第1节 行星的运动
1.下列关于开普勒对行星运动规律的认识的说法正确的是( A )
A.所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆
B.所有行星绕太阳运动的轨道都是圆
C.所有行星的轨道的半长轴的二次方跟公转周期的三次方的比值都相同
D.所有行星的公转周期与行星的轨道半径成正比
解析:由开普勒第一定律知所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆,太阳处在椭圆的一个焦点上,选项A正确,B错误;由开普勒第三定律知所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等,选项C,D错误。
2.火星绕太阳的公转周期约是金星绕太阳公转周期的3倍,则火星轨道半径与金星轨道半径之比约为( A )
A.2∶1 B.3∶1 C.6∶1 D.9∶1
解析:根据开普勒第三定律,得=,则===2,选项A
正确。
3.16世纪,哥白尼根据天文观测的大量资料,经过40多年的天文观测和潜心研究,提出了“日心说”的如下四个基本论点,这四个论点目前看不存在缺陷的是( D )
A.宇宙的中心是太阳,所有行星都在绕太阳做匀速圆周运动
B.地球是绕太阳做匀速圆周运动的行星,月球是绕地球做匀速圆周运动的卫星,它绕地球运动的同时还跟地球一起绕太阳运动
C.天穹不转动,因为地球每天自西向东自转一周,造成天体每天东升西落的现象
D.与日地距离相比,其他恒星离地球都十分遥远,比日地间距离大
得多
解析:天文学家开普勒在认真整理了第谷的观测资料后,在哥白尼学说的基础上,抛弃了圆轨道的说法,提出了以大量观测资料为依据的开普勒三定律,揭示了天体运动的真相,所有行星围绕太阳运动的轨道为椭圆,太阳处于椭圆的一个焦点上,整个宇宙是在不停运动的,故选项D不存在缺陷。
4.某行星绕太阳运行的椭圆轨道如图所示,F1和F2是椭圆轨道的两个焦点,行星在A点的速率比在B点的大,则太阳位于( A )
A.F2点 B.A点 C.F1点 D.B点
解析:由开普勒第二定律可知,行星在近日点的速率大于在远日点的速率,结合题意可知,太阳位于F2,故选项A正确。
5.根据开普勒行星运动定律,下列说法错误的是( D )
A.人造地球卫星的轨道都是椭圆,地球在椭圆的一个焦点上
B.同一卫星离地球越远,速率越小
C.不同卫星,轨道越大周期越大
D.同一卫星绕不同的行星运行,的值都相同
6.关于开普勒第二定律,理解正确的是( D )
A.行星绕太阳运动时,一定做匀速圆周运动
B.行星绕太阳运动时,一定做匀变速曲线运动
C.行星绕太阳运动时,由于角速度相等,故在近日点处的线速度小于它在远日点处的线速度
D.行星绕太阳运动时,由于它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等,故它在近日点的线速度大于它在远日点的线速度
解析:行星绕太阳运动的轨道是椭圆,故行星做变速曲线运动,但不是匀变速曲线运动,A,B错误;根据开普勒第二定律可知,在近日点时行星的线速度大于在远日点时行星的线速度,C错误,D正确。
7.理论和实践证明,开普勒定律不仅适用于太阳系中的天体运动,而且对一切天体(包括卫星绕行星的运动)都适用。下面对于开普勒第三定律的公式=k说法正确的是( C )
A.公式只适用于轨道是椭圆的运动
B.式中的k值,对于所有行星(或卫星)都相等
C.式中的k值,只与中心天体有关,与绕中心天体旋转的行星(或卫星)无关
D.若已知月球与地球之间的距离,根据公式可求出地球与太阳之间的距离
解析:如果行星和卫星的轨道为圆轨道,公式=k也适用,但此时公式中的a为轨道半径,故选项A错误;比例系数k是一个由中心天体决定的常量,但不是恒量,不同的星系中,k值不同,故选项B错误,C正确;月球绕地球转动的k值与地球绕太阳转动的k值不同,故选项D错误。
8.火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行,根据开普勒行星运动定律可知( C )
A.太阳位于木星运行轨道的中心
B.火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等
C.火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方
D.相同时间内,火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积
解析:太阳应位于行星运行轨道的一个焦点上,而焦点不是轨道中心,A错误;火星和木星绕太阳运行时是不在同一个轨道上的,根据开普勒第二定律可知,同一个行星与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积,D错误;火星和木星绕太阳运行速度的大小也是不可能始终相等的,B错误;根据开普勒第三定律=可知=,C正确。
