北师大版八上数学第1章勾股定理：全章热门考点整合应用课件（39张PPT）

(共39张PPT)
全章热门考点整合应用
第一章 勾股定理
答案显示
(64n2＋36)cm2
1 300 m.
(1)AP＝CQ.
(2)△PQC是直角三角形．
12
(1)n2－1；2n；n2＋1
(2)直角三角形．
6cm2
(1)6；8；10；9；12；15(答案不唯一)
(2)是一组勾股数．
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170 cm
(1)AC＝13. (2)60.
北偏东53°
(1)18cm2 (2)t＝3
(3)t＝6或10.8或12或13时
(1)AB＝AP. (2)AC＝6.
(3)∠AMP的大小不发生变化．
1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15，AC＝20，CD是高．求：
(1)AB的长；
解：因为在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15，AC＝20，
所以AB2＝AC2＋BC2＝202＋152＝625.
所以AB＝25.
1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，
BC＝15，AC＝20，CD是高．求：
(2)△ABC的面积；
(3)CD的长．
2．张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：
(1)请你分别探究a，b，c与n之间的关系，并用含n(n＞1)的式子表示：a＝________，b＝________，c＝________；
n2－1
2n
n2＋1
n 2 3 4 5 …
a 22－1 32－1 42－1 52－1 …
b 4 6 8 10 …
c 22＋1 32＋1 42＋1 52＋1 …
(2)猜想以a，b，c为边长的三角形是否为直角三角形，并说明你的理由．
解：是直角三角形．理由如下：因为a2＋b2＝(n2－1)2＋(2n)2＝n4＋2n2＋1，c2＝(n2＋1)2＝n4＋2n2＋1，所以a2＋b2＝c2.
所以以a，b，c为边长的三角形是直角三角形．
n 2 3 4 5 …
a 22－1 32－1 42－1 52－1 …
b 4 6 8 10 …
c 22＋1 32＋1 42＋1 52＋1 …
3．如图，在四边形ABCD中，AC⊥DC，△ADC的面积为30 cm2，DC＝12 cm，AB＝3 cm，BC＝4 cm，求△ABC的面积．
4．如果x，y，z为正整数，且满足x2＋y2＝z2，那么(x，y，z)叫做一组勾股数．如(3，4，5)就是一组勾股数．
(1)请你再写出两组勾股数：
(________，________，________)，
(________，________，________)．
12 15
(答案不唯一)
6 8 10
4．如果x，y，z为正整数，且满足x2＋y2＝z2，那么(x，y，z)叫做一组勾股数．如(3，4，5)就是一组勾股数．
(2)在△ABC中，三条边长分别为a，b，c，其中a＝n，b＝ －1，c＝ (n是大于2的偶数)．试说明：(a，b，c)是一组勾 股数．
5．如图，长方体的底面相邻两边的长分别为1 cm和3 cm，高为6 cm，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要多长？如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所
用细线最短时，其长度的平方是多少？
解：将长方体的侧面展开，连接AB′，如图所示．
因为AA′＝1＋3＋1＋3＝8(cm)，A′B′＝6 cm，
所以AB′2＝AA′2＋A′B′2＝82＋62＝102.
所以用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，所用细线最短需要10 cm.易知如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短时，其长度的平方为(64n2＋36)cm2.
6．如图，一牧童在A处牧马，牧童的家在B处，A，B处距河岸的距离分别是AC＝500 m，BD＝700 m，且C，D间的距离为500 m．天黑前牧童从A点将马牵到河边去饮水，再赶回家，为了使所走的路程最短．
(1)牧童应将马赶到河边的什么地点？请你在图中画出来．
解：如图，作A点关于河岸CD的对称点A′，连接BA′，交河岸于P，连接PA，则PB＋PA＝PB＋PA′＝BA′最短，故牧童应将马赶到河边的P点．
6．如图，一牧童在A处牧马，牧童的家在B处，A，B处距河岸的距离分别是AC＝500 m，BD＝700 m，且C，D间的距离为500 m．天黑前牧童从A点将马牵到河边去饮水，再赶回家，为了使所走的路程最短．
(2)请你求出他至少要走多少路程．
解：作A′B′⊥BD，交BD的延长线于点B′，
易知B′A′＝CD，DB′＝CA′＝AC.
