沪教版数学高二下春季班：第十四讲 排列 同步学案（教师版）

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沪教版数学高二下春季班第十四讲
课题 排列 单元 第章 学科 数学 年级 十一
学习 目标 1．使学生切实学会用排列数公式计算和解决较复杂的实际问题，进一步培养分析问题、解决问题的能力，同时让学生学会一题多解； 2．掌握排列中的一些常用方法：例如直接法，间接法，捆绑法，插空法，元素优先法，位置优先法等；
重点 1．了解排列数的求法，对于一个给定的排列会按照公式进行展开运算； 2．掌握排列中的一些常用方法：例如直接法，间接法，捆绑法，插空法，元素优先法，位置优先法等；
难点 掌握排列中的一些常用方法：例如直接法，间接法，捆绑法，插空法，元素优先法，位置优先法等；

教学安排
版块 时长
1 知识梳理 30
2 例题解析 60
3 巩固训练 20
4 师生总结 10
5 课后练习 30



1、排列：
一般地，从个不同元素中取出()个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列。
老师在给学生讲解排列概念时，一定要注意强调以下几点：（1）元素不能重复。个中不能重复，个中也不能重复；（2）“按一定顺序”就是与位置有关，这是判断一个问题是否是排列问题的关键；（3）两个排列相同，当且仅当这两个排列中的元素完全相同，而且元素的排列顺序也完全相同。
2、排列数：
从个不同的元素中取出()个元素的所有排列的个数，叫做从个不同的元素中取出个元素的排列数。用符号表示。
这里老师可以让学生思考：“排列”和“排列数”有什么区别和联系？
“一个排列”是指：从个不同元素中，任取个元素，按照一定的顺序排成一列，不是数；
“排列数”是指从个不同元素中，任取个元素的所有排列的个数，是一个数；所以符号只表示排列数，而不表示具体的排列。
3、排列数公式：

当时，，正整数1到的连乘积，叫做的阶乘，用表示。
规定0！=1。
对于这个条件要留意，往往是解方程时的隐含条件。
4、附有限制条件的排列
（1）对附有限制条件的排列，思考问题的原则是优先考虑受限制的元素或受限制的位置.
（2）对下列附有限制条件的排列，要掌握基本的思考方法：
元素在某一位置或元素不在某一位置，从该元素入手；
元素相邻——捆绑法，即把相邻元素看成一个元素；
元素不相邻——插空法；
比某一数大或比某一数小的问题主要考虑首位或前几位.
（3）对附有限制条件的排列要掌握正向思考问题的方法——直接法；同时要掌握一些问题的逆向思考问题的方向——间接法.



一、排列数及其性质
【例1】解方程：．
【难度】★★
【答案】6
【解析】，
，
，
，或（负舍）。


【例2】与的大小关系是 （ ）
A． B． C． D．大小关系不确定
【难度】★★
【答案】D
【解析】，知当时，大于，当时，小于，故选D

【例3】满足的____．
【难度】★★
【答案】8
【解析】得，又，故

【巩固训练】
1．对于满足的正整数，（ ）
A． B． C． D．
【难度】★★
【答案】C
【解析】根据组合数公式可得或者取特殊值均可。

2.求证：
【难度】★★
【答案】见解析
【解析】
=得证。


二、常见排列问题的解题策略
1、特殊元素特殊位置优先考虑
【例7】用0、1、2、3、4、5这六个数字，可以组成无重复数字的四位偶数____个．
【难度】★★
【答案】156
【解析】主要采用特殊元素或特殊位置优先考虑的原则进行分类；当各位数字为0的时候共有个偶数，当各位数字不是0，个位数有2种选择，千位数有4种选择，故一共有个偶数，故共有156个偶数满足条件。

【例8】某班5位同学参加周一到周五的值日，每天安排一名学生，其中学生甲只能安排到周一或周二，学生乙不能安排在周五，则他们不同的值日安排有（ ）
A．288种 B．72种 C．42种 D．36种
【难度】★★
【答案】D
【解析】甲有种安排，甲排好后，乙有种，然后剩下的人有种，共种

