人教B版高二选修2-3教案排列组合-复习篇学生版（不含答案）

排列组合—复习篇
类型一、可重复的排列求幂法
例1、（1）有 4 名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？
（2）有 4 名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？
（3）将 3 封不同的信投入 4 个不同的邮筒，则有多少种不同投法？
1、把 6 名实习生分配到 7 个车间实习共有多少种不同方法？

2、8名同学争夺 3 项冠军，获得冠军的可能性有（ ）

A、83 B、38 C、 A 3 D、C 3

3、4 封信投到 3 个信箱当中，有多少种投法？


类型二、相邻问题——捆绑法，不相邻问题——插空法，相邻与不相邻混合——先捆绑再插空
例1 、6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有 种，甲、乙两人不相邻的不同排法有
种。
1、从单词“equation”中选取5个不同的字母排成一排，含有“qu”（其中“qu”相连接且顺序不变）的不同排列共有 个
2、计划在某画廊展开10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有 种。
3、A, B, C, D, E 五人并排站成一排，如果 A, B 必须相邻且 B 在 A 的右边，那么不同的排法种数有 。

例2、5个男生3个女生排成一列，要求女生不相邻且不可排两头，共有 种排法。

例3、A、B、C、D、E、F五件商品排列成一排摆放在货架上，要求A、B相邻，B、C不相邻，有 种不同的排列方法。

例4、（1）3人坐在有八个座位的一排上，若每人的左右两边都要有空位，则不同坐法的种数有多少种？
（2）3人坐在有八个座位的一排上，若3人不相邻，则不同坐法的种数有多少种？

例5、马路上有编号为 1，2，3…，9 九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？

1、现有5名男生和3名女生站成一排照相，
（1）3名女生站在一起，有多少种不同的站法？
（2）3名女生不相邻，有多少种不同的站法。
（3）3名女生中，A，B要相邻，A，C不相邻，有多少种不同的站法？


2、有3名男生，4名女生，按下列要求排成一行，求不同的方法总数
（1）男生必须排在一起；
（2）男女各不相邻；
（3）甲乙两人中间必须有3人.

3、在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A、B两种作物，每种作物种植一垄，为有利于作物生长，要求A、B两种作物间隔不小于6垄，则不同的种植方法共有 种。（用数字作答）
4、一个长椅上共有10个座位，现有4人去坐，其中恰有5个连续空位的坐法共有 （ ）
A．240种 B．600种 C．408种 D．480种

5、（1）4男3女排成一排，男、女生必须相间而排有 种排法？（2）4男4女排成一排，男、女生必须相间而排有 种排法？（用数字作答）

6、 8个人排成一排，其中甲、乙、丙3人中，有两个相邻，但这3个不同时相邻排列，求满足条件的所有不同排法的种数 。

7、有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，要安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是 。

8、6个人坐在一排10个座位上,问
(1)空位不相邻的坐法有多少种?(用数字作答)
(2)4个空位只有3个相邻的坐法有多少种? (用数字作答)
(3)4个空位至多有2个相邻的坐法有多少种? (用数字作答)

类型三、特殊优先考虑
例1、1 名老师和 4 名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？

1、有七名学生站成一排，某甲不排在首位也不排在末位的排法有多少种？


2、有名学生排成一排，求分别满足下列条件的排法种数，要求列式并给出计算结果.
（1）甲不在两端；
（2）甲、乙相邻；
（3）甲、乙、丙三人两两不得相邻；
（4）甲不在排头，乙不在排尾。


3、毕业季有位好友欲合影留念，现排成一排，如果：
（1）、两人不排在一起，有几种排法？
（2）、两人必须排在一起，有几种排法？
（3）不在排头，不在排尾，有几种排法？
例2、由0，1，2，3，4，5这六个数字。
（1）能组成多少个无重复数字的四位数？
（2）能组成多少个无重复数字的四位偶数？
（3）能组成多少个无重复数字且被25个整除的四位数？
（4）组成无重复数字的四位数中比4032大的数有多少个？
（5）组成无重复数字的四位数中十位数比个位数大的数有多少个？

1、由数字1,2,3,4,
(1)可组成多少个三位数?
(2)可组成多少个没有重复数字的三位数?
(3)可组成多少个没有重复数字的三位数,且百位数字大于十位数字,十位数字大于个位数字?

