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1 探索勾股定理
第1课时 认识勾股定理
第一章 勾股定理
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C
10
面积;勾股定理
C
A
两直角边的平方和;
斜边的平方;
a2+b2=c2
A
A
C
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C
8
3 cm
A
234m2
(1)3 (2)6
1.直角三角形__________________等于_____________.
如果用a,b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边,那么________________.
a2+b2=c2
两直角边的平方和
斜边的平方
2.在Rt△ABC中,斜边长BC=3,则AB2+AC2+BC2的值为( )
A.18 B.9 C.6 D.无法计算
A
3.(2018·滨州)在直角三角形中,若勾为3,股为4,则弦为( )
A.5 B.6 C.7 D.8
A
4.(2018·黄冈)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD为AB边上的高,CE=AE=BE,AD=2,CE=5,则CD=( )
A.2 B.3 C.4 D.4.5
C
5.(中考·漳州)如图,在△ABC中,已知AB=AC=5,BC=8,D是线段BC上的动点(不含端点B,C),若线段AD长为正整数,则点D的个数共有( )
A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
C
6.(2017·丽水)我国三国时期数学家赵爽为了验证勾股定理,创造了一幅“弦图”,后人称其为“赵爽弦图”,如图①所示.在图②中,若正方形ABCD的边长为14,正方形IJKL的边长为2,且IJ∥AB,则正方形EFGH的边长为________.
10
7.勾股定理通常是用______法来验证的,因此很多涉及直角三角形的图形面积问题,通常用_____________来解决.
勾股定理
面积
8.如图,点E在正方形ABCD内,满足∠AEB=90°,AE=6,BE=8,则阴影部分的面积是( )
A.48 B.60 C.76 D.80
C
9.如图,在Rt△ABC中,AB=4,分别以AC,BC为直径作半圆,面积分别记为S1,S2,则S1+S2的值等于( )
A.2π B.4π C.8π D.16π
A
10.如图,这是一株美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形.若正方形A,B,C,D的边长分别是3,5,2,3,则最大正方形E的面积是( )
A.13 B.26
C.47 D.94
C
11.如图,将一个边长为a的正方形(最中间的小正方形)与四个边长为b的正方形(其中b>a)拼接在一起,则四边形ABCD的面积为( )
A.b2+(b-a)2 B.b2+a2
C.(b+a)2 D.a2+2ab
A
【点拨】如图,易知四边形ABCD为正方形.因为DE=b-a,AE=b,所以S四边形ABCD=AD2=AE2+DE2=b2+(b-a)2.
12.如图,在△ABD中,∠D=90°,C是BD上一点.已知CB=9,AB=17,AC=10,求AD的长.
解:设CD的长为x.
在Rt△ACD中,AD2=AC2-CD2=102-x2;
在Rt△ABD中,AD2=AB2-BD2=172-(x+9)2,
所以102-x2=172-(x+9)2.解得x=6.
所以AD2=64,则AD=8.
13.如图,在四边形ABCD中,∠B=∠D=90°,AB=20 m,BC=15 m,CD=7 m,求四边形ABCD的面积.
解:如图,连接AC.
因为∠B=∠D=90°,
所以△ABC与△ACD都是直角三角形.
在Rt△ABC中,根据勾股定理,
得AC2=AB2+BC2=202+152=625,则AC=25 m.
在Rt△ACD中,根据勾股定理,
得AD2=AC2-CD2=252-72=576,则AD=24 m.
14.如图,将长方形纸片ABCD的一边AD向下折叠,点D落在BC边的点F处.已知AB=8 cm,BC=10 cm,求EC的长.
解:根据题意,得△AFE≌△ADE,
所以AF=AD=BC=10 cm,EF=ED.
所以EF+EC=DC=AB=8 cm.
在Rt△ABF中,根据勾股定理得BF2=AF2-AB2=102-82=36,
所以BF=6 cm.所以FC=BC-BF=10-6=4(cm).
设EC=x cm,则EF=DC-EC=(8-x) cm.
在Rt△EFC中,根据勾股定理得EC2+FC2=EF2,
即x2+42=(8-x)2.
解这个方程,得x=3,即EC的长为3 cm.
15.(中考·柳州)如图,在△ABC中,D为AC边
的中点,且DB⊥BC,BC=4,CD=5.
(1)求DB的长;
解:因为DB⊥BC,BC=4,CD=5,
所以在Rt△BCD中,根据勾股定理得DB=3.
15.(中考·柳州)如图,在△ABC中,D为AC边的中点,且DB⊥BC,BC=4,CD=5.
(2)在△ABC中,求BC边上的高的长.
【思路点拨】倍长中线BD,说明2BD等于△ABC中BC边上的高.
解:如图,延长BD至E,使DE=DB,连接AE.
因为D是AC边的中点,
所以AD=CD.
因为DB⊥BC,所以△ABC中BC边上的高的长等于BE的长.
易知BE=2BD=6,所以BC边上的高的长为6.
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1 探索勾股定理
第2课时 勾股定理的验证与应用
第一章 勾股定理
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a2+b2;c2-a2;c2-b2;x
3
x2+9=(10-x)2
B
D
D
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C
水泵站E应建在距A点15 km的地方.
