1且b≠0．
故选A．
【针对训练】
1．（2018·贵州中考真题）已知二次函数y=﹣x2+x+6及一次函数y=﹣x+m，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数（如图所示），请你在图中画出这个新图象，当直线y=﹣x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围是（ ）
A．﹣＜m＜3 B．﹣＜m＜2 C．﹣2＜m＜3 D．﹣6＜m＜﹣2
【答案】D
【详解】
如图，当y=0时，﹣x2+x+6=0，解得x1=﹣2，x2=3，则A（﹣2，0），B（3，0），
将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为y=（x+2）（x﹣3），
即y=x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3），
当直线y=﹣x+m经过点A（﹣2，0）时，2+m=0，解得m=﹣2；
当直线y=﹣x+m与抛物线y=x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3）有唯一公共点时，方程x2﹣x﹣6=﹣x+m有相等的实数解，解得m=﹣6，
所以当直线y=﹣x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围为﹣6＜m＜﹣2，
故选D．
2．（2019·四川省中考真题）已知函数的图象如图所示，若直线与该图象恰有两个不同的交点，则的取值范围为_____．
【答案】
【详解】
解：直线与该图象恰有三个不同的交点，
则直线与有一个交点，
∴，
∵与有两个交点，
∴，
，
∴，
∴；
故答案为．
3．（2019·四川省中考真题）当时，直线与抛物线有交点，则a的取值范围是_______．
【答案】
【详解】
解:法一：与抛物线有交点
则有，整理得
解得
，对称轴
法二：由题意可知，
∵抛物线的 顶点为，而
∴抛物线y的取值为
，则直线y与x轴平行，
∴要使直线与抛物线有交点，
∴抛物线y的取值为，即为a的取值范围，
∴
故答案为：
4．（2018·四川省中考真题）已知函数使成立的的值恰好只有个时，的值为_____.
【答案】2
【详解】
函数的图象如图：
根据图象知道当y＝2时，对应成立的x值恰好有三个，
∴a＝2．
故答案：2．
5．（2017·湖北省中考真题）如图，直线与抛物线交于两点，则关于的不等式的解集是 ．
【答案】x＜﹣1或x＞4．
【详解】
观察函数图象可知：当x＜﹣1或x＞4时，直线y=mx+n在抛物线y=ax2+bx+c的上方，所以不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集为x＜﹣1或x＞4．
6．（2017·湖北省中考真题）已知关于x的一元二次方程x2+（k﹣5）x+1﹣k=0（其中k为常数）.
（1）求证无论k为何值，方程总有两个不相等实数根；
（2）已知函数y=x2+（k﹣5）x+1﹣k的图象不经过第三象限，求k的取值范围；
（3）若原方程的一个根大于3，另一个根小于3，求k的最大整数值.
【答案】(1)证明见解析；（2）k≤1；（3）2.
【详解】
（1）证明：∵△=（k﹣5）2﹣4（1﹣k）=k2﹣6k+21=（k﹣3）2+12＞0，∴无论k为何值，方程总有两个不相等实数根；
（2）解：∵二次函数的图象不经过第三象限，∵二次项系数a=1，∴抛物线开口方向向上，∵△=（k﹣3）2+12＞0，∴抛物线与x轴有两个交点，设抛物线与x轴的交点的横坐标分别为x1，x2，∴x1+x2=5﹣k＞0，x1x2=1﹣k≥0，解得k≤1，即k的取值范围是k≤1；
（3）解：设方程的两个根分别是x1，x2，根据题意，得（x1﹣3）（x2﹣3）＜0，即x1x2﹣3（x1+x2）+9＜0，又x1+x2=5﹣k，x1x2=1﹣k，代入得，1﹣k﹣3（5﹣k）+9＜0，解得k＜．则k的最大整数值为2．
7．（2015·浙江省中考真题）已知抛物线y=（x﹣m）2﹣（x﹣m），其中m是常数．
（1）求证：不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；
（2）若该抛物线的对称轴为直线x=．
①求该抛物线的函数解析式；
②把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点．
【答案】（1）详见解析；（2）①抛物线解析式为y=x2﹣5x+6；②.
【详解】
（1）y=（x-m）2-（x-m）=x2-（2m+1）x+m2+m，
∵△=（2m+1）2-4（m2+m）=1＞0，
∴不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；
（2）①∵x=-，
∴m=2，
∴抛物线解析式为y=x2-5x+6；
②设抛物线沿y轴向上平移k个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点，则平移后抛物线解析式为y=x2-5x+6+k，
∵抛物线y=x2-5x+6+k与x轴只有一个公共点，
∴△=52-4（6+k）=0，
∴k=，
即把该抛物线沿y轴向上平移个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点．
8．（2016·黑龙江省中考真题）自主学习，请阅读下列解题过程．
解一元二次不等式：＞0．
解：设=0，解得：=0，=5，则抛物线y=与x轴的交点坐标为（0，0）和（5，0）．画出二次函数y=的大致图象（如图所示），由图象可知：当x＜0，或x＞5时函数图象位于x轴上方，此时y＞0，即＞0，所以，一元二次不等式＞0的解集为：x＜0或x＞5．
通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题：
（1）上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的 和 ．（只填序号）
①转化思想 ②分类讨论思想 ③数形结合思想
（2）一元二次不等式＜0的解集为 ．
（3）用类似的方法解一元二次不等式：＞0．
【答案】（1）①，③；（2）0＜x＜5；（3）x＜﹣1或x＞3．
【详解】
（1）上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的①和③；
故答案为①③；
（2）由图象可知：当0＜x＜5时函数图象位于x轴下方，此时y＜0，即＜0，∴一元二次不等式＜0的解集为：0＜x＜5；
故答案为0＜x＜5．
（3）设=0，解得：=3，=﹣1，∴抛物线y=与x轴的交点坐标为（3，0）和（﹣1，0）．