2、用0，1，2，3，4，5这六个数字：
（1）能组成多少个无重复数字的四位偶数？
（2）能组成多少个无重复数字且比1325大的四位数？


3、从1到9的九个数字中取三个偶数四个奇数，试问：
（1）能组成多少个没有重复数字的七位数？
（2）在（1）中的七位数中三个偶数排在一起的有几个？
（3）在（1）中的七位数中，偶数排在一起、奇数也排在一起的有几个？
（4）在（1）中任意两偶然都不相邻的七位数有几个？
（答题要求：先列式，后计算 , 结果用具体数字表示．）

4、把1、2、3、4、5这五个数字组成无重复数字的五位数，并把它们由小大到的顺序排成一个数列.
（Ⅰ）求是这个数列的第几项；
（Ⅱ）求这个数列的第96项；
（Ⅲ）求这个数列的所有项和.

5、用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的自然数．
（Ⅰ）在组成的三位数中，求所有偶数的个数；
（Ⅱ）在组成的三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如301，423等都是“凹数”，试求“凹数”的个数；
（Ⅲ）在组成的五位数中，求恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数的个数．

类型四、定序问题（插队问题）-相对顺序不变——除序法
例1、甲、乙、丙等7人参加马拉松比赛，到达终点的顺序依次为甲、乙、丙（中间可以有人）的情况有 种。

例2、书架上有5本书，小明手上有3本书，小明要将手中的3本书插入到书架上，有 种不同的插入方法。

例3、12名同学合影，站成前排4人后排8人，现在摄影师要从后排8人中抽2人调到前排，若其他人的相对顺序不变，则有 不同的调整方法。

例4、元宵节灯展后，如图悬挂有6盏不同的花灯需要取下，每次取1盏，共有__________种不同取法．（用数字作答）


1、A, B, C, D, E 五人并排站成一排，如果 B 必须站在 A 的右边（ A, B 可以不相邻）那么不同的排法种数是 。

2、书架上某层有 6 本书，新买 3 本插进去，要保持原有 6 本书的顺序，有多少种不同的插法？

3、将 A、B、C、D、E、F 这 6 个字母排成一排，若 A、B、C 必须按 A 在前，B 居中，C 在后的原则（A、B、C 允许不相邻），有多少种不同的排法？

4、7 人排队,其中甲乙丙 3 人顺序一定共有多少不同的排法

5、10人身高各不相等,排成前后排，每排 5 人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？


6、7名同学，在下列情况下，各有多少种不同安排方法？（答案以数字呈现）
（1）7人排成一排，甲、乙、丙三人按从高到矮，自左向右的顺序（不一定相邻）．


7、绍兴臭豆腐闻名全国，一外地学者来绍兴旅游，买了两串臭豆腐，每串3颗如图规定：每串臭豆腐只能自左向右一颗一颗地吃，且两串可以自由交替吃请问：该学者将这两串臭豆腐吃完，有________种不同的吃法．用数字作答


类型五、错位问题（不配对问题），2-1,3-2,4-9，5-44
例1、将数字 1，2，3，4 填入标号为 1，2，3，4 的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（ ）
A、6 种 B、9 种 C、11 种 D、23 种

1、编号为 1、2、3、4、5 的五个人分别去坐编号为 1、2、3、4、5 的五个座位，其中有且只有两个的编号与座位号一致的坐法是（ ）
A 10 种 B 20 种 C 30 种 D 60 种

2、把编号为1、2、3、4、5的小球，放入编号为1、2、3、4、5的盒子中.
（1）恰有两球与盒子号码相同；
（2）恰有一球与盒子号码相同；
（3）球、盒号码都不相同，问各有多少种不同的方法
3、将四个编号为1,2,3,4的小球放入四个编号为1,2,3,4的盒子中.
(1)有多少种放法?
(2)若每盒至多一球,则有多少种放法?
(3)若恰好有一个空盒,则有多少种放法?
(4)若每个盒内放一个球,并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同,则有多少种放法?

类型六、含有与不含有问题
例1、某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种.
(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？
(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？
(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？



2、要从6男4女中选出5人参加一项活动，按下列要求，各有多少种不同的选法？
（1）甲当选且乙不当选；


3、一个口袋里装有7个白球和1个红球，从口袋中任取5个球．
(1)共有多少种不同的取法？
(2)其中恰有一个红球，共有多少种不同的取法？
(3)其中不含红球，共有多少种不同的取法？


4、某医院有内科医生12名，外科医生8名，现要派5名医生参加赈灾医疗队，其中，
(1)内科医生甲必须参加，外科医生乙因故不能参加，有多少种选法．



类型七、至少与最多问题
例1、某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种.
(1)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？
(2)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？

1、要从6男4女中选出5人参加一项活动，按下列要求，各有多少种不同的选法？
（1）至少有1女且至多有3男当选.

