微专题二 分类讨论思想
方法指导
在我们所遇到的数学问题中，有的问题条件、结论不明确,有的则图形不确定或题中含有参数等,有些问题的结论在解题中不能以统一的形式进行研究，把所有研究的问题根据题目的特点和要求，分成若干类，转化成若干个小问题来解决，这种按不同情况分类，然后再逐一研究解决的数学思想，称之为分类讨论思想。
核心内容
分类讨论以一下三个原则展开:
（1)标准同一性原则:每一次分类的标准必须是同一的.
(2)不遗漏原则:分类必须是完整的,不能出现遗漏.
(3)不重复原则:所有分类之间必须是互斥的.所分的各类别之间不能有交叉、重叠,一个对象只能归属于一类.
考法1 平行四边形中分类讨论
考法指导
在平行四边形的分类讨论中，典型的是近年来的存在性平行四边形问题，此类题型大多保证至少平行四边形有两个定点，问是否存在某点，使得四边形是平行四边形。此类问题分类基本以固定两点形成的线段是平行四边形的边，还是对角线从而展开分类讨论。完成此类问题只需理解下面三问即可：
1．已知A、B、C三点，以A、B、C、D为顶点的平行四边形有几个，怎么画？
2．在坐标平面内，如何理解平行四边形ABCD的对边AB与DC平行且相等？
3．在坐标平面内，如何理解平行四边形ABCD的对角线互相平分？
图1 图2 图3
如图1，过△ABC的每个顶点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生三个点D．此时做法就是以AB为边，则过点C，作CD’’∥AB或者CD’∥AB，或者以AB为对角线，过点A，B分别作AD∥BC，BD∥AC。
如图2，已知A(0, 3)，B(－2, 0)，C(3, 1)，如果四边形ABCD是平行四边形，怎样求点D的坐标呢？
点B先向右平移2个单位，再向上平移3个单位与点A重合，因为BA与CD平行且相等，所以点C(3, 1) 先向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到点D(5, 4)．
如图3，如果平行四边形ABCD的对角线交于点G，那么过点G画任意一条直线（一般与坐标轴垂直），点A、C到这条直线的距离相等，点B、D到这条直线的距离相等．
关系式xA＋xC＝xB＋xD和yA＋yC＝yB＋yD有时候用起来很方便．
【典例精析】
例题1．（2019·甘肃中考真题）如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）、B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点P为抛物线上的一点，点F为对称轴上的一点，且以点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；
（3）点E是二次函数第四象限图象上一点，过点E作x轴的垂线，交直线BC于点D，求四边形AEBD面积的最大值及此时点E的坐标．
【答案】（1）y＝x2﹣4x+3；（2）点P（4，3）或（0，3）或（2，﹣1）；（3）最大值为 ，E（，﹣）．
【详解】
解：（1）用交点式函数表达式得：y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3；
故二次函数表达式为：y＝x2﹣4x+3；
（2）①当AB为平行四边形一条边时，如图1，
则AB＝PE＝2，
则点P坐标为（4，3），
当点P在对称轴左侧时，即点C的位置，点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，
故：点P（4，3）或（0，3）；
②当AB是四边形的对角线时，如图2，
AB中点坐标为（2，0）
设点P的横坐标为m，点F的横坐标为2，其中点坐标为： ，
即：＝2，解得：m＝2，
故点P（2，﹣1）；
故：点P（4，3）或（0，3）或（2，﹣1）；
（3）直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，
设点E坐标为（x，x2﹣4x+3），则点D（x，﹣x+3），
S四边形AEBD＝AB（yD﹣yE）＝﹣x+3﹣x2+4x﹣3＝﹣x2+3x，
∵﹣1＜0，故四边形AEBD面积有最大值，
当x＝，其最大值为，此时点E（，﹣）．
【针对训练】
1．（2019·山西中考真题）综合与探究
如图，抛物线经过点A(-2,0)，B(4,0)两点，与轴交于点C，点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为.连接AC，BC，DB，DC，
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)△BCD的面积等于△AOC的面积的时，求的值；
(3)在(2)的条件下，若点M是轴上的一个动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M,使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)；(2)3；(3).
【详解】
(1)抛物线经过点A(-2,0)，B(4,0)，
∴，
解得，
∴抛物线的函数表达式为；
(2)作直线DE⊥轴于点E，交BC于点G，作CF⊥DE，垂足为F，
∵点A的坐标为(-2,0)，∴OA=2，
由，得，∴点C的坐标为(0,6)，∴OC=6，
∴S△OAC=，
∵S△BCD=S△AOC，
∴S△BCD =，
设直线BC的函数表达式为，
由B，C两点的坐标得，解得，
∴直线BC的函数表达式为，
∴点G的坐标为，
∴，
∵点B的坐标为(4,0)，∴OB=4，
∵S△BCD=S△CDG+S△BDG=，
∴S△BCD =，
∴，
解得(舍)，，
∴的值为3；
(3)存在，如下图所示，以BD为边或者以BD为对角线进行平行四边形的构图，
以BD为边时，有3种情况，
∵D点坐标为，∴点N点纵坐标为±，
当点N的纵坐标为时，如点N2，
此时，解得：(舍)，
∴，∴；
当点N的纵坐标为时，如点N3，N4，
此时，解得：
∴，，
∴，；
以BD为对角线时，有1种情况，此时N1点与N2点重合，
∵，D(3，)，
∴N1D=4，
∴BM1=N1D=4，
∴OM1=OB+BM1=8，
∴M1(8，0)，
综上，点M的坐标为：.
