北师大版八上数学第1章勾股定理：全章热门考点整合专训课件（34张PPT）

(共34张PPT)
全章热门考点整合专训
第一章　勾股定理
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图略 150万元
135°
1.4
(1)n2－1；2n；n2＋1
(2)是直角三角形.
C
10 cm.
(64n2＋36)cm2
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过点C作公路AB的垂线，垂足为D，则线段CD即为新建的路. 480 m
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60或42
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是BC上一点，AD＝BD.若AB＝8，BD＝5，求CD的长．
解：设CD＝x.
在Rt△ABC中，有AC2＋(CD＋BD)2＝AB2，
整理，得AC2＝AB2－(CD＋BD)2＝64－(x＋5)2.①
在Rt△ADC中，有AC2＋CD2＝AD2，
整理，得AC2＝AD2－CD2＝25－x2.②
由①②两式，得64－(x＋5)2＝25－x2，解得x＝1.4.
即CD的长是1.4.
2．张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：
(1)请你分别探究a，b，c与n之间的关系，并且用含n(n＞1且n为整数)的式子表示：
a＝________，b＝________，c＝________；
n2－1
2n
n2＋1
n 2 3 4 5 …
a 22－1 32－1 42－1 52－1 …
b 4 6 8 10 …
c 22＋1 32＋1 42＋1 52＋1 …
(2)猜想以a，b，c为边长的三角形是否为直角三角形，并说明理由．
解：是直角三角形.理由如下：
因为a2＋b2＝(n2－1)2＋(2n)2＝n4＋2n2＋1，
c2＝(n2＋1)2＝n4＋2n2＋1，
所以a2＋b2＝c2.
所以以a，b，c为边长的三角形是直角三角形.
C
4．如图，长方体的底面相邻两边的长分别为1 cm和3 cm，高为6 cm，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要多长？如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短时其长度的平方是多少？
解：将长方体的侧面展开，如图所示.
因为AA′＝1＋3＋1＋3＝8(cm)，A′B′＝6 cm，
所以AB′2＝AA′2＋A′B′2＝82＋62＝102.
所以AB′＝10 cm.
所以用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，所用细线最短需要10 cm.
如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短时其长度的平方为(8n)2＋62＝(64n2＋36)(cm2).
5．如图，A，B两个小镇在河岸l的同侧，到河岸的距离分别为AC＝10 km，BD＝30 km，且CD＝30 km，现在要在河边建一自来水厂，向A，B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万元．请你在河岸l上选择自来水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，
并求出最少的费用是多少．
解：如图，作点A关于直线l的对称点A′，
连接A′B，交CD于点M，点M即为所求.
连接AM，则MA＋MB最小.作A′E⊥BD，
且交BD的延长线于点E.
在Rt△A′BE中，A′E＝30 km，BE＝BD＋DE＝BD＋AC＝40 km.
由勾股定理得A′B2＝A′E2＋BE2＝302＋402＝502，所以A′B＝50 km.
所以MA＋MB＝A′M＋BM＝A′B＝50 km.
所以铺设水管的最少费用为50×3＝150(万元).　
6．如图，点E是正方形ABCD内一点，连接AE，BE，CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE＝1，BE＝2，CE＝3，求∠BE′C的度数．
解：如图，连接EE′.
由题意可知△ABE≌△CBE′，∠EBE′＝90°，
所以E′C＝AE＝1，BE′＝BE＝2，
∠ABE＝∠CBE′.
7．如图，已知等腰三角形ABC的底边长BC＝20 cm，D是AC上的一点，且BD＝16 cm，CD＝12 cm.
(1)试说明：BD⊥AC；
解：因为122＋162＝202，
所以CD2＋BD2＝BC2.
所以△BDC是直角三角形，且∠BDC＝90°.
所以BD⊥AC.
7．如图，已知等腰三角形ABC的底边长BC＝20 cm，D是AC上的一点，且BD＝16 cm，CD＝12 cm.
(2)求△ABC的面积．
解：设AD＝x cm，则AC＝(x＋12)cm.
因为AB＝AC，所以AB＝(x＋12)cm.
8．如图，有一块直角三角形绿地，量得两直角边BC，AC的长分别为6 m，8 m．现要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以AC边为直角边的直角三角形，求扩充后的等腰三角形绿地的面积．
解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8 m，BC＝6 m，由勾股定理得AB2＝AC2＋BC2＝82＋62＝100，
所以AB＝10 m.
