沪教版数学高二下春季班：第十三讲 基本计数原理 同步学案（教师版）

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沪教版数学高二下春季班第十三讲
课题 基本计数原理 单元 第章 学科 数学 年级 十一
学习 目标 1.能流畅的叙述两个基本计数原理的内容； 2.能够说出一些简单的运用基本计数原理可以解决的例子； 3.能根据一些简单的实际问题的特征，灵活选择分类加法原理或分步乘法原理加以解决。
重点 掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题．
难点 掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题．



教学安排
版块 时长
1 知识梳理 30
2 例题解析 60
3 巩固训练 20
4 师生总结 10
5 课后练习 30



一、加法原理
分类计数原理：做一件事，完成它有类办法，在第一类办法中有种不同的方法，在第二类办法中有种方法，……，在第类办法中有种不同的方法．那么完成这件事共有种不同的方法．又称加法原理．
二、乘法原理
分步计数原理：做一件事，完成它需要分成个子步骤，做第一个步骤有种不同的方法，做第二个步骤有种不同方法，……，做第个步骤有种不同的方法．那么完成这件事共有种不同的方法．又称乘法原理．
三、加法原理与乘法原理的综合运用
如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理．



一、乘法原理
【例1】公园有个门，从一个门进，一个门出，共有_____种不同的走法．
【难度】★
【答案】16
【解析】整件事情分两步完成，进入可以有四种选择，出来可以有四种选择，故．

【例2】若、是整数，且，，则以为坐标的不同的点共有多少个？
【难度】★
【答案】195
【解析】点的横坐标和纵坐标分别有13和15种选择，故不同的坐标点共有．

【例3】用，，，，，这个数字：
⑴可以组成______________个数字不重复的三位数；
⑵可以组成______________个数字允许重复的三位数．
【难度】★
【答案】100；180
【解析】若是数字不重复的三位数，完成这个数字分成三步，第一步首位数字，再完成第二位和第三位，第一位不能放0，故共有种；若是可以重复数字，也是分成三步，共有种．

【例4】有 个不同的正约数.
【难度】★★
【答案】24
【解析】因为，420的正约数的组成分成四步，由含有2、3、5、7的可能的选择性组成，故含有2有3中选择，同理，最后可得420的正约数的个数为个。

【例5】将个不同的小球放入个盒子中，则不同放法种数有_______．
【难度】★★
【答案】64
【解析】每个小球都有4种放法，故共有种。
【例6】六名同学报名参加三项体育比赛，每人限报一项，共有多少种不同的报名结果？
【难度】★★
【答案】729
【解析】每人可以报三种，故

【例7】六名同学报名参加三项体育比赛，每项限报一人，且每人至多参加一项，共有多少种不同的报名结果？
【难度】★★
【答案】120
【解析】将三项比赛分成三步，第一项6个人可以选择，第二项余5个人选择，第三项余4个人选择，故共有种

【例8】用，，，，，组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且和相邻，这样的六位数的个数是__________（用数字作答）．
【难度】★★★
【答案】40
【解析】可分三步来完成这件事：第一步先将3、5排开，有2种排法；第二步将4、6插空排进去，共有4种排法；第三步将1、2放到3、4、5、6形成的间隔中，共有5种放法，由分步计数原理得共有种。

【例9】若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为，值域为的“同族函数”共有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【难度】★★★
【答案】C
【解析】由得，由得，即定义域中1和-1至少有一个，有3种结果，3和-3中至少有一个，有3种结果，所以共有种。

【例10】关于正整数2160，求：
（1）它有多少个不同的正因数？
（2）它的所有正因数的和是多少？
【难度】★★★
【答案】（1）40个；（2）7440．
【解析】（1）因为，所以共有个正因数；
（2）

【巩固训练】
1．如果在一周内（周一至周日）安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余两所学校均只参观一天，那么不同的安排方法共有 种．
【难度】★
【答案】120

2．高二年级一班有女生人，男生人，从中选取一名男生和一名女生作代表，参加学校组织的调查团，问选取代表的方法有几种．
【难度】★
【答案】684

3．名男生和名女生排成一行，按下列要求各有多少种排法：
（1）男生必须排在一起 ； （2）女生互不相邻 ；
（3）男女生相间 ； （4）女生按指定顺序排列 ．
【难度】★★
【答案】576；1440；144；840.

4．7人站一排，甲不站排头，也不站排尾，不同的站法种数有 种；甲不站排头，乙不站排尾，不同站法种数有 种．
【难度】★★
【答案】3600；3720.