画出二次函数y=的大致图象（如图所示），由图象可知：当x＜﹣1，或x＞3时函数图象位于x轴上方，此时y＞0，即＞0，∴一元二次不等式＞0的解集为：x＜﹣1或x＞3．
9．（2019·陕西初三）如图1，二次函数y＝ax2﹣3ax+c的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点c直线y＝﹣x+4经过点B、C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）过点A的直线y＝kx+k交抛物线于点M，交直线BC于点N，连接AC，当直线y＝kx+k平分△ABC的面积，求点M的坐标；
（3）如图2，把抛物线位于x轴上方的图象沿x轴翻折，当直线y＝kx+k与翻折后的整个图象只有三个交点时，求k的取值范围．
【答案】（1）y＝﹣x2+3x+4；（2）M(，)；（3）k的取值范围是﹣5＜k＜0．
【详解】
（1）由直线y＝﹣x+4知，点B、C的坐标分别为（4，0）、（0，4），
把点B、C的坐标分别为（4，0）、（0，4），
代入y＝ax2﹣3ax+c，得解得
∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3x+4
（2）由y＝﹣x2+3x+4，求得A（﹣1，0）
过点N作NG⊥AB于G，
∵直线y＝kx+k平分△ABC的面积，
∴，
∴当x＝2时，2＝﹣x+4，∴x＝2
∴N（2，2）
把N（2，2）代入y＝kx+k，得，
∴直线AM的解析式为，
由解得
∴
（3）翻折部分的函数表达式是
当直线y＝kx+k与翻折后的图象只有一个交点时，
由，得x2﹣3x﹣4＝kx+k，
整理，得x2﹣（k+3）x﹣（k+4）＝0
△＝[﹣（k+3）]2﹣4×[﹣（k+4）]＝k2+10k+25＝0
解得k1＝k2＝﹣5
∴当直线y＝kx+k与翻折后的整个图象只有三个交点时，k的取值范围是﹣5＜k＜0．
考法4利用函数中系数的特殊几何意义解题
题型1：反比例函数K值几何意义
【解题策略】
反比例函数的比例系数k具有一定的几何意义,|k|等于反比例函数图象上任意一点向两坐标轴所作垂线段与两坐标轴所围成的矩形的面积．利用k值几何意义构图，以形助数，解决反比函数求k值是一种极为重要的数形结合思想，与 k 相关的面积问题的基本图形如下：
【典例精析】
例题1．（2020·山东初三期末）如图，为反比例函数(x>0)图象上的一点，在轴正半轴上有一点，.连接，，且.
(1)求的值；
(2)过点作，交反比例函数(x>0)的图象于点，连接交于点，求的值.
【答案】(1)k=12；(2).
【详解】
解：
(1)过点作交轴于点，交于点.
(2)
【针对训练】
1．（2019·重庆中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A点，D点分别在x轴、y轴上，对角线BD∥x轴，反比例函数的图象经过矩形对角线的交点E，若点A(2，0)，D(0，4)，则k的值为（ ）
A．16 B．20 C．32 D．40
【答案】B
【详解】
解：∵BD//x轴，D（0，4），
∴B、D两点纵坐标相同，都为4，
∴可设B（x，4）.
∵矩形ABCD的对角线的交点为E，.
∴E为BD中点，∠DAB=90°.
∴E（x，4）
∵∠DAB=90°，
∴AD2+AB2=BD2，
∵A（2，0），D（0，4），B（x，4），
∴22+42+（x-2）2+42=x2，解得x=10，
∴E（5，4）.
又∵反比例函数（k>0，x>0）的图象经过点E，
∴k=5×4=20；故选B.
2．（2019·福建中考真题）如图,菱形ABCD顶点A在例函数y=(x>0)的图象上，函数 y=(k>3，x>0)的图象关于直线AC对称，且经过点B、D两点，若AB＝2，∠DAB＝30°，则k的值为______.
【答案】6+2
【详解】
解：连接OC，AC过A作AE⊥x轴于点E，延长DA与x轴交于点F，过点D作DG⊥x轴于点G，
∵函数y＝（k＞3，x＞0）的图象关于直线AC对称，
∴O、A、C三点在同一直线上，且∠COE＝45°，
∴OE＝AE，
不妨设OE＝AE＝a，则A（a，a），
∵点A在在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴a2＝3，
∴a＝，
∴AE＝OE＝，
∵∠BAD＝30°，
∴∠OAF＝∠CAD＝∠BAD＝15°，
∵∠OAE＝∠AOE＝45°，
∴∠EAF＝30°，
∴AF＝＝2，EF＝AEtan30°＝1，
∵AB＝AD＝2，AE∥DG，
∴EF＝EG＝1，DG＝2AE＝2，
∴OG＝OE＋EG＝＋1，
∴D（＋1，2），
∴k=
故答案为：．
3．（2019·浙江中考真题）如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点，点在第一象限点在轴正半轴上，连结交反比例函数图象于点.为的平分线，过点作的垂线，垂足为，连结.若，的面积为8，则的值为________.
【答案】6
【详解】
连接OE，CE，过点A作AF⊥x轴，过点D作DH⊥x轴，过点D作DG⊥AF，
∵过原点的直线与反比例函数y=（k＞0）的图象交于A，B两点，
∴A与B关于原点对称，
∴O是AB的中点，
∵BE⊥AE，
∴OE=OA，
∴∠OAE=∠AEO，
∵AE为∠BAC的平分线，
∴∠DAE=∠AEO，
∴AD∥OE，
∴S△ACE=S△AOC，
∵AC=3DC，△ADE的面积为8，
∴S△ACE=S△AOC=12，
设点A（m，），
∵AC=3DC，DH∥AF，
∴3DH=AF，
∴D（3m，），
∵CH∥GD，AG∥DH，
∴△DHC∽△AGD，
∴S△HDC=S△ADG，
∵S△AOC=S△AOF+S梯形AFHD+S△HDC
=
=
=，
∴2k=12，
∴k=6；
故答案为6.
4．（2019·广东中考真题）如图，在中，，，点在上，且轴平分角，求______.
【答案】
【详解】
如图所示：作轴
由题意：可证
又∵
∴
令，则
∵轴平分
∴
∵轴
∴可证
则，即，解得：
∴
故.
5．（2020·山西）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形ABCD的顶点B在x轴的正半轴上，点A坐标为(-4,0)，点D的坐标为(-1,4)，反比例函数的图象恰好经过点C，则k的值为______.
【答案】16
【详解】
过点D作DH⊥x轴，垂足为H，则∠AHD=90°，
又∵D(-1，4)，
∴H(-1，0)，DH=4，
∵A(-4，0)，
∴AH=3，
∴AD==5，
∵四边形ABCD是菱形，
∴DC=AD=5，DC//AB，
∴C(4，4)，
∵反比例函数的图象恰好经过点C，
∴4=，
∴k=16，
故答案为16.
