(共20张PPT)
1 探索勾股定理
第1课时 认识勾股定理
第一章 勾股定理
答案显示
A
D
D
30
24
A
C
C
C
D
答案显示
84
5
3 cm
234m2
1．【2018?滨州】在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为( )
A．5 B．6
C．7 D．8
A
2．已知一个直角三角形的两条边长分别为3和4，则第三条边长的平方为( )
A．25 B．7
C．7或25 D．不确定
C
①勾为3，股为4
②股为3，弦为4
3．【中考·荆门】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为( )
A．5 B．6
C．8 D．10?
C
4．【中考·漳州】如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是线段BC上的动点(不含端点B，C)，若线段AD长为正整数，则点D的个数共有( )
A．5个 B．4个
C．3个 D．2个
C
利用勾股定理计算出AE长，可得AD的取值范围
E
过A作AE⊥BC，当D与E重合时，AD最短
利用等腰三角形的性质可得BE=EC，进而可得BE的长
5．【 2018 ·泸州】“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系验证了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b.若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为( )
A．9 B．6
C．4 D．3
D
a
b
5
a2＋b2＝25，ab＝8
(a－b) 2
＝a2＋b2－2ab
＝25－2×8
＝9
a－b＝3
6．如图，三个正方形围成一个直角三角形，64，100分别为所在正方形的面积，则图中字母M所代表的正方形的边长是( )
A．6 B．8
C．36 D．164
A
7．如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为3和4，则b的面积为( )
A．3 B．4 C．5 D．7
D
根据勾股定理的几何意义，
b的面积＝ a的面积+c的面积
＝3＋4 ＝7．
8．如图，分别以直角三角形的边a，b，c为直径、斜边和边，向外作半圆、等腰直角三角形和正方形，上述三种情况的面积关系满足S1＋S2＝S3的图形有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
D
9．如图，将长方形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的点F处．已知CE＝3 cm，AB＝8 cm，则图中阴影部分的面积为________cm2.
30
3
8
5
5
4
AF＝AD＝BF＋CF
根据勾股定理 AB? ＋ BF?＝AF?=(BF ＋ CF)?
求得BF＝6
10．在△ABC中，若∠B＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，且a＝7，b＝25，则c的长为________．
24
注意b是斜边
a2＋c2＝b2
11．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，
AC＝4，BC＝3，BD＝ ，求：
(1)CD的长；
(2)AB的长．
12．【中考·益阳】如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．
某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．
13．如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC＝6 cm，BC＝8 cm，现将直角边AC沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E处，试求CD的长．
∠ACB＝90°,由勾股定理得AB的长，
由折叠得BE的长，
∠BED＝90°,设CD＝x cm，则DE＝x cm，BD＝(8－x)cm，由勾股定理得x.
14．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝20 m，BC＝15 m，CD＝7 m，求四边形ABCD的面积．
连接AC，
∠ABC＝90°,由勾股定理得AC的长，
∠ADC＝90°,由勾股定理得AD的长，
S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD
(共24张PPT)
1 探索勾股定理
第2课时 验证并应用勾股定理
第一章 勾股定理
答案显示
D
B
3.6或4.32或4.8
D
D
10
C
B
答案显示
(1)答案不唯一； (2)满足条件的点C有5个．
a2＋b2＝c2.
AE2＋BF2＝EF2.
不相等，当AA′＝1.7 m时，AA′＝BB′.
1．历史上对勾股定理的一种验证方法采用了如图所示的图形，其中两个全等直角三角形的两边AE，EB在一条直线上．验证过程中用到的面积相等的关系式是( )
A．S△EDA＝S△CEB
B．S△EDA＋S△CEB＝S△CDE
C．S四边形CDAE＝S四边形CDEB
D．S△EDA＋S△CDE＋S△CEB＝S四边形ABCD
D
2．下列选项中，不能用来验证勾股定理的是( )
D
3．【2017·丽水】我国三国时期数学家赵爽为了验证勾股定理，创造了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图①所示，在图②中，若正方形ABCD的边长为14，正方形IJKL的边长为2，且IJ∥AB，则正方形EFGH的边长为________．
10
长直角边＋短直角边＝14
长直角边－短直角边＝2
长直角边＝8
短直角边＝6
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，CE＝AE，AD＝2，CE＝5，则CD＝( )
A．2 B．3
C．4 D．5
C
AE＝5
DE＝3
5．【中考·安顺】如图，有两棵树，一棵高10 m，另一棵高4 m，两棵树相距8 m，一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，小鸟至少飞行( )
A．8 m B．10 m
C．12 m D．14 m
B
8 m
6 m
6．【2017·荆州】《九章算术》中的“折竹抵地”问题(如图)：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈(一丈＝10尺)，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为( )
A．x2－6＝(10－x)2
B．x2－62＝(10－x)2
C．x2＋6＝(10－x)2
D．x2＋62＝(10－x)2
D
一条直角边
另一条直角边
斜边为(10－x)尺
7．两艘海警船在某岛进行巡航．一艘以12 n mile/h的速度离开该岛向北偏西45°方向航行，另一艘同时以16 n mile/h的速度离开该岛向北偏东45°方向航行，经过1.5 h后两船相距( )
A．25 n mile
B．30 n mile
C．32 n mile
D．40 n mile
B
夹角为90°
18 n mile/h
24 n mile/h
8．【2018·黑龙江】在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，过点B的直线把△ABC分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，则这个等腰三角形的面积是______________．
AC＝5
画图分析有三种情况，如图
综上所述：等腰三角形的面积可能为3.6或4.32或4.8.
