6.3 向心加速度
一、基础篇
1.物体做匀速圆周运动过程中，其向心加速度( )
A．大小、方向均保持不变
B．大小、方向均时刻改变
C．大小时刻改变、方向保持不变
D．大小保持不变、方向时刻改变
解析：选D 做匀速圆周运动的物体其速度大小不变，由向心加速度公式an＝可知其大小不变，向心加速度的方向始终指向圆心，故其方向时刻改变。故D正确。
2.下列关于向心加速度的说法中正确的是( )
A．向心加速度的方向始终指向圆心
B．向心加速度的方向保持不变
C．在匀速圆周运动中，向心加速度是恒定的
D．在匀速圆周运动中，向心加速度的大小不断变化
解析 向心加速度的方向始终指向圆心，和线速度的方向垂直，不改变线速度的大小只是改变线速度的方向，由于加速度是矢量，因此向心加速度是时刻变化的，向心加速度大小不变，故B、C、D项错误，A项正确。
答案 A
3.下列关于匀速圆周运动的向心加速度的说法中，不正确的是( )
A．它的方向始终与线速度方向垂直
B．它的大小是不断变化的
C．它描述了线速度方向变化的快慢
D．它的大小可以通过公式a＝计算
解析：选B 向心加速度只改变线速度方向不改变线速度大小，所以向心加速度方向和线速度方向始终垂直，故A正确；向心加速度大小恒定，方向时刻指向圆心，故B错误；向心加速度描述了线速度方向变化的快慢，故C正确；它的大小可以通过公式a＝计算，故D正确。
4.关于向心加速度的物理意义，下列说法正确的是( )
A．它描述的是线速度大小变化的快慢
B．它描述的是线速度方向变化的快慢
C．它描述的是物体运动的路程变化的快慢
D．它描述的是角速度变化的快慢
解析：选B 向心加速度始终与线速度方向垂直，故向心加速度只表示线速度的方向改变的快慢，不表示线速度的大小改变的快慢，A、D错误，B正确；圆周运动中，线速度是描述物体运动路程变化快慢的物理量，C错误。
5．(2019·唐山高一检测)我们习惯这样的自然现象“太阳下山明早依旧爬上来”。黎明，旭日东升；黄昏，夕阳西下。白天和黑夜周而复始，不断交替出现，我们习以为常的这种自然现象就是地球自转产生的。关于地球上的物体随地球自转，下列说法正确的是( )
A．在赤道上向心加速度最大
B．在两极向心加速度最大
C．在地球上各处向心加速度一样大
D．在地球上各处线速度都一样大
解析：选A 地球自转时，各点绕地轴转动，具有相同的角速度，根据a＝rω2知，距地轴的距离越大，向心加速度越大，所以在赤道处的向心加速度最大，两极向心加速度最小，故A正确，B、C错误；根据公式v＝ωr可得，在地球上各处线速度跟圆周运动半径大小有关，故D错误。
6.(2019·东营高一检测)家用台式计算机上的硬磁盘的磁道如图所示，O点为磁道的圆心，A、B两点位于不同的磁道上，盘绕O点匀速转动时，A、B两点的向心加速度( )
A．大小相等，方向相同 B．大小相等，方向不同
C．大小不等，方向相同 D．大小不等，方向不同
解析：选D 同轴转动角速度相同，根据向心加速度公式an＝ω2r，两点转动半径不同，故向心加速度大小不同，方向指向圆心，故方向也不同，故D正确。
7.如图所示，质量为m的木块从半径为R的半球形碗口下滑到碗的最低点的过程中，如果由于摩擦力的作用使木块的速率不变，那么( )
A．加速度为零
B．加速度恒定
C．加速度大小不变，方向时刻改变，但不一定指向圆心
D．加速度大小不变，方向时刻指向圆心
解析：选D 由题意知，木块做匀速圆周运动，木块的加速度大小不变，方向时刻指向圆心，D正确，A、B、C错误。
8.一物体以4 m/s的线速度做匀速圆周运动，转动周期为2 s，则物体在运动过程中的任一时刻，速度变化率的大小为( )