2．（2019·山东中考真题）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣3）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若以点A为圆心的圆与直线BC相切于点M，求切点M的坐标；
（3）若点Q在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）M（﹣，﹣）；（3）存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形，P的坐标为（1+，3）或（1﹣，3）或（2，﹣3）．
【详解】
（1）把A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣3）代入抛物线解析式得：，
解得：，
则该抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3；
（2）设直线BC解析式为y=kx﹣3，
把B（﹣1，0）代入得：﹣k﹣3=0，即k=﹣3，
∴直线BC解析式为y=﹣3x﹣3，
∴直线AM解析式为y=x+m，
把A（3，0）代入得：1+m=0，即m=﹣1，
∴直线AM解析式为y=x﹣1，
联立得：，
解得：，
则M（﹣，﹣）；
（3）存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形，
分两种情况考虑：
设Q（x，0），P（m，m2﹣2m﹣3），
当四边形BCQP为平行四边形时，由B（﹣1，0），C（0，﹣3），
根据平移规律得：﹣1+x=0+m，0+0=﹣3+m2﹣2m﹣3，
解得：m=1±，x=2±，
当m=1+时，m2﹣2m﹣3=8+2﹣2﹣2﹣3=3，即P（1+，3）；
当m=1﹣时，m2﹣2m﹣3=8﹣2﹣2+2﹣3=3，即P（1﹣，3）；
当四边形BCPQ为平行四边形时，由B（﹣1，0），C（0，﹣3），
根据平移规律得：﹣1+m=0+x，0+m2﹣2m﹣3=﹣3+0，
解得：m=0或2，
当m=0时，P（0，﹣3）（舍去）；当m=2时，P（2，﹣3），
综上，存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形，P的坐标为（1+，3）或（1﹣，3）或（2，﹣3）．
3．（2018·贵州中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A是反比例函数y=（x＞0，m＞1）图象上一点，点A的横坐标为m，点B（0，﹣m）是y轴负半轴上的一点，连接AB，AC⊥AB，交y轴于点C，延长CA到点D，使得AD=AC，过点A作AE平行于x轴，过点D作y轴平行线交AE于点E．
（1）当m=3时，求点A的坐标；
（2）DE= ，设点D的坐标为（x，y），求y关于x的函数关系式和自变量的取值范围；
（3）连接BD，过点A作BD的平行线，与（2）中的函数图象交于点F，当m为何值时，以A、B、D、F为顶点的四边形是平行四边形？
【答案】（1）点A坐标为（3，6）；（2）1，y=（x＞2）；（3）m=2时，以A、B、D、F为顶点的四边形是平行四边形．
【详解】（1）当m=3时，y=，
∴当x=3时，y=6，
∴点A坐标为（3，6）；
（2）如图，延长EA交y轴于点F，
∵DE∥x轴
∴∠FCA=∠EDA，∠CFA=∠DEA，
∵AD=AC，
∴△FCA≌△EDA，
∴DE=CF，
∵A（m，m2﹣m），B（0，﹣m），
∴BF=m2﹣m﹣（﹣m）=m2，AF=m，
∵Rt△CAB中，AF⊥x轴，
∴△AFC∽△BFA，
∴AF2=CF?BF，
∴m2=CF?m2，
∴CF=1，
∴DE=1，
故答案为：1；
由上面步骤可知，点E坐标为（2m，m2﹣m），
∴点D坐标为（2m，m2﹣m﹣1），
∴x=2m，
y=m2﹣m﹣1，
∴把m=代入y=m2﹣m﹣1，
∴y=（x＞2）；
（3）由题意可知，AF∥BD
当AD、BF为平行四边形对角线时，
由平行四边形对角线互相平分可得A、D和B、F的横坐标、纵坐标之和分别相等
设点F坐标为（a，b）
∴a+0=m+2m
b+（﹣m）=m2﹣m+m2﹣m﹣1
∴a=3m，b=2m2﹣m﹣1
代入y=，得
2m2﹣m﹣1=，
解得m1=2，m2=0（舍去）
当FD、AB为平行四边形对角线时，
同理设点F坐标为（a，b），
则a=﹣m，b=1﹣m，则F点在y轴左侧，由（2）可知，点D所在图象不能在y轴左侧
∴此情况不存在，
综上当m=2时，以A、B、D、F为顶点的四边形是平行四边形．
考法2 三角形中分类讨论
考法指导
三角形中分类讨论，主要分为以下三种题型：
1. 与等腰三角形有关的分类讨论
例如在求解典型的等腰三角形的存在性问题时，一般都要先分类．
在平面上有两定点B,C，问平面上是否存在一动点A，使得B,C.A三点构成图形是等腰三角形?
先根据三角形类别分为是直角，钝角，还是锐角三角形，后根据边不确定性分类，根据边不确定有两类做法：
（1）直接可以根据边分类讨论，讨论①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况．
（2）可以作图，①分别B,C两点为圆心，以BC长为半径画弧，弧上任意一点均满足条件。
②作BC线段的垂直平分线，垂直平分线上任意一点均可满足条件
解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．
几何法一般分三步：分类、画图、计算
如果△ABC的∠A（的余弦值）是确定的，夹∠A的两边AB和AC可以用含x的式子表示出来，那么就用几何法．
①如图1，如果AB＝AC，直接列方程；②如图2，如果BA＝BC，那么；③如图3，如果CA＝CB，那么．
代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．
如果三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含x的式子表示出来，那么根据两点间的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来．
图1 图2 图3
2:与直角三角形有关的分类讨论
解直角三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根．
一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股定理列方程．
有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便．
解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起．
如果直角边与坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造两个新的相似直角三角形，这样列比例方程比较简便．
如图1，已知A(3, 0)，B(1,－4)，如果直角三角形ABC的顶点C在y轴上，求点C的坐标．
我们可以用几何的方法，作AB为直径的圆，快速找到两个符合条件的点C．
如果作BD⊥y轴于D，那么△AOC∽△CDB．
设OC＝m，那么．
这个方程有两个解，分别对应图中圆与y轴的两个交点．
图1
3:与相似三角形有关的分类讨论
相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等．
判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验．
如果已知∠A＝∠D，探求△ABC与△DEF相似，只要把夹∠A和∠D的两边表示出来，按照对应边成比例，分和两种情况列方程．
应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等．
应用判定定理3解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）．
题型1：等腰三角形分类讨论
【典例精析】
例题1．（2019·黑龙江省中考真题）等腰中，，垂足为点，且，则等腰底角的度数为_______．
【答案】或或
【详解】
解：①如图1，点是顶点时，
，，
，
，
，
在中，；
②如图2，点是底角顶点，且在外部时，
，，
，
，
；
③如图3，点是底角顶点，且在内部时，
，，
，
，
；
故答案为：或或．
【针对训练】
1．（2019·四川省中考真题）一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程的一根，则此三角形的周长是（ ）
A．16 B．12 C．14 D．12或16
【答案】A
【详解】
解方程，得：或，
若腰长为3，则三角形的三边为3、3、6，显然不能构成三角形；
若腰长为5，则三角形三边长为5、5、6，此时三角形的周长为16，
故选：A．
2．（2019·江苏省中考真题）如图，在矩形中，，点是的中点，点在上，，点、在线段上．若是等腰三角形且底角与相等，则_____．
【答案】6或
【详解】
分两种情况：①MN为等腰△PMN的底边时，作于，如图所示：
则，
四边形是矩形，
，，，
，，
点是的中点，
，
，
，
，即，
解得：，
，
，
，
，
是等腰三角形且底角与相等，，
，，
，
，
，
，
；
②MN为等腰△PMN的腰时，作PF⊥BD于F，如图所示，
由①得：，，
设，则，
在中，，
解得：，即，
综上所述，MN的长为6或.
3．（2019·四川中考真题）在中，若，，，则的面积是______．
【答案】75或25
【详解】
解：过点作，垂足为，如图所示．
在中，，；
在中，，，
∴，
∴或，
∴或25．
故答案为：75或25．
4．（2019·湖北省中考真题）如图，已知抛物线与轴交于、两点，，交轴于点，对称轴是直线．
(1)求抛物线的解析式及点的坐标；
(2)连接，是线段上一点，关于直线的对称点正好落在上，求点的坐标；
(3)动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向点运动，过作轴的垂线交抛物线于点，交线段于点．设运动时间为秒．
①若与相似，请直接写出的值；
②能否为等腰三角形？若能，求出的值；若不能，请说明理由．
【答案】(1)；；(2)；(3)①；②秒或秒.