【例9】2位男生和3位女生共5位同学站成一排．若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数为 （ ）
A．36 B．42 C． 48? D．60
【难度】★★
【答案】C
【解析】不妨将5个位置从左到右编号为1，2，3，4，5．于是甲只能位于2，3，4号位．
i） 当甲位于2号位时，3位女生必须分别位于1，3，4位或者1，4，5位．于是相应的排法总数为；
ii） 当甲位于3号位时，3位女生必须分别位于1，2，4位或者1，2，5位或者1，4，5或者2，4，5位．于是相应的排法总数为．
iii） 当甲位于4号位时，情形与i）相同．排法总数为．
综上，知本题所有的排法数为12+24+12=48．


2、捆绑法
【例10】有8本不同的书，其中数学书3本，外文书2本，其他书3本，若将这些书连排成一列放在书架上，则数学书恰好排在一起，外文书也恰好排成一起的排法有 种排法。
【难度】★★
【答案】1440
【解析】捆绑法；

【例11】4名男生和3名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种？
【难度】★★
【答案】576
【解析】先将男生捆绑在一起看成一个大元素与女生全排列有种排法，
而男生之间又有种排法，又乘法原理满足条件的排法有：．

【例12】停车站划出一排个停车位置，今有辆不同型号的车需要停放，若要求剩余的个空车位连在一起，则不同的停车方法共有__________种．
【难度】★★
【答案】362880
【解析】先将辆车全排有种，
再将个空车位看成整体插入辆车形成的个空档中，有9种方法，故所求的方法为．

3、插空法
【例13】7个人并排站成一行，如果甲、乙两人必须不相邻，那么不同的排法有 种。
【难度】★★
【答案】3600
【解析】插空法；

【例14】某会议室第一排共有8个座位，现有3人就座，若要求每人左右均有空位，那么不同的坐法种数为（ ）
A. B．16 C．24 D．32
【难度】★★
【答案】24
【解析】将三个人插入五个空位中间的四个空档中，有种排法．

【例15】某人连续射击次有四次命中，其中有三次连续命中，按“中”与“不中”报告结果，不同的结果有多少种．
【难度】★★
【答案】20
【解析】把问题转化为四个相同的黑球与四个相同白球，
其中只有三个黑球相邻的排列问题，将三黑球“捆绑”在一起看成一个“黑球”，与另一个黑球插入四个白球的空档中，共有种不同的结果．

【例16】要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，排法种数有____种．
【难度】★★★
【答案】604800
【解析】6个歌唱节目排列有种，
歌唱节目的空隙及两端共7个位置排入4个舞蹈节目，有种方法．因此，由计数原理总方法有种．

4、定序问题
【例17】7个人站成一排，甲在乙的左边的排法有多少种？
【难度】★
【答案】2520
【解析】定序问题；因为甲在乙的左边和甲在乙的右边一样多，所以所有的可能性为．

【例18】一天的课程表要排入语文，数学，物理，化学，英语，体育六节课，如果数学必须排在体育之前，那么该天的课程表有多少种排法？
【难度】★
【答案】360
【解析】在六节课的排列总数中，体育课排在数学之前与数学课排在体育之前的概率
相等，均为，故本例所求的排法种数就是所有排法的，即种．或者由于数学和体育的次序固定，方法数为．

【例19】1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不排在两端，则共有 种排法。
【难度】★★
【答案】72
【解析】可考虑按照定序问题来解决；也可采用分类讨论、排除法等。

【例20】用1，2，3，4，5，6，7这七个数字组成没有重复数字的七位数中，
⑴若偶数2，4，6次序一定，有多少个？
⑵若偶数2，4，6次序一定，奇数1，3，5，7的次序也一定的有多少个？
【难度】★★
【答案】（1）840；（2）35
【解析】⑴；⑵

5、直接法
【例21】某班上午要上语、数、外和体育4门课，如体育不排在第一、四节；语文不排在第一、二节，则不同排课方案种数为____．
【难度】★★
【答案】6
【解析】直接法或枚举法；当数字较小限制条件较多的时候，可考虑采用枚举法。

【例22】有四个停车位，停放四辆不同的车，有几种不同的停法？若其中的一辆车必须停放在两边的停车位上，共有多少种不同的停法？
【难度】★
【答案】24；12
【解析】四辆车全排有种排法；若其中的一辆车必须停放在两边，则先选择一个停车位停放这辆车，其它辆车全排，共有种停法．