2、有6本不同的书:(1)全部借给5人,每人至少1本,共有多少种不同的借法?(2)全部借给3人,每人至少1本,共有多少种不同的借法?

3、要从12人中选出5人参加一项活动．按下列要求，有多少种不同选法？
（1）、、三人必须入选；　　　　　 （2）、、三人不能入选；
（3）、、三人中只有1人入选；　 （4）、、三人中至少1人入选；
（5）、、三人中至多2人入选．

4、某医院有内科医生12名,外科医生8名,现选派5名参加赈灾医疗队.
(1)若内科医生甲与外科医生乙必须参加,共有多少种不同选法?
(2)若甲、乙均不能参加,有多少种选法?
(3)若甲、乙2人至少有1人参加,有多少种选法?
(4)若医疗队中至少有1名内科医生和1名外科医生,有多少种选法?



5、男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1人.选派5人外出比赛.在下列情形中各有多少种选派方法？
　（1）男运动员3名，女运动员2名；
　（2）至少有1名女运动员；
　（3）队长中至少有1人参加；
　（4）既要有队长，又要有女运动员.

类型八、分组分配问题
（1）分组问题——除序法
例1、将12本不同的书分成6份：
（1）2:2:2：2:2:2
（2）2:2：2:3:3
（3）1:1:1:2:2：2:3
（2）分配问题：数目一定，即分即完；数目不定，先分组再分配。
例2、将6本不同的书分给甲、乙、丙三人：
（1）甲得1本，乙得1本，丙得4本；
（2）甲得2本，乙得2本，丙得2本；
（3）每人各得2本；
（4）有一人得4本，另两人各1本；
（5）有一人1本，一人2本，一人3本。
例3、有4个不同的小球，四个不同的盒子，把小球全部放入盒内．
(1)恰有一个盒内有2个小球，有多少种放法？
(2)恰有两个盒内不放小球，有多少种放法？

（3）含特殊元素的分组问题
例4、9名学生中有3名艺体生，现将9名同学平均分为三组：
（1）3名艺体生在同一组；
（2）有2名艺体生在同一组，1名在另一组；
（3）3名艺体生在不同的组。
1、按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的分配方式?
（1）分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;
（2）甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;
（3）平均分成三份,每份2本;
（4）平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本;
（5）分成三份,1份4本,另外两份每份1本;
（6）甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本;
（7）甲得1本,乙得1本,丙得4本.
2、有6本不同的书按下列分配方式分配，问各有多少种不同的分配方式？
（1）分成1本、2本、3本三组；（非均匀分组）
（2）分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本；
（3）分成每组都是2本的三个组；（均匀分组）
（4）分给甲、乙、丙三人，每个人2本。

3、按下列要求把12个人分成3个小组,各有多少种不同的分法?
(1)各组人数分别为2,4,6人;
(2)平均分成3个小组;
(3)平均分成3个小组,进入3个不同车间.

4、4个不同的球,4个不同的盒子,把球全部放入盒内.
(1)恰有1个盒不放球,共有几种放法?
(2)恰有1个盒内有2个球,共有几种放法?
(3)恰有2个盒不放球,共有几种放法?

5、按照下列要求,分别求有多少种不同的方法?(用数字作答)
(1) 个不同的小球放入个不同的盒子；
(2) 个不同的小球放入个不同的盒子,每个盒子至少一个小球；
(3) 个相同的小球放入个不同的盒子,每个盒子至少一个小球；
(4) 个不同的小球放入个不同的盒子,恰有个空盒.

6、（1）把6个不同的小球放入4个不同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？
（2）把6个不同的小球放入4个相同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？
（3）把6个相同的小球放入4个不同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？
（4）把6个相同的小球放入4个相同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？

类型八、元素相同问题（元素相同，每个部分至少分得一个元素）——隔板法
例1、10 个三好学生名额分到 7 个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？


例2、把 20 个相同的球全放入编号分别为 1，2，3 的三个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于其编号数，则有多少种不同的放法？