【详解】
解：(1))∵点、关于直线对称，，
∴，，
代入中，得：，解得，
∴抛物线的解析式为，
∴点坐标为；
(2)如图，连接BC，
设直线的解析式为，
则有：，解得，
∴直线的解析式为，
∵点、关于直线对称，
又到对称轴的距离为1，
∴，
∴点的横坐标为2，将代入中，
得：，
∴；
(3)①如下图，
，，
与相似，则或，
即：或，
解得：或或3或1(舍去、、3)，
故：；
②∵，轴，
∴，
∵为等腰三角形，
∴分三种情况讨论，
第一种，当时，
∵，
∴，
∴，
∴；
第二种，当时，在中，
∵，
∴，
∴，
即，
∴；
第三种，当时，
则点、重合，此时，
而，故不符合题意，
综上述，当秒或秒时，为等腰三角形．
5．（2018·内蒙古自治区中考真题）已知抛物线的图象如图所示：
（1）将该抛物线向上平移2个单位，分别交x轴于A、B两点，交y轴于点C，则平移后的解析式为 ．
（2）判断△ABC的形状，并说明理由．
（3）在抛物线对称轴上是否存在一点P，使得以A、C、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）；（2）△ABC是直角三角形；（3）存在，、、．
【详解】
（1）将该抛物线向上平移2个单位，得：yx2x+2．
故答案为yx2x+2；
（2）当y=0时，x2x+2=0，解得：x1=﹣4，x2=1，即B（﹣4，0），A（1，0）．
当x=0时，y=2，即C（0，2）．
AB=1﹣（﹣4）=5，AB2=25，AC2=（1﹣0）2+（0﹣2）2=5，BC2=（﹣4﹣0）2+（0﹣2）2=20．
∵AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形；
（3）yx2x+2的对称轴是x，设P（，n），AP2=（1）2+n2n2，CP2（2﹣n）2，AC2=12+22=5.分三种情况讨论：
①当AP=AC时，AP2=AC2，n2=5，方程无解；
②当AP=CP时，AP2=CP2，n2（2﹣n）2，解得：n=0，即P1（，0）；
③当AC=CP时，AC2=CP2，（2﹣n）2=5，解得：n1=2，n2=2，P2（，2），P3（，2）．
综上所述：在抛物线对称轴上存在一点P，使得以A、C、P为顶点的三角形是等腰三角形，点P的坐标（，0），（，2），（，2）．
题型2：直角三角形分类讨论
【典例精析】
例题1．（2019·黑龙江中考真题）在中，，，点在边上，连接，若为直角三角形，则的度数为_______________度.
【答案】或
【详解】
解：分两种情况：
①如图1，当时，
∵，
∴；
②如图2，当时，
∵，，
∴，
∴，
综上，则的度数为或；
故答案为：或；
【针对训练】
1．（2019·黑龙江省中考真题）一张直角三角形纸片，，，，点为边上的任一点，沿过点的直线折叠，使直角顶点落在斜边上的点处，当是直角三角形时，则的长为_____．
【答案】或
【详解】
分两种情况：
①若，则， ，
连接，则，
，，
设，则，
中，
，
解得，
；
②若，则，，
四边形是正方形，
，，
，
，
设，则，，，
，
解得，
，
综上所述，的长为或，
故答案为：或．
2．（2019·江西中考真题）在平面直角坐标系中，三点的坐标分别为，，，点在轴上，点在直线上，若，于点，则点的坐标为__________________．
【答案】
【详解】
解：，两点的坐标分别为，
轴
点在直线上，
，
如图：
（Ⅰ）当点在处时，要使，即使
即
解得：
（Ⅱ）当点在处时，
，
的中点
点为以为圆心，长为半径的圆与轴的交点
设，则
即
解得：
，，，
综上所述：点的坐标为或，或，．
3．（2019·辽宁省中考真题）如图1，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，顶点为D，直线AD交y轴于点E．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图2，将沿直线AD平移得到．
①当点M落在抛物线上时，求点M的坐标．
②在移动过程中，存在点M使为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．
【答案】（1）；（2）①或；②或或或
【详解】
解：（1）抛物线的表达式为：，
即：，解得：，
故抛物线的表达式为：，
令，解得：或，故点，
函数的对称轴为：，故点；
（2）将点A、D的坐标代入一次函数表达式：得：，解得：，
故直线AD的表达式为：，
设点，
，则点，
①将点M的坐标代入抛物线表达式得：，
解得：，
故点M的坐标为或；
②点，点B、D的坐标分别为、，
则，，，
当为直角时，
由勾股定理得：，
解得：，
当为直角时，
同理可得：，
当为直角时，
同理可得：，
故点M的坐标为：或或或．
4．（2018·河南）如图，抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线经过点A，C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线AC于点M，设点P的横坐标为m．
①当是直角三角形时，求点P的坐标；
②作点B关于点C的对称点，则平面内存在直线l，使点M，B，到该直线的距离都相等．当点P在y轴右侧的抛物线上，且与点B不重合时，请直接写出直线的解析式．（k，b可用含m的式子表示）
【答案】（1）（2）①或，②直线l的解析式为,或.
【详解】
解：（1）当时，，
点C的坐标为；
当时，，
解得：，
点A的坐标为．
将，代入，得：
，解得：，
抛物线的解析式为．
（2）①轴，
，
分两种情况考虑，如图1所示．
（i）当时，轴，
点P的纵坐标为﹣2．
当时，，
解得：，，
点P的坐标为；
（ii）当时，设PC与x轴交于点D．
，，
．
又，
，
，即，
，
点D的坐标为．
设直线PC的解析式为，
将，代入，得：
，解得：，
直线PC的解析式为．
联立直线PC和抛物线的解析式成方程组，得：，
解得：，，
点P的坐标为．
综上所述：当是直角三角形时，点P的坐标为或．
②当y=0时，,
解得：x1=-4，x2=2，
∴点B的坐标为（2，0）．
∵点C的坐标为（0，-2），点B，B′关于点C对称，
∴点B′的坐标为（-2，-4）．
∵点P的横坐标为m（m＞0且m≠2），
∴点M的坐标为,
利用待定系数法可求出：直线BM的解析式为，直线B′M的解析式为，直线BB′的解析式为y=x-2．
分三种情况考虑，如图2所示：
当直线l∥BM且过点C时，直线l的解析式为,
当直线l∥B′M且过点C时，直线l的解析式为,
当直线l∥BB′且过线段CM的中点时，直线l的解析式为,
综上所述：直线l的解析式为,或.
题型3：相似三角形分类讨论
【典例精析】
例题1．（2019·浙江中考真题）在直角三角形ABC中，若，则_______.
【答案】或.
【详解】
如图所示，分两种情况讨论，AC可以是直角边，也可以是斜边
①当AC是斜边，设AB＝x，则AC＝2x，由勾股定理可得：
BC＝x，则
②当AC是直角边，设AB＝x，则AC＝2x，由勾股定理可得：
BC＝x，则
综上所述，或.
【针对训练】
1．（2019·陕西中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线L：经过点A（-3，0）和点B（0，-6），L关于原点O对称的抛物线为.
（1）求抛物线L的表达式；
（2）点P在抛物线上，且位于第一象限，过点P作PD⊥y轴，垂足为D.若△POD与△AOB相似，求符合条件的点P的坐标.