A．2 m/s2 B．4 m/s2
C．0 D．4π m/s2
解析：选D 速度变化率的大小指的是向心加速度的大小，an＝ω2r＝ωv＝v＝×4 m/s2＝4π m/s2，D正确。
9.向心加速度由向心力产生。下面请分析解决涉及圆周运动的一些动力学问题。在图中，若水平圆台转动的角速度ω＝0.6 rad/s，质量为30 kg的小孩坐在距离轴心1 m处随圆台一起转动。小孩的向心加速度为多大？小孩受到的静摩擦力为多大？
解析 由an＝ω2r可求得小孩的向心加速度
an＝0.62×1 m/s2＝0.36 m/s2。
小孩所受的静摩擦力提供小孩做圆周运动的向心力，可得：
f＝man＝30×0.36 N＝10.8 N。
答案 0.36 m/s2 10.8 N
10.一轿车以30 m/s的速率沿半径为60 m的圆形跑道行驶。当轿车从A点运动到B点时，轿车和圆心的连线转过的角度θ＝90°，如图所示。求：
(1)此过程中轿车位移的大小。
(2)此过程中轿车运动的路程。
(3)轿车运动的向心加速度的大小。
解析：(1)轿车的位移为从初位置到末位置的有向线段，其大小为线段的长度s，s＝R＝×60 m≈85 m。
(2)路程等于弧长，l＝Rθ＝60× m＝94.2 m。
(3)向心加速度的大小a＝＝ m/s2＝15 m/s2。
答案：(1)85 m (2)94.2 m (3)15 m/s2
二 能力篇
1．关于向心加速度，以下说法中错误的是( )
A．向心加速度的方向始终与线速度方向垂直
B．向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小
C．物体做圆周运动时的加速度方向始终指向圆心
D．物体做匀速圆周运动时的加速度方向始终指向圆心
解析：选C 向心加速度的方向沿半径指向圆心，线速度方向则沿圆周的切线方向，所以，向心加速度的方向始终与线速度方向垂直，只改变线速度的方向；物体做匀速圆周运动时，只具有向心加速度，加速度方向始终指向圆心；一般情况下，圆周运动的向心加速度与切向加速度的合加速度的方向不一定始终指向圆心。故A、B、D正确，C错误。
2.[多选]如图所示，长为l的悬线一端固定在O点，另一端系一小球。在O点正下方C点钉一钉子，O、C间距离为。把悬线另一端的小球拉到跟悬点同一水平面上无初速度释放，小球运动到悬点正下方时悬线碰到钉子，则小球的( )
A．线速度突然增大为原来的2倍
B．角速度突然增大为原来的2倍
C．向心加速度突然增大为原来的2倍
D．悬线拉力突然增大为原来的2倍
解析：选BC 碰到钉子的瞬间，根据惯性可知，小球的速度不能发生突变，即线速度不变，故A错误；根据ω＝可知，半径减半，线速度不变，所以角速度变为原来的2倍，故B正确；小球的向心加速度a＝，半径减半，故小球的向心加速度变为原来的2倍，故C正确；碰撞前，F－mg＝m，故绳子拉力F＝mg＋，碰撞后，F′－mg＝m，解得F′＝mg＋，故D错误。
3．如图所示，在风力发电机的叶片上有A、B、C三点，其中A、C在叶片的端点，B在叶片的中点。当叶片转动时，这三点( )
A．线速度大小都相等
B．线速度方向都相同
C．角速度大小都相等
D．向心加速度大小都相等
解析：选C 由题图易知A、B、C三点的线速度方向不都相同，角速度相等，半径不都相等，所以根据v＝ωr可得线速度大小不都相等，根据公式a＝ω2r可得向心加速度大小不都相等，故选项C正确。
4.一质量为2.0×103 kg的汽车在水平公路上行驶，路面对轮胎的径向最大静摩擦力为1.4×104 N，当汽车经过半径为80 m的弯道时，下列判断正确的是( )