【例23】用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个
⑴数字1不排在个位和千位
⑵数字1不在个位，数字6不在千位．
【难度】★★
【答案】240；252
【解析】⑴个位和千位有5个数字可供选择，其余2位有四个可供选择，
由乘法原理：．
⑵当1在千位时余下三位有，1不在千位时，千位有种选法，个位有种，余下的有，共有．所以总共有种．

【例24】用数字可以组成没有重复数字，并且比大的五位偶数共有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【难度】★★
【答案】B
【解析】①若首位为或，则先选择首位与末位有种方法，再选择中间的三位有种方法，共有种方法；
②若首位为或，则首位有种选法，末位从与中选择，有种选法，剩下的三位全排，有种排法，共有种排法；
故满足条件的数共有个．


6、间接法
【例25】设有编号为，，，，的五个球和编号为，，，，的五个盒子，现将这五个球放入个盒子内，没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？
【难度】★
【答案】119
【解析】

【例26】在由数字0，1，2，3，4所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有_______个．
【难度】★
【答案】72
【解析】用间接法，总的4位数有个，被5整除即个位为0的4位数有个，
因此不能被5整除的数有个．

【例27】从名志愿者中选出名，分别从事翻译、导游、保洁三项不同的工作，每人承担一项，其中甲不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有（ ）
A．种 　B．种 C．种 　　D．种
【难度】★
【答案】C
【解析】从中任选人全排，除去甲从事翻译工作的情况，共有方案：（种）．

【例28】有五张卡片，它的正反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？
【难度】★★
【答案】432
【解析】此例正面求解需考虑0与1卡片用与不用，且用此卡片又分使用0与使用1，
类别较复杂，因而可使用间接计算：任取三张卡片可以组成不同的三位数个，
其中0在百位的有个，这是不合题意的．
故共可组成不同的三位数-=432（个）


【巩固训练】
1．把4名男生和4名女生排成一排，女生要排在一起，不同的排法种数为____．
【难度】★★
【答案】2880
【解析】捆绑法；

2．不同的五种商品在货架上排成一排，其中，两种商品必须排在一起，而，两种商品不排在一起, 则不同的排法共有多少种？
【难度】★★
【答案】24.
【解析】，捆在一起与进行排列有；此时留下三个空，将,两种商品排进去一共有；最后将，“松绑”有．所以一共有＝24种方法．

3．6张同排连号的电影票，分给3名教师与3名学生，若要求师生相间而坐，则不同的坐法有多少种？
【难度】★★
【答案】72
【解析】若第一个为老师则有；若第一个为学生则有，所以一共有2＝72种方法．

4．共个人，从中选名组长名副组长，但不能当副组长，不同的选法总数是（ ）
A． B． C． D．
【难度】★
【答案】B
【解析】不考虑限制条件有，若偏偏要当副组长有，为所求

5．若直线Ax+By=0的系数A、B可以从{0，2，3，4，5，6}中取不同的值.这些方程表示不同直线的条数是________
【难度】★★
【答案】18
【解析】若A=0，表示直线y=0；若B=0，表示直线x=0；若A、B从集合中任取两个非零值有种，
其中2x+4y=0与3x+6y=0，4x+2y=0与6x+3y=0，2x+3y=0与4x+6y=0，3x+2y=0与6x+4y=0同。所以这些方程表示的直线条数为2+－4=18。

6.为配制某种染色剂， 需要加入三种有机染料、两种无机染料和两种添加剂， 其中有机染料的添加顺序不能相邻．现要研究所有不同添加顺序对染色效果的影响， 总共要进行的试验次数为 ．（用数字作答）
【难度】★★
【答案】1440
【解析】先将无机染料和添加剂全排，有种，包括两端共个空，再将种有机染料插入空中，有种，故总要试验的次数为．

7.从10种不同的作物中选出6种放入6个不同的瓶子中展出，如果甲、乙两种种子不能放入第1号瓶内,那么不同的放法共有 种．
【难度】★★
【答案】120960
【解析】排除法；什么都不考虑的话，一共有种放法，而甲在1号瓶子里和乙在1号瓶子里放法相同都是种放法；故共有种放法。

8.甲、乙、丙、丁、戊名学生进行讲笑话比赛，决出了第一到第五的名次，甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”，对乙说：“你当然不会是最差的”．从这个回答分析，人的名次排列共有_______（用数字作答）种不同情况．
【难度】★★★
【答案】54
【解析】冠军可能是丙、丁、戊中的一个，有种可能；
副班长（垫底的）除去冠军和乙外，也有种情况；
剩下的个人名次从第二到第四随便排列，有种，
故共有种可能．