9.我国自行研制的“北斗卫星导航系统”空间段由5颗静止轨道卫星和30颗非静止轨道卫星组成,可提供高精度的定位、导航和授时服务。静止轨道卫星工作在距地面高度约为5.6倍地球半径的地球同步轨道上。已知月球绕地球公转的周期约为27天,可知月球绕地球公转的轨道半径约为地球半径的( B )
A.50倍 B.60倍 C.150倍 D.180倍
解析:设地球半径为R,因为静止轨道卫星和月球都是绕着地球运动,故根据开普勒第三定律=k可得=,解得r=≈60R,故B正确。
10.土星直径为119 300 km,是太阳系中第二大行星,自转周期只需 10 h 39 min,公转周期为29.4年,距离太阳1.432×109 km。土星最引人注目的是绕着其赤道的巨大光环。在地球上人们只需要一架小型望远镜就能清楚地看到光环,环的外沿直径约为 274 000 km。请由上面提供的信息,估算地球距太阳有多远。(保留两位有效数字)
解析:根据开普勒第三定律有=k,k只与太阳质量有关。则=,其中T为公转周期,R为行星到太阳的距离。代入数值得=,得R地≈1.5×1011 m=1.5×108 km。
答案:1.5×108 km
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第2节 太阳与行星间的引力
1.假设行星绕太阳在某轨道上做匀速圆周运动,下列说法正确的是( D )
A.行星受到太阳的引力和向心力
B.太阳对行星有引力,行星对太阳没有引力
C.太阳对行星的引力大于行星对太阳的引力
D.太阳对行星的引力与行星的质量成正比
解析:向心力是效果力,它由物体所受外力提供,A错误;太阳与行星间的引力是一对相互作用力,大小相等,B,C错误;由于太阳质量为确定值,因此太阳对行星的引力与行星的质量成正比,D正确。
2.太阳对行星的引力提供了行星绕太阳做匀速圆周运动的向心力,这个向心力大小( C )
A.与行星到太阳的距离成正比
B.与行星到太阳的距离成反比
C.与行星到太阳的距离的平方成反比
D.只与太阳质量成正比,与行星质量无关
解析:行星围绕太阳做匀速圆周运动,太阳对行星的引力提供向心力,与太阳和行星质量的乘积成正比,与行星到太阳的距离的平方成反比,选项A,B,D错误,C正确。
3.行星绕太阳的实际运动轨迹为椭圆,如图所示。那么( D )
A.在近日点所受太阳的引力较在远日点小
B.在近日点与远日点所受太阳的引力相等
C.当行星运动到图中A点时所受引力的方向指向椭圆中心O
D.当行星运动到图中A点时所受引力的方向指向太阳
解析:根据公式F=G可知,行星在近日点所受太阳引力大于在远日点所受太阳引力,故A,B错误;行星受到太阳的引力方向指向太阳,故C错误,D正确。
4.火星是地球的近邻,它们均绕太阳运行,已知火星的轨道半径约为地球轨道半径的1.5倍,火星的质量和半径分别约为地球的0.1倍和0.5倍,则太阳对地球的引力和太阳对火星的引力的比值为( C )
A.10 B.20 C.22.5 D.45
解析:由F=得=·=×1.52=22.5,选项C正确。
5.行星绕太阳运行可看成是匀速圆周运动,行星所受引力F与轨道半径r的关系是( D )
A.F与r成正比 B.F与r成反比
C.F与r2成正比 D.F与r2成反比
解析:行星做匀速圆周运动时,向心力由太阳引力提供,此时行星与太阳间的距离即为行星的轨道半径,由太阳与行星间的引力F=可知,选项D正确。
6.两个行星的质量分别为m1和m2,它们绕太阳运行的轨道半径分别是r1和r2,若它们只受太阳引力的作用,那么这两个行星的向心加速度
之比为( D )
A.1 B. C. D.
解析:设行星m1,m2的向心力分别是F1,F2,
由太阳、行星之间的作用规律可得:F1∝,
F2∝,而a1=,a2=,故=,选项D正确。
7.把行星的运动近似看做匀速圆周运动以后,开普勒第三定律可写为k=,m为行星质量,则可推得( C )
A.行星所受太阳的引力为F=k
B.行星所受太阳的引力都相同
C.行星所受太阳的引力为F=k
D.质量越大的行星所受太阳的引力一定越大
解析:行星所受太阳的引力提供行星绕太阳做匀速圆周运动的向心力,由公式F=m,又v=,结合k=,可得F=k,故选项C正确,A错误;不同行星所受的太阳的引力由太阳、行星的质量和行星与太阳间的距离决定,故选项B,D错误。
8.在研究太阳对行星的引力时,其数学推导过程大致可按如下方框图进行。请观察该方框图的线索,按其说明和要求,把推导出的关系式填在空格上并回答后面问题。(设太阳的质量为M,行星的质量为m,行星绕太阳运行的周期为T,行星与太阳的间距为r)
(1)由以上推导过程可得,质量为M 的太阳对质量为m 的行星的引力F 的关系式是 ,对关系式中F 来说,m是施力星体还是受力星体的质量? 。?
(2)如果用“施力星体”或“受力星体”来概括关系式中两星体间引力F 跟m的关系,可以得出什么猜想??
。?
(3)行星对太阳也有引力,由以上猜想,该引力F′跟太阳质量M 有何关系?为什么??
。?