6．（2020·山东）如图，是反比例函数图象上的一点，过点向轴作垂线交于点，连接．若图中阴影部分的面积是，则此反比例函数的解析式为_____．
【答案】．
解：依据比例系数的几何意义可得，
面积等于，
即，
，
由于函数图象位于第一、三象限，则，
反比例函数的解析式为；
故答案为．
7．（2019·湖北中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，轴于点，反比例函数（）的图象与线段相交于点，且是线段的中点，点关于直线的对称点的坐标为，若的面积为3，则的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】D
【详解】
∵点C关于直线y=x的对称点C'的坐标为（1，n）（n≠1），
∴C（n，1），
∴OA=n，AC=1，
∴AB=2AC=2，
∵△OAB的面积为3，
∴n×2＝3，
解得，n=3，
∴C（3，1），
∴k=3×1=3．
故选：D．
8．（2019·湖北中考真题）已知反比例函数的图象分别位于第二、第四象限，、两点在该图象上，下列命题：①过点作轴，为垂足，连接.若的面积为3，则；②若，则；③若，则其中真命题个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【详解】
∵反比例函数的图象分别位于第二、第四象限，
∴k<0，
∵、两点在该图象上，
∴y1=，y2=，
∴x1y1=k，x2y2=k，
①过点作轴，为垂足，
∴S△AOC==，
∴，故①正确；
②若，则点A在第二象限，点B在第四象限，所以，故②正确；
③∵，
∴，故③正确，
题型2：二次函数a，b，c值几何意义
【解题策略】
此类题型主要考察二次函数中a，b，c值得几何意义。利用a，b，c值得几何意义画图，或者分析图形进行数形结合求解问题。
y=ax2+bx+c（a≠0） 系数 几何意义 图形关系
a 代表二次函数图像开口方向和大小。 |a|越大,抛物线开口越小 |a|越小,抛物线开口越大 a>0 开口向上 a<0 开口向下
b 决定抛物线的对称轴的位置. a,b同号,对称轴在y轴左侧 a,b异号,对称轴在y轴右侧 b=0,对称轴为y轴.
c 决定抛物线与y轴交点的位置. c>0,抛物线与y轴交于正半轴; c<0,抛物线与y轴交于负半轴; c=0,抛物线过原点.
【典例精析】
例题1．（2019·四川中考真题）如图，二次函数的图象与轴交于两点，，其中．下列四个结论：①；②；③；④，正确的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【详解】
解：①∵抛物线开口向上，∴，
∵抛物线对称轴在轴的右侧，∴，
∵抛物线与轴的交点在轴上方，∴，
∴，所以①正确；
②∵图象与轴交于两点，，其中，
∴，∴，
当时，，
∵当时，，
∴，∴，∴，故②正确；
③当时，值为，给乘以4，即可化为，
∵当时，由图象可知在和x1之间为正值，当时，在和x1之间为负值，∴与0的关系不能确定，故③错误；
④∵，∴，∴，
即，∴，
∵，，∴，
∴，即.
所以④正确．
综上，正确的是①②④，共3个，故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与系数关系，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
【针对训练】
1．（2019·四川中考真题）初三期中）如图，二次函数的图象经过点，，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．图象的对称轴是直线
【答案】D
【详解】
由图象可知图象与y轴交点位于y轴正半轴，故c>0. A选项错误；
函数图象与x轴有两个交点，所以＞0，B选项错误；
观察图象可知x＝－1时y=a－b＋c＞0，所以a－b＋c＞0，C选项错误；
根据图象与x轴交点可知，对称轴是（1,0）.（5,0）两点的中垂线，，
x＝3即为函数对称轴，D选项正确；
故选D
2．（2019·天津中考真题）二次函数（是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如下表：
… 0 1 2 …
… …
且当时，与其对应的函数值．有下列结论：①；②和3是关于的方程的两个根；③．其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【详解】
∵由表格可知当x=0和x=1时的函数值相等都为-2
∴抛物线的对称轴是：x=-=；
∴a、b异号，且b=-a；
∵当x=0时y=c=-2
∴c
∴abc0，故①正确；
∵根据抛物线的对称性可得当x=-2和x=3时的函数值相等都为t
∴和3是关于的方程的两个根；故②正确；
∵b=-a，c=-2
∴二次函数解析式：
∵当时，与其对应的函数值．
∴，∴a；
∵当x=-1和x=2时的函数值分别为m和n，
∴m=n=2a-2，
∴m+n=4a-4；故③错误
故选：C．
3．（2019·福建中考真题）如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，对于下列说法：①ac＞0，②2a+b＞0，③4ac＜b2，④a+b+c＜0，⑤当x＞0时，y随x的增大而减小，其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．③④⑤
【答案】C
【详解】
解：①由图象可知：a＞0，c＜0，
∴ac＜0，故①错误；
②由于对称轴可知：＜1，
∴2a+b＞0，故②正确；
③由于抛物线与x轴有两个交点，
∴△＝b2﹣4ac＞0，故③正确；
④由图象可知：x＝1时，y＝a+b+c＜0，
故④正确；
⑤当x＞时，y随着x的增大而增大，故⑤错误；
故选：C．
4．（2019·福建）二次函数的图象如图所示，下列结论中正确的是( )
①
②
③
④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【详解】
解：由函数图象可知，对称轴，图象与y轴的交点，函数与x轴有两个不同的交点，
∴，；③错误
；②错
；①错误
当时，，即；
当时，，即；
∴，即；
∴只有④是正确的；
故选：A．
题型3：一次函数k，b值几何意义
【解题策略】
y=kx+b （k≠0） 系数 几何意义 图形关系
k k值称为斜率，其代表一次函数图像倾斜程度及倾斜方向，|k|越大,直线倾斜程度越大。 |k|=tanα α为一次函数直线与X轴的夹角。 k>0 图像经过一三象限 k<0 图像经过二四象限
b 决定直线与y轴交点的位置. b>0，一次函数直线交y轴于正半轴 b<0，一次函数直线交y轴于负半轴
Tips：（1）两条一次函数直线相互垂直时，k1*k2=-1
（2）两条一次函数直线相互平行则有k1=k2
【典例精析】
例题1．（2018·贵州中考真题）一次函数y=kx﹣1的图象经过点P，且y的值随x值的增大而增大，则点P的坐标可以为（ ）
A．（﹣5，3） B．（1，﹣3） C．（2，2） D．（5，﹣1）
【答案】C
【详解】∵一次函数y=kx﹣1的图象的y的值随x值的增大而增大，
∴k＞0，
A、把点（﹣5，3）代入y=kx﹣1得到：k=﹣＜0，不符合题意；
B、把点（1，﹣3）代入y=kx﹣1得到：k=﹣2＜0，不符合题意；
C、把点（2，2）代入y=kx﹣1得到：k=＞0，符合题意；
D、把点（5，﹣1）代入y=kx﹣1得到：k=0，不符合题意，
故选C．
【点睛】考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，根据题意求得k＞0是解题的关键．
【针对训练】
1．（2019·辽宁中考真题）若且，则函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
解：∵，且，
∴a＞0，b＜0.