9．阅读下面的材料：
勾股定理神秘而美妙，它的验证方法多种多样，下面是一种拼图验证勾股定理的方法，先做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边分别为a，b，斜边为c，然后按图①的方法将它们摆成正方形．
由图①可以得到(a＋b)2＝4× ab＋c2，
整理，得a2＋2ab＋b2＝2ab＋c2，
所以a2＋b2＝c2.
如果把图①中的四个全等的直角三角形
摆成如图②所示的正方形，请你参照上述方法验证勾股定理．
S大正方形
4S三角形
S小正方形
＝
＋
10．作图题：如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在所给网格中按下列要求画出图形．
(1)以A为一个端点的线段AB(不与网格线重合)，使它的另一个端点B落在格点(即小正方形的顶点)上，且长度为5；
因为52＝32＋42，所以找两条直角边分别等于3和4即可。
10．作图题：如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在所给网格中按下列要求画出图形．
(2)以(1)中的AB为边的一个等腰三角形ABC，
使点C在格点上，请画出所有满足条件
的点C.
当AB为等腰三角形的一腰时，分两种情况：
a：以A为圆心，AB长为半径画弧，与网格线除B外有3个交点在格点上，分别是C1，C2，C3；
b：以B为圆心，AB长为半径画弧，与网格线除A外有2个交点在格点上，分别是C4，C5；
当AB为等腰三角形的底边时，顶角的顶点C在AB的垂直平分线上，而AB的垂直平分线与网格线的交点均不在格点处，故不合题意．综上所述，满足条件的点C有5个．
11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AB的中点，点E，F分别为AC，BC的中点，DE⊥DF.试说明：AE2＋BF2＝EF2.
解：如图，延长ED至点G，使DG＝ED，连接BG，FG.
在△ADE和△BDG中，AD＝DB，∠1＝∠2，ED＝DG，
所以△ADE≌△BDG(SAS)．
在Rt△FBG中，BG2＋BF2＝FG2，即AE2＋BF2＝EF2.
所以AE＝BG，∠3＝∠4.
又因为∠4＋∠5＝90°，
所以∠3＋∠5＝90°.
又因为DF⊥EG，DE＝DG，所以FG＝EF.
12．如图，一架2.5 m长的梯子AB斜靠在竖直的墙壁OC上，这时梯子的底端B到墙壁OC的距离OB＝0.7 m，当梯子的顶端A沿墙壁下滑到达点A′时，底端B沿水平地面向外滑动到B′点．
(1)当AA′＝0.4 m时，线段AA′的长度与线段BB′的长度相等吗？你是怎样知道的？
利用勾股定理求出OA，从而得OA′，
再次利用勾股定理求出OB′，即可得解
解：不相等．
在Rt△AOB中，OA2＝AB2－OB2＝2.52－0.72＝5.76，
所以OA＝2.4 m，所以OA′＝OA－AA′＝2.4－0.4＝2(m)．
在Rt△A′OB′中，OB′2＝A′B′2－OA′2＝2.52－22＝2.25，
所以OB′＝1.5 m，
所以BB′＝OB′－OB＝1.5－0.7＝0.8(m)．
因为AA′＝0.4 m，所以AA′≠BB′.
12．如图，一架2.5 m长的梯子AB斜靠在竖直的墙壁OC上，这时梯子的底端B到墙壁OC的距离OB＝0.7 m，当梯子的顶端A沿墙壁下滑到达点A′时，底端B沿水平地面向外滑动到B′点．
(2)是否存在一个点A′，使AA′＝BB′？若存在，求出点A′的位置；若不存在，说明理由．
设AA′＝BB′＝x m，分别求出OA′，OB′，在△A′OB′中利用勾股定理建立方程即可
解：存在．
设AA′＝BB′＝x m，则OA′＝OA－AA′＝(2.4－x)m，
OB′＝OB＋BB′＝(0.7＋x)m.
在Rt△A′OB′中，根据勾股定理，得OA′2＋OB′2＝A′B′2，即(2.4－x)2＋(x＋0.7)2＝2.52，
整理，得x2－1.7x＝0.
因为x≠0，所以x＝1.7.
即当AA′＝1.7 m时，AA′＝BB′.