(4)F 和F′是一对作用力和反作用力,因此可以得出F大小跟太阳质量M、行星质量m的关系式是 。?
答案:F= F= F∝ 因为左式中4π2 k是常量
(1)F∝ 受力星体的质量
(2)星体对星体的引力跟受力星体的质量成正比
(3)F′跟 M 成正比,因为太阳是 F′的受力星体, F′∝
(4)F′∝
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第3节 万有引力定律
基础训练
1.如有两艘轮船,质量都是1.0×107 kg,相距10 km,已知引力常量G=6.67×10-11 N·m2/kg2,则它们之间的万有引力的大小为( A )
A.6.67×10-5 N,相比于船自身的重力,该引力可忽略
B.6.67×10-5 N,相比于船自身的重力,该引力不能忽略
C.6.67×106 N,相比于船自身的重力,该引力可忽略
D.6.67×106 N,相比于船自身的重力,该引力不能忽略
解析:由万有引力定律F=G可得F=6.67×10-11× N=6.67×
10-5 N,作为估算,g取10 m/s2,则万有引力与重力的比值==
6.67×10-13,所以,相比于船自身的重力,该引力可忽略。
2.地球对月球具有相当大的万有引力,而它们却不靠在一起的原因是( D )
A.与被地球吸引在地球表面的人的重力相比,地球对月球的引力还不算大
B.由于月球质量太大,地球对月球引力产生的加速度太小,以至观察不到月球的下落
C.不仅地球对月球有万有引力,而且太阳系里的其他星球对月球也有万有引力,这些力的合力为零
D.地球对月球的万有引力不断改变月球的运动方向,使得月球绕地球做圆周运动
解析:地球对月球的引力远大于地球对在地球表面的人的吸引力,A错误;月球所受到的万有引力主要来自于地球,太阳系里的其他星球对月球也有万有引力,可忽略,C错误;地球对月球的万有引力为月球做圆周运动提供向心力,B错误,D正确。
3.2019年1月,我国嫦娥四号探测器成功在月球背面软着陆,在探测器“奔向”月球的过程中,用h表示探测器与地球表面的距离,F表示它所受的地球引力,能够描述F随h变化关系的图象是( D )
解析:根据万有引力定律可得F=,探测器与地球表面的距离h越大,它所受的地球引力F越小,故D正确。
4.如图所示,两球间距离为r,半径分别为r1,r2,而球质量分布均匀,大小分别为m1,m2,则两球间的万有引力的大小为( D )
A.G B.G
C.G D.G
解析:两球质量分布均匀,可认为质量集中于球心,根据万有引力定律公式得F=G,选项D正确。
5.地球的质量是月球质量的81倍,若地球吸引月球的力为F,则月球吸引地球的力的大小为( B )
A. B.F
C.9F D.81F
解析:物体间的万有引力同样满足牛顿第三定律。
6.两个大小相同的实心小铁球紧靠在一起,它们之间的万有引力为F。若将两个用同种材料制成的半径是小铁球2倍的实心大铁球紧靠在一起,则两个大铁球之间的万有引力为( D )
A.2F B.4F C.8F D.16F
解析:两个小铁球之间的万有引力为F=G=G。实心球的质量为m=ρV=ρ·πr3,大铁球的半径是小铁球的2倍,则大铁球的质量m′与小铁球的质量m之比为==8。故两个大铁球间的万有引力为F′=G=G=16F。故选项D正确。
7.据报道,科学家曾在太阳系外发现了首颗“宜居”行星,其质量约为地球质量的6.4倍,一个在地球表面重力为600 N 的人在这个行星表面的重力将变为960 N。由此可推知,该行星的半径与地球半径之比约为( B )
A.0.5 B.2
C.3.2 D.4
解析:设地球质量为M1,半径为R1,行星质量为M2,半径为R2。人的质量为m,在地球和行星上的重力分别为G1,G2,则G1=G,G2=G。两式联立可得=2,选项B正确。
8.某星球的质量与地球质量相同,半径为地球半径的两倍。假设人类在该星球上能正常进行各种活动,则与地球上相比,在该星球上
( A )
A.跳高运动员会跳得更高
B.水平投出的篮球下落得更快
C.烧开一壶水需要的时间更长
D.称体重时弹簧秤体重计的读数更大
解析:质量与地球质量相同,而半径为地球半径的两倍,则相应的该星球对物体引力为地球上的,重力加速度也为地球上的,所以,跳高运动员会跳得更高,A正确;而水平投出的篮球下落得更慢,称体重时弹簧秤体重计的读数更小,烧开一壶水需要的时间与重力加速度无关,B,C,D错误。
9.甲、乙两星球的平均密度相等,半径之比是R甲∶R乙=4∶1,则同一物体在这两个星球表面受到的重力之比是( B )
A.1∶1 B.4∶1
C.1∶16 D.1∶64
解析:由G=mg,M=ρ·πR3可以推得,G甲∶G乙=R甲∶R乙=4∶1。
10.某行星的质量是地球质量的一半,半径也是地球半径的一半。某运动员在地球上能举起250 kg的杠铃,在该行星上最多能举起质量为多少的杠铃?
