沪教版数学高一下春季班：第十二讲 等差数列 同步学案（教师版）

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沪教版数学高一下春季班第12讲
课题 等差数列 单元 第章 学科 数学 年级 十
学习 目标 1.掌握等差数列的概念； 2.熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式； 3.灵活掌握等差数列的性质； 4.等差数列求最值。
重点 熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式； 灵活掌握等差数列的性质；
难点 灵活掌握等差数列的性质；

教学安排
版块 时长
1 知识梳理 30
2 例题解析 60
3 巩固训练 20
4 师生总结 10
5 课后练习 30



数列通项公式求法：
1、等差数列的定义:
①如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示 (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??)
2、等差数列的判定方法:
②定义法：对于数列，若(常数)，则数列是等差数列 (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??)
③等差中项：对于数列，若，则数列是等差数列 (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??)
3、等差数列的通项公式:
④如果等差数列的首项是，公差是，则等差数列的通项为 (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??)该公式整理后是关于n的一次函数 (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??)
4、等差数列的前n项和:
⑤ ⑥
对于公式2整理后是关于n的没有常数项的二次函数 (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??)
5、等差中项:
⑥如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项 (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??)即：或
在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项 (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??)
6、等差数列的常用性质:
⑦等差数列任意两项间的关系：如果是等差数列的第项，是等差数列的第项，且，公差为，则有
⑧对于等差数列，若，则
⑨若数列是等差数列，是其前n项的和，，那么，，成等差数列 (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??)
7、奇数项和与偶数项和的关系：
⑩设数列是等差数列，是奇数项的和，是偶数项项的和，是前n项的和，则有如下性质：
前n项的和
当n为偶数时，，其中d为公差；
当n为奇数时，则，，，，
8 (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??)前n项和与通项的关系：
（11）若等差数列的前项的和为，等差数列的前项的和为，则 (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??)
9、等差数列的单调性
等差数列公差为d，若d>0,则数列递增；若d<0,则数列递减；若d=0,则数列为常数列。
10、等差数列的最值
若是等差数列，求前n项和的最值时，
（1）若>0,d<0,且满足，前n项和最大；
（2）若<0,d>0，且满足，前n项和最小；
（3）除上面方法外，还可将的前n项和的最值问题看作关于n的二次函数最值问题，利用二次函数的图象或配方法求解，注意。





一、等差数列的概念与公式
【例1】在等差数列中：
若，求n；
《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为多少升？
【难度】★
【答案】（1）10；（2）.

【例2】已知等差数列满足，求数列的通项公式.
【难度】★
【答案】2－n

【例3】已知a，b，c成等差数列，求证：b+c，c+a，a+b也是等差数列.
【难度】★
【答案】略

【例4】已知是各项不同的正数等差数列，成等差数列，又，．
证明为等比数列；
如果数列前3项和等于，求数列的首项和公差．
【难度】★★
【答案】（1）提示：证明；（2）．

【例5】设各项均为正数的数列的前项和为，已知，数列是公差为的等差数列．
求数列的通项公式（用表示）；
设为实数，对满足且的任意正整数，不等式都成立，求证：的最大值为．
【难度】★★★
【答案】（1）；（2）提示：转化为

【巩固训练】
1.已知为等差数列，则下列各式所确定的数列必为等差数列的是（ ）
A. B. C. D.
【难度】★
【答案】D

2.等差数列中，,则
【难度】★
【答案】

3.为等差数列，若，则.
【难度】★
【答案】－2n+7或2n-7

4.已知数列是等差数列，且，则使最小的公差
【难度】★
【答案】

5.等差数列的前10项和为140，其中项数为奇数的各项和为125，求前100项和.
【难度】★
【答案】－97600

6.已知等差数列中，，求.
【难度】★
【答案】－110

7.已知数列的各项均不为零，且满足关系式：，
（1）求证数列是等差数列；（2）当时，求数列的通项公式.
【难度】★
【答案】(1)略；（2）.