对于排列的公式要熟悉，特别是针对上标是具体数字的时候要会展开，不要以为的依赖于计算器；另外关于排列数的隐含性质即上标小于等于下标且都属于自然数这一条件有时在解题时有妙用；
另外对于常见的排列的应用题目类型，具体的解题思路要有，一般方法不知一种，选择适合自己的方法并加强练习，注意抓住每个方法的特征选择合适的方法。








1.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目．如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为 ( )
A．42 B．30 C．20 D．12
【难度】★★
【答案】A

2.某电脑用户计划用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式有 ( )
A．5种 B．6种 C．7种 D．8种
【难度】★★
【答案】C

3.有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是 ( )
A．234种 B．346种 C．350种 D．363种
【难度】★★
【答案】B

4．从集合{0，1，2，3，5，7，11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax＋By＋C＝0中的A、B、C，所得的经过坐标原点的直线有______条．(结果用数值表示)
【难度】★★
【答案】30

5.用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有____．
【难度】★★
【答案】240

6.从5位同学中选派4位同学在周五、周六、周日参加公益活动，每人一天，要求周五有2人参加，周六、周日各1人参加，则不同的选派方法种数为（用数字作答） .
【难度】★★
【答案】60

7.某个停车场有12个停车位，今有8辆不同牌照的汽车需要停放，要使4个空位连在一起，则有_________种不同的停放方法.
【难度】★★
【答案】362880
【解析】先排8辆汽车，共有种，而8辆汽车之间共有9个位置，插入4个空汽车位，故共有种。

8.三个女生和五个男生排成一排
⑴ 如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？
⑵ 如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？
⑶ 如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？
【难度】★★
【答案】（1）4320（2）14400（3）14400
【解析】⑴ （捆绑法）因为三个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，
这样同五个男生合一起共有六个元素，然成一排有种不同排法．对于其中的每一种排法，三个女生之间又都有种不同的排法，因此共有种不同的排法．
⑵ （插空法）要保证女生全分开，可先把五个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空档．这样共有个空档，加上两边两个男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把三个女生插入这六个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任间两个女生都不相邻．由于五个男生排成一排有种不同排法，对于其中任意一种排法，从上述六个位置中选出三个来让三个女生插入都有种方法，因此共有种不同的排法．
⑶ （间接法）个女生和个男生排成一排共有种不同的排法，从中扣除女生排在首位的种排法和女生排在末位的种排法，但这样两端都是女生的排法在扣除女生排在首位的情况时被扣去一次，在扣除女生排末位的情况时又被扣去一次，所以还需加一次回来，由于两端都是女生有种不同的排法，所以共有种不同的排法．

9.个人站成一排：
⑴其中甲、乙两人必须相邻有多少种不同的排法？
⑵其中甲、乙两人不相邻有多少种不同的排法？
⑶其中甲、乙两人不站排头和排尾有多少种不同的排法？
⑷其中甲不站排头，且乙不站排尾有多少种不同的排法？
【难度】★★
【答案】（1）240（2）480（3）288（4）504
【解析】⑴（捆绑法）因为甲、乙两人必须相邻，
可视甲、乙在一起为一个元素与其他人有种排法，而甲、乙又有种排法，根据分步计数原理共有种排法．
⑵（插空法）甲、乙两人外的其余人有种排法，要使甲、乙不相邻只有排在他们的空档位置，有种排法，所以共有种排法；
（间接法）用总的排法减去相邻的排法，即种排法．
⑶（位置分析法）甲、乙两人不站排头和排尾，则这两个位置可从其余人中选人来站有种排法，剩下的人有种排法，共有种排法；
（元素分析法）甲、乙两人不站排头和排尾，故可以用中间四个位置中选个站甲、乙，有 种排法，其它人站在余下的个位置上，有种排法，共有种排法；
（间接法）六人全排有种排法，除去甲站排头、甲站排尾、乙站排头和乙站排尾的种，补上重复减去的甲、乙都在排头排尾的种排法，共有排法种．
⑷甲站排头有种排法，乙站排尾有种排法，但两种情况都包含了“甲站排头，乙站排尾”的情况，有种排法，故共有种排法．











知识梳理

例题解析

反思总结

课后练习






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