A．汽车转弯时所受的力有重力、弹力、摩擦力和向心力
B．汽车转弯的速度为20 m/s时所需的向心力为1.4×104 N
C．汽车转弯的速度为20 m/s时汽车会发生侧滑
D．汽车能安全转弯的向心加速度不超过7.0 m/s2
解析：选D 汽车转弯时受到重力、弹力、摩擦力的作用，这些力都是根据力的性质命名的，而向心力是根据力的作用效果命名的，本题中向心力由摩擦力提供，性质力与效果力不能重复分析，A错误；汽车转弯的速度为20 m/s时所需的向心力为F＝m＝1.0×104 N＜1.4×104 N，汽车不会侧滑，B、C错误；汽车能安全转弯的最大向心加速度为a＝＝7.0 m/s2，D正确。
5.如图所示的皮带传动装置中，甲轮的轴和乙、丙两轮的轴均为水平轴，其中，甲、丙两轮半径相等，乙轮半径是丙轮半径的一半。A、B、C三点分别是甲、乙、丙三轮边缘上的点，若传动中皮带不打滑，则( )
A．A、B两点的线速度大小之比为2∶1
B．B、C两点的角速度之比为1∶2
C．A、B两点的向心加速度大小之比为2∶1
D．A、C两点的向心加速度大小之比为1∶4
解析：选D 传动中皮带不打滑，则A、B两点的线速度大小相等，A错误；B、C两点绕同一轴转动，故B、C两点的角速度相等，故B错误；由于A、B两点的线速度大小相等，半径之比为2∶1，由向心加速度a＝可知A、B两点的向心加速度大小之比为1∶2，C错误；由于B、C两点的角速度相等，由a＝ω2R可知B、C两点的向心加速度大小之比为1∶2，所以A、C两点的向心加速度大小之比为1∶4，故D正确。
6.[多选]一小球被细绳拴着，在水平面内做半径为R的匀速圆周运动，向心加速度为a，那么( )
A．角速度ω＝
B．时间t内通过的路程s＝t
C．周期T＝
D．时间t内可能发生的最大位移为2R
解析：选ABD 由a＝ω2R，得ω＝，A正确；由a＝，得线速度v＝，所以时间t内通过的路程s＝t，B正确；由a＝ω2R＝R，得T＝2π，C错误；对于做圆周运动的物体而言，位移大小即圆周上两点间的距离，最大值为2R，D正确。
7.A、B两艘快艇在湖面上做匀速圆周运动(如图)，在相同时间内，它们通过的路程之比是4∶3，运动方向改变的角度之比是3∶2，则它们( )
A．线速度大小之比为4∶3
B．角速度大小之比为3∶4
C．圆周运动的半径之比为2∶1
D．向心加速度大小之比为1∶2
解析：选A 圆周运动中线速度定义为单位时间内通过的圆弧长，即v＝，所以线速度大小之比为4∶3，A正确；角速度定义为单位时间内转过的弧度角，即ω＝，且运动方向改变角度等于圆心角，所以角速度大小之比为3∶2，B错误；半径R＝，即半径之比为8∶9，C错误；向心加速度a＝vω，即向心加速度大小之比为2∶1，D错误。
8.[多选]如图所示是甲、乙两球做圆周运动的向心加速度随半径变化的关系图像，下列说法中正确的是( )
A．甲球线速度大小保持不变
B．乙球线速度大小保持不变
C．甲球角速度大小保持不变
D．乙球角速度大小保持不变
解析：选AD 从图像知，对甲：a与R成反比，由a＝知，当v一定时，a∝，故甲球线速度大小不变。对乙：a与R成正比，由a＝ω2R知，当ω一定时，a∝R，故乙球角速度一定。故A、D正确。
9.为了更准确地测量电风扇的转速和叶片边缘的向心加速度的大小，已有霍尔元件传感器、计数器、永久磁铁等仪器，它们的原理是：永久磁铁每经过传感器一次，传感器就输出一个电压脉冲，计数器显示的数字就增加1。
(1)要完成测量，还需要什么仪器？
(2)说明测量方法。
(3)写出转速及向心加速度的表达式。