8.数列中，，试问数列是否为等差数列？如果是，写出它的通项公式；如果不是，说明理由.
【难度】★
【答案】


二、等差数列的性质
【例6】一个共有n项的等差数列前4项之和为26，末4项之和为110，且所有项之和为187，则n=____
【难度】★
【答案】11
【解析】 n=11

【例7】 等差数列前9项和等于前4项和，若，则k=
【难度】★★
【答案】10
【解析】，，k=10

【例8】设等差数列的前项和为，若,则=
【难度】★
【答案】24
【解析】 是等差数列,由,得
. 、

【例9】设等差数列的前项和为，若则
【难度】★
【答案】9
【解析】 为等差数列，

【例10】等差数列的前n项和为_____
【难度】★★
【答案】
【解析】根据求出，再根据，求出。，注意是的中间项。由于，，有，再由，代入可求得

【例11】已知等差数列的前10项之和为30，前20项之和为100，则=
【难度】★★
【答案】14
【解析】对等差数列进行分组，十个一组，则每组之和也成等差数列
由以上分析，得，由于成等差，所以，
所以，再由,得到

【例12】一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项与奇数项和之比为32：27，则公差d=_________
【难度】★★
【答案】5
【解析】根据，可设，代入求出
【解答】：由分析，设，再由，可知又因为，所以

【例13】设等差数列的首项及公差均是正整数，前项和为，且，，，则=
【难度】★★
【答案】4024
【解析】，由分析有
再由是正整数，当时，，矛盾，舍掉
当时
所以

【例14】为等差数列的前n项和，若，则= ．
【难度】★★
【答案】4
【解析】由，即 ，得．
，．故=4．

【例15】已知成等差数列，求证：也成等差数列.
【难度】★★
【答案】见解析
【解析】由成等差数列，有

也成等差数列.


【巩固训练】
1、已知等差数列的前n项和为，已知，,则
【难度】★★
【答案】10
【解析】因为是等差数列，所以，，由，得：2－＝0，所以，＝2或0（舍），又，即＝38，即（2m－1）×2＝38，解得m＝10，故选.

2、首项为-24的等差数列从第10项起为正数，则公差d的取值范围是
【难度】★★
【答案】
【解析】 提示：

3、设、分别是等差数列、的前n项和，若 ，求
【难度】★★
【答案】
【解析】根据，可得由次可得

4. 设等差数列、的前n项和分别为、，若对任意自然数n都有，则的值为
【难度】★★
【答案】
【解析】 …. =

5. 等差数列中，前m项的和为77（m为奇数），其中偶数项的和为33，且a1-am=18，求这个数列的通项公式。
【难度】★★
【答案】=-3n+23
【解析】利用前奇数项和和与中项的关系
令m=2n-1，n∈N+
则 ∴ ∴ n=4∴ m=7
∴ an=11∴ a1+am=2an=22
又a1-am=18∴ a1=20，am=2∴ d=-3∴ =-3n+23


三、等差数列通项公式的求法
【例16】已知数列中，，求通项.
【难度】★
【答案】
【解析】依题意有：



【解析】
时，有
经检验对于时也成立，

【例17】数列
【难度】★
【答案】，
【解析】依题意有：



【解析】看成一个新数列，是个等差数列，首项，先求出其通项公式
，

【例18】在数列中,
【难度】★
【答案】，
【解析】依题意有：



【解析】逐项累加有，
从而，

【例19】已知数列满足，，求
【难度】★
【答案】，
【解析】由条件知：； 分别令，
代入上式得个等式累加之，即
所以
，，

【例20】已知数列中，求数列的通项公式.
【难度】★
【答案】，
【解析】当时，
将这个式子累乘，得到 ，从而，
当时，，所以，

【例21】已知数列满足,求.
【难度】★★
【答案】，
【解析】两边取倒数得:
,所以，故有，

【例22】已知数列和的通项公式分别为，（.将集合中的元素从小到大依次排列，构成数列
（1）写出；
（2）求证：在数列中，但不在数列中的项恰为；
（3）求数列的通项公式.
【难度】★★★
【答案】见解析
【解析】⑴ 由于，
所以；
⑵ ① 任意，设，则，即
② 假设（矛盾），∴
∴ 在数列中、但不在数列中的项恰为。
⑶ ，
，，
∵
∴ 当时，依次有，……
∴ 。


【巩固训练】
1、已知为等差数列，，则等于（ ）
A. -1 B. 1 C. 3 D.7
【难度】★
【答案】B
【解析】∵即∴同理可得∴公差∴.选B

2、等差数列的前n项和为，且 =6，=4， 则公差d等于（ ）
A．1 B C.- 2 D 3
【难度】★
【答案】C
【解析】∵且.故选C

3、已知数列中，，求数列的通项公式.
【难度】★
【答案】，
【解析】，，令
数列是等差数列，，，

4、设为数列的前项和，，
(1)求常数的值；
(2)求证：数列是等差数列.
【难度】★★
【答案】见解析
【解析】解:(1)，，
(2)由(2)知：，
当时，，
，数列是等差数列.