解析:该运动员在地球上所能举起的杠铃的重力与他在行星上所能举起的杠铃的重力相等,而重物的重力近似等于万有引力
在地球上:m1g地=G,
在行星上:m2g行=G,
因为m1g地=m2g行,
所以G=G,
所以m2=·()2m1=×()2×250 kg=125 kg。
答案:125 kg
能力提升
11.理论上已经证明:质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零.假设地球是一个半径为R、质量分布均匀的实心球体,O为球心,以O为原点建立坐标轴Ox,如图所示。一个质量一定的小物体(可视为质点,假设它能够在地球内部移动)在x轴上各位置受到的引力大小用F表示,则下列选项中的四个F随x的变化关系图正确的是( A )
解析:由题意,物体在地球内部距离球心x的位置时,外面球壳对其引力为0,内部以x为半径的球体对物体的引力为F=G=G=πGρmx,F∝x,图象为过原点的倾斜直线;当x>R时,地球对物体的引力为F=G=G,F∝,故A正确.
12.若想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵循同样的规律,在已知月地距离约为地球半径60倍的情况下,需要验证( B )
A.地球吸引月球的力约为地球吸引苹果的力的
B.月球公转的加速度约为苹果落向地面加速度的
C.月球表面的加速度约为地球表面的
D.苹果在月球表面受到的引力约为在地球表面的
解析:若想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵循同样的规律——万有引力定律,则应满足G=ma,因此加速度a与距离r的二次方成反比,选项B正确。
13.(1)开普勒行星运动第三定律指出:行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴a的三次方与它的公转周期T的二次方成正比,即=k,k是一个对所有行星都相同的常量。将行星绕太阳的运动按圆周运动处理,请你推导出太阳系中该常量k的表达式。已知引力常量为G,太阳的质量为M太。
(2)开普勒定律不仅适用于太阳系,它对一切具有中心天体的引力系统(如地月系统)都成立。经测定月地距离为3.84×108 m,月球绕地球运动的周期为2.36×106 s,试计算地球的质量M地。(G=6.67×10-11 N·m2/kg2,结果保留一位有效数字)
解析:(1)因行星绕太阳做匀速圆周运动,于是轨道的半长轴a即为轨道半径r。根据万有引力定律和牛顿第二定律有G=m行2r
于是有=M太
即k=M太。
(2)在地月系统中,设月球绕地球运动的轨道半径为R,周期为T,由(1)问可得=M地
解得M地=6×1024 kg。
答案:(1)k=M太
(2)6×1024 kg
14.一物体在地球表面重16 N,地面上重力加速度为10 m/s2。它在以5 m/s2的加速度加速上升的火箭中的视重为9 N,则此火箭离地球表面的距离为地球半径的多少倍?
解析:设此时火箭上升到离地球表面高度为h处,火箭上物体的视重等于物体受到的支持力FN,物体受到的重力为mg′,g′是h高处的重力加速度,由牛顿第二定律得
FN-mg′=ma, ①
其中m=,代入①式得
mg′=FN-a=(9-×5) N=1 N。
在距离地面为h处,物体的重力为1 N,物体的重力等于万有引力,
在地球表面处mg=G, ②
在距地面h高处,mg′=G,③
由②③可得,=,
所以R地+h=R地=R地=4R地。
所以h=3R地。
答案:3倍
15.某星球的质量约为地球的9倍,半径约为地球的。若从地球上高h处平抛一物体,水平射程为60 m,则在该星球上从同样的高度和同样的初速度平抛同一物体,水平射程为多少?
