苏科版数学七下 9.4 乘法公式（1） 课件（23张）

(共23张PPT)
乘法公式（1）
学习目标
能推导完全平方公式，了解公式的几何背景，并能利用公式进行简单计算；
经历探索完全平方公式的过程，进一步感悟数与形的关系，感悟数形结合的思想。
计算 (1) (x+y) (x+y)
(2) (a-1) (a-1)
(3) (mn+a) (mn+a)
练一练
(x+y)2=x2+2xy+y2
(a-1)2=a2-2a+1
(mn+a)2=m2n2 +2mna+a2
=x2 +xy +xy+y2




=x2+2xy+y2
=a2 -a -a+1
=a2 - 2a+1
= m2n2 +mna +mna+a2
=m2n2+2mna+a2

一块边长为a米的正方形实验田，
a







































因需要将其边长增加 b 米。
形成四块实验田，以种植不同的新品种(如图).
你能计算出现在这块实验田的总面积吗?







a




b




b
















































































































































法一
直
接
求
总面积=

法二
间
接
求
总面积=
a2+
ab+
ab+
b2
(a+b)2=
a2+
ab
+
b2
2
你发现了什么？
创设情境


a2
ab
ab
b2
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a+b)2 =
推证 ?
(a+b)
(a+b)
=a2+ab+
ab+b2
=a2+2ab+
b2

上面的等式是利用面积的不同表示形式得到的，你还有其他方法吗？
探索
一般地，对于任意的a 、b，由多项式乘法法则可以得到
(a+b)2=a2+2ab+b2

完全平方和公式
左边是:
平方
右边是:
两个数的和的
这两个数的平方和
它们积的2倍

文字表述:两个数的和的平方等于这两个数的平方和加上它们积的2倍.

例1 计算 (1) (y+4)2
(2) (x+2y)2
(3) (a-b)2
典型例题
公式：(a+b)2=a2+ 2ab +b2
解：(1)(y+4)2
=y2 +2·y·4+42
=y2 +8y+16
(2)(x+2y)2
=x2 +2·x·2y+(2y)2
=x2 +4xy+4y2
(y+4)2 =y2+2·y·4+42







(x+2y)2 =x2 +2·x·2y+(2y)2







想一想：你有几种方法计算
方法一：
解：(a-b)2
=a2 –ab –ab +b2
=a2 -2ab +b2
典型例题
(3) (a-b)2
解：(a-b)2
=[a + (-b)]2
=a2 +2·a·(-b)+(-b)2
=a2 -2ab + b2
方法二：
= (a-b) (a-b)

(a+b)2=a2+2ab+b2
(?+?)2 =?2+2·?·? +?2







想一想：你有几种方法计算
方法三：
典型例题
(3) (a-b)2


这就是完全平方差公式哦
a?b







a?b

a








a

ab

b(a?b)




b






b
(a?b)2
(a?b)2 = a2?2ab+b2
a2
?ab
?b(a?b)
=
a2?2ab+b2 .
(a?b)2=

a2

(a+b)2 = a2+2ab+b2
(a?b)2 = a2?2ab+b2
a













a




b




b



a2
ab

ab
b2
左边是
的平方
:
右边是
两个数的和
(差)
(a+b)2=
a?b







a?b

a








a

ab

b(a?b)




b






b
(a?b)2
a2+2ab+b2
: 两个数的平方和
加上
(减去)
它们积的两倍.
(a?b)2 = a2?2ab+b2
几
何
背景

文字表述:
两个数的和 的平方等于这两个数的平方和加上 它们积的两倍.