5、已知为数列的前项和，；数列满足：，
，其前项和为
(1)求数列、的通项公式；
(2)设为数列的前项和，，求使不等式对都成立的最大正整数的值.
【难度】★★★
【答案】见解析
【解析】(1)，
当时，；
当时，
当时，，；
由，是等差数列，设其公差为.
则，
.
⑵


，是单调递增数列.
当时，
对都成立
所求最大正整数的值为.


四、等差数列的前n项和
【例23】设为等差数列，为数列的前项和，已知为数列的前项和，求.
【难度】★
【答案】
【解析】先通过求出，进而，所以是等差数列

【例24】已知数列的通项，求其前项和
【难度】★
【答案】，
【解析】

，

【例25】已知数列的通项，求其前项和
【难度】★
【答案】，
【解析】
原式，

【例26】设，求：
(1)；
(2)
【难度】★★
【答案】见解析
【解析】，.
(1)
(2)原式.

【例27】已知数列是各项均不为的等差数列，公差为，为其前项和，且满足，．数列满足，为数列的前n项和．
（1）求、和；
（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围
【难度】★★★
【答案】见解析
【解析】（1）（法一）在中，令，，
得 即
解得，，．
，
．
（法二）是等差数列， ．
由，得 ，又，，则．
(求法同法一)
（2）①当为偶数时，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．
，等号在时取得． 此时 需满足．
②当为奇数时，要使不等式恒成立，
即需不等式恒成立．
是随的增大而增大， 时取得最小值．
此时 需满足．
综合①、②可得的取值范围是．


【巩固训练】
1、已知等差数列{}中，求{}前n项和.
【难度】★
【答案】见解析
【解析】设的公差为，则

即
解得
因此

2、已知数列的通项公式为， ，求数列的前项和.
【难度】★★
【答案】，
【解析】

，

3、（1）求和：；
（2）求和：；
（3）求和：.
【难度】★★
【答案】（1）原式；（2）原式；（3）原式。

4、数列中，其前n项和满足
（1）求的表达式
（2）设，求数列的前n项和
【难度】★★
【答案】见解析
【解析】 提示：代入用倒数法求得。裂项相消法得

5、已知数列的通项公式，求数列的前n项和
【难度】★★
【答案】见解析
【解析】由解出 当时，
当时，



五、等差数列的综合应用（最值、单调性、数列与函数、数列与不等式综合等）
【例28】等差数列的前项和为，若，则当n=_______时，最大.
【难度】★★
【答案】8
【解析】因为，所以可以看成的过原点的二次函数（没有常数项），可知开口向下，考虑对称轴，那么抛物线与轴的另一交点坐标是，应在与之间，根据分析有，离对称轴最近的整数是，所以时，最大.


【例29】设集合W是满足下列两个条件的无穷数列的集合：①； ② M是与n无关的常数．
(1)若{}是等差数列，是其前n项的和，=4，=18，试探究与集合W之间的关系；
(2)设数{}的通项为，求M的取值范围；(4分)
【难度】★★
【答案】(1)设等差数列的公差是d ，则a1+2d=4，3a1+3d=18，解得a1=8，d =－2，
所以，(2分)，

得适合条件①. (4分)；
又，
所以当n = 4或5时，Sn取得最大值20，即Sn ≤ 20，适合条件②， (3分)，
综上，{}. (1分)
(2)因为，(2分)，
所以当n≥3时，，此时数列{bn}单调递减；(1分)
当n = 1，2时，，即b1＜b2＜b3，
因此数列{bn}中的最大项是b3=7，所以M≥7．(3分)

【例30】已知，且的图像经过点。
　（1）求数列的通项公式；
　（2）当n为奇数时，设，是否存在整数m和M，使不等式恒成立，若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由。
【难度】★★
【答案】见解析
【解析】1）再写一项做差得
2），，相减得明显小于又为n的增函数n=1时， m最大值为0，M最小值为2

