苏科版数学七上6.3 余角 补角 对顶角 复习课件（24张）

(共24张PPT)
余角、补角、对顶角（复习课）




知识清单




1、角的概念
【静态】角的概念：角是由两条具有公共端点的射线组成的，两条射线的公共端点是这个角的顶点，这两条射线是这个角的边。
【动态】角的概念：角也可以看成有一条射线绕着它的端点旋转而形成的．



B



O
A





顶点





思考：1）角的大小与什么有关？
2）用什么工具度量角？

2、角的表示方法
（1）用三个字母表示角时，表示顶点的字母必须写在另两个字母的中间．如∠AOB或∠BOA；

B
O
A



（2）在不引起混淆的情况下，角还可以用它的顶点字母来表示．如∠A；

A


（3）角可以用希腊字母来表示，一般地，用希腊字母表示一个角时，需在角内靠近顶点处画上弧线．如∠α；

α



1



（4）角可以用一个数字来表示，一般地，用一个数字表示一个角时，需在角内靠近顶点处画上弧线．如∠1.








知识应用

1.已知，如图，C、D是OA上两点，E、F是OB上两点，下列各式中，表示∠AOB错误的是（ ）
A.∠COE B.∠AOF C.∠DOB D.∠EOF

D
2.如图，将图中∠1、 ∠2、 ∠3表示的角改用大写字母表示分别为_________________________________________

∠ADE、
∠CED、
∠ABC或∠B
3、角的画法和比较
思考 ：怎样比较角的大小？
度量法或叠合法
用量角器量角，度、分、秒是常用的角的度量单位。
度分秒关系：1°＝60′ 1′＝60″
如图，以OA为一边的角有哪几个？用“<”号连接起来。




Ｏ
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
∠AOD
∠AOC
∠AOB
﹤
﹤
注：找到公共边
练习（1）2.8°＝ ° ′；
（2）39°36′＝ °

2
48
39.6
方法一：用量角器画角


O
A
B

A1
O1

量已知角
画射线
描点

B1

对心，对线，读数
对心，对线
作一个角等于已知角
所以∠A 1O1 B1 就是我们所要作的角.


O
A
B

A1
O1

量已知角
画射线
描点

B1






画射线



对心，对线，读数
对心，对线
方法一：用量角器画角
作一个角等于已知角


O
A
B

A1
O1


量已知角
画射线
描点

B1






画射线



方法一：用量角器画角
作一个角等于已知角
所以∠A 1O1 B1 就是我们所要作的角.
用尺规画角的步骤：
● 以O为圆心,以适当长为半径画弧,交角的两边于C, D两点;
● 画射线EF,以E为圆心,以同样长为半径画弧,交射线EF于G点;
● 以C为圆心,以线段CD长为半径画弧,;
● 画射线EH.


O
A
B



C
D

G

E

F
● 再以点G为圆心,以同样长为半径画弧,交原先的弧交于点H;

H
方法二：用尺规画角
作一个角等于已知角
4、角的平分线
定义：如图，OC将∠AOB分成相等的两部分，
OC叫做∠AOB的角平分线.
几何格式：



O
B
C
A
5、余角、补角
互为余角的概念：
如果两个角的和是一个直角,
这两个角叫做互为余角.简称互余.
其中一个角叫做另一个角的余角.
互为补角的概念：
如果两个角的和是一个平角,
这两个角叫做互为补角.简称互补.
其中一个角叫做另一个角的补角.
１
２
A
B
C





o
１
２
A
B
C





o
互余、互补是两个角的数量关系,而非位置关系.







