沪教版数学高一下春季班：第十三讲 等比数列 同步学案（教师版）

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沪教版数学高一下春季班第十三讲
课题 等比数列 单元 第章 学科 数学 年级 十
学习 目标 理解等比数列、公比与等比中项的概念；2．掌握等比数列的通项公式及前项和公式，递推公式，熟练运用数列性质解决相关数列问题；3．会用等比数列的知识解决简单的实际问题以及培养学生观察、分析和计算能力．
重点 1．掌握等比数列通项公式以及前项和公式，熟练运用等比数列性质解决相关数列问题；2．会用等比数列的知识解决简单的实际问题．
难点 会用等比数列的知识解决简单的实际问题．

教学安排
版块 时长
1 知识梳理 30
2 例题解析 60
3 巩固训练 20
4 师生总结 10
5 课后练习 30



1、等比数列的定义
一般地、如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，这个数列叫做等比数列，常数称为等比数列的公比.
数学语言：或
2、通项公式
，，亦可写成，，可假设为。
变形：或。

3、等比中项
如果成等比数列，那么叫做与的等比中项。即或（同号）
是与的等比中项，，成等比数列。
注：同号的两个数才有等比中项，且它们的等比中项有两个。

等比数列的前项和公式
前项和公式：或。
注：若，则前项和可假设为：
5、等比数列的性质
（1）若是等比数列，且，则，特别地，当时，。
（2）数列为等比数列，则数列（为非零常数）为等比数列。
（3）数列为等比数列，每隔项取出一项仍为等比数列。
（4）如果是各项均为正数的等比数列，则数列是等差数列。
（5）若为等比数列，则数列成等比数列。
（6）当时，，则为递增数列，，则为递减数列。
当时，，则为递减数列，，则为递增数列。
当时，则为常数列； 当时，该数列为摆动数列。
在等比数列中，当项数为时，
若是公比为的等比数列，则



6、等比数列的判定方法
（1）定义法：（，是常数）或是等比数列。
（2）中项法：()且是等比数列。
（3）通项公式法：是等比数列。
（4）前项和公式法：是等比数列。




一、等比数列的通项公式
【例1】在等比数列中，已知，则公比的值为________
【难度】★
【答案】
【解析】

【例2】等比数列中，已知,求=__________
【难度】★★
【答案】或
【解析】，
又由，构造以为根的一元二次方程
，解得，所以或
若，则，进而；
若，则，进而

【例3】等比数列的首项，公比是关于的方程的实数解，若数列有且只有一个，则实数的取值集合为 ．
【难度】★★
【答案】
【解析】方程有且只有一个实数解或一根为零，一根不为零
①，即，此时；②；③．

【例4】 设，，，，则数列的通项公式 。
【难度】★★
【答案】
【解析】利用已知条件，进行代换。找到之间的关系，得出为等比数列。故答案为

【例5】一个等比数列有三项，如果把第二项加上4，那么所得的三项就成为等差数列，如果再把这个等差数列的第三项加上32，那么所得的三项又成为等比数列，求原来的等比数列.
【难度】★★
【答案】或，－，.
【解析】设所求的等比数列为，，；
则，且；
解得，或，；
故所求的等比数列为或，－，.


【例6】已知某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的这种物质是原来的．这种物质的半衰期为多长(精确到年)?
【难度】★★
【答案】4
【解析】设这种物质最初的质量是1，经过年，剩余量是．由条件可得，数列是一个等比 数列，其中 ．
设，则．两边取对数，得．
用计算器算得 ．
答：这种物质的半衰期大约为4年．

【例7】已知数列中，，，求的通项公式
【难度】★★
【答案】，
【解析】两边同除以，得
有，所以成等差数列，，进而

【例8】设数列{}的首项，且
，求
【难度】★★
【答案】见解析
【解析】解：若n为偶数，则即
∴
∴ ∴
若n为奇数，则
即，∴
∴
，这种类型一般可转化为{}与{}是等差或等比数列。