解析:设星球的质量为M1,半径为R1,表面的重力加速度为g1,地球的质量为M2,半径为R2,表面的重力加速度为g2。
则在星球表面的物体,G=mg1,
在地球表面的物体, G=mg2,
则重力加速度之比为
===36。
平抛物体时,x=vt,h=gt2,
所以x=v,
水平射程之比==,
则在星球表面的水平射程
x1=x2=10 m。
答案:10 m
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第4节 万有引力理论的成就
基础训练
1.到了1821年,人们发现天王星的实际轨道与由万有引力定律计算出的理论轨道存在较大的差异,当时人们提出了以下各种猜想,之后被证明符合事实的是( C )
A.可能是天文观测的数据还不够准确
B.可能是天王星内侧的土星和木星对它的吸引而产生的
C.可能是天王星外侧的一颗未知行星对它的吸引而产生的
D.可能是天王星的一颗质量很大的卫星对它的吸引造成的
解析:天王星的实际轨道与由万有引力定律计算出的理论轨道存在较大的差异,是因为天王星外侧的海王星(当时未知)对它的吸引而产
生的。
2.一艘宇宙飞船沿着围绕未知天体的圆形轨道飞行,航天员只用一块停表,不能测量出的物理量是( C )
A.飞船的周期 B.飞船的角速度
C.飞船的线速度 D.未知天体的密度
解析:航天员可用停表测量宇宙飞船绕天体运动的周期T,由ω=可确定飞船的角速度;当宇宙飞船靠近未知天体时,由ρ=可确定未知天体的密度;由于不知道未知天体的半径,因此不能测量出飞船的线速度,故选项C正确。
3.若在某行星和地球上相对于各自水平地面附近相同的高度处、以相同的速率平抛一物体,它们在水平方向运动的距离之比为2∶。已知该行星质量约为地球的7倍,地球的半径为R。由此可知,该行星的半径为( C )
A.R B.R C.2R D.R
解析:根据平抛运动规律,有x=v0t,h=gt2,解得x=v0,两种情况下,抛出的速度相同,高度相同,故=;由G=mg可得g=G,则==,解得R行=2R,选项C正确。
4.引力常量G=6.67×10-11 N·m2/ kg2,太阳光传到地球约需8分钟,估算太阳与地球质量之和的数量级为( C )
A.1024 kg B.1027 kg C.1030 kg D.1035 kg
解析:地球绕太阳公转时,由万有引力提供向心力,即G=m()2r,得M=,其中r=ct(c为光速3.0×108 m/s),T=365×24×3 600 s,代入数据计算可得太阳质量的数量级为1030 kg。又地球的质量远小于太阳质量,可忽略,故选项C正确。
5.地球表面的重力加速度为g,地球半径为R,引力常量为G,则地球的平均密度为( A )
A. B.
C. D.
解析:在地球表面处有G=mg,地球的平均密度ρ=,解得ρ=,A正确。
6.2013年12月14日21时许,“嫦娥三号”携带“玉兔”探测车在月球虹湾成功软着陆,在实施软着陆过程中,“嫦娥三号”离月球表面4 m高时最后一次悬停,确认着陆点。若总质量为M的“嫦娥三号”在最后一次悬停时,反推力发动机对其提供的反推力为F,已知引力常量为G,月球半径为R,则月球的质量为( A )
A. B. C. D.
解析:“嫦娥三号”悬停时有F=Mg,又G=Mg,得M月=。
7.科学家们推测,太阳系的某星球和地球在同一轨道平面上。从地球上看,它永远在太阳的背面,人类一直未能发现它,可以说是“隐居”着的地球的“孪生兄弟”。由以上信息我们可以推知( A )
A.该星球的公转周期等于地球公转周期
B.该星球的公转半径可能大于地球公转半径
C.该星球的公转半径可能小于地球公转半径
D.该星球的质量一定等于地球的质量
解析:根据万有引力提供向心力,=m,已知太阳系的某星球和地球在同一轨道平面上,所以轨道半径和地球轨道半径相等,所以某星球的公转周期等于地球的公转周期,质量大小无法确定,故选A。
8.天文单位(简写AU)是天文常数之一。历史上定义为地球和太阳之间的平均距离。已知水星距离太阳为0.4 AU,木星距离太阳约5.2 AU,海王星距离太阳约30.1 AU,则这些行星中公转角速度比地球的公转角速度小得多的是( D )
A.水星 B.地球
C.木星 D.海王星
解析:行星绕太阳公转时有G=mω2r,故距离太阳越远的行星,其公转角速度越小。
9.金星、地球和火星绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动,它们的向心加速度大小分别为a金,a地,a火,它们沿轨道运行的速率分别为v金,v地,v火。已知它们的轨道半径R金A.a金>a地>a火 B.a火>a地>a金
C.v地>v火>v金 D.v火>v地>v金
解析:金星、地球和火星绕太阳做匀速圆周运动的向心力由万有引力提供,由G=ma可知,轨道半径越小,向心加速度越大,故A正确,B错误;由G=m得v=,可知轨道半径越小,运行速率越大,故C,D
错误。
10.“超级地球”是指环绕恒星公转的类地行星。科学家们发现有两颗不同质量的“超级地球”环绕一颗体积比太阳略小的恒星公转,其轨道半径之比为2∶5,根据上述信息可以计算( A )
A.两颗“超级地球”运动的线速度之比
B.两颗“超级地球”的密度之比
C.两颗“超级地球”所受的引力之比
D.该恒星的质量
解析:“超级地球”环绕恒星公转时有G=m,得v=,故两颗“超级地球”运动的线速度与其轨道半径的平方根成反比,选项A正确。
能力提升
