北师大版八上数学第1章 勾股定理 阶段专训习题课件（27张PPT）

(共27张PPT)
勾股定理解题的常见题型
第一章 勾股定理
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312.5 m
南偏东60°
17 cm
10 cm
5
AB＝BC
BP2＝BC2＋AP2.
BC＝10，CD＝6.
4
1．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，点D为AC边的中点，过D点作DE⊥DF，交AB于E，交BC于F.若AE＝4，FC＝3，求EF的长．
解：如图，连接BD.因为在等腰直角三角形ABC中，点D为AC边的中点，∠ABC＝90°，
所以BD⊥AC，BD平分∠ABC.所以∠ABD＝∠CBD＝45°.
又易知∠C＝45°，所以∠ABD＝∠CBD＝∠C.
易知BD＝CD.因为DE⊥DF，BD⊥AC，
所以∠FDC＋∠BDF＝∠EDB＋∠BDF.
所以∠FDC＝∠EDB.
在△EDB与△FDC中，



所以△EDB≌△FDC(ASA)．所以BE＝FC＝3.
所以AB＝7，则BC＝7.所以BF＝4.
在Rt△EBF中，EF2＝BE2＋BF2＝32＋42＝25，
所以EF＝5.
2．如图，在四边形ABFC中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD2＝2AB2－CD2.试说明：AB＝BC.
【点拨】当已知条件中有线段的平方关系时，应选择用勾股定理说明，应用勾股定理说明两条线段相等的一般步骤：
①找出图中说明结论所要用到的直角三角形；
②根据勾股定理写出三边长的平方关系；
③联系已知，等量代换，求之即可．
解：因为CD⊥AD，所以∠ADC＝90°，
即△ADC是直角三角形．由勾股定理，得AD2＋CD2＝AC2.
又因为AD2＝2AB2－CD2，
所以AD2＋CD2＝2AB2. 所以AC2＝2AB2.
因为∠ABC＝90°，所以△ABC是直角三角形．
由勾股定理，得AB2＋BC2＝AC2，
所以AB2＋BC2＝2AB2. 所以BC2＝AB2，即AB＝BC.
3．如图，∠C＝90°，AM＝CM，MP⊥AB于点P.
试说明：BP2＝BC2＋AP2.
解：如图，连接BM.因为PM⊥AB，
所以△BMP和△AMP均为直角三角形．
所以BP2＋PM2＝BM2，AP2＋PM2＝AM2.
同理可得BC2＋CM2＝BM2.
所以BP2＋PM2＝BC2＋CM2.
又因为CM＝AM，所以CM2＝AM2＝AP2＋PM2.
所以BP2＋PM2＝BC2＋AP2＋PM2. 所以BP2＝BC2＋AP2.
4．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝8，∠A＝60°，∠D＝150°，四边形ABCD的周长为32，求BC和CD的长度．
5．如图，将长方形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′处．若AB＝6，BC＝9，求BF的长．
解：因为折叠前后两个图形的对应线段相等，
所以CF＝C′F.
设BF＝x，因为BC＝9，
所以CF＝9－x.所以C′F＝9－x.
由题意得BC′＝3.
在Rt△C′BF中，根据勾股定理可得C′F2＝BF2＋C′B2，
即(9－x)2＝x2＋32，解得x＝4.所以BF的长是4.
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5 cm，AC＝3 cm，动点P从点B出发沿射线BC以1 cm/s的速度移动，设运动的时间为t s.
(1)求BC边的长；
解：在Rt△ABC中，BC2＝AB2－AC2＝52－32＝16，
所以BC＝4 cm.
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5 cm，AC＝3 cm，动点P从点B出发沿射线BC以1 cm/s的速度移动，设运动的时间为t s.
(2)当△ABP为直角三角形时，借助图①求t的值；
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5 cm，AC＝3 cm，动点P从点B出发沿射线BC以1 cm/s的速度移动，设运动的时间为t s.
(3)当△ABP为等腰三角形时，借助图②求t的值．
解：当△ABP为等腰三角形时，有三种情况：
Ⅰ.如图①，当BP＝AB时，t＝5；
Ⅱ.如图②，当AB＝AP时，BP＝2BC＝8 cm，t＝8；
7．如图，某学校(A点)到公路(直线l)的距离为300 m，到公交站(D点)的距离为500 m．现要在公路边上建一个商店(C点)，使之到学校A及公交站D的距离相等，求商店C与公交站D之间的距离．
解：设CD＝x(x＞0)m，则AC＝x m，
作AB⊥l于点B，则AB＝300 m.
在Rt△ABD中，AD2＝AB2＋BD2，AB＝300 m，AD＝500 m，
所以BD＝400 m. 所以BC＝(400－x)m.
在Rt△ABC中，AC2＝AB2＋BC2，
所以x2＝3002＋(400－x)2，解得x＝312.5.
所以商店C与公交站D之间的距离为312.5 m.
8．如图，小明家位于一条南北走向的河流MN的东侧A处，某一天小明从家出发沿南偏西30°方向走60 m到达河边B处取水，然后沿另一方向走80 m到达菜地C处浇水，最后沿第三方向走100 m回到家A处．问小明在河边B处取水后是沿哪个方向行走的？
并说明理由．
解：小明在河边B处取水后是沿南偏东60°方向行走的．
理由如下：
由题易知AB＝60 m，BC＝80 m，AC＝100 m，所以AB2＋BC2＝AC2.所以∠ABC＝90°.
又因为AD∥NM，所以∠NBA＝∠BAD＝30°.
所以∠MBC＝180°－90°－30°＝60°.
所以小明在河边B处取水后是沿南偏东60°方向行走的．
9．如图，圆柱形玻璃容器高10 cm，底面周长为30 cm，在外侧距下底1 cm的点S处有一只蚂蚁，与蚂蚁相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1 cm的点F处有食物，求蚂蚁要吃到食物所走最短路线的长度．
解：如图，将圆柱形玻璃容器侧面展开，
连接SF，过S作SP⊥MN，
由题意可知FP＝10－2＝8(cm)，SP＝15 cm，
在Rt△SPF中，SF2＝SP2＋FP2＝152＋82＝289，
所以SF＝17 cm.
因此，蚂蚁要吃到食物所走最短路线的长为17 cm.
10．如图，已知长方体的长为4 cm、宽为2 cm、高为8 cm.一只蟑螂如果沿长方体的表面从A点爬到B′点，那么最短的路程是多少？
解：根据题意，有以下三种情况：
(1)如图①，连接AB′，AB′2＝AB2＋BB′2＝100；
(2)如图②，连接AB′，AB′2＝AC2＋B′C2＝116；
(3)如图③，连接AB′，AB′2＝AD2＋B′D2＝148 cm；
综上所述，最短的路程应为
如图①所示的情况，
此时AB′2＝100，即AB′＝10 cm，
故最短的路程为10 cm.