例3、x y z w 100 求这个方程组的自然数解的组数。


1、学校高一年级计划组建一支18人的足球队，现从高一的12个班中选取队员，每个班至少一人，有 种选法。

2、将10个相同的小球装入编号为①、②、③的盒子里：
（1）每个盒子至少放一球，有 种；
（2）盒子可空，有 种；
（3）每个盒子中的球数不小于盒子的编号，有 种。
3、方程
（1）有 组正整数解；
（2）有 组自然数解；
（3）若；有 组正整数解；
类型九、成双成对问题
例1、从6双不同手套中，任取4只，
(1)恰有1双配对的取法是多少？
(2)没有1双配对的取法是多少？
(3)至少有1双配对的取法是多少？

1、10双互不相同的袜子混装在一只口袋中，从中任意抽取4只，求各有多少种情况出现如下结果．
（1）4只袜子没有成双；
（2）4只袜子恰好成双；
（3）4只袜子2只成双，另两只不成双．

2、现在有6副互不相同的手套打乱了放在一起.
（1）从中选取4只，求4只恰好能凑出1副手套的取法数；
（2）从中选取5只，求5只中至少能凑出1副手套的取法数.



类型十、圆排列问题——直排法
例1、 8人围桌而坐,共有多少种坐法?

1、8人围圆桌开会，其中正、副组长各1人，记录员1人.
(1)若正、副组长相邻而坐，有多少种坐法？
(2)若记录员坐于正、副组长之间，有多少种坐法？



类型十一、传递问题——树图法，（n为传递次数，m为传递人数，有谁开始回到谁的种数）
例1、在一次游戏中，三个人采用击鼓传花的方式决定最后的表演者．三个人互相传递，每人每次只能传一下，由甲开始传，经过五次传递后，花又被传回给甲，则不同的传递方式有______种（用数字作答)．

1、甲、乙、丙、丁4人进行篮球训练，互相传球，要求每人接球后立即传给别人，开始由甲发球，并作为第一次传球，第四次传球后，球又回到甲手中的传球方式共有__________种．

2、三名篮球运动员甲、乙、丙进行传球训练，由丙开始传，经过5次传递后，球又被传回给丙，则不同的传球方式共有（ ）
A．4种 B．10种
C．12种 D．22种
3、贾同学、王同学、文同学三人在操场踢球,每次传球,传球者将球随机将传给另外两位同学之一,足球最开始在文同学脚下,则:①次传球之后,共有___________种可能的传球方法;②次传球之后,足球回到文同学脚下的传球方法有___________种.

类型十二、网格问题——（向右走m步，向上走n步，一次走一步，则有种走法）
例1、一只电子蚂蚁在如图所示的 格线上由原点出发,沿向上或向右方向爬至点 ,记可能的爬行方法总数为,则_____________.(用组合数作答)



1、一只电子蚂蚁在如图所示的网格线上由原点出发,沿向上或向右方向爬至点,记可能的爬行方法总数为,则=_____．


2、如图，小林从位于街道处的家里出发，先到处的二表哥家拜年，再和二表哥一起到位于处的大表哥家拜年，则小林到大表哥家可以选择的最短路径的条数为__________．


3、如图，一只蚂蚁从点出发沿着水平面的线条爬行到点，再由点沿着置于水平面的正方体的棱爬行至顶点，则它可以爬行的不同的最短路径有（ ）条

A．40 B．60 C．80 D．120
4、如图，甲从A到B，乙从C到D，两人每次都只能向上或者向右走一格，如果两个人的线路不相交，则称这两个人的路径为一对孤立路，那么不同的孤立路一共有________对. （用数字作答）


例2、某城市街区如下图所示,其中实线表示马路,如果只能在马路上行走,则从点到点的最短路径的走法有___种．

1、如下图，从A点出发每次只能向上或者向右走一步，则到达B点的路径的条数为________.

例3、从一楼到二楼共有12级台阶，可以一步迈一级也可以一步迈两级，要求8步从一楼到二楼共有（ ）走法．
A．12 B．8 C．70 D．66
1、某幢楼从二楼到三楼的楼梯共11级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从二楼到三楼用7步走完，则上楼梯的方法有______种．
2、从一楼到二楼共有12级台阶，可以一步迈一级也可以一步迈两级，要求7步从一楼到二楼共有 走法．

类型十三、多面手问题——先画韦恩图，再由较少的开始分析。
例1、在一次演唱会上共10名演员,其中8人能能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目,有多少选派方法