解析：(1)还需要的仪器是停表和刻度尺。
(2)方法：如图所示。
把永久磁铁吸在电风扇的边缘，且靠近传感器的下边缘，让电风扇匀速转动，从计数器上读出所记录的数字N，即为电风扇转过的圈数，用停表记下转过N圈所用的时间t，用刻度尺测量出叶片的半径r。
(3)转速n＝
向心加速度an＝ω2r＝(2πn)2r＝r。
答案：(1)停表、刻度尺 (2)见解析
(3)n＝ an＝r
10.如图所示，一个大轮通过皮带拉着小轮转动，皮带和两轮之间无相对滑动，大轮的半径是小轮半径的2倍，大轮上的一点S离转动轴的距离是大轮半径的。当大轮边缘上的P点的向心加速度是12 m/s2时，大轮上的S点和小轮边缘上的Q点的向心加速度各为多少？
解析 同一轮子上的S点和P点的角速度相同，即ωS＝ωP。由向心加速度公式an＝ω2r，得＝，
故aS＝aP＝×12 m/s2＝4 m/s2；
又因为皮带不打滑，所以皮带传动的两轮边缘上各点的线速度大小相等，即vP＝vQ，
由向心加速度公式an＝，得＝，
故aQ＝aP＝2×12 m/s2＝24 m/s2。
答案 4 m/s2 24 m/s2
6.3 向心加速度
一、基础篇
1.物体做匀速圆周运动过程中，其向心加速度( )
A．大小、方向均保持不变
B．大小、方向均时刻改变
C．大小时刻改变、方向保持不变
D．大小保持不变、方向时刻改变
2.下列关于向心加速度的说法中正确的是( )
A．向心加速度的方向始终指向圆心
B．向心加速度的方向保持不变
C．在匀速圆周运动中，向心加速度是恒定的
D．在匀速圆周运动中，向心加速度的大小不断变化
3.下列关于匀速圆周运动的向心加速度的说法中，不正确的是( )
A．它的方向始终与线速度方向垂直
B．它的大小是不断变化的
C．它描述了线速度方向变化的快慢
D．它的大小可以通过公式a＝计算
4.关于向心加速度的物理意义，下列说法正确的是( )
A．它描述的是线速度大小变化的快慢
B．它描述的是线速度方向变化的快慢
C．它描述的是物体运动的路程变化的快慢
D．它描述的是角速度变化的快慢
5．(2019·唐山高一检测)我们习惯这样的自然现象“太阳下山明早依旧爬上来”。黎明，旭日东升；黄昏，夕阳西下。白天和黑夜周而复始，不断交替出现，我们习以为常的这种自然现象就是地球自转产生的。关于地球上的物体随地球自转，下列说法正确的是( )
A．在赤道上向心加速度最大
B．在两极向心加速度最大
C．在地球上各处向心加速度一样大
D．在地球上各处线速度都一样大
6.(2019·东营高一检测)家用台式计算机上的硬磁盘的磁道如图所示，O点为磁道的圆心，A、B两点位于不同的磁道上，盘绕O点匀速转动时，A、B两点的向心加速度( )
A．大小相等，方向相同 B．大小相等，方向不同
C．大小不等，方向相同 D．大小不等，方向不同
7.如图所示，质量为m的木块从半径为R的半球形碗口下滑到碗的最低点的过程中，如果由于摩擦力的作用使木块的速率不变，那么( )
A．加速度为零
B．加速度恒定
C．加速度大小不变，方向时刻改变，但不一定指向圆心
D．加速度大小不变，方向时刻指向圆心
8.一物体以4 m/s的线速度做匀速圆周运动，转动周期为2 s，则物体在运动过程中的任一时刻，速度变化率的大小为( )
A．2 m/s2 B．4 m/s2
C．0 D．4π m/s2
9.向心加速度由向心力产生。下面请分析解决涉及圆周运动的一些动力学问题。在图中，若水平圆台转动的角速度ω＝0.6 rad/s，质量为30 kg的小孩坐在距离轴心1 m处随圆台一起转动。小孩的向心加速度为多大？小孩受到的静摩擦力为多大？