11.(2018·浙江11月选考)20世纪人类最伟大的创举之一是开拓了太空的全新领域。现有一艘远离星球在太空中直线飞行的宇宙飞船,为了测量自身质量,启动推进器,测出飞船在短时间Δt内速度的改变为Δv和飞船受到的推力F(其他星球对它的引力可忽略)。飞船在某次航行中,当它飞近一个孤立的星球时,飞船能以速度v在离星球的较高轨道上绕星球做周期为T的匀速圆周运动。已知星球的半径为R,引力常量用G表示。则宇宙飞船和星球的质量分别是( D )
A., B.,
C., D.,
解析:根据牛顿第二定律,有F=ma,又a=,解得m=;飞船做圆周运动的周期T=,半径为R=,根据万有引力提供向心力,有G=m,解得M==,故D正确。
12.假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体。一矿井深度为d。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为( A )
A.1- B.1+
C.()2 D.()2
解析:设地球的密度为ρ,地球的质量为M,根据万有引力定律可知,地球表面的重力加速度g=。地球质量可表示为M=πR3ρ。因质量分布均匀的球壳对球壳内物体的引力为零,所以矿井下以(R-d)为半径的地球的质量为M′=π(R-d)3ρ,解得M′=()3M,则矿井底部处的重力加速度g′=,则矿井底部处的重力加速度和地球表面的重力加速度之比为=1-,选项A正确。
13.通过观察冥王星的卫星,可以推算出冥王星的质量。假设卫星绕冥王星做匀速圆周运动,除了引力常量外,至少还需要两个物理量才能计算出冥王星的质量。这两个物理量可以是( D )
A.卫星的质量和速度
B.卫星的质量和轨道半径
C.卫星的质量和角速度
D.卫星的运行周期和轨道半径
解析:根据万有引力提供向心力,则G=m=mω2r,由于卫星的质量m约掉,故与卫星的质量无关,由于选项A,B,C中缺少一个已知量,故A,B,C错误;若知道卫星的周期和半径,则G=m()2r,整理得到
M=,故选项D正确。
14.设地球的自转角速度为ω0,地球半径为R,地球表面重力加速度为g。某人造卫星在赤道上空做匀速圆周运动,轨道半径为r,且r<5R(已知同步卫星距地心的距离约为7R)。飞行方向与地球的自转方向相同。在某时刻,该人造卫星通过赤道上某建筑物的正上方,则到它下一次通过该建筑物正上方所需时间为( A )
A. B.
C. D.
解析:根据=mrω2得ω=,同步卫星距地心的距离大约为7R,而人造地球卫星r<5R,所以人造地球卫星的角速度大于地球自转的角速度。设人造地球卫星下一次通过该建筑物正上方所需时间为t,则
ωt-ω0t=2π,ω==,所以t==,A正确。
15.若飞船贴近月球表面绕月球做匀速圆周运动飞行的周期为T,宇航员登上月球后,以初速度v0竖直向上抛出一小球,测出小球从抛出到落回原处所需的时间为t,已知引力常量为G。求:
(1)月球的半径R;
(2)月球的质量M。
解析:(1)飞船靠近月球表面做匀速圆周运动,有G=mR,
质量为m′的小球在月球上做竖直上抛运动,有t=,
又m′g月=G,
由以上各式可求得R=。
(2)由公式m′g月=G,
得M=。
答案:(1) (2)
16.假设在半径为R的某天体上发射一颗该天体的卫星。若它贴近该天体的表面做匀速圆周运动的周期为T1,已知引力常量为G。
(1)则该天体的密度是多少?
(2)若这颗卫星距该天体表面的高度为h,测得卫星在该处做圆周运动的周期为T2,则该天体的密度又是多少?
解析:设卫星的质量为m,天体的质量为M。
(1)卫星贴近天体表面运动时有G=mR,M=
根据数学知识可知天体的体积为V=πR3
故该天体的密度为ρ===。
(2)卫星距天体表面的高度为h时,有
G=m(R+h)
M=
ρ===。
答案:(1) (2)
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第5节 宇宙航行 第6节 经典力学的局限性
基础训练
1.如图所示,图中v1,v2和v3分别为第一、第二和第三宇宙速度,三个飞行器a,b,c分别以第一、第二和第三宇宙速度从地面上发射,三个飞行器中能够克服地球的引力,永远离开地球的是( D )
A.只有a B.只有b
C.只有c D.b和c
解析:当发射的速度大于等于第二宇宙速度,卫星会挣脱地球的引力,不再绕地球飞行,当发射的速度大于等于第三宇宙速度,卫星会挣脱太阳的引力,飞出太阳系,故D正确,A,B,C错误。
2.若有一颗“宜居”行星,其质量为地球的p倍,半径为地球的q倍,则该行星卫星的环绕速度是地球卫星环绕速度的( C )
A.倍 B.倍
C.倍 D.倍
解析:设地球质量为M,半径为R,根据=得,地球卫星的环绕速度为v=,同理该“宜居”行星卫星的环绕速度为v′=,故v′为地球卫星环绕速度的倍。选项C正确。
3.我们在推导第一宇宙速度的公式v=时,需要作一些假设和选择一些理论依据,现有如下的假设或理论依据:
①卫星做半径等于地球半径的匀速圆周运动;
②卫星所受的重力全部作为其所需的向心力;
③卫星所受的万有引力仅有一部分作为其所需的向心力;
④卫星的运转周期必须等于地球的自转周期。
其中必要的是( A )
A.①② B.①③
C.②③ D.②④
解析:推导第一宇宙速度的公式时,万有引力全部作为卫星所需的向心力,即G=m,而当卫星的轨道半径等于地球半径时,即r=R,G=
mg,由此得mg=m,则v=,此公式与地球自转周期无关,因此①②正确,③④错误。
4.一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动,其线速度大小为v,假设宇航员在该行星表面用弹簧测力计测量一质量为m的物体的重力,当物体处于竖直静止状态时,弹簧测力计的示数为F,已知引力常量为G,则这颗行星的质量为( B )