【答案】(1) y=－x2－5x－6；(2)符合条件的点P的坐标为(1，2)或(6，12)或(，)或(4，2)。
【详解】
(1)由题意，得，
解得：，
∴L：y=－x2－5x－6；
(2)∵抛物线L关于原点O对称的抛物线为，
∴点A(-3，0)、B(0，-6)在L′上的对应点分别为A′(3，0)、B′(0，6)，
∴设抛物线L′的表达式y＝x2＋bx＋6，
将A′(3，0)代入y＝x2＋bx＋6，得b＝－5，
∴抛物线L′的表达式为y＝x2－5x＋6，
∵A(－3，0)，B(0，－6)，
∴AO＝3，OB＝6，
设P(m，m2－5m＋6)(m＞0)，
∵PD⊥y轴，
∴点D的坐标为(0，m2－5m＋6)，
∵PD＝m，OD＝m2－5m＋6，
∵Rt△PDO与Rt△AOB相似，
∴有Rt△PDO∽Rt△AOB或Rt△ODP∽Rt△AOB两种情况，
①当Rt△PDO∽Rt△AOB时，则，即，
解得m1＝1，m2＝6，
∴P1(1，2)，P2(6，12)；
②当Rt△ODP∽Rt△AOB时，则，即，
解得m3＝，m4＝4，
∴P3(，)，P4(4，2)，
∵P1、P2、P3、P4均在第一象限，
∴符合条件的点P的坐标为(1，2)或(6，12)或(，)或(4，2).
2．（2019·贵州省中考真题）如图，抛物线与直线分别相交于，两点，且此抛物线与轴的一个交点为，连接，．已知，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线对称轴上找一点，使的值最大，并求出这个最大值；
（3）点为轴右侧抛物线上一动点，连接，过点作交轴于点，问：是否存在点使得以，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）点M的坐标为（，）时，取最大值为；（3）存在点．
【详解】
解：（1）将，代入得：
，解得：，
∴抛物线的解析式是；
（2）解方程组：，得，，
∵，∴
当点、、三点不共线时，根据三角形三边关系得，
当点、、三点共线时，，
∴当点、、三点共线时，取最大值，即为的长，
如图，过点作BE⊥x轴于点，则在中，由勾股定理得：，∴取最大值为；
易求得直线BC的解析式为：y=－x－3，抛物线的对称轴是直线，当时，，∴点M的坐标为（，）；
∴点M的坐标为（，）时，取最大值为；
（3）存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似．
设点坐标为，
在中，∵，∴，
在中，∵，∴，
∴，，
过点作于点，过点作轴于点，如图，
∵，，∴∽，
∵，
∴①当时，∽，
∴，解得，，（舍去）
∴点的纵坐标为，∴点为；
②当时，∽，
∴，解得（舍去），（舍去），
∴此时无符合条件的点；
综上所述，存在点．
3．（2019·湖南省中考真题）如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C，且过点．点P、Q是抛物线上的动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点P在直线OD下方时，求面积的最大值．
(3)直线OQ与线段BC相交于点E，当与相似时，求点Q的坐标．
【答案】(1)抛物线的表达式为：；(2)有最大值，当时，其最大值为；(3)点或．
【详解】
解：(1)函数的表达式为：，将点D坐标代入上式并解得：，
故抛物线的表达式为：…①；
(2)设直线PD与y轴交于点G，设点，
将点P、D的坐标代入一次函数表达式：并解得，直线PD的表达式为：，则，
，
∵，故有最大值，当时，其最大值为；
(3)∵，∴，
∵，故与相似时，分为两种情况：
①当时，，，，
过点A作AH⊥BC与点H，
，解得：，
∴CH＝
则，
则直线OQ的表达式为：…②，
联立①②并解得：(舍去负值)，
故点；
②时，
，
则直线OQ的表达式为：…③，
联立①③并解得：(舍去负值)，
故点；
综上，点或．
4．（2019·广东中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、（点在点右侧），点为抛物线的顶点.点在轴的正半轴上，交轴于点，绕点顺时针旋转得到，点恰好旋转到点，连接.
（1）求点、、的坐标；
（2）求证：四边形是平行四边形；
（3）如图2，过顶点作轴于点，点是抛物线上一动点，过点作轴，点为垂足，使得与相似（不含全等）.
①求出一个满足以上条件的点的横坐标；
②直接回答这样的点共有几个？
【答案】（1），，；（2）证明见解析；（3）①点P的横坐标为，，，②点P共有3个.
【详解】
(1)令，
解得或，
故，，
配方得，故；
(2)∵，CO⊥AF，
∴OF=OA=1，
如图，DD1⊥轴，∴DD1//CO，
∴，
∴，
即，
∴，
∴CF==2，
∴，
即为等边三角形，
∴∠AFC=∠ACF=60°，
∵∠ECF=∠ACF，
∴，
∴，
∵CF：DF=OF：FD1=1：2，
∴DF=4，∴CD=6，
又∵，，
∴，
∴四边形是平行四边形；
(3)①设点的坐标为，
(ⅰ)当点在点左侧时，
因为与相似，
则1)，
即，
∴(舍)，x2=-11；
2)，
即，
∴(舍)，；
(ⅱ)当点在点右侧时，
因为与相似，
则3)，
即，
∴(舍)，(舍)；
4)，
即，
∴(舍)，(舍)；
(ⅲ)当点在之间时，
∵与相似，
则5)，
即，
∴(舍)，(舍)；
6)，
即，
∴(舍)，；
综上所述，点的横坐标为，，；
②由①可得这样的点P共有3个.
考法3 点与线段及直线关系中分类讨论
考法指导
此类点与线段及直线的关系中的分类讨论，主要是由于线段及端点位置的不确定性，或者在图形变换过程中导致点与直线位置不确定性，从而展开的分类讨论，此类题型虽无固定性解法，但大部分题目多为两种类型分类：
为点在线段上，或者在点在线段的延长线上展开分类讨论
点在直线上方，点在直线下方从而展开分类讨论
【典例精析】
例题1．（2019·云南中考真题）在平行四边形ABCD中，∠A＝30°，AD＝，BD＝4，则平行四边形ABCD的面积等于 ______________.
【答案】或
【详解】
过点D作DE⊥AB，垂足为E，
如图1，点E在AB上，
∵∠A=30°，∴DE=ADsin30°=，AE=ADcos30°=6，
在Rt△DBE中，BE=，
∴AB=AE+BE=8，
∴平行四边形ABCD的面积为；
如图2，点E在AB的延长线上，
∵∠A=30°，∴DE=ADsin30°=，AE=ADcos30°=6，
在Rt△DBE中，BE=，
∴AB=AE-BE=4，
∴平行四边形ABCD的面积为，
故答案为：或.
【针对训练】
1．（2019·河南中考真题）如图，在矩形ABCD中，，，点E在边BC上，且．连接AE，将沿AE折叠，若点B的对应点落在矩形ABCD的边上，则 a的值为________．
【答案】或
【详解】
解：分两种情况：
①当点落在AD边上时，如图1．
四边形ABCD是矩形，
，
将沿AE折叠，点B的对应点落在AD边上，
，
，
，
；
②当点落在CD边上时，如图2．
∵四边形ABCD是矩形，
，．
将沿AE折叠，点B的对应点落在CD边上，
，，，
，．
在与中，
，
，
，即，
解得，（舍去）．
综上，所求a的值为或．
故答案为或．
2．（2019·广东中考真题）已知在平面直角坐标系中，点，以线段为直径作圆，圆心为，直线交于点，连接.