10.一轿车以30 m/s的速率沿半径为60 m的圆形跑道行驶。当轿车从A点运动到B点时，轿车和圆心的连线转过的角度θ＝90°，如图所示。求：
(1)此过程中轿车位移的大小。
(2)此过程中轿车运动的路程。
(3)轿车运动的向心加速度的大小。
二 能力篇
1．关于向心加速度，以下说法中错误的是( )
A．向心加速度的方向始终与线速度方向垂直
B．向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小
C．物体做圆周运动时的加速度方向始终指向圆心
D．物体做匀速圆周运动时的加速度方向始终指向圆心
2.[多选]如图所示，长为l的悬线一端固定在O点，另一端系一小球。在O点正下方C点钉一钉子，O、C间距离为。把悬线另一端的小球拉到跟悬点同一水平面上无初速度释放，小球运动到悬点正下方时悬线碰到钉子，则小球的( )
A．线速度突然增大为原来的2倍
B．角速度突然增大为原来的2倍
C．向心加速度突然增大为原来的2倍
D．悬线拉力突然增大为原来的2倍
3．如图所示，在风力发电机的叶片上有A、B、C三点，其中A、C在叶片的端点，B在叶片的中点。当叶片转动时，这三点( )
A．线速度大小都相等
B．线速度方向都相同
C．角速度大小都相等
D．向心加速度大小都相等
4.一质量为2.0×103 kg的汽车在水平公路上行驶，路面对轮胎的径向最大静摩擦力为1.4×104 N，当汽车经过半径为80 m的弯道时，下列判断正确的是( )
A．汽车转弯时所受的力有重力、弹力、摩擦力和向心力
B．汽车转弯的速度为20 m/s时所需的向心力为1.4×104 N
C．汽车转弯的速度为20 m/s时汽车会发生侧滑
D．汽车能安全转弯的向心加速度不超过7.0 m/s2
5.如图所示的皮带传动装置中，甲轮的轴和乙、丙两轮的轴均为水平轴，其中，甲、丙两轮半径相等，乙轮半径是丙轮半径的一半。A、B、C三点分别是甲、乙、丙三轮边缘上的点，若传动中皮带不打滑，则( )
A．A、B两点的线速度大小之比为2∶1
B．B、C两点的角速度之比为1∶2
C．A、B两点的向心加速度大小之比为2∶1
D．A、C两点的向心加速度大小之比为1∶4
6.[多选]一小球被细绳拴着，在水平面内做半径为R的匀速圆周运动，向心加速度为a，那么( )
A．角速度ω＝
B．时间t内通过的路程s＝t
C．周期T＝
D．时间t内可能发生的最大位移为2R
7.A、B两艘快艇在湖面上做匀速圆周运动(如图)，在相同时间内，它们通过的路程之比是4∶3，运动方向改变的角度之比是3∶2，则它们( )
A．线速度大小之比为4∶3
B．角速度大小之比为3∶4
C．圆周运动的半径之比为2∶1
D．向心加速度大小之比为1∶2
8.[多选]如图所示是甲、乙两球做圆周运动的向心加速度随半径变化的关系图像，下列说法中正确的是( )
A．甲球线速度大小保持不变
B．乙球线速度大小保持不变
C．甲球角速度大小保持不变
D．乙球角速度大小保持不变
9.为了更准确地测量电风扇的转速和叶片边缘的向心加速度的大小，已有霍尔元件传感器、计数器、永久磁铁等仪器，它们的原理是：永久磁铁每经过传感器一次，传感器就输出一个电压脉冲，计数器显示的数字就增加1。
(1)要完成测量，还需要什么仪器？
(2)说明测量方法。
(3)写出转速及向心加速度的表达式。
10.如图所示，一个大轮通过皮带拉着小轮转动，皮带和两轮之间无相对滑动，大轮的半径是小轮半径的2倍，大轮上的一点S离转动轴的距离是大轮半径的。当大轮边缘上的P点的向心加速度是12 m/s2时，大轮上的S点和小轮边缘上的Q点的向心加速度各为多少？