A. B. C. D.
解析:由F=mg得,行星表面的重力加速度g=。卫星绕行星表面附近做半径为r的匀速圆周运动时,G=m′=m′g,整理得行星的质量M=,选项B正确。
5.某行星有甲、乙两颗卫星,它们的轨道均为圆形,甲的轨道半径为R1,乙的轨道半径为R2,R1>R2。根据以上信息可知( B )
A.甲的质量大于乙的质量
B.甲的周期大于乙的周期
C.甲的速率大于乙的速率
D.甲所受行星的引力大于乙所受行星的引力
解析:人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动时由万有引力提供向心力,由G=m=m2r可得:卫星甲的轨道半径大,运动周期大,而线速度和角速度都小,因不知甲、乙各自的质量,因此无法比较二者所受行星的引力大小。
6.(2017·浙江11月选考)如图所示是小明同学画的人造地球卫星轨道的示意图,则卫星( D )
A.在a轨道运行的周期为24 h
B.在b轨道运行的速度始终不变
C.在c轨道运行的速度大小始终不变
D.在c轨道运行时受到的地球引力大小是变化的
解析:同步卫星必须在赤道正上空,所以a轨道不可能是同步轨道,选项A错误;b轨道上的卫星的速度方向不断变化,选项B错误;地球在c轨道的其中一个焦点上,卫星在近地点时的速度大,在远地点时的速度小,选项C错误;在c轨道上,卫星离地球的距离变化,根据F=G可以看出地球的引力大小不断变化,D正确。
7.(2019·浙江6月学考)我国自主研发的北斗卫星导航系统中有数颗地球同步轨道卫星(其周期与地球自转周期相同),A是其中一颗。物体B静止于赤道上随地球自转。分别把A,B的角速度记为ωA,ωB,线速度记为vA,vB,加速度记为aA,aB,所受地球万有引力记为FA,FB,则( C )
A.ωA>ωB B.vAaB D.FA>FB
解析:由题意知,A,B的角速度ωA=ωB,做圆周运动的半径rA>rB,则由v=ωr,an=ω2r得,vA>vB,aA>aB,A,B的质量关系不确定,不能得出FA与FB的大小关系。
8.“神舟十一号”飞船于2016年10月17日7时30分在中国酒泉卫星发射中心发射,将景海鹏和陈冬送入距离地球表面393 km的“天宫二号”空间实验室。下列说法中正确的是( D )
A.宇航员在空间站里不受地球引力
B.宇航员绕地球一圈的时间大于24小时
C.“天宫二号”运行速度大于7.9 km/s
D.“天宫二号”运行的角速度大于地球同步轨道卫星的角速度
解析:宇航员在空间站里仍受地球引力作用,A错误;近地卫星的周期远小于地球自转的周期,角速度远大于地球自转角速度,故B错误,D正确;7.9 km/s是第一宇宙速度,即卫星的最大运行速度,C错误。
9.研究表明,地球自转在逐渐变慢,3亿年前地球自转的周期约为22小时。假设这种趋势会持续下去,地球的其他条件都不变,未来人类发射的地球同步卫星与现在的相比( A )
A.距地面的高度变大 B.向心加速度变大
C.线速度变大 D.角速度变大
解析:地球的自转周期变大,则地球同步卫星的公转周期变大。由=m(R+h),得h=-R,T变大,h变大,选项A正确;由=ma,得a=,r增大,a减小,选项B错误;由=,得v=,r增大,v减小,选项C错误;由ω=可知,角速度减小,选项D错误。
10.我国于2016年9月15日发射的“天宫二号”空间实验室运行在距地面495 km的轨道上,并陆续与“神舟十一号”飞船和“天舟货运飞船”交会对接。关于它们的交会对接,以下说法正确的是( B )
A.飞船在同轨道上加速直到追上“天宫二号”完成对接
B.飞船从较低轨道,通过加速追上“天宫二号”完成对接
C.在同一轨道上的“天宫二号”通过减速完成与飞船的对接
D.只要飞船在“天宫二号”后方,飞船通过加速就一定能追上“天宫二号”实现对接
解析:飞船与“天宫二号”空间实验室正确对接的方法是处于较低轨道的飞船在适当位置通过适当加速,恰好提升到“天宫二号”所在高度并与之交会对接。若飞船与“天宫二号”原来在同一轨道上运动,后面的飞行器加速会上升到较高运动轨道,前面的飞行器减速会下降到较低的运动轨道,这样都不能完成交会对接。综上所述,选项B
正确。
能力提升
11.(2016·浙江10月选考)如图所示,“天宫二号”在距离地面393 km的近圆轨道运行。已知引力常量G=6.67×10-11 N·m2/kg2,地球质量M=6.0×1024kg,地球半径R=6.4×103 km。由以上数据可估算( B )