（1）求证：直线是的切线；
（2）点为轴上任意一动点，连接交于点，连接：
①当时，求所有点的坐标 （直接写出）；
②求的最大值.
【答案】（1）见解析；（2）①，；② 的最大值为.
【解析】
【分析】
（1）连接，证明∠EDO=90°即可；
（2）①分“位于上”和“位于的延长线上”结合相似三角形进行求解即可；
②作于点，证明，得，从而得解.
【详解】
（1）证明：连接，则：
∵为直径
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
即：
∵轴
∴
∴
∴直线为的切线.
（2）①如图1，当位于上时：
∵
∴
∴设，则
∴
∴，解得：
∴
即
如图2，当位于的延长线上时：
∵
∴设，则
∴
∴
解得：
∴
即
②如图，作于点，
∵是直径
∴
∴
∴
∵半径
∴
∴的最大值为.
3．（2019·海南中考真题）如图，已知抛物线经过，两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连结CD．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点P为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），设点P的横坐标为t．
①当点P在直线BC的下方运动时，求的面积的最大值；
②该抛物线上是否存在点P，使得若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）①；②存在，或．
【详解】
解：（1）将点A、B坐标代入二次函数表达式得：，解得：，
故抛物线的表达式为：…①，
令，则或，
即点；
（2）①如图1，过点P作y轴的平行线交BC于点G，
将点B、C的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线BC的表达式为：…②，
设点，则点，
，
，有最大值，当时，其最大值为；
②设直线BP与CD交于点H，
当点P在直线BC下方时，
，点H在BC的中垂线上，
线段BC的中点坐标为，
过该点与BC垂直的直线的k值为﹣1，
设BC中垂线的表达式为：，将点代入上式并解得：
直线BC中垂线的表达式为：…③，
同理直线CD的表达式为：…④，
联立③④并解得：，即点，
同理可得直线BH的表达式为：…⑤，
联立①⑤并解得：或（舍去），
故点；
当点在直线BC上方时，
，，
则直线BP′的表达式为：，将点B坐标代入上式并解得：，
即直线BP′的表达式为：…⑥，
联立①⑥并解得：或（舍去），
故点；
故点P的坐标为或．
4．（2019·河南中考真题）在，，．点P是平面内不与点A，C重合的任意一点．连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP．
（1）观察猜想
如图1，当时，的值是 ，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是 ．
（2）类比探究
如图2，当时，请写出的值及直线BD与直线CP相交所成的小角的度数，并就图2的情形说明理由．
（3）解决问题
当时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时的值．
【答案】（1）1，（2）45°（3），
【详解】
解：（1）如图1中，延长CP交BD的延长线于E，设AB交EC于点O．
，
，
，，
，
，，
，
，
，线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是，
故答案为1，．
（2）如图2中，设BD交AC于点O，BD交PC于点E．
，
，
，
，
，，
，
，
直线BD与直线CP相交所成的小角的度数为．
（3）如图3﹣1中，当点D在线段PC上时，延长AD交BC的延长线于H．
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
A，D，C，B四点共圆，
，，
，
，设，则，，
c．
如图3﹣2中，当点P在线段CD上时，同法可证：，设，则，，
，
．
考法4函数中含参问题分类讨论
【典例精析】
例题1．（2019·辽宁中考真题）把函数的图象绕点旋转，得到新函数的图象，我们称是关于点的相关函数．的图象的对称轴与轴交点坐标为．
（1）填空：的值为 （用含的代数式表示）
（2）若，当时，函数的最大值为，最小值为，且，求的解析式；
（3）当时，的图象与轴相交于两点（点在点的右侧）．与轴相交于点．把线段原点逆时针旋转，得到它的对应线段，若线与的图象有公共点，结合函数图象，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3）或或
【详解】
解：（1）
顶点围绕点旋转180°的对称点为，
，函数的对称轴为：，
，
故答案为：；
（2）时，
，
①当时，
时，有最小值，
时，有最大值，
则，无解；
②时，
时，有最大值，
时，有最小值，
（舍去）；
③当时，
时，有最大值，
时，有最小值，
，
解得：或2（舍去0），
故；
（3），
，
点的坐标分别为，
当时，越大，则越大，则点越靠左，
当过点时，，解得：，
当过点时，同理可得：，
故：或；
当时，
当过点时，，解得：，
故：；
综上，故：或或．
【针对训练】
1．（2019·吉林省中考真题）如图，抛物线与x轴相交于两点（点在点的左侧），与轴相交于点．为抛物线上一点，横坐标为，且．
⑴求此抛物线的解析式；
⑵当点位于轴下方时，求面积的最大值；
⑶设此抛物线在点与点之间部分（含点和点）最高点与最低点的纵坐标之差为．
①求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
②当时，直接写出的面积．
【答案】（1）；（2）8；（3）①（），（），（）；②6.
【详解】
解：（1）因为抛物线与轴交于点，
把代入，得
，
解得，
所以此抛物线的解析式为，
即；
（2）令，得，
解得，
所以，
所以；
解法一：
由（1）知，抛物线顶点坐标为，
由题意，当点位于抛物线顶点时，的面积有最大值，
最大值为；
解法二
由题意，得，
所以
，
所以当时，有最大值8；
（3）①当时，；
当时，；
当时，；
②当h=9时
若-m2+2m=9，此时△＜0，m无解；
若m2-2m+1=9，则m=4，
∴P（4，5），
∵B（3，0），C（0，-3），
∴△BCP的面积=（4+1）×3=6；
2．（2019·湖北省中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线和直线l:y=kx+b，点A(-3,-3)，B(1,-1)均在直线l上．
（1）若抛物线C与直线l有交点，求a的取值范围；
（2）当a=-1，二次函数的自变量x满足m≤x≤m+2时，函数y的最大值为-4，求m的值；
（3）若抛物线C与线段AB有两个不同的交点，请直接写出a的取值范围．
【答案】（1）a≤且a≠0；（2）m=-3或m=3；（3）或a≤-2；
【详解】
解：（1）点，代入，
，
，
；
联立与，则有，
抛物线与直线有交点，
，
a≤且a≠0；
（2）根据题意可得，，
，
抛物线开口向下，对称轴，
时，有最大值，
∴当时，有，
或，
①在左侧，随的增大而增大，
时，有最大值，
；
②在对称轴右侧，随最大而减小，
时，有最大值；
综上所述：m=-3或m=3；
（3）①时，时，，
即；
②时，时，，
即，
直线的解析式为，
抛物线与直线联立：，
，
，
，
的取值范围为或a≤-2.
【点睛】
本题考查二次函数的图象及性质，一次函数的图象及性质；熟练掌握待定系数法求解析式，数形结合，分类讨论函数在给定范围内的最大值是解题的关键．
3．（2019·山东省中考真题）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若，是抛物线上的两点，当，时，均有，求的取值范围；
（3）抛物线上一点，直线与轴交于点，动点在线段上，当时，求点的坐标．
【答案】（1）（2）（3）
【详解】
（1）函数的对称轴为：，而且，
将上述两式联立并解得：，，
则函数的表达式为：，
即：，解得：，
故抛物线的表达式为：；
（2）当时，，
①当时（即：），
，则，
解得：，而，
故：；
②当（即）时，
则，
同理可得：，
故的取值范围为：；
（3）∵当，为等腰三角形，
故取的中点，过点作线段的中垂线交直线与点，则点为符合条件的点，
点，
将点、坐标代入一次函数表达式：并解得：
直线的表达式为：，
同理可得：直线的表达式为：①，
直线，则直线表达式中的值为，
同理可得直线的表达式为：②，
联立①②并解得：，
故点．
4．（2017·贵州省中考真题）已知函数，，k、b为整数且.