【例31】已知正数列的前项和满足：，
（1）求证：是一个定值；
（2）若数列是一个单调递增数列，求的取值范围；
【难度】★★
【答案】见解析
【解析】（1）
，任意,,
（2）计算
数列的前几项：，，，，，
整个数列成单调递增的充要条件是 解得

【例32】设数列的通项公式为. 数列定义如下：对于正整数m，是使得不等式成立的所有n中的最小值.
（Ⅰ）若，求；
（Ⅱ）若，求数列的前2m项和公式；
（Ⅲ）是否存在p和q，使得？如果存在，求p和q的取值范围；如果不存在，请说明理由.
【难度】★★★
【答案】（Ⅰ）由题意，得，解，得.
∴成立的所有n中的最小整数为7，即.
（Ⅱ）由题意，得，
对于正整数，由，得.
根据的定义可知
当时，；当时，.
∴

.
（Ⅲ）假设存在p和q满足条件，由不等式及得.
∵,根据的定义可知，对于任意的正整数m 都有
，即对任意的正整数m都成立.
当（或）时，得（或），
这与上述结论矛盾！
当，即时，得，解得.
∴ 存在p和q，使得；
p和q的取值范围分别是，..

【巩固训练】
1、设等差数列的前项和，已知.指出…，中哪一个值最大，并说明理由.
【难度】★★
【答案】
【解析】设对称轴，则，所以最大

2、设数列{an}是首项为50，公差为2的等差数列；{bn}是首项为10，公差为4的等差数列，以ak、bk为相邻两边的矩形内最大圆面积记为Sk，若k≤21，那么Sk等于？
【难度】★★
【答案】
【解析】，，时从而最大圆是以中较小的边为直径的圆，所以

3、设是公差不为零的等差数列，为其前项和，满足。
（1）求数列的通项公式及前项和；
（2）试求所有的正整数，使得为数列中的项。
【难度】★★
【答案】见解析
【解析】（1）设公差为，则，由性质得，因为，所以，即，又由得，得，,
(2) （方法一），设，则=, 所以为8的约数。因为t是奇数，所以t可取的值为
当t=1，m=2时，，是数列中的项；当当t=-1，m=1时，，数列中的最小项是-5，不符合，所以满足条件的正整数m=2。
（方法二）因为为数列中的项，
故为整数，又由（1）知：为奇数，所以
经检验，符合题意的正整数只有。





求数列的通项公式以及前项和是数列知识的一个重点，也是一个难点，高考也往往通过考查递推数列来考查学生对知识的探索能力，熟练掌握求数列通项公式的几种方法有利于更好地解决数列相关问题，求数列的前项和的基础是对于数列中递推数列的通项公式的求法要很好地掌握，一般是将递推公式变形，推得原数列是一种特殊的数列或原数列的项的某种组合是一种特殊数列，把一些较难处理的数列问题化为中学中所研究的等差或等比数列，在基础上数列进行进一步的研究，即对于数列求和中和不等式、函数，行列式等结合考查学生的综合能力。







1、在等差数列中，若，则的值为（ ）
A．4 B．6 C、8 D．10
【难度】★
【答案】C
【解析】由，，故选C.

2、设等差数列的前n项和为。若，，则当取最小值时，n等于（ ）
A.6 B.7 C.8 D.9
【难度】★★
【答案】A
【解析】由，得到，从而，所以
，因此当取得最小值时，.

3、等差数列{an}中，a10＜0，a11＞0且a11＞|a10|，Sn为其前n项和，则
A.S1，S2，…，S10都小于0，S11，S12，…都大于0
B.S1，S2，…，S19都小于0，S20，S21，…都大于0
C.S1，S2，…，S5都小于0，S6，S7，…都大于0
D.S1，S2，…，S20都小于0，S21，S22，…都大于0
【难度】★★
【答案】B
【解析】由题意知 可得d＞0，a1＜0.又a11＞|a10|=－a10，
∴a10+a11＞0.由等差数列的性质知a1+a20=a10+a11＞0，∴S20=10（a1+a20）＞0.