∴函数的图象经过第一、三、四象限．
故选：A．
2．（2020·全国初三单元测试）下列关于一次函数的说法，错误的是( )
A．图象经过第一、二、四象限
B．随的增大而减小
C．图象与轴交于点
D．当时，
【答案】D
【详解】
∵，
∴图象经过第一、二、四象限，
A正确；
∵，
∴随的增大而减小，
B正确；
令时，，
∴图象与轴的交点为，
∴C正确；
令时，，
当时，；
D不正确；
故选：D．
考法6 函数图像上点的高低及图像高低实际应用
【典例精析】
例题1．（2019·广东中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点，其中点的坐标为，点的坐标为.
（1）根据图象，直接写出满足的的取值范围；
（2）求这两个函数的表达式；
【答案】（1）或；（2），；
【详解】
(1)观察图象可知当或，k1x+b>；
(2)把代入，得，
∴，
∵点在上，∴，
∴，
把，代入得
，解得，
∴；
【针对训练】
1．（2019·天津中考真题）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
∵点，，都在反比例函数的图象上，
∴分别把x=-3、x=-2、x=1代入得，，
∴
故选：B
2．（2019·山东中考真题）在平面直角坐标系中，已知一次函数的图像经过，两点，若，则 .（填”>”，”<”或”=”）
【答案】.
试题分析：一次函数的增减性有两种情况：①当时，函数的值随x的值增大而增大；②当时，函数y的值随x的值增大而减小.
由题意得，函数的，故y的值随x的值增大而增大.
∵，∴.
3．（2019·江苏中考真题）若一次函数(为常数，且)的图象经过点，，则不等式的解为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
如下图图象，易得时，
故选D
4．（2019·湖南中考真题）如图，直线和与x轴分别交于点，点，则解集为( )
A． B． C．或 D．
【答案】D
【详解】
解：∵直线和与x轴分别交于点，点，
∴解集为，
故选：D．
5．（2019·重庆中考真题）在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式——利用函数图象研究其性质一一运用函数解决问题＂的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象．同时，我们也学习了绝对值的意义．结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题在函数中，当时，当时，
（1）求这个函数的表达式；
（2）在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法画出这个函数的图象井并写出这个函数的一条性质；
（3）已知函的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集．
【答案】（1）；（2）见解析，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小；（3）.
【详解】
解：（1）由题意，可得
∴函数的解析式为：
（2）
当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小；
（3）；
6．（2019·福建中考真题）若二次函数y=|a|x2+bx+c的图象经过A(m,n)、B(0,y1)、C(3－m,n)、D(, y2)、E(2,y3)，则y1、y2、y3的大小关系是( ).
A．y1< y2< y3 B．y1 < y3< y2 C．y3< y2< y1 D．y2< y3< y1
【答案】D
【详解】
解答：解：∵经过A（m，n）、C（3?m，n），
∴二次函数的对称轴x＝，
∵B（0，y1）、D（，y2）、E（2，y3）与对称轴的距离B最远，D最近，
∵|a|＞0，
∴y2< y3< y1；
故选：D．
微专题一 数形结合思想
方法指导
数形结合的思想方法在数学教学中具有十分重要的意义，运用这种思想方法去解决数学问题，常常可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化。一般说来，把几何问题转化为代数问题，把数量关系问题转化为图形性质问题，从而化难为易，这是数形结合的数学思想方法的具体运用。
核心内容
此类数形结合命题主以两类思想为主，第一类型思想是以数助形，借助建立平面直角坐标系把几何问题代数化求解，第二类题型以形助数，利用所求代数几何意义，把代数问题几何化解题。
考法1 利用线段长与点坐标关系的数形结合
考法指导
利用平面直角坐标系中,点的坐标与线段长的三种关系，把几何问题代数化，从而求解面积，线段长等问题。
A（x1，y1），B（x2，y2），当AB直线平行于x轴或者在X轴时。上两点之间的距离为|X1_X2|.即AB线段长为|x1_x2|。
A（x1，y1），B（x2，y2），当AB直线平行于y轴或者在y轴上时，A,B两点之间的距离为|y1_y2|，即AB线段长为|y1-y2|。
A（x1，y1），B（x2，y2），当A,B为平面上任意两点时，有平面上任意点之间的距离公式
另外中点公式的应用也是此类考题的考点。若A（x1，y1），B（x2，y2），点C为线段AB的中点，则点C的坐标为（，）。
题型1：已知点坐标及函数解析式，求解线段长及其最值（以数助形）
【典例精析】
例题1．（2019·河北中考真题）勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了A，B，C三地的坐标，数据如图（单位：km）．笔直铁路经过A，B两地．
（1）A，B间的距离为______km；
（2）计划修一条从C到铁路AB的最短公路l，并在l上建一个维修站D，使D到A，C的距离相等，则C，D间的距离为______km．
【针对训练】
1．（2019·辽宁中考真题）如图，抛物线与x轴相交于两点，与轴相交于点，点在抛物线上，且．与轴相交于点，过点的直线平行于轴，与拋物线相交于两点，则线段的长为_____．
2．（2019·贵州省中考真题）如图，抛物线与直线分别相交于，两点，且此抛物线与轴的一个交点为，连接，．已知，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线对称轴上找一点，使的值最大，并求出这个最大值；
3．（2019·内蒙初三期末）如图，抛物线y=x2+bx+c与直线y=x+3交于A，B两点，交x轴于C、D两点，连接AC、BC，已知A（0，3），C（﹣3，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线对称轴l上找一点M，使|MB﹣MD|的值最大，并求出这个最大值；
4．（2019·湖北中考模拟）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（4，0），C（0，3）三点，D为直线BC上方抛物线上一动点，DE⊥BC于E．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，求线段DE长度的最大值；
5．（2019·江西省初三期中）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC交于点M，连接PC
①求线段PM的最大值；
题型2：已知线段长及关系，求解点坐标及函数解析式（以形助数）
【典例精析】
例题1．（2019·四川中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，，，则对角线交点的坐标为( )
A． B． C． D．
【针对训练】
1．（2019·陕西中考真题）如图，D是矩形AOBC的对称中心，A(0,4)，B（6，0），若一个反比例函数的图象经过点D，交AC于点M，则点M的坐标为___.