在Rt△BB′A′中，BB′＝BD＋DB′＝BD＋AC＝1 200 m，A′B′＝500 m，由勾股定理，得BA′＝1 300 m.
所以他至少要走1 300 m.
7．如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ＝60°，且BQ＝BP，连接CQ.
(1)猜想AP与CQ之间的数量关系，并说明你的理由．
解：猜想：AP＝CQ.
理由如下：在△ABP和△CBQ中，
因为∠ABC＝∠PBQ＝60°，
所以∠ABP＝∠ABC－∠PBC＝∠PBQ－∠PBC＝∠CBQ.
因为AB＝CB，BP＝BQ，所以△ABP≌△CBQ，所以AP＝CQ.
7．如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ＝60°，且BQ＝BP，连接CQ.
(2)若PA∶PB∶PC＝3∶4∶5，连接PQ，且△PBQ是等边三角形，试判断△PQC的形状，并说明理由．
【点拨】说明一个三角形是直角三角形的方法较多，但在已知三角形各边长度或各边长度之间的关系时，利用直角三角形的判定方法判断这个三角形是否为直角三角形，是比较常用且比较方便的方法．
解：如图，△PQC是直角三角形．理由如下：
由PA∶PB∶PC＝3∶4∶5，
可设PA＝3a，PB＝4a，PC＝5a，
因为△PBQ为等边三角形，所以PQ＝PB＝4a.
在△PQC中，因为CQ＝AP＝3a，
所以PQ2＋CQ2＝16a2＋9a2＝25a2＝PC2，所以△PQC是直角三角形．
8．如图，在△ABC中，AB＝13，BC＝10，BC边上的中线AD＝12.求：
(1)AC的长度；
解：因为AD是BC边上的中线，BC＝10，
所以BD＝CD＝5.
因为52＋122＝132，所以BD2＋AD2＝AB2.
所以∠ADB＝90°.所以∠ADC＝90°.
所以AC2＝AD2＋CD2＝169.所以AC＝13.
8．如图，在△ABC中，AB＝13，BC＝10，BC边上的中线AD＝12.求：
(2)△ABC的面积．
9．将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆顶到地面的高度为320 cm，在无风的天气里，彩旗自然下垂，如图①所示．求彩旗下垂时最低处离地面的高度h(彩旗完全展开时的尺寸如图②所示)．
解：彩旗下垂时最低处离地面的高度h也就是旗杆顶到地面的高度减去彩旗的对角线的长．
因为1202＋902＝22 500，
所以彩旗的对角线长为150 cm.
所以h＝320－150＝170(cm)．
即彩旗下垂时最低处离地面的高度h为170 cm.
10．如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距5 n mile的A，B两个基地前去拦截，6 min后同时到达C地将其拦截．已知甲巡逻艇的速度为40 n mile/h，乙巡逻艇的速度为30 n mile/h，且乙巡逻艇的航向为北偏西37°，求甲巡逻艇的航向．
因为AB＝5 n mile，所以AB2＝BC2＋AC2.所以∠ACB＝90°.
因为∠CBA＝90°－37°＝53°，所以∠CAB＝37°.
所以90°－∠CAB＝53°.
所以甲巡逻艇的航向为北偏东53°.
11．育英中学有两个课外小组的同学同时步行到校外去采集植物标本，第一组的步行速度为30 m/min，第二组的步行速度为40 m/min，半小时后，两组同学同时停下来，这时两组同学相距1 500 m.
(1)试判断这两组同学行走的方向是否成直角；
解：因为半小时后，第一组行走的路程为30×30＝900(m)，
第二组行走的路程为40×30＝1 200(m)，9002＋1 2002＝1 5002，而此时两组同学相距1 500 m，所以两组同学行走的方向成直角．
11．育英中学有两个课外小组的同学同时步行到校外去采集植物标本，第一组的步行速度为30 m/min，第二组的步行速度为40 m/min，半小时后，两组同学同时停下来，这时两组同学相距1 500 m.