(1)讨论b,k的取值.
(2)分别画出两种函数的所有图象.(不需列表)
(3)求与的交点个数.
【答案】(1);(2)详见解析；（3）4.
【详解】
（1）∵k、b为整数且
∴
（2）如图：
（3）当k=1时，一次函数和反比例函数的图象如图1，此时交点的个数为4个.
当k=-1时，当k=1时，一次函数和反比例函数的图象如图2，此时交点的个数为4个.
综上所述，函数和的交点个数为4个.
5．（2016·福建省中考真题）已知，抛物线（ a≠0）经过原点，顶点为A（h，k）（h≠0）．
（1）当h＝1，k＝2时，求抛物线的解析式；
（2）若抛物线（t≠0）也经过A点，求a与t之间的关系式；
（3）当点A在抛物线上，且－2≤h＜1时，求a的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3）或．
【详解】
（1）根据题意，设抛物线的解析式为：（a≠0），∵h=1，k=2，∴．∵抛物线过原点，∴，∴，∴，即；
（2）∵抛物线经过点A（h，k），∴，∴，∵抛物线经过原点，∴，∵h≠0，∴；
（3）∵点A（h，k）在抛物线上，∴，∴，∵抛物线经过原点，∴，∵h≠0，∴；
分两种情况讨论：
①当-2≤h＜0时，由反比例函数性质可知：，∴；
②当0＜h＜1时，由反比例函数性质可知：，∴；
综上所述，a的取值范围是或．
考法5 圆中分类讨论
题型1：周角的顶点位置不确定需分类讨论。
【典例精析】
例题1．（2019·江苏初三期中）⊙O的半径是2，弦AB＝2，点C为⊙O上的一点（不与点A、B重合），则∠ACB的度数为_____°．
【答案】30°或150°
【详解】
∵AO＝BO＝2，AB＝2，
∴△ABO是等边三角形，
∴∠AOB＝60°．
若点C在优弧上，则∠BCA＝30°；
若点C在劣弧上，则∠BCA＝（360°?∠AOB）＝150°；
综上所述：∠BCA的度数为30°或150°．
【针对训练】
1．（2019·北京西城区外国语学校初三期中）如图，A，B是⊙O上的两点，C是⊙O上不与A，B重合的任意一点．如果∠AOB＝140°，那么∠ACB的度数为___．
【答案】70°或110°．
【详解】
如图1，当点C在优弧ACB上时，
∵∠ACB和∠AOB分别是所对的圆周角和圆心角，
∴∠ACB＝∠AOB＝70°．
如图2，当点C在劣弧AB上时，在优弧AB上取一点D，连接AD、BD，
∵∠ADB和∠AOB分别是所对的圆周角和圆心角，
∴∠ADB＝∠AOB＝70°，
∵四边形ACBD是⊙O的内接四边形，
∴∠ADB+∠ACB＝180°，
∴∠ACB＝110°．
综上所述：∠ACB的度数为70°或110°．
故答案为70°或110°．
2．（2019·江苏泰州中学附属初中初三月考）如图，在半径为4的⊙O中，弦AB长为4．
（1）求圆心O到弦AB的距离；
（2）若点C为⊙O上一点（不与点A，B重合），求∠ACB的度数．
【答案】（1）2;（2）45°或135°
【详解】
（1）过点O作OD⊥AB于点D，连接AO，BO．如图1所示：
∵OD⊥AB且过圆心，AB=4．，
∴AD=AB=2．，∠ADO=90°，
在Rt△ADO中，∠ADO=90°，AO=4，AD=2．，
∴OD==2．
即点O到AB的距离为2．
（2）如图2所示：
∵AO=BO=4，AB=4，
∴△ABO是等腰直角三角形，
∴∠AOB=90°．?
若点C在优弧上，则∠BCA=45°；
若点C在劣弧上，则∠BCA=（360°-∠AOB）=135°；
综上所述：∠BCA的度数为45°或135°．
题型2：两平行弦相对于圆心的位置不确定需分类讨论。
【典例精析】
例题 1．（2018·全国初三课时练习）⊙O的直径为10cm，弦AB∥CD，且AB＝8cm，CD＝6cm，则弦AB与CD之间的距离为___________．
【答案】7cm或1cm
【详解】
分两种情况考虑：
当两条弦位于圆心O一侧时，如图1所示，
过O作OE⊥AB，交AB于点E，交CD于点F，连接OA，OC，
∵AB∥CD，∴OE⊥CD，
∴E、F分别为AB、CD的中点，
∴AE=BE=AB=4m，CF=DF=CD=6m，
在Rt△COF中，OC=5cm，C34cm，
根据勾股定理得：OF=4m，
在Rt△AOE中，OA=5cm，AE=4m，
根据勾股定理得：OE═3m，
则EF=OF-OE=4-3=1cm；
当两条弦位于圆心O两侧时，如图2所示，同理可得EF=4+3=7cm，
综上，弦AB与CD的距离为7cm或1cm，
故答案为：7cm或1cm．
【针对训练】
1．（2018·山东初三期末）已知⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB＝8cm，且AB⊥CD，则AC的长度为_____．
【答案】2cm或4cm．
【详解】
解：连接OA，
∵⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB＝8cm，且AB⊥CD，
∴OD＝OC＝OA＝5cm，AM＝AB＝4cm，
∴OM＝＝＝3（cm），
∴MC＝5﹣3＝2cm，
∴AC＝＝＝2cm，
同理可得：A′C＝＝4cm．
故答案为：2cm或4cm．
2．（2018·中国农业大学附属中学初三专题练习）已知⊙O的半径为13cm，弦AB//CD，AB＝24cm，CD＝10cm，则AB、CD之间的距离为________．
【答案】AB与CD的距离是17 cm或7 cm．
【详解】
第一种情况：两弦在圆心的同侧时，已知CD=10cm，
∴由垂径定理得DE=5．
∵OD=13，
∴利用勾股定理可得：OE=12．
同理可求OF=5，
∴EF=7．
第二种情况：只是EF=OE+OF=17．其它和第一种一样．
故答案为7cm或17cm．
微专题二 分类讨论思想
方法指导
在我们所遇到的数学问题中，有的问题条件、结论不明确,有的则图形不确定或题中含有参数等,有些问题的结论在解题中不能以统一的形式进行研究，把所有研究的问题根据题目的特点和要求，分成若干类，转化成若干个小问题来解决，这种按不同情况分类，然后再逐一研究解决的数学思想，称之为分类讨论思想。
核心内容
分类讨论以一下三个原则展开:
（1)标准同一性原则:每一次分类的标准必须是同一的.
(2)不遗漏原则:分类必须是完整的,不能出现遗漏.