2．（2019·江苏省中考真题）如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，D为顶点，其中点B的坐标为，点D的坐标为．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）点E是线段BD上的一点，过点E作x轴的垂线，垂足为F，且，求点E的坐标．
3．（2019·青海中考真题）如图1（注：与图2完全相同），在直角坐标系中，抛物线经过点三点,,．
（1）求抛物线的解析式和对称轴；
（2）是抛物线对称轴上的一点，求满足的值为最小的点坐标（请在图1中探索）；
4．（2019·辽宁中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边交轴于点，轴，反比例函数的图象经过点，点的坐标为，．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）点为轴上一动点，当的值最小时，求出点的坐标．
5．（2020·安徽）如图，平面直角坐标系中，矩形的边分别在轴，轴上，点的坐标为，点在矩形的内部，点在边上，满足∽，当是等腰三角形时，点坐标为_____．
6．（2019·天津中考真题）已知抛物线（为常数，）经过点，点是轴正半轴上的动点．
（Ⅰ）当时，求抛物线的顶点坐标；
（Ⅱ）点在抛物线上，当，时，求的值；
（Ⅲ）点在抛物线上，当的最小值为时，求的值．
7．（2020·全国初三）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，，连接，以为边向上作等边三角形．
（1）求点的坐标；
（2）求线段所在直线的解析式．
8．（2019·上海中考真题）在平面直角坐标系xoy中（如图），已知一次函数的图像平行于直线，且经过点A（2，3），与x轴交于点B。
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）设点C在y轴上，当AC＝BC时，求点C的坐标。
题型3：线段长及关系与点坐标及函数解析式（数形综合）
【典例精析】
例题1．（2019·福建中考真题）在平面直角坐标系xOy中，□OABC的三个顶点O(0,0)、A(3,0) 、 B(4,2),则其第四个顶点是_______.
【针对训练】
1．（2019·四川中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数(且)的图象在第一象限交于点、，且该一次函数的图象与轴正半轴交于点，过、分别作轴的垂线，垂足分别为、．已知，．
(1)求的值和反比例函数的解析式；
(2)若点为一次函数图象上的动点，求长度的最小值．
2．（2019·辽宁中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，点在的延长线上，轴，垂足为，与反比例函数的图象相交于点，连接，．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）若，设点的坐标为，求线段的长．
3．（2018·贵州中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A是反比例函数y=（x＞0，m＞1）图象上一点，点A的横坐标为m，点B（0，﹣m）是y轴负半轴上的一点，连接AB，AC⊥AB，交y轴于点C，延长CA到点D，使得AD=AC，过点A作AE平行于x轴，过点D作y轴平行线交AE于点E．
（1）当m=3时，求点A的坐标；
（2）DE= ，设点D的坐标为（x，y），求y关于x的函数关系式和自变量的取值范围；
题型4：已知点坐标及函数解析式，求面积及其最值（以数助形）
【解题策略】
此类题型解题核心是利用铅锤分割法，或者其他割补法把求面积问题转化为求线段或者求线段长的最值问题。
铅锤分割法介绍：
二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与x轴交于A(－3, 0)、B(1, 0)两点，与y轴交于点C(0,－3m)（m＞0），顶点为D．
（1）求该二次函数的解析式（系数用含m的代数式表示）；
（2）如图1，当m＝2时，点P为第三象限内抛物线上的一个动点，设△APC的面积为S，试求出S与点P的横坐标x之间的函数关系式及S的最大值；
（3）如图2，当m取何值时，以A、D、C三点为顶点的三角形与△OBC相似？
图1 图2
第（2）题还可以这样割补：
如图6，过点P作x轴的垂线与AC交于点H．
由直线AC：y＝－2x－6，可得H(x,－2x－6)．
又因为P(x, 2x2＋4x－6)，所以HP＝－2x2－6x．
因为△PAH与△PCH有公共底边HP，高的和为A、C两点间的水平距离3，所以
S＝S△APC＝S△APH＋S△CPH
＝(－2x2－6x)
＝． 图6
这种分割方法称之为铅锤分割法。
【典例精析】
例题1．（2019·甘肃中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，与轴相交于点．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）若点与点关于轴对称，求的面积；
【针对训练】
1．（2019·甘肃中考真题）如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）、B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点E是二次函数第四象限图象上一点，过点E作x轴的垂线，交直线BC于点D，求四边形AEBD面积的最大值及此时点E的坐标．
2．（2019·海南中考真题）如图，已知抛物线经过，两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连结CD．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点P为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），设点P的横坐标为t．
①当点P在直线BC的下方运动时，求的面积的最大值；
3．（2019·四川中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数和的图象相交于点，反比例函数的图象经过点.
（1）求反比例函数的表达式；
（2）设一次函数 的图象与反比例函数 的图象的另一个交点为，连接，求的面积.
4．（2019·辽宁中考真题）如图，在平面直角坐标系中，的边在轴上，，以为顶点的抛物线经过点，交y轴于点，动点在对称轴上．
（1）求抛物线解析式；
（2）若点从点出发，沿方向以1个单位/秒的速度匀速运动到点停止，设运动时间为秒，过点作交于点，过点平行于轴的直线交抛物线于点，连接，当为何值时，的面积最大？最大值是多少？
题型5：已知面积及最值，列方程求点坐标及函数解析式（以形助数）
【典例精析】
例题1．（2019·山西中考真题）综合与探究
如图，抛物线经过点A(-2,0)，B(4,0)两点，与轴交于点C，点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为.连接AC，BC，DB，DC，
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)△BCD的面积等于△AOC的面积的时，求的值；
【针对训练】
1．（2019·湖北省中考真题）如图，抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点A（0，2），对称轴为直线x=﹣2，平行于x轴的直线与抛物线交于B、C两点，点B在对称轴左侧，BC=6．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）点P在x轴上，直线CP将△ABC面积分成2：3两部分，请直接写出P点坐标．
2．（2019·广东中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点，其中点的坐标为，点的坐标为.