知识应用


如图，A、O、B在一条直线上，∠AOC, ∠DOE是直角
①写出所有与∠BOD互余的角_____________
②写出所有与∠BOD互补的角_____________



×
×


∠BOE, ∠COD
∠AOD, ∠COE
余角性质：同角（或等角）的余角相等。
补角性质：同角（或等角）的补角相等。
6、对顶角


4
3
2
1
A
B
C
D

对顶角的性质:对顶角相等
定义：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角。







知识应用


下列各图中，哪些组中∠l和∠2是对顶角？



















典型例题

例1 已知一个角的补角比这个角的余角的3倍小20°，求这个角的度数．


分析：设未知数，建立方程
解：设这个角为x度
根据题意得
180 - x = 3（90 - x）- 20
解得 x=35
答：这个角为35°。







典型例题

例2 如图,直线AB、CD相交于点O,已知∠AOC=50°，OE把∠BOD分成两部分，∠BOE:∠EOD=2:3.求∠EOD的度数.


解： ∵ ∠BOE:∠EOD=2:3
∴设∠BOE ＝2x，∠EOD＝3x
∴ ∠BOD ＝ ∠BOE+∠EOD＝5x
∵∠AOC与∠BOD是对顶角
∴∠AOC=∠BOD＝5x=50°
∴ x=10°
∴ ∠EOD＝3x =30°

分析：比值问题，设x



O
A
B
C
D
E







典型例题

例3 已知∠AOC＝60°，∠BOC＝40°，求∠AOB的度数．


分析：多解问题
解：
O
B



C
A
C



B
A
O
∠AOB =∠AOC＋∠BOC=100 °
∠AOB =∠AOC－∠BOC=20 °







典型例题

变式 已知∠AOC＝60°， ∠BOC＝40°， OM、ON分别是∠AOC、∠BOC的角平分线，求∠MON的度数。



解：





C
N
O
A
B
M





O
A
B
M
C
N
∵ OM、ON分别是∠AOC、
∠BOC的角平分线
∴∠MOC=∠AOC=30 °
∠NOC=∠BOC=20 °
∴∠MON =∠MOC＋∠NOC=50 °


或∠MON =∠MOC-∠NOC=10 °
O
B



C
A
C



B
A
O







典型例题

变式 已知OM、ON分别是∠AOC、∠BOC的角平分线，若∠AOB＝100°,求∠MON的度数。



解：





C
N
O
A
B
M
∵ OM、ON分别是∠AOC、
∠BOC的角平分线
∴∠MOC=∠AOC
∠NOC=∠BOC
∴∠MON =∠MOC＋∠NOC
=∠AOC ＋ ∠BOC
= ∠AOB
=50 °



问：若∠MON＝60°，则∠AOB ＝ _____
综上所述： ∠MON＝_____∠AOB.
120°








典型例题

例4 如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC=60°．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上， 另一边ON在直线AB的下方．将图1中的三角板绕点O以每秒2°的速度逆时针旋转至图2 ，使一边OM在∠BOC的内部，设运动时间为t秒．
（1）若OM恰好平分∠BOC，求t的值；


分析：动态问题
解： （1） ∵ ∠AOC=60°∴ ∠BOC=120°
∵ OM平分∠BOC
∴ ∠BOM=∠BOC=60°
∴2 t =60°即t =30°







典型例题

（2）若∠BOM等于∠COM余角的
3倍， 求∠BON的度数；
（3）当t为何值时，∠BON= 30°．



（3） 有两种情况
①如图2 ∵ ∠BON= 30°
∴ ∠BOM= 2 t =60° ∴ t =30
②如图3 ∵ ∠BON= 30°
∴ ∠BOM= 2 t =120° ∴ t =60
此时∠BOM = ∠BOC ， OM不在∠BOC的内部，舍去
答：当t=30时，∠BON= 30°．

（2） ∵ ∠BOM=2 t
∴ ∠COM= 9 0° × 2 t
由题意得 ：
2 t + 9 0° × 2 t=120°
解得： t =22.5°∴ ∠BOM =45°
∵ ∠MON=90° ∴ ∠BON =45°

N
M
图3
将三角板绕点O以每秒2°的速度逆时针旋转一周,当t为何值时，可使射线OA,OC与OM中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线?







归纳小结

?

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谢
谢
再


见