(2)如果接下来这两组同学以原来的速度相向而行，多长时间后能相遇？
12．如图，点N是△ABC的边BC的延长线上一点，∠ACN＝2∠BAC，过点A作AC的垂线交CN于点P.
(1)若∠APC＝30°，试说明：AB＝AP.
解：过点A作AE⊥BP于点E.
因为AC⊥AP，所以∠CAP＝90°.
因为∠APC＝30°，所以∠ACP＝60°.
因为∠ACN＝2∠BAC，所以∠BAC＝30°.所以易得∠ABP＝30°.
所以∠ABP＝∠APC.因为AE⊥BP，所以∠AEB＝∠AEP＝90°.
又因为AE＝AE，所以△AEB≌△AEP. 所以AB＝AP.
12．如图，点N是△ABC的边BC的延长线上一点，∠ACN＝2∠BAC，过点A作AC的垂线交CN于点P.
(2)若AP＝8，BP＝16，求AC的长．
解：因为∠ACP＝180°－∠ACB，∠BAC＋∠B＋∠ACB＝180°,
所以∠ACP＝∠BAC＋∠B.
又因为∠ACN＝2∠BAC，所以∠BAC＝∠B，易得AC＝BC.
设AC＝x，则BC＝x.在Rt△ACP中，由勾股定理建立方程得
x2＋82＝(16－x)2，解得x＝6. 所以AC＝6.
12．如图，点N是△ABC的边BC的延长线上一点，∠ACN＝2∠BAC，过点A作AC的垂线交CN于点P.
(3)若点P在BC的延长线上运动，∠APB的平分线交AB于点M.你认为∠AMP的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出∠AMP的大小．
解：∠AMP的大小不发生变化．
13．求下列图形中阴影部分的面积．
(1)如图①，BA⊥CA，AB＝8，AC＝6；
解：因为AB＝8，AC＝6，BA⊥AC，
所以BC2＝AB2＋AC2＝100.所以BC＝10.所以BO＝5.
13．求下列图形中阴影部分的面积．
(2)如图②，四边形BCDE为长方形，
AB＝13，AD＝14，CD＝2.
解：因为AD＝14，CD＝2，所以AC＝12.
因为AB＝13，∠ACB＝90°，
所以CB2＝AB2－AC2＝25.所以CB＝5.
所以S阴影＝2×5＝10.
14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10 cm，BC＝6 cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为1 cm/s，设运动时间为t s.
(1)出发2 s后，求△ABP的面积．
解：如图，因为∠C＝90°，AB＝10 cm，
BC＝6 cm，所以AC＝8 cm.
14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10 cm，BC＝6 cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为1 cm/s，设运动时间为t s.
(2)当t为何值时，BP平分∠ABC?
解：如图，过点P作PD⊥AB于点D，
当BP平分∠ABC时，有PD＝PC，
易得△BPD≌△BPC，
所以BD＝BC＝6 cm.
所以AD＝10－6＝4(cm)．
14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10 cm，BC＝6 cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为1 cm/s，设运动时间为t s.
(3)当t为何值时，△BCP为等腰三角形？
如图①，若点P在边AC上，BC＝CP＝6 cm，
所以点P运动的路程为6 cm.
故当t＝6时，△BCP为等腰三角形．
若点P在AB边上时，有三种情况：
如图②，若BP＝CB＝6 cm，此时AP＝4 cm，
所以点P运动的路程为12 cm.
故当t＝12时，△BCP为等腰三角形；
如图③，若CP＝BC＝6 cm，
过C作CE⊥AB于点E，
根据面积法求得CE＝4.8 cm，
根据勾股定理得PE＝BE＝3.6 cm.
所以BP＝7.2 cm，
所以点P运动的路程为18－7.2＝10.8(cm)．
所以当t＝10.8时，△BCP为等腰三角形．
如图④，若BP＝CP，则∠PCB＝∠PBC，
因为∠ACP＋∠BCP＝90°，∠PBC＋∠CAP＝90°，
所以∠ACP＝∠CAP.易得PA＝PC.
所以PA＝PB＝5 cm.
所以点P运动的路程为13 cm.
所以当t＝13时，△BCP为等腰三角形．
所以当t＝6或10.8或12或13时，△BCP为等腰三角形．