5．远洋轮一根旗杆上用红、蓝、白三面旗帜中，一面，二面或三面表示信号，则最多可组成不同信号有___________种．
【难度】★★
【答案】15


6．六名同学参加三项比赛，三个项目比赛冠军的不同结果有多少种？
【难度】★★
【答案】216

7．三名男歌手和两名女歌手联合举行一场演唱会,演出时要求两名女歌手之间恰有一名男歌手,则共有出场方案 种．
【难度】★★★
【答案】36
【解析】分三步完成，第一步先将两名女歌手排好，有2种放法；第二步将一名男歌手排在两名女歌手的中间，有3种放法；第三步将剩下的两名男歌手和之前的三人小团伙排在一起，有6种排法，所以共有种。

8．从集合中任选两个元素作为椭圆方程中的和，则能组成落在矩形区域且内的椭圆个数为（　　）
A． B． C． D．
【难度】★★★
【答案】B
【解析】因为 是椭圆，所以，由题意可知，和的选择有两种情况，一是和从中任取两个不重复的数字，共有种；二是从中选一个，从选一个，共有，所以满足题意的椭圆的个数为：个。

9．从集合中，选出个数组成子集，使得这个数中的任何两个数之和不等于，则取出这样的子集的个数为（ ）
A． B． C． D．
【难度】★★★
【答案】B
【解析】可以将和为1的数分成两组，分别是1，2，3，4，5和0，-1，-2，-3，-4，因为该子集中任意两数之和不能为1，所有0和1只能选一个，同理可得，这样的子集的个数为。

10．某银行储蓄卡的密码是一个位数码，某人采用千位、百位上的数字之积作为十位和个位上的数字（如）的方法设计密码，当积为一位数时，十位上数字选，并且千位、百位上都能取．这样设计出来的密码共有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【难度】★★★
【答案】C
【解析】确定了这个密码的千位和百位，后两位由于题意的设置是跟随前两位的数字而唯一确定的，故这样的密码共有个。

二、加法原理
【例11】用数字组成的无重复数字的四位偶数的个数为（ ）
A． B． C． D．
【难度】★
【答案】C
【解析】将末尾分为2和4两种情况讨论即可。

【例12】4位同学参加某种形式的竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲．乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得100分，答错得－100分；选乙题答对得90分，答错得－90分.若4位同学的总分为0，则这4位同学不同得分情况的种数是（ ）
　　A．48　　 B．36　　 C．24　　 D．18
【难度】★
【答案】B
【解析】4为同学的总分为0，可以分为三种情况：一、4人都选甲题；二、4人都选乙题；三、甲乙两题都被选，分别计算其数目，进而求和即可。

【例13】若、是正整数，且，则以为坐标的点共有多少个？
【难度】★★
【答案】15
【解析】将的值作为分类的基础即可。

【例14】有1元、5元、10元的钞票各一张，取其中一张或几张，能组成多少种不同的币值？
【难度】★★
【答案】7种

【例15】从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有( )
A.8种 B.12种 C.16种 D.20种
【难度】★★
【答案】B
【解析】从6个面来分类讨论，对每一个面，再选2个平面能和其形成题中所满足的选法仅有2种。

【例16】从长度分别为1、2、3、4的四条线段中，任取三条的不同取法共有n种.在这些取法中，以取出的三条线段为边可组成的三角形的个数为m，则等于（ ）
A.0 B. C. D.
【难度】★★★
【答案】B
【解析】从1、2、3、4的四条线段中选取三条任意共有4种方法，能组成三角形的仅有1种方法。

【例17】用100元钱购买2元、4元或8元饭票若干张，没有剩钱，共有多少不同的买法?
【难度】★★★
【答案】182
【解析】不妨设，即分类讨论方程组的自然数解的组数即可，可以从开始，让从小到大的顺序分类讨论。

【例18】袋中有3个红球，4个黄球和5个白球，小明从中任意拿出6个球，他拿出球的情况共有____种可能．
【难度】★★★
【答案】18
【解析】按照所拿球的颜色的组成依次分类讨论即可。


【巩固训练】
1．从1～10中每次取两个不同的数相加，和大于10的共有多少种取法？
【难度】★
【答案】25

2．高二年级一班有女生人，男生人，从中选取一名学生作代表，参加学校组织的调查团，问选取代表的方法有几种．
【难度】★
【答案】56

3．一次，齐王与大将田忌赛马．每人有四匹马，分为四等．田忌知道齐王这次比赛马的出场顺序依次为一等，二等，三等，四等，而且还知道这八匹马跑的最快的是齐王的一等马，接着依次为自己的一等，齐王的二等，自己的二等，齐王的三等，自己的三等，齐王的四等，自己的四等．田忌有________种方法安排自己的马的出场顺序，保证自己至少能赢两场比赛．
【难度】★★
【答案】12


4．用到这个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（ ）
A． B． C． D．
【难度】★★
【答案】B