(3)不重复原则:所有分类之间必须是互斥的.所分的各类别之间不能有交叉、重叠,一个对象只能归属于一类.
考法1 平行四边形中分类讨论
考法指导
在平行四边形的分类讨论中，典型的是近年来的存在性平行四边形问题，此类题型大多保证至少平行四边形有两个定点，问是否存在某点，使得四边形是平行四边形。此类问题分类基本以固定两点形成的线段是平行四边形的边，还是对角线从而展开分类讨论。完成此类问题只需理解下面三问即可：
1．已知A、B、C三点，以A、B、C、D为顶点的平行四边形有几个，怎么画？
2．在坐标平面内，如何理解平行四边形ABCD的对边AB与DC平行且相等？
3．在坐标平面内，如何理解平行四边形ABCD的对角线互相平分？
图1 图2 图3
如图1，过△ABC的每个顶点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生三个点D．此时做法就是以AB为边，则过点C，作CD’’∥AB或者CD’∥AB，或者以AB为对角线，过点A，B分别作AD∥BC，BD∥AC。
如图2，已知A(0, 3)，B(－2, 0)，C(3, 1)，如果四边形ABCD是平行四边形，怎样求点D的坐标呢？
点B先向右平移2个单位，再向上平移3个单位与点A重合，因为BA与CD平行且相等，所以点C(3, 1) 先向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到点D(5, 4)．
如图3，如果平行四边形ABCD的对角线交于点G，那么过点G画任意一条直线（一般与坐标轴垂直），点A、C到这条直线的距离相等，点B、D到这条直线的距离相等．
关系式xA＋xC＝xB＋xD和yA＋yC＝yB＋yD有时候用起来很方便．
【典例精析】
例题1．（2019·甘肃中考真题）如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）、B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点P为抛物线上的一点，点F为对称轴上的一点，且以点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；
（3）点E是二次函数第四象限图象上一点，过点E作x轴的垂线，交直线BC于点D，求四边形AEBD面积的最大值及此时点E的坐标．
【针对训练】
1．（2019·山西中考真题）综合与探究
如图，抛物线经过点A(-2,0)，B(4,0)两点，与轴交于点C，点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为.连接AC，BC，DB，DC，
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)△BCD的面积等于△AOC的面积的时，求的值；
(3)在(2)的条件下，若点M是轴上的一个动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M,使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
2．（2019·山东中考真题）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣3）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若以点A为圆心的圆与直线BC相切于点M，求切点M的坐标；
（3）若点Q在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（2018·贵州中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A是反比例函数y=（x＞0，m＞1）图象上一点，点A的横坐标为m，点B（0，﹣m）是y轴负半轴上的一点，连接AB，AC⊥AB，交y轴于点C，延长CA到点D，使得AD=AC，过点A作AE平行于x轴，过点D作y轴平行线交AE于点E．
（1）当m=3时，求点A的坐标；
（2）DE= ，设点D的坐标为（x，y），求y关于x的函数关系式和自变量的取值范围；
（3）连接BD，过点A作BD的平行线，与（2）中的函数图象交于点F，当m为何值时，以A、B、D、F为顶点的四边形是平行四边形？
考法2 三角形中分类讨论
考法指导
三角形中分类讨论，主要分为以下三种题型：
1. 与等腰三角形有关的分类讨论
例如在求解典型的等腰三角形的存在性问题时，一般都要先分类．
在平面上有两定点B,C，问平面上是否存在一动点A，使得B,C.A三点构成图形是等腰三角形?
先根据三角形类别分为是直角，钝角，还是锐角三角形，后根据边不确定性分类，根据边不确定有两类做法：
（1）直接可以根据边分类讨论，讨论①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况．
（2）可以作图，①分别B,C两点为圆心，以BC长为半径画弧，弧上任意一点均满足条件。
②作BC线段的垂直平分线，垂直平分线上任意一点均可满足条件
解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．
几何法一般分三步：分类、画图、计算
如果△ABC的∠A（的余弦值）是确定的，夹∠A的两边AB和AC可以用含x的式子表示出来，那么就用几何法．
①如图1，如果AB＝AC，直接列方程；②如图2，如果BA＝BC，那么；③如图3，如果CA＝CB，那么．
代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．
如果三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含x的式子表示出来，那么根据两点间的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来．
图1 图2 图3
2:与直角三角形有关的分类讨论
解直角三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根．
一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股定理列方程．
有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便．
解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起．
如果直角边与坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造两个新的相似直角三角形，这样列比例方程比较简便．
如图1，已知A(3, 0)，B(1,－4)，如果直角三角形ABC的顶点C在y轴上，求点C的坐标．
我们可以用几何的方法，作AB为直径的圆，快速找到两个符合条件的点C．
如果作BD⊥y轴于D，那么△AOC∽△CDB．
设OC＝m，那么．
这个方程有两个解，分别对应图中圆与y轴的两个交点．
图1
3:与相似三角形有关的分类讨论
相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等．
判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验．
如果已知∠A＝∠D，探求△ABC与△DEF相似，只要把夹∠A和∠D的两边表示出来，按照对应边成比例，分和两种情况列方程．
应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等．
应用判定定理3解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）．
题型1：等腰三角形分类讨论
【典例精析】
例题1．（2019·黑龙江省中考真题）等腰中，，垂足为点，且，则等腰底角的度数为_______．
【针对训练】
1．（2019·四川省中考真题）一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程的一根，则此三角形的周长是（ ）
A．16 B．12 C．14 D．12或16
2．（2019·江苏省中考真题）如图，在矩形中，，点是的中点，点在上，，点、在线段上．若是等腰三角形且底角与相等，则_____．
3．（2019·四川中考真题）在中，若，，，则的面积是______．
4．（2019·湖北省中考真题）如图，已知抛物线与轴交于、两点，，交轴于点，对称轴是直线．
(1)求抛物线的解析式及点的坐标；
(2)连接，是线段上一点，关于直线的对称点正好落在上，求点的坐标；
(3)动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向点运动，过作轴的垂线交抛物线于点，交线段于点．设运动时间为秒．
①若与相似，请直接写出的值；
②能否为等腰三角形？若能，求出的值；若不能，请说明理由．
5．（2018·内蒙古自治区中考真题）已知抛物线的图象如图所示：
（1）将该抛物线向上平移2个单位，分别交x轴于A、B两点，交y轴于点C，则平移后的解析式为 ．
（2）判断△ABC的形状，并说明理由．
（3）在抛物线对称轴上是否存在一点P，使得以A、C、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
题型2：直角三角形分类讨论
【典例精析】
例题1．（2019·黑龙江中考真题）在中，，，点在边上，连接，若为直角三角形，则的度数为_______________度.