15 m
AB2+AC2=2(AD2+CD2)
1.勾股定理的验证方法很多,主要是用________法说明,要注意两点:
(1)通过割补、拼摆,用相同的直角三角形得到一个图形;
(2)根据拼成的图形得到一个________关系式,通过恒等变形即可得到勾股定理.
面积
面积
例:图①反映的面积关系式为____________________;
图②反映的面积关系式为___________________.
2.(2018·泸州)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理,是我国古代数学的骄傲.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形较长直角边长为a,较短直角边长为b.若ab=8,大正方形的面积为25,
则小正方形的边长为( )
A.9 B.6 C.4 D.3
D
3.历史上对勾股定理的一种验证方法采用了如图所示的图形,其中两个全等直角三角形的边AE,EB在一条直线上,其中用到的面积相等的关系式是( )
A.S△EDA=S△CEB
B.S△EDA+S△CEB=S△CDE
C.S四边形CDAE=S四边形CDEB
D.S△EDA+S△CDE+S△CEB=S四边形ABCD
D
4.在Rt△ABC中,a,b是两直角边,c为斜边,
如果已知a,b,那么c2=__________;
如果已知a,c,那么b2=__________;
如果已知b,c,那么a2=__________.
当不能直接运用勾股定理求线段长度时,则设所求线段的长度为x,并选择一个合适的直角三角形,根据勾股定理,列出含________的方程.
x
a2+b2
c2-a2
c2-b2
5.(2018·德州)如图,OC为∠AOB的平分线,CM⊥OB,OC=5,OM=4,则点C到射线OA的距离为________.
3
6.(2018·湘潭)《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一,在“勾股”章中有一道“折竹抵地”问题,内容是:“今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺,问折者高几何?”翻译成数学问题是:如图,△ABC中,∠ACB=90°,AC+AB=10,BC=3,求AC的长.如果设AC=x,则可列方程为________________.
x2+9=(10-x)2
B
【点拨】根据折叠的性质得到AE=AB,
∠E=∠B=90°,易证Rt△AEF≌Rt△CDF,即可得到FC=FA.设FA=x,则FC=x,DF=6-x.在Rt△CDF中,利用勾股定理得到关于x的方程x2=42+(6-x)2,解方程求出x即可得DF的长.
8.(2017·绍兴)如图,小巷左右两侧是竖直的墙,一架梯子斜靠在左墙时,梯子底端到左墙脚的距离为0.7 m,顶端距离地面2.4 m.如果保持梯子底端位置不动,将梯子斜靠在右墙时,顶端距离地面2 m,则小巷的宽度为( )
A.0.7 m B.1.5 m
C.2.2 m D.2.4 m
【点拨】
如图,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,BC=0.7 m,AC=2.4 m,
所以AB2=0.72+2.42=6.25.
在Rt△A′BD中,∠A′DB=90°,A′D=2 m,
所以BD2+22=6.25,即BD2=2.25.
所以BD=1.5 m.
所以CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2(m).
【答案】C
9.如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,△ABC在网格中,顶点均为格点.求点A到直线BC的距离.
10.如图,河岸上A,B两点相距25 km,C,D为两村庄,DA⊥AB于点A,CB⊥AB于点B.已知DA=10 km,CB=15 km,要在线段AB上建一个水泵站E,使得C,D两村庄到水泵站E的距离相等,求水泵站E应建在距A点多远处.
解:设AE=x km,则BE=(25-x) km.
在Rt△ADE中,DE2=AD2+AE2.
在Rt△BCE中,CE2=BC2+BE2.
因为DE=CE,所以102+x2=152+(25-x)2,
即100+x2=225+625-50x+x2,解得x=15.
故水泵站E应建在距A点15 km的地方.
11.如图,AD是△ABC的中线,
试说明AB2+AC2=2(AD2+CD2).
【点拨】说明三角形各边之间的平方关系的方法:先观察各边是否在直角三角形中,若在,可直接利用勾股定理进行说明;若不在,需作垂线,使各边在直角三角形中,再利用勾股定理进行说明.
因为AD是△ABC的中线,所以BD=CD.
所以AB2+AC2=2AD2+2CD2,即AB2+AC2=2(AD2+CD2).
解:过点A作AE⊥BC于点E.
在Rt△ABE,Rt△ACE和Rt△ADE中,由勾股定理得
AB2=AE2+BE2,AC2=AE2+EC2,AE2=AD2-DE2,
所以AB2+AC2=2AE2+BE2+EC2
=2(AD2-DE2)+(BD-DE)2+(CD+DE)2
=2AD2-2DE2+BD2-2BD·DE+DE2+CD2+2CD·DE+DE2
=2AD2+BD2+CD2-2BD·DE+2CD·DE.
12.如图,在一棵树的10 m高的B处有两只猴子,其中一只猴子爬下树,走到离树20 m处的池塘A处,另一只猴子爬到树顶D后直接跃向池塘A处(假设它跃过的路线为直线).如果两只猴子所经过的路程相等,求这棵树的高.
【思路点拨】通过设未知数,根据两只猴子经过的路程相等表示出AD的长度,再利用勾股定理列方程求解.
解:设BD=x m,
由题意知BC+AC=BD+AD,所以AD=(30-x)m.
所以(10+x)2+202=(30-x)2,
解得x=5.
所以x+10=15.
故这棵树的高为15 m.