【例9】已知数列中，，，求
【难度】★★
【答案】，
【解析】待定系数：，所以，
所以成等比数列，，

【例10】已知数列的前项和为,数列是首项为，公差为的等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，对任意的正整数，将集合中的三个元素排成一个递增的等差数列，其公差为，求证：数列为等比数列；
（3）对（2）题中的，求集合的元素个数.
【难度】★★★
【答案】见解析
【解析】（1）由条件得，即, 所以，.
（2）由（1）可知所以，，,，
由及得依次成递增的等差数列,
所以，满足为常数，所以数列为等比数列.
（3）①当为奇数时，

同样，可得,
所以，集合的元素个数为；
②当为偶数时，同理可得集合的元素个数为.


【巩固训练】
1、已知等比数列中，，，则该数列的通项 ．
【难度】★
【答案】，

2、一个各项均为正的等比数列，它的前4项之和为前2项之和的5倍，则此数列的公比为 ．
【难度】★★
【答案】2，

3、已知等比数列的前三项依次为，，，则（ ）
A． B． C． D．
【难度】★★
【答案】C
【解析】，，

4、一个等比数列有三项，如果把第二项加上4，那么所得的三项就成为等差数列；如果再把这个等差数列的第三项加上32，那么所得的三项又成为等比数列，求原来的等比数列 (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??)
【难度】★★
【答案】见解析
【解析】解：设所求的等比数列为a ,aq ,aq2,
则 2(aq+4)=a+aq2 且(aq+4)2=a(aq2+32)
解得a=2 ，q=3 或a=，q=-5
故所求的等比数列为2，6,18或，-， (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??)

5、已知数列中，，，求的通项公式
【难度】★★
【答案】
【解析】用待定系数法做

6、已知数列中，，，求
【难度】★★
【答案】
【解析】用待定系数法做

7、有个数，前个数成等比数列，后个数成等差数列，第一个和第四个数之和为，中间两个数和为，求这个数.
【难度】★★
【答案】或
【解析】由分析可得，解得或
四个数分别为或

8、设首项为正数的等比数列，它的前n项和为80，前2n项和为6560，且前n项中数值最大的项为54，求此数列的首项和公比q (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??)
【难度】★★
【答案】见解析
【解析】解：设等比数列｛an｝的前n项和为Sn
依题意设：a1＞0，Sn=80 ，S2n=6560
∵S2n≠2Sn , ∴q≠1
从而 =80 且=6560
两式相除得1+qn=82 ，即qn=81
∴a1=q-1＞0 即q＞1,从而等比数列｛an｝为递增数列，故前n项中数值最大的项为第n项 (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??)
∴a1qn-1=54,从而(q-1)qn-1=qn-qn-1=54
∴qn-1=81-54=27
∴q==3
∴a1=q-1=2
故此数列的首为2，公比为3 (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??)

9、设为数列的前项和，已知
⑴证明：当时，是等比数列；
⑵求的通项公式
【难度】★★
【答案】由题意知，且 ，
两式相减，得，即 ①
⑴当时，由①知
于是

又，所以是首项为，公比为的等比数列。
⑵当时，由（Ⅰ）知，即
当时，由①得

因此
得
【解析】⑴把看做一个整体，配凑成后一项和前一项的关系即可;（2）借助（1）中结论对和两种情况进行讨论．


二、等比数列的前项和
【例11】设数列{an}前n项和，则A+B=0是使成为公比不等于1的等比数列的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．即不充分也不必要条件
【难度】★
【答案】B

【例12】已知为等比数列的前项和，，则 .
【难度】★★
【答案】6
【解析】或，
当时，；
当时，无整数解.