5．用这个数字，可以组成____个大于，小于的数字不重复的四位数．
【难度】★★★
【答案】175
【解析】从首位数字的组成，按照字典排序的方法从大到小分类计算。

6．圆周上有个不同的点，过其中任意两点作弦，这些弦在圆内的交点个数最多是 ．
【难度】★★★
【答案】495
【解析】要使得交点个数最多，只需使每两条弦都相交即可，即从12个点中任选4个，找到分组的所有的可能性即可。

7．1995的数字和是1＋9＋9＋5=24，问：小于2000的四位数中数字和等于26的数共有多少个?
【难度】★★★
【答案】6
【解析】四位数字之和为26，而首位不能为0，首位可以从1开始进行分类讨论即可。

8．2007的数字和是2+0+0+7=9，问：大于2000小于3000的四位数中数字和等于9的数共有多少个?
【难度】★★★
【答案】36
【解析】可以从0的个数着手分类讨论。


三、综合应用
【例19】用，，，，排成无重复字的五位数，要求偶数字相邻，奇数字也相邻，则这样的五位数的个数是_________．（用数字作答）
【难度】★★
【答案】20
【解析】分两种情况来计算，一是首位是偶数的；二是首位是奇数的。

【例20】若自然数使得作竖式加法均不产生进位现象．则称为“可连数”．例如：是“可连数”，因不产生进位现象；不是“可连数”，因产生进位现象．那么，小于的“可连数”的个数为（ ）
A． B． C． D．
【难度】★★
【答案】D
【解析】分类计算时注意是十位和个位数都不能产生进位。

【例21】由正方体的8个顶点可确定多少个不同的平面？
【难度】★★
【答案】20
【解析】分为两种情况：一、四个点所确定的面有12个；二、三个点确定的面有8个。

【例22】某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“”到“”共个号码．公司规定：凡卡号的后四位带有数字“”或“”的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为（　　）
A． B． C． D．
【难度】★★
【答案】C
【解析】先考虑卡号的后四位不带数字“4”与“7”的号码共有个，所以卡号前七位数字固定，后四位带数字中“4”或“7”的卡号共有个，故选C。

【例23】如图，一环形花坛分成四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（ ）
A．96 B．84 C．60 D．48

【难度】★★
【答案】B
【答案】第一块四种花任选，第二块除了第一块的花任选，第三块除了第二块的花任选，第四块除了一三块的任选。一三花相同：；一三花不同：种；共有84种。

【例24】如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种．（以数字作答）

【难度】★★★
【答案】72
【答案】由题意，任选三种颜色时：；任选四种颜色时：；共有72种。

【例25】分母是385的最简真分数一共有多少个？并求它们的和．
【难度】★★★
【答案】240
【答案】分两类进行，因为385的约数里有5、7、11，故可以分成分子能被5、7、11单独整除的数，再找能被它们都整除的数即可。

【例26】某人有4种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如图所示的6个点A、B、C、A1、B1、C1上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有 种（用数字作答）

【难度】★★★
【答案】216
【解析】每种颜色的灯泡都至少用一个，即用了四种颜色的等进行安装，分三步进行，
第一步，、、三点选三种颜色灯泡共有种选法；
第二步，在、、种选一个装第四种颜色的灯泡，有种情况；
第三步，为剩下的两个灯选颜色，假设剩下的为、，若与同色，则只能选点颜色；若与同色，则有、处两种颜色可选。故为、选灯泡共有种选法。
则共有种。


【例27】用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为的个小正方形（如图），使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且“、、”号数字涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有（ ）种．

A． B． C． D．
【难度】★★★
【答案】B
【解析】我们先选出、、的颜色有3种，再考虑6、8的颜色，6、8可以颜色一样，这时6、8只有两种颜色可选，而9则有三种颜色可选，即种；同理，1、2、4的选法和6、8、9的选法一样，有6种，因此，共有种。


【巩固训练】
1．6本不同的书全部送给5人，每人至少1本，有 种不同的送书方法．
【难度】★★
【答案】1800

2．将4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分配方案共有（ ）
A.12种 B. 24种 C. 36种 D. 48种
【难度】★★
【答案】240

3．某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个节目插入原节目单中，那么不同的插法种数为（ ）
A． B． C． D．
【难度】★★
【答案】A

4．足球比赛的计分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，那么一个队打14场共得19分的情况有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【难度】★★
【答案】B
5．从6人中选出4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有（ ）
A．300种 B．240种 C．144种 D．96种

【难度】★★
【答案】B

6．某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）．现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有 种．（以数字作答）