（1）求这两个函数的表达式；
（2）点在线段上，且，求点的坐标.
3．（2019·山东省中考真题）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，P为抛物线上在第二象限内的一点，若△PAC面积为3，求点P的坐标；
题型6：点坐标及函数解析式与锐角三角函数的数形结合
【解题策略】
此类题型的解题核心是根据锐角三角函数的定义求算，其实质就是线段的比值问题，通过构建直角三角形，把求三角函数问题转化为求线段值问题，在利用坐标与线段长关系，数形结合求解问题。
【典例精析】
例题1．（2019·江苏中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数图象的顶点坐标为，该图象与轴相交于点、，与轴相交于点，其中点的横坐标为1．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）求．
【针对训练】
1．（2019·辽宁省中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交点C，抛物线过A，C两点，与x轴交于另一点B．
（1）求抛物线的解析式．
（2）在直线AC上方的抛物线上有一动点E，连接BE，与直线AC相交于点F，当时，求的值．
2．（2019·重庆中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴上，点，．若反比例函数经过点C，则k的值等于（ ）
A．10 B．24 C．48 D．50
3．（2019·湖北省中考真题）如图，抛物线的图象经过点C(0，-2)，顶点D的坐标为（1，），与轴交于A、B两点.
（1）求抛物线的解析式.
（2）连接AC，E为直线AC上一点，当△AOC∽△AEB时，求点E的坐标和的值.
4．（2019·四川省中考真题）如图1，已知抛物线过点．
（1）求抛物线的解析式及其顶点C的坐标；
（2）设点D是x轴上一点，当时，求点D的坐标；
5．（2019·四川省中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像在第二象限交于点，与轴交于点，点在轴上，满足条件：，且，点的坐标为，。
（1）求反比例函数的表达式；
（2）直接写出当时，的解集。
题型7：存在性问题
【解题策略】
此类题型的解题策略在于假设逆推的逻辑审题，把存在性问题转化为满足条件的方程问题解题。例如若点P为抛物线上的一点，点F为对称轴上的一点，且以点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标。解题时假设此时四边形ABPF已经是平行四边形，利用对边相等的性质，得到线段关系，从而转化为已知线段长关系，利用坐标公式等列方程解题的思路求解问题。
7.1存在性平行四边形及特殊平行四边形问题
【典例精析】
例题1．（2019·山东中考真题）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣3）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若以点A为圆心的圆与直线BC相切于点M，求切点M的坐标；
（3）若点Q在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【针对训练】
1．（2019·甘肃中考真题）如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）、B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点P为抛物线上的一点，点F为对称轴上的一点，且以点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；
2．（2019·青海中考真题）如图1（注：与图2完全相同），在直角坐标系中，抛物线经过点三点,,．
（1）求抛物线的解析式和对称轴；
（2）在第四象限的抛物线上是否存在点，使四边形是以为对角线且面积为的平行四边形？若存在，请求出点坐标，若不存在请说明理由.（请在图2中探索）
3．（2018·贵州中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A是反比例函数y=（x＞0，m＞1）图象上一点，点A的横坐标为m，点B（0，﹣m）是y轴负半轴上的一点，连接AB，AC⊥AB，交y轴于点C，延长CA到点D，使得AD=AC，过点A作AE平行于x轴，过点D作y轴平行线交AE于点E．
（1）当m=3时，求点A的坐标；
（2）连接BD，过点A作BD的平行线，与（2）中的函数图象交于点F，当m为何值时，以A、B、D、F为顶点的四边形是平行四边形？
4．（2019·辽宁中考真题）如图，在平面直角坐标系中，的边在轴上，，以为顶点的抛物线经过点，交y轴于点，动点在对称轴上．
（1）求抛物线解析式；
（2）若点是平面内的任意一点，在轴上方是否存在点，使得以点为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由．
5．（2019·山西中考真题）综合与探究
如图，抛物线经过点A(-2,0)，B(4,0)两点，与轴交于点C，点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为.连接AC，BC，DB，DC，
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)△BCD的面积等于△AOC的面积的时，求的值；
(3)在(2)的条件下，若点M是轴上的一个动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M,使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
7.2存在性面积问题
【典例精析】
例题1．（2019·江苏省中考真题）如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，D为顶点，其中点B的坐标为，点D的坐标为．
（1）求该二次函数的表达式；
（3）试问在该二次函数图象上是否存在点G，使得的面积是的面积的？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
【针对训练
1．（2019·山东中考真题）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点、．
(1)求、满足的关系式及的值．
(2)当时，若的函数值随的增大而增大，求的取值范围．
(3)如图，当时，在抛物线上是否存在点，使的面积为1？若存在，请求出符合条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由．
7.3存在性三角形全等、相似问题
【典例精析】
例题1．（2019·贵州省中考真题）如图，抛物线与直线分别相交于，两点，且此抛物线与轴的一个交点为，连接，．已知，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点为轴右侧抛物线上一动点，连接，过点作交轴于点，问：是否存在点使得以，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【针对训练】
1．（2019·陕西中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线L：经过点A（-3，0）和点B（0，-6），L关于原点O对称的抛物线为.
（1）求抛物线L的表达式；
（2）点P在抛物线上，且位于第一象限，过点P作PD⊥y轴，垂足为D.若△POD与△AOB相似，求符合条件的点P的坐标.