【例13】已知等比数列中，，则其前3项的和的取值范围是 .
【难度】★★
【答案】见解析
【解析】解：∵等比数列中 ∴
∴当公比时，；
当公比时，， ∴

【例14】已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为，中间两数之和为，求这四个数.
【难度】★★
【答案】
【解析】方法1：设这四个数分别为，则；
方法2：设第个数分别为，则第个数为，第个数为，则
或；

【例15】已知为等比数列前项和，，求.
【难度】★★
【答案】
【解析】
，①
②
①—②，得



【例16】已知数列和满足：,其中为实数，为正整数．设，是否存在实数，使得对任意正整数，都有成立? 若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由．
【难度】★★
【答案】见解析
【解析】因为，又，所以
当，此时，
当时，，，
此时，数列是以为首项，为公比的等比数列，∴，
要使对任意正整数成立，即

当为正奇数时，当为正偶数时，
∴的最大值为, 的最小值为,
于是，由（1）式得
当时，由，不存在实数满足题目要求；
当存在实数，使得对任意正整数，都有,且的取值范围是

【例17】某商场今年销售计算机5000台，如果平均每年的销售量比上一年增加10%，那么，从今年起，大约几年可使销售总量达到3万台？
【难度】★★
【答案】
【解析】因为每一年的销售量比一年增加的百分率相同，
故从今年起，每年的销售量组成一个等比数列，其中，
所以 ， ，

【例18】 设有数列，，若以为系数的二次方程都有根，且满足。（1）求证：数列是等比数列。（2）求数列的通项以及前n项和。
【难度】★★
【答案】见解析
【解析】解：（1）， 代入得
数列是等比数列。
（2）因为数列是公比为的等比数列，且其首项为
所以即。


【例19】各项均为正数的数列的前项和为，且对任意正整数，都有．
（1）求数列的通项公式；
（2）如果等比数列共有项，其首项与公比均为，在数列的每相邻两项与之间插入个后，得到一个新的数列．求数列中所有项的和；
（3）如果存在，使不等式 成立，求实数的范围．
【难度】★★★
【答案】见解析
【解析】（1）当时，由得
当时，由，得
因数列的各项均为正数，所以
所以数列是首相与公差均为等差数列, 所以数列的通项公式为．
（2）数列的通项公式为
数列中一共有项，其所有项的和为



（3）由得
记
因为，当取等号，所以取不到
当时，的最小值为
（）递减，的最大值为
所以如果存在，使不等式 成立
实数应满足，即实数的范围应为．



【巩固训练】
1、已知是等比数列，，则=（ ）


【难度】★★
【答案】C
【解析】，

2、用砖砌墙，第一层（底层）用去了全部砖块的一半多一块，第二层用去了剩下的一半多一块，……，依次类推，每一层都用去了剩下的一半多一块，如果到第九层恰好砖用完，那么共用去砖的块数为 .
【难度】★★
【答案】1022

3、某城市有万人口，人均住房面积，计划三年后人均住房面积为．若人口的年平均增长率为，则这三年的住房年均增长率为 ．
【难度】★
【答案】

4、若数列满足，且，则
．
【难度】★★
【答案】102

5、各项都为正数的无穷等比数列，满足且是增广矩阵为的线性方程组的解，则无穷等比数列各项和的数值是 _________
【难度】★★
【答案】

6、数列的前n项和记为，已知，求的值．
【难度】★★
【答案】见解析
【解析】解：由及，可得．
又时，，则
两式相减，得
于是，数列是以为首项，公比为的无穷等比数列．
进而可得，数列是以为首项，公比为的无穷等比数列，于是可求出极限．


7、已知数列为公差的等差数列，中的部分项组成的数列恰为等比数列，且，求
【难度】★★
【答案】见解析
【解析】解：设｛an｝的首项为a1，∵a、a、a成等比数列，∴（a1＋4d）2＝a1（a1＋16d）.
得a1＝2d，q＝＝3.∵a＝a1＋（kn－1）d，又a＝a1·3n－1，∴kn＝2·3n－1－1.
∴k1＋k2＋…＋kn＝2（1＋3＋…＋3n－1）－n＝2×－n＝3n－n－1.