【难度】★★★
【答案】120
【解析】由题意来看6部分种4种颜色的花，因此必有2个部分种相同颜色的花，因此从相同颜色的花入手分类求解：（1）②与⑤同色，则③⑥也同色或④⑥也同色，所有共有种；（2）③与⑤同色，则②④或④⑥同色，共有种；（3）②与④且③与⑥同色，则共有种。则共有120种。

7．如图所示,问从A到D每次不许走重复的路,共有多少种走法?(注:每次的路线一个地方只能经过一次)

【难度】★★★
【答案】16
【解析】分三类进行：经过B时，共有种；经过C时，共有5种，不过B、C时，仅有1种，共有16种。

8．球台上有4个黄球，6个红球，击黄球入袋记2分，击红球入袋记1分，欲将此十球中的4球击入袋中，但总分不低于5分，击球方法有几种？
【难度】★★★
【答案】195
【解析】设击入黄球个，红球个，由题意有，可得，，可以分情况得，，，，再相应的求解即可。





分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决排列组合问题的基础并贯穿始终．分类加法计数原理中，完成一件事的方法属于其中一类并且只属于其中一类，简单的说分类的标准是“不重不漏，一步完成”．而分步乘法计数原理中，各个步骤相互依存，在各个步骤中任取一种方法，即是完成这件事的一种方法，简单的说步与步之间的方法“相互独立，多步完成”．
类比加法与乘法的关系，在特定的情况下分步乘法计数原理可简化运用分类加法计数原理的过程．







一、选择题
1．某城市的电话号码，由六位升为七位（首位数字均不为零），则该城市可增加的电话部数是( )
A、9×8×7×6×5×4×3 B、8×96
C、9×106 D、81×105
【难度】★★
【答案】D

2．从图中的12个点中任取3个点作为一组，其中可构成三角形的组数是（ ）

A.208 B.204
C.200 D.196
【难度】★★★
【答案】C
【解析】从12个点中选三个点构成的三角形个数为个，除去在同一直线上三点的组数为20，则共有200个。

二、填空题
3．72的正约数（包括1和72）共有__________个．
【难度】★★
【答案】12

4．同室人各写张贺年卡，先集中起来，然后每人从中各拿张别人送出的贺年卡，则张贺年卡不同的分配方式有（? ）
A．种?????????? B．种?????????? C．种???????????? D．种
【难度】★★
【答案】B

5．从－1，0，1，2这四个数中选三个不同的数作为函数的系数，可组成不同的二次函数共有_____________个，其中不同的偶函数共有_____________个．（用数字作答）
【难度】★★
【答案】18；6

6．某班学生参加植树节活动，苗圃中有甲、乙、丙3种不同的树苗，从中取出5棵分别种植在排成一排的5个树坑内，同种树苗不能相邻，且第一个树坑和第5个树坑只能种甲种树苗的种法共（ ）
A．15种 B．12种 C．9种 D．6种
【难度】★★
【答案】D

7．如图所示，画中的一朵花，有五片花瓣.现有四种不同颜色的画笔可供选择，规定每片花瓣都要涂色，且只涂一种颜色.若涂完的花中颜色相同的花瓣恰有三片，则不同涂法种数为 _____（用数字作答）.

【难度】★★
【答案】240

8．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色．现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有_____________种．（以数字作答）
【难度】★★★
【答案】72

9．某餐厅供应客饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2菜2素共4种不同的品种.现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上的不同选择，则餐厅至少还需要不同的素菜品种_____________种．
【难度】★★★
【答案】7
【解析】从5种荤菜中选2种有10种放法，不妨设有种素菜，则选出两种素菜的方法有种，所以有，可得的最小值为7．

三、解答题
10．从集合{1，2，3，…，10}中，选出由5个数组成的子集，使得这5个数中的任何两个数的和不等于11，这样的子集共有多少个?
【难度】★★
【答案】240

11．五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，报名方法的种数为多少？又他们争夺这四项比赛的冠军，获得冠军的可能性有多少种？
【难度】★★
【答案】（1）1024种；（2）526种．
12．在所有两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？
【难度】★★★
【答案】36

10．三边长均为整数，且最大边长为11的三角形的个数是多少？
【难度】★★★
【答案】36

13．由数字0，1，2，3，4，
（1）可组成多少个没有重复数字且比20000大的自然数？
（2）2不在千位，且4不在十位的五位数有多少个？
【难度】★★
【答案】（1）72；（2）1600.










知识梳理

【注意】
应用两个计数原理的关键是分清“步”与“类”.完成一件事需要若干步，而每一步缺一不可，则符合乘法原理，需要注意“步”与“步”之间的连续性；完成一件事有若干类方法，每类方法能独立完成这件事，则符合加法原理，需要注意“类”与“类”之间的独立性和等效性.

例题解析

反思总结

课后练习






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