2．（2019·山东中考真题）如图，以D为顶点的抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，直线BC的表达式为y=﹣x+3．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在x轴上是否存在一点Q，使得以A、C、Q为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（2019·辽宁省中考真题）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点是轴负半轴上的一点，且，点在对称轴右侧的抛物线上运动，连接，与抛物线的对称轴交于点，连接，当平分时，求点的坐标．
（3）直线交对称轴于点，是坐标平面内一点，请直接写出与全等时点的坐标．
7.4存在性角相等问题
【典例精析】
例题1．（2019·海南中考真题）如图，已知抛物线经过，两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连结CD．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点P为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），设点P的横坐标为t．
①当点P在直线BC的下方运动时，求的面积的最大值；
②该抛物线上是否存在点P，使得若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【针对训练】
1．（2019·内蒙古自治区中考真题）如图，直线与轴、轴分别交于两点，抛物线经过点，与轴另一交点为，顶点为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在轴上找一点，使的值最小，求的最小值；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．
2．（2019·天津中考真题）如图，已知点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，1）在抛物线y=ax2+bx+c上．
（1）求抛物线解析式；
（2）在直线BC上方的抛物线上求一点P，使△PBC面积为1；
（3）在x轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点Q，使∠BQC=∠BAC？若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由．
考法2 点在直线上与三点共线
考法指导
利用点在直线上的思想，来证明几何三点共线问题，其具体做法是先求出任意两点的直线解析式，把第三点坐标带入上述解析式，若方程无解，则三点不共线，若方程有解则三点共线。
【典例精析】
例题1．（2019·福建中考真题）已知抛物y=ax2+bx+c(b<0)与轴只有一个公共点.
(1)若公共点坐标为(2，0)，求a、c满足的关系式；
(2)设A为抛物线上的一定点，直线l：y=kx+1－k与抛物线交于点B、C两点，直线BD垂直于直线y=－1,垂足为点D.当k＝0时，直线l与抛物线的一个交点在?y轴上，且△ABC为等腰直角三角形.
①求点A的坐标和抛物线的解析式；
②证明：对于每个给定的实数?k，都有A、D、C三点共线.
【针对训练】
1．（2019·福建初三月考）已知点A（-2，1），B（0，4），C（8，16），O（0，0），P（m，n），抛物线y=ax2（a≠0）经过A，B，C，其中的一点，
（1）求抛物线y=ax2（a≠0）的解析式；
（2）若直线y=mx（m≠0）与直线y=nx（n≠0）分别经过点A与点C，判断点P（m，n）是否在反比例函数y=-的图象上；
（3）若点P（m，n）是反比例函数y=-的图象上任一点，且直线y=mx（m≠0）与直线y=nx（n≠0）分别与抛物线y=ax2（a≠0）交于点M，点N（不同于原点），求证：M，B，N三点在一条直线上．
2．（2016·山东中考真题）已知，点M是二次函数y=ax2（a＞0）图象上的一点，点F的坐标为（0，），直角坐标系中的坐标原点O与点M，F在同一个圆上，圆心Q的纵坐标为．
（1）求a的值；
（2）当O，Q，M三点在同一条直线上时，求点M和点Q的坐标；
（3）当点M在第一象限时，过点M作MN⊥x轴，垂足为点N，求证：MF=MN+OF．
考法3 利用函数图像交点与方程根的个数
考法指导
利用两条函数图像的交点个数，其本质上是两条函数联立方程后形成方程的根的个数这种数形结合的思想进行解题。例如一次函数y=kx+b（k≠0）与二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的交点个数就是两条函数联立方程的得到的一元二次方程ax2+（b-a）x+（c-b）=0的根的个数：
当方程只有一个根时，说明此时一次函数与二次函数图像只有一个交点
当方程有两个不相等的根时，说明此时一次函数与二次函数图像有两个交点
当方程无解时，说明一次函数与二次函数图像没有交点
【典例精析】
例题1．（2017·江苏省中考真题）若函数的图象与坐标轴有三个交点，则的取值范围是（ ）
A．且 B． C． D．
【针对训练】
1．（2018·贵州中考真题）已知二次函数y=﹣x2+x+6及一次函数y=﹣x+m，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数（如图所示），请你在图中画出这个新图象，当直线y=﹣x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围是（ ）
A．﹣＜m＜3 B．﹣＜m＜2 C．﹣2＜m＜3 D．﹣6＜m＜﹣2
2．（2019·四川省中考真题）已知函数的图象如图所示，若直线与该图象恰有两个不同的交点，则的取值范围为_____．
3．（2019·四川省中考真题）当时，直线与抛物线有交点，则a的取值范围是_______．
4．（2018·四川省中考真题）已知函数使成立的的值恰好只有个时，的值为_____.
5．（2017·湖北省中考真题）如图，直线与抛物线交于两点，则关于的不等式的解集是 ．
6．（2017·湖北省中考真题）已知关于x的一元二次方程x2+（k﹣5）x+1﹣k=0（其中k为常数）.
（1）求证无论k为何值，方程总有两个不相等实数根；
（2）已知函数y=x2+（k﹣5）x+1﹣k的图象不经过第三象限，求k的取值范围；
（3）若原方程的一个根大于3，另一个根小于3，求k的最大整数值.
7．（2015·浙江省中考真题）已知抛物线y=（x﹣m）2﹣（x﹣m），其中m是常数．
（1）求证：不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；
（2）若该抛物线的对称轴为直线x=．
①求该抛物线的函数解析式；
②把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点．
8．（2016·黑龙江省中考真题）自主学习，请阅读下列解题过程．
解一元二次不等式：＞0．
解：设=0，解得：=0，=5，则抛物线y=与x轴的交点坐标为（0，0）和（5，0）．画出二次函数y=的大致图象（如图所示），由图象可知：当x＜0，或x＞5时函数图象位于x轴上方，此时y＞0，即＞0，所以，一元二次不等式＞0的解集为：x＜0或x＞5．
通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题：
（1）上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的 和 ．（只填序号）
①转化思想 ②分类讨论思想 ③数形结合思想
（2）一元二次不等式＜0的解集为 ．
（3）用类似的方法解一元二次不等式：＞0．
9．（2019·陕西初三）如图1，二次函数y＝ax2﹣3ax+c的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点c直线y＝﹣x+4经过点B、C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）过点A的直线y＝kx+k交抛物线于点M，交直线BC于点N，连接AC，当直线y＝kx+k平分△ABC的面积，求点M的坐标；
（3）如图2，把抛物线位于x轴上方的图象沿x轴翻折，当直线y＝kx+k与翻折后的整个图象只有三个交点时，求k的取值范围．
考法4利用函数中系数的特殊几何意义解题
题型1：反比例函数K值几何意义
【解题策略】
反比例函数的比例系数k具有一定的几何意义,|k|等于反比例函数图象上任意一点向两坐标轴所作垂线段与两坐标轴所围成的矩形的面积．利用k值几何意义构图，以形助数，解决反比函数求k值是一种极为重要的数形结合思想，与 k 相关的面积问题的基本图形如下：
【典例精析】
例题1．（2020·山东初三期末）如图，为反比例函数(x>0)图象上的一点，在轴正半轴上有一点，.连接，，且.