三、等比数列的性质
【例20】已知是递增的等比数列，且，那么首项的取值范围是________．
【难度】★★
【答案】

【例21】设等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，若，， 且，则 ．
【难度】★★
【答案】

【例22】在和之间插入n个正数，使这个数依次成等比数列，则所插入的n个数之积为 ．
【难度】★★
【答案】见解析
【解析】解法1：设插入的n个数为，且公比为q
则
解法2：设插入的n个数为，



．

【例23】已知正项等比数列，的前n项和为，当且仅当时最大，则数列的公比的取值范围是_______
【难度】★★
【答案】见解析
【解析】

【例24】在正项等比数列 中，已知，若集合
，则A中元素个数为__________.
【难度】★★★
【答案】7

【例25】若数列前n项和为
(1)若首项,且对于任意的正整数n(n2)均有,(其中k为正实常数),试求出数列的通项公式.
(2)若数列是等比数列,公比为,首项为为给定的正实数,满足:
①,且 ②对任意的正整数,均有
试求函数 的最大值(用和表示)
【难度】★★★
【答案】（1）；
，是关于的单调递减函数，最大值为.

【例26】已知点（1，）是函数且）的图象上一点，等比数列的前项和为,数列的首项为，且前项和满足.
（1）求数列和的通项公式；（2）若数列{前项和为，问>的最小正整数是多少?
【难度】★★
【答案】
【解析】（1），
， ,，

又数列成等比数列， ，所以 ；
又公比，所以.

又,, ；
数列构成一个首项为1公差为1的等差数列， ，
当， ；
()；
（2）
；
由得，满足的最小正整数为112.


【巩固训练】
1、等比数列中， =________
【难度】★
【答案】
【解析】根据，得

2、在等比数列中，已知，，则 .
【难度】★★
【答案】
【解析】利用成等比数列，得

3、等比数列中，各项均为正数，且，则为 .
【难度】★★
【答案】49
【解析】解：设等比数列首项为，公比为q，则
(?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??)
另法：，

将两式相加得
又因为数列中，各项均为正数，所以＝7 (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??)

4、在1到的的自然数中，抽走一个数，余下个数的平均数为，求抽走的那个数．
【难度】★★
【答案】5

5、已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11…都有100项，问它们有多少相同的项？并求出所相同项的和。
【难度】★★
【答案】见解析
【解析】分析一：两个等差数列的相同的项按原来的先后次序组成一个等差数列，且公差为原来两个公差的最小公倍数。
设两个数列相同项按原来的前后次序组成的新数列为，则
∵数列5，8，11，…和3，7，11…的公差分别为3与4
又因为数列5，8，11，…和3，7，11…的第100项分别是302和399，所以两个数列有25个相同的项。
其和

分析二：由条件可知两个等差数列的通项公式，可用不定方程的求解法来求解。
设数列5，8，11，…和3，7，11…分别为
设中的第n项与中的第m项相同，即

根据题意得：
从而有25个相同的项，且公差为12，其和


四、等比数列的概念及证明
【例27】设是数列的前项和，且，则是（ ）
A．等比数列，但不是等差数列； B．等差数列，但不是等比数列；
C．等差数列，而且也是等比数列 D．既非等比数列又非等差数列．
【难度】★
【答案】B．
【解析】解法一：．
∴（n∈N）．
又为常数，≠常数．∴是等差数列，但不是等比数列.
解法二：如果一个数列的和是一个没有常数项的关于的二次函数，则这个数列一定是等差数列.

【例28】已知数列的前项和，那么下述结论正确的是（ ）
A．为任意实数时，是等比数列 B．= －1时，是等比数列
C．=0时，是等比数列 D．不可能是等比数列
【难度】★
【答案】B．
【解析】时，；时，
所以是等比数列的充要条件是，即

【例29】已知数列的通项公式为，且，求证：数列是等比数列.
【难度】★
【答案】见解析
【解析】因为，所以，数列是等比数列.

【例30】已知数列和满足：，，，其中为实数，.
（1）对任意实数，证明数列不是等比数列；
（2）试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论.
【难度】★★
【答案】见解析
【解析】（1）证明：假设存在一个实数，使是等比数列，则有，
即矛盾.
所以不是等比数列.
（2）解：因为

又，所以，当，此时不是等比数列；
当时，由上可知，此时是等比数列.