【针对训练】
1．（2019·黑龙江省中考真题）一张直角三角形纸片，，，，点为边上的任一点，沿过点的直线折叠，使直角顶点落在斜边上的点处，当是直角三角形时，则的长为_____．
2．（2019·江西中考真题）在平面直角坐标系中，三点的坐标分别为，，，点在轴上，点在直线上，若，于点，则点的坐标为__________________．
3．（2019·辽宁省中考真题）如图1，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，顶点为D，直线AD交y轴于点E．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图2，将沿直线AD平移得到．
①当点M落在抛物线上时，求点M的坐标．
②在移动过程中，存在点M使为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．
4．（2018·河南）如图，抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线经过点A，C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线AC于点M，设点P的横坐标为m．
①当是直角三角形时，求点P的坐标；
②作点B关于点C的对称点，则平面内存在直线l，使点M，B，到该直线的距离都相等．当点P在y轴右侧的抛物线上，且与点B不重合时，请直接写出直线的解析式．（k，b可用含m的式子表示）
题型3：相似三角形分类讨论
【典例精析】
例题1．（2019·浙江中考真题）在直角三角形ABC中，若，则_______.
【针对训练】
1．（2019·陕西中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线L：经过点A（-3，0）和点B（0，-6），L关于原点O对称的抛物线为.
（1）求抛物线L的表达式；
（2）点P在抛物线上，且位于第一象限，过点P作PD⊥y轴，垂足为D.若△POD与△AOB相似，求符合条件的点P的坐标.
2．（2019·贵州省中考真题）如图，抛物线与直线分别相交于，两点，且此抛物线与轴的一个交点为，连接，．已知，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线对称轴上找一点，使的值最大，并求出这个最大值；
（3）点为轴右侧抛物线上一动点，连接，过点作交轴于点，问：是否存在点使得以，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（2019·湖南省中考真题）如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C，且过点．点P、Q是抛物线上的动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点P在直线OD下方时，求面积的最大值．
(3)直线OQ与线段BC相交于点E，当与相似时，求点Q的坐标．
4．（2019·广东中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、（点在点右侧），点为抛物线的顶点.点在轴的正半轴上，交轴于点，绕点顺时针旋转得到，点恰好旋转到点，连接.
（1）求点、、的坐标；
（2）求证：四边形是平行四边形；
（3）如图2，过顶点作轴于点，点是抛物线上一动点，过点作轴，点为垂足，使得与相似（不含全等）.
①求出一个满足以上条件的点的横坐标；②直接回答这样的点共有几个？
考法3 点与线段及直线关系中分类讨论
考法指导
此类点与线段及直线的关系中的分类讨论，主要是由于线段及端点位置的不确定性，或者在图形变换过程中导致点与直线位置不确定性，从而展开的分类讨论，此类题型虽无固定性解法，但大部分题目多为两种类型分类：
为点在线段上，或者在点在线段的延长线上展开分类讨论
点在直线上方，点在直线下方从而展开分类讨论
【典例精析】
例题1．（2019·云南中考真题）在平行四边形ABCD中，∠A＝30°，AD＝，BD＝4，则平行四边形ABCD的面积等于 ______________.
【针对训练】
1．（2019·河南中考真题）如图，在矩形ABCD中，，，点E在边BC上，且．连接AE，将沿AE折叠，若点B的对应点落在矩形ABCD的边上，则 a的值为________．
2．（2019·广东中考真题）已知在平面直角坐标系中，点，以线段为直径作圆，圆心为，直线交于点，连接.
（1）求证：直线是的切线；
（2）点为轴上任意一动点，连接交于点，连接：
①当时，求所有点的坐标 （直接写出）；
②求的最大值.
3．（2019·海南中考真题）如图，已知抛物线经过，两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连结CD．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点P为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），设点P的横坐标为t．
①当点P在直线BC的下方运动时，求的面积的最大值；
②该抛物线上是否存在点P，使得若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
4．（2019·河南中考真题）在，，．点P是平面内不与点A，C重合的任意一点．连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP．
（1）观察猜想
如图1，当时，的值是 ，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是 ．
（2）类比探究
如图2，当时，请写出的值及直线BD与直线CP相交所成的小角的度数，并就图2的情形说明理由．
（3）解决问题
当时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时的值．
考法4函数中含参问题分类讨论
【典例精析】
例题1．（2019·辽宁中考真题）把函数的图象绕点旋转，得到新函数的图象，我们称是关于点的相关函数．的图象的对称轴与轴交点坐标为．
（1）填空：的值为 （用含的代数式表示）
（2）若，当时，函数的最大值为，最小值为，且，求的解析式；
（3）当时，的图象与轴相交于两点（点在点的右侧）．与轴相交于点．把线段原点逆时针旋转，得到它的对应线段，若线与的图象有公共点，结合函数图象，求的取值范围．
【针对训练】
1．（2019·吉林省中考真题）如图，抛物线与x轴相交于两点（点在点的左侧），与轴相交于点．为抛物线上一点，横坐标为，且．
⑴求此抛物线的解析式；
⑵当点位于轴下方时，求面积的最大值；
⑶设此抛物线在点与点之间部分（含点和点）最高点与最低点的纵坐标之差为．
①求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
②当时，直接写出的面积．
2．（2019·湖北省中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线和直线l:y=kx+b，点A(-3,-3)，B(1,-1)均在直线l上．
（1）若抛物线C与直线l有交点，求a的取值范围；
（2）当a=-1，二次函数的自变量x满足m≤x≤m+2时，函数y的最大值为-4，求m的值；
（3）若抛物线C与线段AB有两个不同的交点，请直接写出a的取值范围．
3．（2019·山东省中考真题）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若，是抛物线上的两点，当，时，均有，求的取值范围；
（3）抛物线上一点，直线与轴交于点，动点在线段上，当时，求点的坐标．
4．（2017·贵州省中考真题）已知函数，，k、b为整数且.
(1)讨论b,k的取值.
(2)分别画出两种函数的所有图象.(不需列表)
(3)求与的交点个数.
5．（2016·福建省中考真题）已知，抛物线（ a≠0）经过原点，顶点为A（h，k）（h≠0）．
（1）当h＝1，k＝2时，求抛物线的解析式；
（2）若抛物线（t≠0）也经过A点，求a与t之间的关系式；
（3）当点A在抛物线上，且－2≤h＜1时，求a的取值范围．
考法5 圆中分类讨论
题型1：周角的顶点位置不确定需分类讨论。
【典例精析】
例题1．（2019·江苏初三期中）⊙O的半径是2，弦AB＝2，点C为⊙O上的一点（不与点A、B重合），则∠ACB的度数为_____°．
【针对训练】
1．（2019·北京西城区外国语学校初三期中）如图，A，B是⊙O上的两点，C是⊙O上不与A，B重合的任意一点．如果∠AOB＝140°，那么∠ACB的度数为___．
2．（2019·江苏泰州中学附属初中初三月考）如图，在半径为4的⊙O中，弦AB长为4．
（1）求圆心O到弦AB的距离；
（2）若点C为⊙O上一点（不与点A，B重合），求∠ACB的度数．
题型2：两平行弦相对于圆心的位置不确定需分类讨论。
【典例精析】
例题 1．（2018·全国初三课时练习）⊙O的直径为10cm，弦AB∥CD，且AB＝8cm，CD＝6cm，则弦AB与CD之间的距离为___________．
【针对训练】
1．（2018·山东初三期末）已知⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB＝8cm，且AB⊥CD，则AC的长度为_____．
2．（2018·中国农业大学附属中学初三专题练习）已知⊙O的半径为13cm，弦AB//CD，AB＝24cm，CD＝10cm，则AB、CD之间的距离为________．