(差)
(减去)
说说这两个公式的特点：
初识 完全平方公式
用自己的语言叙述上面的公式
完全平方公式
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2
公式的文字表述：
两个数的和（差）的平方等于这两个数的平方和与它们积的2倍的和（和）。
新知
利用完全平方公式计算，第一步先 选择公式，明确是哪两数和（或差）的平方；第二步准确代入公式；第三步化简。
例2 用完全平方公式计算:
(1) ( 5 + 3p )2 (2) ( 2x - 7y )2
解： (1) ( 5 + 3p )2
=25+30p+9p2
典型例题
=52 + 2 · 5 · 3p + ( 3p)2
(2) (2x - 7y )2
=4x 2 -28xy+49y 2
= (2x) 2 - 2·2x·7y + (7y)2

想一想：
你能有那些方法可以利用完全平方公
式计算呢？请把你的方法与同学交流。
典型例题
例3 用完全平方公式计算:
(1) (-x +2y )2 (2) ( -2a-5 )2

典型例题
例3 用完全平方公式计算:
(1) (-x +2y )2 (2) ( -2a-5 )2
解法1： (1) (-x +2y)2
= x2 -4xy +4y2
= (-x)2 +2 · (-x) · 2y + (2y)2
解法2： (1) (-x +2y )2
= 4y2 -4xy +x2
= (2y)2 - 2 · 2y · x+ x2
= (2y-x)2

典型例题
例3 用完全平方公式计算:
(1) (-x +2y )2 (2) ( -2a-5 )2
解法1：
(2) (-2a-5 )2
=4a2 +20a+25
=(-2a)2-2·(-2a)·5+52
=4a2+20a+25
=(2a)2 +2·2a·5+52
=[-(2a+5)] 2
解法3：
(2) (-2a-5 )2
=(2a+5)2
=[(-2a)-5] 2
解法2：
(2) (-2a-5 )2
=4a2 +20a+25
=(-2a)2 +2·(-2a)·(-5)+(-5)2
=[(-2a)+(-5)] 2
对问题从不同的角度进行观察和分析，可以得到不同的解决问题的方法。
题西林壁
苏轼
横看成岭侧成峰，远近高低各不同。
不识庐山真面目，只缘身在此山中。
例4 用完全平方公式计算：
（1）9982 （2） 1012

运用完全平方公式可以起到
简便运算的作用。
典型例题
解：(1)9982=(1000-2)2
=10002-2×1000×2+22
=1000000-4000+4
=996004
(2)1012=(100+1)2
=1002+2×100×1+12
=10000+200+1
=10201
1.下面的计算是否正确？如有错误，请改正：
(1) (x+y)2＝x2+y2;
(2) (-m+n)2＝m2 -mn+n2；
(3) (-a-1)2＝?a2?2a?1.
解: (1) 错误.少了两个数的积的2倍;
应改为: (x+y)2＝ x2+2xy+y2;
(2) 错误.求两个数的积的时候少乘2倍；
应改为: (-m+n)2＝ (-m)2+2?(-m) ? n +n2 ＝ m2-2mn +n2;
(3) 错误. 第一数平方时未加括号, （应该是（-a)2 )
两个数的积的2倍 错了符号;
第二数的平方也错了符号;
应改为: (?a?1)2＝(?a)2?2?(?a )?1+12=a2+2a+1.

练一练
2. 小兵计算一个二项整式的平方时，得到正确结果是4x2+ 20xy +25y2，但最后一项不慎被污染了,你知道这一项是　 　. 　

练一练

变式：小兵计算一个二项整式的平方时，得到正确结果是9x2+ 20xy +25y2，但中间一项不慎被污染了,你知道这一项应是( )
A. 15xy B. 30xy C.±15xy D.±30xy
25y2

D
3.用完全平方公式计算：
(1) （1＋x)2 (2) (y - 4)2 (3)(-3x + 2)2 (4)( x- y )2
练一练
解： (1) (1+x )2
=12 +2 ·1· x+ x2
= 1+2x+x2
(3) (-3x + 2)2
= (-3x)2 +2 · (-3x) · 2 + 22
= 9x2 -12x +4
(2) (y - 4)2
= y2 -2·y·4+ 42
= y2 -8y +16
(4) ( x- y )2
= ( x)2 -2 · ( x) · (y ) + ( y )2
= x2 -4xy + y2
计算：（a+b+c)2
试一试
课堂小结


完全平方公式是多项式乘多项式的特殊情况，灵活、正确运用完全平方公式可以简化计算；在解题过程中要准确确定a和b、对照公式原形的两边, 做到不丢项、不弄错符号、2ab时不少乘2。
完全平方公式
(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2


再见