【例31】已知数列，是它的前项和,且
（1）设,求证:数列是等比数列
（2）设,,求证:数列是等差数列
【难度】★★
【解析】（1）
,（特别计算一下）由此可得是等比数列，且首项
（2）
可知是首项的等差数列,


【巩固训练】
1、已知数列首项，，…．证明：数列是等比数列
【难度】★
【答案】见解析
【解析】，∴ ，∴ ，又，，∴数列是以为首项，为公比的等比数列。

2、数列的前项和,那么数列是等比数列吗?为什么?
【难度】★
【答案】见解析
【解析】


3、数列的前项和记为，已知，（）
证明：数列是等比数列，
【难度】★
【答案】见解析
【解析】（1）因为，代入可得

所以，所以数列是等比数列
（2）由（1）可得，所以
（） ，
所以（） ，经检验此式对也成立，所以

所以，而，所以

4、设是首项为，公差为的等差数列，是其前项和。记，，其中为实数。
（1）若，且成等比数列，证明：（）；
（2）若是等差数列，证明：。
【难度】★★
【答案】见解析
【解析】证明：（1）若，则，，又由题，，，是等差数列，首项为，公差为，，又成等比数列，
，，，，，，
，（）．
（2）由题，，，若是等差数列，
则可设，是常数，关于恒成立．
整理得：
关于恒成立．，
。


五、等比数列综合应用
【例32】已知数列，，求证：当时，
【难度】★★★
【答案】见解析
【解析】当为偶数时，
所以；
当为奇数时，由，得，

【例33】已知等比数列的前项和为，且.
（1）求、的值及数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.
【难度】★
【答案】见解析
【解析】（1）当时，.
而为等比数列，得，即，从而.
又∵，∴.
（2），

两式相减得，因此，．

【例34】定义函数如下：对于实数，如果存在整数，使得，则．已知等比数列的首项，公比为，又，则的取值范围是__________．
【难度】★★★
【答案】

【例35】已知数列的前项和为,数列是首项为，公差为的等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，对任意的正整数，将集合中的三个元素排成一个递增的等差数列，其公差为，求证：数列为等比数列；
【难度】★★★
【答案】见解析
【解析】（1）由条件得，即,所以，.
（2）由（1）可知所以，，,，
由及得依次成递增的等差数列,
所以，满足为常数，所以数列为等比数列.


【巩固训练】

1、已知某村镇2010年的人口为1万人，人均住房面积为10平方米，如果该村镇面年人口增长率为1%，欲使2020年底该村镇人均住房面积达到20平方米，那么每年平均需要新建住房多少平方米？
【难度】★★
【答案】见解析
【解析】设每年需要新建住房x万平方米， 表示从2010年起，第n年年底的住房面积数（万平方米），表示从2010年起，第n年底的人口总数，由题意知：是一个以（万平方米）为首项，公差d=x的等差数列，是一个以（万人）为首项，公比q=（1+1%）=1.01的等比数列，所以2020年底人均住房面积数：，2020年底人口总数：，依题意有 ：，所以x= 1.2092（万平方米），所以每年平均需要新建住房12092平方米.

2、某地政府为改善居民的住房条件，集中建设一批经适楼房．用了1400万元购买了一块空地，规划建设8幢楼，要求每幢楼的面积和层数等都一致，已知该经适房每幢楼每层建筑面积均为250平方米，第一层建筑费用是每平方米3000元，从第二层开始，每一层的建筑费用比其下面一层每平方米增加80元．若该经适楼房每幢楼共层，总开发费用为万元，求函数的表达式（总开发费用=总建筑费用+购地费用）
【难度】★
【答案】见解析
【解析】由已知，每幢经适楼房最下面一层的总建筑费用为：
（元）（万元），
从第二层开始，每幢每层的建筑总费用比其下面一层多：（元）（万元），
每幢经适楼房从下到上各层的总建筑费用构成以75为首项，2 为公差的等差数列，
所以函数表达式为：
；