4、设是数列的前n项和，若，则 （ ）
A B C D
【难度】★★
【答案】A
【解析】设，

5、如图,在杨辉三角中,斜线l上方,从1开始箭头所示的数组成一个锯齿数列:1,3,3,4,6,5,10,…,记其前n项和为Sn,则S19等于
1
1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
… … … … … … …
【难度】★★★
【答案】283
【解析】由条件知道:该数列的奇数项分别为1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,…,偶数项分别为3,4,5,6,7,8,9,10,11,…,把奇数项的前10项与偶数项的前9项相加即得S19=283.

6、下图是用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第n个图案中需用黑色瓷砖 块．（用含n的代数式表示）


【难度】★★
【答案】4n+8
【解析】第（1）、（2）、（3）…个图案黑色瓷砖数依次为：15－3＝12；24－8＝16；35－15＝20；…
由此可猜测第（n）个图案黑色瓷砖数为：12＋(n－1)×4＝4n+8

7、已知数列：
求证：数列为等差数列，并求它的公差
【难度】★
【答案】见解析
【解析】①由条件，
∴；∴
故为等差数列，公差

8、数列的前n项和,a,b是常数，且b0.
⑴证明: 是等差数列；
⑵证明以为坐标的点Pn都落在同一条直线上，并求出此直线的方程.
【难度】★★
【答案】见解析
【解析】⑴证明：∵a1=S1=a,∵当时,=[ na＋n（n－1）b]－[(n－1)a＋（n－1）(n－2)b]= a＋（n－1）2b（a1也符合此形式）
∴数列{an｝是以a为首项，公差为2b的等差数列.
⑵证明: ∵b0,是等差数列,当n≥2时,,即
∵ = = = = .
∴以为坐标的点都在过点,斜率为的直线上，
此直线的方程为：x－2y＋a－2=0.

9、已知数列的前项和，数列的每一项都有，求数列的前项和.
【难度】★★
【答案】见解析
【解析】，当时，
? 　　　　.
　又当，.
∴? 数列的通项公式为.
故数列是首项为9，公差为的等差数列.
在中. 由二次函数的性质知，
当时，最大（若令则）. 而.
∴? 的前五项为正，
故，从第6项起又组成一个首项为1，
公差为2的等差数列，
其和为
又.
?故当时，.
? 综合上述，可得数列的前项和为

10、已知数列{an}的前n项和Sn=12n－n2，求数列{|an|}的前n项和Tn.

【难度】★★
【答案】见解析
【解析】当n=1时，a1=S1=12－12=11；
当n≥2时，an=Sn－Sn－1=12n－n2－［12（n－1）－（n－1）2］=13－2n.
∵n=1时适合上式，
∴{an}的通项公式为an=13－2n.
由an=13－2n≥0，得n≤，
即当 1≤n≤6（n∈N*）时，an＞0；当n≥7时，an＜0.
（1）当 1≤n≤6（n∈N*）时，
Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=12n－n2.
（2）当n≥7（n∈N*）时，
Tn=|a1|+|a2|+…+|an|
=（a1+a2+…+a6）－（a7+a8+…+an）
=－（a1+a2+…+an）+2（a1+…+a6）
=－Sn+2S6=n2－12n+72.
∴Tn=

11、设各项均为正数的数列的前n项和为，已知，数列是公差为d的等差数列。
1）求数列的通项公式（用n,d表示）
2）设c为实数，对满足的任意正整数m,n,k不等式都成立，求证：c的最大值是.
【难度】★★
【答案】见解析
【解析】当n≥2时
由得解得故n≥2时
又所以数列通项公式为
2）及得，
故c的最大值≤。另一方面，任取实数，设k为偶数，令，则，于是只要即当时就有，所以矛盾，应有c≤。 因此c的最大值为。

12、已知集合具有性质：
对任意，与至少一个属于，
（1）分别判断集合与是否具有性质，并说明理由；
（2）①求证：；②求证：；
（3）研究当和时，集合中的数列是否一定成等差数列？
【难度】★★★
【答案】见解析
【解析】（1）对于集合：
∴集合具有性质．对于集合：，∴集合不具性质．
（2）①
②


．
（3）① 当时，集合中元素一定成等差数列．
证明：当时，


即 又，∴．故成等差数列．
② 当时，集合中元素不一定成等差数列．
如：中组成等差数列；中不组成等差数列．
③ 当时，成等差数列．
证明：当时，

又
成等差数列．

















知识梳理

例题解析

2m

m

y

x

O

反思总结

课后练习








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