(1)求的值；
(2)过点作，交反比例函数(x>0)的图象于点，连接交于点，求的值.
【针对训练】
1．（2019·重庆中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A点，D点分别在x轴、y轴上，对角线BD∥x轴，反比例函数的图象经过矩形对角线的交点E，若点A(2，0)，D(0，4)，则k的值为（ ）
A．16 B．20 C．32 D．40
2．（2019·福建中考真题）如图,菱形ABCD顶点A在例函数y=(x>0)的图象上，函数 y=(k>3，x>0)的图象关于直线AC对称，且经过点B、D两点，若AB＝2，∠DAB＝30°，则k的值为______.
3．（2019·浙江中考真题）如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点，点在第一象限点在轴正半轴上，连结交反比例函数图象于点.为的平分线，过点作的垂线，垂足为，连结.若，的面积为8，则的值为________.
4．（2019·广东中考真题）如图，在中，，，点在上，且轴平分角，求______.
5．（2020·山西）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形ABCD的顶点B在x轴的正半轴上，点A坐标为(-4,0)，点D的坐标为(-1,4)，反比例函数的图象恰好经过点C，则k的值为______.
6．（2020·山东）如图，是反比例函数图象上的一点，过点向轴作垂线交于点，连接．若图中阴影部分的面积是，则此反比例函数的解析式为_____．
7．（2019·湖北中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，轴于点，反比例函数（）的图象与线段相交于点，且是线段的中点，点关于直线的对称点的坐标为，若的面积为3，则的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
8．（2019·湖北中考真题）已知反比例函数的图象分别位于第二、第四象限，、两点在该图象上，下列命题：①过点作轴，为垂足，连接.若的面积为3，则；②若，则；③若，则其中真命题个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
题型2：二次函数a，b，c值几何意义
【解题策略】
此类题型主要考察二次函数中a，b，c值得几何意义。利用a，b，c值得几何意义画图，或者分析图形进行数形结合求解问题。
y=ax2+bx+c（a≠0） 系数 几何意义 图形关系
a 代表二次函数图像开口方向和大小。 |a|越大,抛物线开口越小 |a|越小,抛物线开口越大 a>0 开口向上 a<0 开口向下
b 决定抛物线的对称轴的位置. a,b同号,对称轴在y轴左侧 a,b异号,对称轴在y轴右侧 b=0,对称轴为y轴.
c 决定抛物线与y轴交点的位置. c>0,抛物线与y轴交于正半轴; c<0,抛物线与y轴交于负半轴; c=0,抛物线过原点.
【典例精析】
例题1．（2019·四川中考真题）如图，二次函数的图象与轴交于两点，，其中．下列四个结论：①；②；③；④，正确的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【针对训练】
1．（2019·四川中考真题）初三期中）如图，二次函数的图象经过点，，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．图象的对称轴是直线
2．（2019·天津中考真题）二次函数（是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如下表：
… 0 1 2 …
… …
且当时，与其对应的函数值．有下列结论：①；②和3是关于的方程的两个根；③．其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．（2019·福建中考真题）如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，对于下列说法：①ac＞0，②2a+b＞0，③4ac＜b2，④a+b+c＜0，⑤当x＞0时，y随x的增大而减小，其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．③④⑤
4．（2019·福建）二次函数的图象如图所示，下列结论中正确的是( )
①
②
③
④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
题型3：一次函数k，b值几何意义
【解题策略】
y=kx+b （k≠0） 系数 几何意义 图形关系
k k值称为斜率，其代表一次函数图像倾斜程度及倾斜方向，|k|越大,直线倾斜程度越大。 |k|=tanα α为一次函数直线与X轴的夹角。 k>0 图像经过一三象限 k<0 图像经过二四象限
b 决定直线与y轴交点的位置. b>0，一次函数直线交y轴于正半轴 b<0，一次函数直线交y轴于负半轴
Tips：（1）两条一次函数直线相互垂直时，k1*k2=-1
（2）两条一次函数直线相互平行则有k1=k2
【典例精析】
例题1．（2018·贵州中考真题）一次函数y=kx﹣1的图象经过点P，且y的值随x值的增大而增大，则点P的坐标可以为（ ）
A．（﹣5，3） B．（1，﹣3） C．（2，2） D．（5，﹣1）
【针对训练】
1．（2019·辽宁中考真题）若且，则函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2020·全国初三单元测试）下列关于一次函数的说法，错误的是( )
A．图象经过第一、二、四象限
B．随的增大而减小
C．图象与轴交于点
D．当时，
考法6 函数图像上点的高低及图像高低实际应用
【典例精析】
例题1．（2019·广东中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点，其中点的坐标为，点的坐标为.
（1）根据图象，直接写出满足的的取值范围；
（2）求这两个函数的表达式；
【针对训练】
1．（2019·天津中考真题）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
2．（2019·山东中考真题）在平面直角坐标系中，已知一次函数的图像经过，两点，若，则 .（填”>”，”<”或”=”）
3．（2019·江苏中考真题）若一次函数(为常数，且)的图象经过点，，则不等式的解为( )
A． B． C． D．
4．（2019·湖南中考真题）如图，直线和与x轴分别交于点，点，则解集为( )
A． B． C．或 D．
5．（2019·重庆中考真题）在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式——利用函数图象研究其性质一一运用函数解决问题＂的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象．同时，我们也学习了绝对值的意义．结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题在函数中，当时，当时，
（1）求这个函数的表达式；
（2）在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法画出这个函数的图象井并写出这个函数的一条性质；
（3）已知函的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集．
6．（2019·福建中考真题）若二次函数y=|a|x2+bx+c的图象经过A(m,n)、B(0,y1)、C(3－m,n)、D(, y2)、E(2,y3)，则y1、y2、y3的大小关系是( ).
A．y1< y2< y3 B．y1 < y3< y2 C．y3< y2< y1 D．y2< y3< y1