3、某高科技企业研制出一种型号为的精密数控车床，型车床为企业创造的价值逐年减少（以投产一年的年初到下一年的年初为型车床所创造价值的第一年）．若第1年型车床创造的价值是250万元，且第1年至第6年，每年型车床创造的价值减少30万元；从第7年开始，每年型车床创造的价值是上一年价值的50%．现用（）表示型车床在第年创造的价值．
（1）求数列（）的通项公式；
（2）记为数列的前项和，．企业经过成本核算，若万元，则继续使用型车床，否则更换型车床．试问该企业须在第几年年初更换型车床？（已知：若正数数列是单调递减数列，则数列也是单调递减数列）
【难度】★★
【答案】见解析
【解析】（1）由题设，知，，…，构成首项，公差的等差数列．
故（，）（万元）．
，，…，（，）构成首项，公比的等比数列．
故（，）（万元），于是，（）（万元）．　
（2）由（1）知，是单调递减数列，于是，数列也是单调递减数列．
当时，，单调递减，（万元）．
所以（万元）．
当时，，　
当时，（万元）；当时，（万元）．　
所以，当，时，恒有．故该企业需要在第11年年初更换型车床．　

4、已知数列满足，，．
（1）若，求的取值范围；
（2）设是公比为的等比数列，．若，，
求的取值范围；
【难度】★★
【答案】见解析
【解析】（1）由条件得且，解得．所以的取值范围是．
（2）由，且，得，所以．又，所以．
当时，，，由得成立．
当时，．即．
①若，则．由，，得，所以．
②若，则．由，，得，所以．
综上，的取值范围为．

5、等比数列的前项和，已知对任意的，点，均在函数且均为常数)的图像上.
（1）求的值； （2）当时，记，证明：对任意的 ，不等式成立.
【难度】★★
【答案】见解析
【解析】（1）因为对任意的,点，均在函数且均为常数）的图像上，
所以得，当时，；
当时,，
又因为{}为等比数列，所以，公比为,.
（2）当b=2时，，，
则，所以，
下面用数学归纳法证明不等式成立.
①当时,左边=,右边=,因为,所以不等式成立.
②假设当时不等式成立，即成立.
则当时,左边=


所以当时,不等式也成立.由①、②可得不等式恒成立.

6、已知定义在上的函数，对任意实数都有，且.（1）若对任意正整数，有，求、的值，并证明为等比数列；
（2）设对任意正整数，有．若不等式对任意不小于2的正整数都成立，求实数的取值范围．
【难度】★★★
【答案】见解析
【解析】（1）令，得，则，
令，得，则，
令，得，
即，则，
所以，数列是等比数列，公比，首项.
（2）令，得，即
则是等差数列，公差为2，首项， 故，.
设，则
，
所以是递增数列，，
从而，即，则，解得．









数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础，故而在高考中占有重要地位.高考对本章的考查比较全面，一方面考查等差数列、等比数列的基础知识和基本技能；另一方面常和函数、不等式、方程、解析几何、立体几何等相关内容交汇在一起综合，加以导数和向量等新增内容，使数列题更有了施展的舞台.




1、在等比数列{an}中，Sn=k-()n，则实数k的值为（ ）
A. B.1 C. D.2
【难度】★★
【答案】B

2、设{an}为等比数列，Sn=a1+…+an,则在数列{Sn} 中（ ）
A.任何一项均不为零 B.必有一项为零
C.至多有一项为零 D.或有一项为零，或有无穷多项为零
【难度】★★
【答案】D

3、在由正数组成的等比数列{}中，若a4a5a6=3，log3a1+log3a2+log3a8+log3a9的值为（ ）
A. B. C.2 D.3
【难度】★★
【答案】A

4、已知为等比数列，Sn是它的前n项和。若， 且与2的等差中项为，则=
A．35 B.33 C.31 D.29
【难度】★★
【答案】C
【解析】由，又 得
所以，， ，，

