上海（沪教版）八年级下数学辅导讲义-第14讲-三角形、梯形的中位线教师版

学员姓名： 学科教师： 年 级： 辅导科目：
授课日期 ××年××月××日 时 间 A / B / C / D / E / F段
主 题 三角形、梯形的中位线
教学内容
1．理解三角形、梯形的中位线概念； 2．掌握三角形、梯形中位线的性质定理，并能用其进行计算和论证； 3. 能综合运用三角形、梯形、以及其他特殊四边行有关知识进行计算与证明． （此环节设计时间在10-15分钟） 教法说明：首先回顾上次课的预习思考内容，建议让学生回顾证明三角形、梯形中位线的方法． 1．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半； 2．梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半． 练习： 1．已知梯形的中位线长为9cm，上底长5cm，那么下底的长是 cm； 2．梯形的中位线长为20cm，高为4cm，则其面积为 cm?； 3．若梯形的中位线被它的两条对角线三等分，则梯形的上底a与下底b(a 问题3：根据问题2的探究，请你总结中点四边形的形状由原四边形的什么决定的？ 参考答案：问题1：平行四边形； 证明：联结AC， ∵E是AB的中点，F是BC的中点， ∴EF∥AC，EF＝AC 同理：HG∥AC，HG＝AC ∴EF∥HG，EF＝HG， ∴四边形EFGH是平行四边形． 问题2：略； 问题3：中点四边形的形状是由原四边形对角线的数量和位置关系决定的，当原四边形对角线相等时为菱形，对角线垂直时为矩形，对角线相等且垂直时为正方形． 例题3：如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC内，CE⊥AE，点F在边AB上，EF∥BC． （1）求证：四边形BDEF是平行四边形； （2）线段BF、AB、AC的数量之间具有怎样的关系？证明你所得到的结论． 参考答案：（1）证明：延长CE交AB于点G， ∵AE⊥CE，∴∠AEG＝∠AEC＝90?， 又∵∠GAE＝∠CAE，AE＝AE，∴△AGE≌△ACE． ∴GE＝EC． ∵BD＝CD，∴DE//AB． ∵EF//BC，∴四边形BDEF是平行四边形． （2）解：∵四边形BDEF是平行四边形，∴BF＝DE． ∵D、E分别是BC、GC的中点，∴BG ＝2BF＝2DE． ∵△AGE≌△ACE，∴AG＝AC， ∴2BF＝AB–AG＝AB–AC． 例题4：如图，在梯形ABCD中，AB//CD，AD＝BC，对角线AC、BD的交点O，∠AOB＝60°，又S、P、Q分别是DO、AO、BC的中点． 求证：△SPQ是等边三角形． 参考答案： 证明：联结CS，BP． ∵四边形ABCD是等腰梯形，且AC与BD相交于O， ∴可得出：△CAB≌△DBA， ∴∠CAB＝∠DBA， 同理可得出：∠ACD＝∠BDC， ∴AO＝BO，CO＝DO． ∵∠AOB ＝60°， ∴△OCD与△OAB均为等边三角形． ∵S是OD的中点， ∴CS⊥DO． 在Rt△BSC中，Q为BC中点，SQ是斜边BC的中线， ∴SQ＝BC． 同理BP⊥AC． 在Rt△BPC中，PQ＝BC． 又∵SP是△OAD的中位线， ∴SP＝AD＝BC． ∴SP＝PQ＝SQ． 故△SPQ为等边三角形 ※例题5：如图在△ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，且BD＝CE，M、N分别是BE、CD的中点．过 MN的直线交AB于P，交AC于Q，线段AP、AQ相等吗？为什么？ 答案：AP＝AQ， 理由：取BC的中点H，联结MH，NH． ∵M，H为BE，BC的中点， ∴MH∥EC，且MH＝EC．
同理：NH∥BD，且NH＝BD．
∵BD＝CE，∴MH＝NH．∴∠HMN＝∠HNM；
∵MH∥EC，∴∠HMN＝∠PQA，
同理∠HNM＝∠QPA．