设扩充部分为Rt△ACD，扩充成等腰三角形ABD，应分以下三种情况讨论：
9．如图，某工厂C前面有一条笔直的公路，原来有两条路AC，BC可以从工厂C到达公路，经测量AC＝600 m，BC＝800 m，AB＝1 000 m，现需要修建一条路，使工厂C到公路的距离最短．请你帮工厂C的负责人设计一种方案，并求出新建的路的长．
解：过点C作公路AB的垂线，垂足为D，则线段CD即为新建的路.
因为AC2＋BC2＝6002＋8002＝1 0002，AB2＝1 0002，
所以AC2＋BC2＝AB2.
所以△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°.
10．育英中学有两个课外小组的同学同时步行到校外去采集植物标本，第一组的步行速度为30 m/min，第二组的步行速度为40 m/min，30 min后，两组同学同时停下来，这时两组同学相距1 500 m.
(1)试判断这两组同学行走的方向是否成直角；
解：30 min后，第一组行走的路程为30×30＝900(m)，第二组行走的路程为40×30＝1 200(m).
因为9002＋1 2002＝1 5002，且此时两组同学相距1 500 m，
所以两组同学行走的方向成直角.
10．育英中学有两个课外小组的同学同时步行到校外去采集植物标本，第一组的步行速度为30 m/min，第二组的步行速度为40 m/min，30 min后，两组同学同时停下来，这时两组同学相距1 500 m.
(2)如果接下来这两组同学以原来的速度相向而行，多长时间后能相遇？
11．如图，将长方形ABCD的边AD沿折痕AE折叠，使点D落在BC边上的点F处．已知AB＝6，△ABF的面积是24，求EF的长．
12．阅读下列材料：
如图①，一圆柱的底面半径为5，高AB为5，BC是底面直径，一只蚂蚁从A点出发沿圆柱表面爬到点C，为探索蚂蚁爬行的最短路线，小明设计了两条路线．
路线1：侧面展开图中的线段AC，如图②所示．
设路线1的长度为l1，
则l12＝AC2＝AB2＋BC2＝52＋(5π)2＝25＋25π2.
路线2：高线AB＋底面直径BC.
设路线2的长度为l2，则l22＝(AB＋BC)2＝(5＋10)2＝225.
因为l12－l22＝25＋25π2－225＝25π2－200＝25(π2－8)＞0，
所以l12＞l22.所以l1＞l2，即路线2较短．
【点拨】勾股定理是从形到数的转化，直角三角形的判定是从数到形的转化.本章题目中还有把四边形问题转化为三角形的问题，把立体图形问题转化为平面图形的问题，这些都体现了数学中的转化思想.
(1)小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：圆柱的底面半径为1，高AB为5，继续按前面的路线进行计算．请你帮小明完成下面的计算．
路线1：l12＝AC2＝________；
路线2：l22＝(AB＋BC)2＝________．
因为l12______l22，
所以l1______l2(填“＞”或“＜”)．
所以路线______(填“1”或“2”)较短．
1
25＋π2
49
＜
＜
(2)请你帮小明继续研究：在一般情况下，当圆柱的底面半径为r，高为h时，应如何选择上面的两条路线，才能使蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬到点C的路线较短？
解：
设路线1的长度为l1，则l12＝AC2＝AB2＋BC2＝h2＋(πr)2＝h2＋π2r2.
设路线2的长度为l2，则l22＝(AB＋BC)2＝(h＋2r)2＝h2＋4rh＋4r2.
13．在△ABC中，若AB＝20，AC＝15，BC边上的高为12，求△ABC的周长．
解：设BC边上的高为AD，则△ABD，△ACD是直角三角形，
由勾股定理得BD2＝AB2－AD2＝202－122＝256，
CD2＝AC2－AD2＝152－122＝81，
所以BD＝16，CD＝9.
①若∠ACB是锐角，如图①，则BC＝BD＋CD＝16＋9＝25.
所以△ABC的周长为AB＋AC＋BC＝20＋15＋25＝60.
②若∠ACB是钝角，如图②，则BC＝BD－CD＝16－9＝7.
所以△ABC的周长为AB＋AC＋BC＝20＋15＋7＝42.
综上所述，△ABC的周长为60或42.