5、在等比数列中，，前项和为，若数列也是等比数列，则等于（ ）
A、 B、 C、 D、
【难度】★
【答案】C

6、设是任意等比数列，它的前项和，前项和与前项和分别为，则下列等式中恒成立的是( )
A. B.
C. D.
【难度】★★
【答案】D
【解析】设等比数列的公比为，由题意，


，，所以，故D正确。

7、已知等比数列中，，则 ， ．
【难度】★
【答案】48，288

8、设为等比数列的前n项和，已知,则公比q =
【难度】★★
【答案】4
【解析】两式相减可得：,

9、设数列是公比为的等比数列，是它的前项和，若是等差数列，则 ．
【难度】★
【答案】1

10、在数列和中，，且对任意的正整数，，是与的等差中项，则的各项和是 ．
【难度】★
【答案】2

11、等差数列中，公差，若成等比数列，则 ．
【难度】★★
【答案】

12、若数列满足，且，则
．
【难度】★
【答案】102

13、正项等比数列中，存在两项使得，且，则最小值 ．
【难度】★★
【答案】

14、设是公比为的等比数列，首项，对于，，当且仅当时，数列的前项和取得最大值，则的取值范围为
【难度】★★
【答案】

15、若首项为，公比为的等比数列的前项和总小于这个数列的各项和，则首项，公比的一组可取值为 ．
【难度】★★
【答案】等，即符合，的一组数

16、已知数列的各项均为正数，且前项和满足，若成等比数列，那么数列的通项公式 ．
【难度】★
【答案】

17、在等差数列中，若，则有等式成立，类比上述性质，相应地，在等比数列中，若，则有等式 成立．
【难度】★★
【答案】

18、已知数列和满足：，，，
其中为实数，.
⑴ 对任意实数，证明数列不是等比数列；
⑵ 证明：当，数列是等比数列；
⑶设为数列的前项和，是否存在实数，使得对任意正整数，都有？
若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.
【难度】★★★
【答案】见解析
【解析】⑴证明：假设存在一个实数，使是等比数列，则有，
即矛盾.
所以不是等比数列.
⑵ 解：因为


又，所以，当时，
由上可知，
此时是以为首项，为公比的等比数列.
⑶当时，由⑵得 ，于是
，
当时，，从而上式仍成立.要使对任意正整数n , 都有.即
令，则
当n为正奇数时，；当n为正偶数时，.
的最大值为于是可得 .
综上所述，存在实数，使得对任意正整数，都有，的取值范围为．

19、已知数集具有性质；
对任意的，与两数中至少有一个属于.
（1）分别判断数集与是否具有性质，并说明理由；
（2）证明：，且；（3）证明：当时，成等比数列..k.s.5.
【难度】★★★
【答案】见解析
【解析】（1）由于与均不属于数集，∴该数集不具有性质P.
由于都属于数集，∴该数集具有性质P.
（2）∵具有性质P，∴与中至少有一个属于A，
由于，∴，故.从而，∴.∵， ∴，故. 由A具有性质P可知.
又∵，∴，
从而，∴.
（3）由（Ⅱ）知，当时，有，即，
∵，∴，∴，
由A具有性质P可知.由，得，且，∴，
∴，即是首项为1，公比为成等比数列


20、如果无穷数列满足下列条件：① ；②存在实数，使．
其中，那么我们称数列为数列．
（1）设数列的通项为，且是数列，求的取值范围；
（2）设是各项为正数的等比数列，是其前项和， 证明：数列是数列；
（3）设数列是各项均为正整数的数列，求证：．
【难度】★★
【答案】见解析
【解析】解：（1）,故数列单调递减；
当时,，即，则数列中的最大项是，所以，
（2）是各项正数的等比数列，是其前项和，,，设其公比为，
，整理得，解得或（舍）

对任意的，有，且，故是 数列。
（3）假设存在正整数使得成立，有数列的各项均为正整数，可得，
即。因为，所以，
由及，得 ，故
因为， 所以
由此类推，可得,又存在,使，总有，故有，
这与数列的各项均为正数矛盾 ，所以假设不成立，即对任意，都有成立











知识梳理

例题解析

反思总结

课后练习






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