∴∠APQ＝∠AQP， ∴AP＝AQ 此环节设计时间在30分钟左右（20分钟练习＋10分钟互动讲解）。 1．若顺次联结四边形ABCD各边的中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD一定是 的四边形； 2．如图，在梯形ABCD中，已知AD//CB，对角线AC⊥BD，且AC＝5cm，BD＝12cm，则梯形的中位线长 为 cm； 3．已知：如图，△ABC中，D是BC边的中点，AE平分∠BAC，BE⊥AE于E点，若AB＝5，AC＝7，求ED． 4．如图，AD平分∠BAC，交BC于点D，过C作AD的垂线，交AD的延长线于点E，F为BC中点，联结EF； 求证：EF//AB . 参考答案：1．对角线垂直； 2．； 3． ED＝1，提示：延长BE，交AC于F点； 4．提示：延长AB和CE交于G点即可． 补充类试题： 已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E、F分别是DC、AB边的中点，FE的延长线分别与AD、BC 的延长线交于H、G点． 求证：∠AHF＝∠BGF． 参考答案：联结AC，取AC的中点M，再分别联结ME、MF， ∵E、F分别是DC、AB边的中点，∴ME∥AD， EM＝AD， MF∥BC，MF＝BC． ∵AD＝BC， ∴EM＝MF， ∴∠MEF＝∠MFE． ∵EM∥AH，∴∠MEF＝∠AHF ∵FM∥BG，∴∠MFE＝∠BGF ∴∠AHF＝∠BGF （此环节设计时间在5-10分钟内） 让学生回顾本节课所学的重点知识，以学生自我总结为主，学科教师引导为辅，为本次课做一个总结回顾 【巩固练习】 1．如图，梯形ABCD中，E、F分别为腰AB 、CD的中点，若 ∠ABC和∠DCB的平分线相交与线段EF上的一点P，当EF＝3时，则梯形ABCD的周长为 ； 2．等腰梯形的对角线互相垂直，若连接该等腰梯形各边中点，则所得图形是（ ） A、平行四边形 B、矩形 C、菱形 D、正方形 3．如图，在梯形ABCD中，AD//BC，E、F、M分别为AB、DC、BC的中点，且ME ＝ MF． 求证：梯形ABCD是等腰梯形． 4．如图，已知BE、CD分别是△ABC的角平分线，并且AE⊥BE于E点，AD⊥DC于D点．
求证：（1）DE∥BC；（2）DE＝(AB+AC?BC)． 参考答案：1．12； 2．D； 3．联结AC，BD， ∵E、F、M分别为AB、DC、BC的中点， ∴EM＝AC，MF＝BD， ∵ME ＝ MF， ∴AC＝BD， ∴梯形ABCD是等腰梯形 4．证明：（1）延长AD、AE，交BC于F、G； ∵BE⊥AG， ∴∠AEB＝∠BEG＝90°； ∵BE平分∠ABG，∴∠ABE＝∠GBE； ∴∠BAE＝∠BGE； ∴△ABG是等腰三角形； ∴AB＝BG，即E是AG中点； 同理可得：D是AF中点； ∴DE是△AFG的中位线； ∴DE∥BC． （2）由（1）知DE是△AFG的中位线，∴DE＝FG； ∵FG＝BG+CF-BC，且AB＝BG，AC＝CF； ∴FG＝AB+AC-BC，即DE＝（AB+AC-BC） 【预习思考】 1．菱形的两条对角线之比是2：3，面积是27，则两条对角线的长分别是 和 ． 2．如图，已知梯形ABCD的中位线为EF，且△AEF的面积为6cm2，则梯形ABCD的面积为（ ） A、 12 cm2 B、 18 cm2 C、 24 cm2 D、30 cm2 3．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ） A、当AB＝BC时，它是菱形； B、当AC⊥BD时，它是菱形； C、当AC＝BD时，它是正方形； D、当∠ABC＝900时，它是矩形. 4．下列说法：①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形或等腰梯形。 ②一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形。 ③两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 ④顺次联结等腰梯形各边中点所得到的四边形是菱形。其中正确的是（ ） A、①② B、①②③ C、②③④ D、①②③④


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