1、有6 名学生，其中有3 名会唱歌，2 名会跳舞，1名既会唱歌又会跳舞，现从中选出2 名会唱歌的，1名会跳舞的，去参加文艺演出，求所有不同的选法种数为( )
A．18 B．15 C．16 D．25
2、我校去年11月份，高二年级有10人参加了赴日本交流访问团，其中3人只会唱歌，2人只会跳舞，其余5人既能唱歌又能跳舞。现要从中选6人上台表演，3人唱歌，3人跳舞，有（ ）种不同的选法。
A． B． C． D．
3、6名学生，其中3人只会唱歌，2人只会跳舞，剩下1人既会唱歌又会跳舞，选出2人唱歌2人跳舞，共有______种不同的选法.（请用数学作答）

类型十四、分解与合成策略
例1、 30030能被多少个不同的偶数整除


1、正方体的8个顶点可连成多少对异面直线



类型十五、方阵问题-先选列或行，再选人。
例1、 25人排成5×5方阵，从中选出3人，要求其中任意2人既不同行也不同列，则不同的选法为（ ）
A．60种 B．100种 C．300种 D．600种

1、16人排成4×4方阵，从中选出3人，要求其中任意2人既不同行也不同列，则不同的选法为（ ）
A．60种 B．100种 C．96种 D．190种
2、9人排成3×3方阵，从中选出3人，要求其中任意2人既不同行也不同列，则不同的选法为（ ）
A．6种 B．10种 C．8种 D．9种

例2、由海军、空军、陆军各3名士兵组成一个有不同编号的的小方阵，要求同一军种不在同一行，也不在同一列，有_____种排法

1．某部队在训练之余，由同一场地训练的甲?乙?丙三队各出三人，组成小方阵开展游戏，则来自同一队的战士既不在同一行，也不在同一列的概率为______.


类型十六.复杂分类问题表格策略
例1、有红、黄、兰色的球各5只,分别标有A、B、C、D、E五个字母,现从中取5只,要求各字母均有且三色齐备,则共有多少种不同的取法


1、有黑、白、红三种颜色的小球各个，都分别标有数字，现取出个，要求这个球数字不相同但三种颜色齐备，则不同的取法种数有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种


2、有红，黄，蓝三种颜色的小球（除颜色外均相同）各4只，都分别标有字母．任意取出4只，字母各不相同且三种颜色齐备的取法有__________ 种．





类型十七、涂色问题
例1、如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？






例2、如图，圆被其内接三角形分为4块，现有5种颜色准备用来涂这4块，要求每块涂一种颜色，且相邻两块的颜色不同，则不同的涂色方法有（ ）

A．360种 B．320种 C．108种 D．96种

1、用5种不同颜色给图中A，B，C，D四个区域涂色，每个区域涂一种
颜色. 若要求相邻(有公共边)的区域涂不同颜色，那么共有多少种不同的
涂色方法?



2、用红、黄、蓝等6种颜色给如图所示的五连圆涂色，要求相邻两个圆所涂颜色不能相同，且红色至少要涂两个圆，则不同的涂色方案种数为（ ）

A．610 B．630 C．950 D．1280
3、直线和将圆分成4部分，用5种不同颜色给四部分染色，每部分染一种颜色，相邻部分不能染同一种颜色，则不同的染色方案有（　　）
A．120种 B．240种 C．260种 D．280种

4、用红、黄、蓝三种颜色给如图所示的六个相连的圆涂色,若每种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同, 则不同的涂色方案的种数是 ．

5、如图所示的五个区域中，中心区域是一幅图画，现要求在其余四个区域中涂色，有四种颜色可供选择.要求每个区域只涂一种颜色且相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为（ ）

A．56 B．72 C．64 D．84
6、如图，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有（ ）

A．72种 B．48种 C．24种 D．12种
7、如图，用种不同颜色给图中标有、、、各部分涂色，每部分只涂一种颜色，且相邻两部分涂不同颜色，则不同的涂色方法共有（ ）．

A．种 B．种 C．种 D．种


类型十八、其他
例1、以圆x2＋y2－2x－2y－1＝0内横坐标与纵坐标均为整数的点为顶点的三角形个数为(　　)
A．84 B．78 C．81 D．76
1、一直线和圆相离，这条直线上有6个点，圆周上有4个点，通过任意两点作直线，最少可作直线的条数是（ ）
A．37 B．19 C．13 D．7

2、已知圆上有9个点，每两点连一线段，若任何两条线的交点不同，则所有线段在圆内的交点有（ ）
A．36个 B．72个 C．63个 D．126个

3、圆周上有12个不同的点，过其中任意两点作弦，这些弦在圆内的交点个数最多有
A．个 B．个 C．个 D．个

4、圆上有10个点，过每三个点画一个圆内接三角形，则一共可以画的三角形个数为（ ）
A．720 B．360 C．240 D．120