A.“天宫二号”质量
B.“天宫二号”运行速度
C.“天宫二号”受到的向心力
D.地球对“天宫二号”的引力
解析:由=,则v=,可估算“天宫二号”的运行速度,选项B正确,A错误;由于不知“天宫二号”的质量,选项C,D错误。
12.为探寻失联的MH370客机,有一颗绕地球近地轨道做匀速圆周运动的卫星,间隔相同时间在北半球预计失事区域的正上方海面照相。则该卫星( D )
A.可能是同步卫星
B.运行速度大于第一宇宙速度
C.每运行一周经过失事区域的正上方一次
D.运行多周才经过失事区域的正上方一次
解析:同步卫星不可能经过北半球预计失事区域的正上方,故A错误;第一宇宙速度是地球卫星做匀速圆周运动的最大速度,故B错误;近地轨道的卫星绕地球做匀速圆周运动的周期小于地球自转的周期,该卫星运行多周才经过失事区域的正上方一次,故C错误,D正确。
13.登上火星是人类的梦想之一,“嫦娥之父”欧阳自远透露:中国计划于2020年登陆火星。地球和火星的公转可视为匀速圆周运动,忽略行星自转影响,根据下表,火星和地球相比( B )
行星 半径/m 质量/kg 轨道半径/m
地球 6.4×106 6.0×1024 1.5×1011
火星 3.4×106 6.4×1023 2.3×1011
A.火星的公转周期较小
B.火星做圆周运动的加速度较小
C.火星表面的重力加速度较大
D.火星的第一宇宙速度较大
解析:太阳对行星的万有引力提供行星绕太阳运动的向心力,设太阳的质量为M,行星的质量为m,行星运动的轨道半径为r,则有 G=
man=m()2r,行星公转周期T=,做圆周运动的加速度an=G,比较表中数据,A错误,B正确;设行星的半径为R,行星上一个物体质量为m0,则G=m0g,行星表面的重力加速度g=G,故 =≈2.65,火星表面的重力加速度较小,C错误;设行星的第一宇宙速度为v,则G=m0,第一宇宙速度v=,故 =≈2.23,火星的第一宇宙速度较小,D错误。
14.(2017·浙江4月选考)如图所示,设行星绕太阳的运动是匀速圆周运动,金星自身的半径是火星的n倍,质量为火星的k倍,不考虑行星自转的影响,则( B )
A.金星表面的重力加速度是火星的倍
B.金星的“第一宇宙速度”是火星的倍
C.金星绕太阳运动的加速度比火星小
D.金星绕太阳运动的周期比火星大
解析:由G=mg得,星球表面的重力加速度g=G,金星表面的重力加速度是火星的倍,A错误;由G=m得,“第一宇宙速度”v=,故金星的“第一宇宙速度”是火星的倍,B正确;由G=r=man,行星绕太阳运行的加速度an=G,运行的周期T= ,而金星绕太阳运动的轨道半径比火星小,故金星绕太阳运动的加速度比火星大,周期比火星小,C,D错误。
15.天文学家发现了一颗距地球40光年的“超级地球”,名为“55 Cancrie”,该行星绕母星(中心天体)运行的周期约为地球绕太阳运行周期的,母星的体积约为太阳的60倍.假设母星与太阳密度相同,“55 Cancrie”与地球均做匀速圆周运动,则“55 Cancrie”与地球的( B )
A.轨道半径之比约为
B.轨道半径之比约为
C.向心加速度之比约为
D.向心加速度之比约为
解析:由公式G=m()2r,可得通式r=,则==,从而判断选项A错、B对;再由G=ma得通式a=G,则=·==,所以选项C,D都错.
16.据报道:某国发射了一颗质量为100 kg、周期为1 h的人造环月卫星,一位同学记不住引力常量G的数值,且手边没有可查找的资料,但他记得月球半径为地球半径的,月球表面重力加速度为地球表面重力加速度的,经过推理,他认定该报道是假新闻,试写出他的论证方案。(地球半径约为6.4×103 km,g地取9.8 m/s2)
解析:对环月卫星,根据万有引力定律和牛顿第二定律得=mr,
解得T=2π
则r=R月时,T有最小值,又=g月
故Tmin=2π=2π=2π
代入数据解得Tmin≈1.73 h
环月卫星最小周期为1.73 h,故该报道是假新闻。
答案:见解析
17.在圆轨道上运动的质量为m的人造地球卫星,它到地面的距离等于地球半径R,地面上的重力加速度为g。求:
(1)卫星运动的线速度;
(2)卫星运动的周期。
解析:(1)人造地球卫星受地球的引力提供向心力,则
=,在地面,有g=,
两式联立解得v=。
(2)卫星运动的周期
T===4π。
答案:(1) (2)4π
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