人教版数学八年级下册第18章《平行四边形》解答题培优训练卷 附答案

人教版八年级下册第18章《平行四边形》解答题培优训练卷
1．如图，在平行四边形ABCD中，点E是AB边上一点，CE＝AB，DF⊥BC，垂足为点F，交CE于点G，连接DE，EF．
（1）求证：∠AED＝90°﹣∠DCE；
（3）若点E是AB边的中点，求证：∠EFB＝∠DEF．


2．已知：如图，在矩形ABCD中，E是边BC上一点，过点E作对角线AC的平行线，交AB于F，交DA和DC的延长线于点G，H．
（1）求证：△AFG≌△CHE；
（2）若∠G＝∠BAC，则四边形ABCD是什么特殊四边形？并证明你的结论．


3．已知如图，点C、D在线段AF上，AD＝CD＝CF，∠ABC＝∠DEF＝90°，AB∥EF．
（1）若BC＝2，AB＝2，求BD的长；
（2）求证：四边形BCED是平行四边形．

4．如图，在△ABC中，已知∠ACB＝90°，D是BC的中点，CE＝BE，CE∥AD
（1）求证：DE＝AC；
（2）连结AE，若AC＝2，BC＝6，求△AEB的周长．



5．如图，平行四边形ABCD中，AB＝8cm，BC＝12cm，∠B＝60°，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连接CE，DF．
（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；
（2）①AE＝　 　cm时，四边形CEDF是矩形，请写出判定矩形的依据（一条即可）；
②AE＝　 　cm时，四边形CEDF是菱形，请写出判定菱形的依据（一条即可）．


6．如图，已知：平行四边形ABCD中，∠ABC，∠BCD的平分线交于点E，且点E刚好落在AD上，分别延长BE、CD交于F．
（1）CE与BF之间有什么位置关系？并证明你的猜想．
（2）AB与AD之间有什么数量关系？并证明你的猜想；




7．如图，MN∥PQ被直线AC所截，同旁内角的平分线AB、CB和AD、CD分别相交于点B、D．
（1）求∠BAD的度数；
（2）求证：四边形ABCD是矩形．


8．如图，菱形ABCD的对角线AC和BD交于点O，分别过点C、作CE∥BD，DE∥AC，CE和DE交于点E
（1）求证：四边形ODEC是矩形；
（2）当∠ADB＝60°，AD＝10时，求CE和AE的长．



9．如图，在?ABCD中，E，F分别是AB和CD的中点，连接DE和BF，过点A作AG⊥BC交CB的延长线于G．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）当点B是CG中点时，求证：四边形BEDF是菱形．


10．如图，AM∥BN，C是BN上一点，BD平分∠ABN且过AC的中点O，交AM于点D，DE⊥BD，交BN于点E．
（1）求证：△ADO≌△CBO．
（2）求证：四边形ABCD是菱形．
（3）若DE＝AB＝2，求菱形ABCD的面积．



11．如图，在矩形ABCD中，点E，F在对角线BD上，BE＝DF．请你判断：AE与CF的关系，并加以证明，（友情提示：不要漏解!）



12．在平行四边形ABCD中，点E是AD边上的点，连接BE．
（1）如图1，若BE平分∠ABC，BC＝8，ED＝3，求平行四边形ABCD的周长；
（2）如图2，点F是平行四边形外一点，FB＝CD．连接BF、CF，CF与BE相交于点G，若∠FBE+∠ABC＝180°，点G是CF的中点，求证：2BG+ED＝BC．



13．已知四边形ABCD是正方形，点E是边BC上的任意一点，AE⊥EF，且直线EF交正方形外角的平分线CF于点F．
（1）如图1，求证：AE＝EF；
（2）如图2，当AB＝2，点E是边BC的中点时，请直接写出FC的长．

14．如图，EF是平行四边形ABCD的对角线BD的垂直平分线，EF与边AD、BC分别交于点E、F．
（1）求证：四边形BFDE是菱形；
（2）若ED＝5，BD＝8，求菱形BFDE的面积．

15．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝8，AD＝16，BC＝22，∠ABC＝90°，点P从点A出发，以每秒1单位的速度向点D运动，点Q从点C同时出发，以每秒v单位的速度向点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒．
（1）当v＝3时，若以点P，Q和点A，B，C，D中的两个点为顶点的四边形为平行四边形，且线段PQ为平行四边形的一边，求t的值；
（2）若以点P，Q和点A，B，C，D中的两个点为顶点的四边形为菱形，且线段PQ为菱形的一条对角线，请直接写出t的值．



16．（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，∠ECG＝45°，那么EG与图中两条线段的和相等？证明你的结论．
（2）请用（1）中所积累的经验和知识完成此题，如图2，在四边形ABCD中，AG∥BC（BC＞AG），∠B＝90°，AB＝BC＝12，E是AB上一点，且∠ECG＝45°，BE＝4，求EG的长？




















参考答案
1．【解答】证明：（1）∵CE＝AB，AB＝CD
∴CE＝CD，
∴∠CDE＝∠CED＝＝90°﹣∠DCE，
∵CD∥AB
∴∠AED＝∠CDE＝90°﹣∠DCE；
（2）如图，延长DA，FE于点M，

∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，且DF⊥BC
∴DF⊥AD，∠M＝∠EFB
∵∠M＝∠EFB，AE＝BE，∠AEM＝∠FEB
∴△AEM≌△BEF（AAS）
∴ME＝EF，且DF⊥DM
∴ME＝DE＝EF
∴∠M＝∠MDE
∴∠DEF＝∠M+∠MDE＝2∠M
∴∠EFB＝∠DEF
2．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AB∥CD，∠BAD＝∠BCD＝90°
∴∠GAB＝∠B＝∠BCH，
∵AD∥BC，EF∥AC，
∴四边形AGEC是平行四边形，
∴AG＝EC，
∵AB∥CD，EF∥AC
∴四边形AFHC是平行四边形，
∴AF＝CH，
∴△AFG≌△CHE（SAS）．
（2）四边形ABCD是正方形
理由：∵EF∥AC，
∴∠G＝∠CAD，
∵∠G＝∠BAC，
∴∠BAC＝∠CAD，
∵∠BAD＝90°，
∴∠BAC＝45°，
∵∠B＝90°，
∴∠BAC＝∠ACB＝45°，
∴BA＝BC，
∴矩形ABCD是正方形．
3．【解答】（1）解：∵∠ABC＝90°，
∴AC＝＝＝2，
∵AD＝CD，
∴BD＝AC＝；
（2）证明：∵AD＝CD＝CF，
∴DF＝AC＝2，
∵∠DEF＝90°，
∴CE＝DF＝，
∴BD＝CE，
∵AB∥EF，
∴∠A＝∠F，
在△ABC和△FED中，，
∴△ABC≌△FED（AAS），
∴BC＝ED，
∵BD＝CE，
∴四边形BCED是平行四边形．
4．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，
∴AC⊥BC，
∵DE⊥BC，
∴AC∥DE，
∵CE∥AD，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴DE＝AC；

（2）∵∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝6，
∴AB＝＝＝2，
过E作EF⊥AC的延长线于F，
∴CF＝DE＝AC＝2，EF＝CD＝BC＝3，
∴AE＝＝＝5，
∵BE＝＝＝，
∴△AEB的周长＝AB+BE+AE＝2++5．

5．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DEG＝∠CFG，∠GDE＝∠GCF．
∵G是CD的中点，
∴DG＝CG，
在△EDG和△FCG中，，
∴△EDG≌△FCG（AAS）．
∴ED＝FC．
∵ED∥CF，
∴四边形CEDF是平行四边形．
（2）解：①当AE＝8cm时，四边形CEDF是矩形．理由如下：
作AP⊥BC于P，如图所示：
∵AB＝8cm，∠B＝60°，
∴∠BAP＝30°，
∴BP＝AB＝4cm，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠CDE＝∠B＝60°，DC＝AB＝8cm，AD＝BC＝12cm，
∵AE＝8cm，
∴DE＝4cm＝BP，
在△ABP和△CDE中，，
∴△ABP≌△CDE（SAS），
∴∠CED＝∠APB＝90°，
∴平行四边形CEDF是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形），
故当AE＝8cm时，四边形CEDF是矩形；
故答案为：8．
②当AE＝4cm时，四边形CEDF是菱形．理由如下：
∵AE＝4cm，AD＝12cm．
∴DE＝8cm．
∵DC＝8cm，∠CDE＝∠B＝60°．
∴△CDE是等边三角形．
∴DE＝CE．
∴平行四边形CEDF是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）．
故当AE＝4cm时，四边形CEDF是菱形；
故答案为：4．

6．【解答】解：（1）结论：CE⊥BF．
理由：∵BF平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠EBC，
∵CE平分∠BCD，
∴∠BCD＝2∠BCE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∴2∠EBC+2∠BCE＝180°，
∴∠EBC+∠BCE＝90°，
∴∠BEC＝90°，即CE⊥BF
（2）结论：AD＝2AB．
理由：∵BF平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠FBC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD，
∴∠FBC＝∠AEB，
∴∠AEB＝∠ABE，
∴AB＝AE，同理可证：CD＝DE，
∴AD＝AE+ED＝AB+CD＝2AB
7．【解答】（1）解：∵AB，AD平分∠MAC和∠NAC
∴∠BAC＝∠MAC，∠CAD＝∠NAC，
∵∠MAC+∠NAC＝180°，
∴∠BAC+∠CAD＝∠MAC+∠NAC＝90°，
即∠BAD＝90°；

（ 2）证明：同理可证：∠BCD＝90°，
∵MN∥PQ，
∴∠MAC+∠PCA＝180°，
又∵AB，CB分别平分∠MAC和∠PCA，
∴∠BAC＝∠MAC，∠BCA＝∠PCA，
∴∠BAC+∠BCA＝90°，
∴∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形．
8．【解答】（1）证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形ODEC是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，即∠DOC＝90°，
∴平行四边形ODEC是矩形；

（2）解：∵在Rt△AOD中，∠ADO＝60°，
∴∠OAD＝30°，
∵AD＝10 OD＝AD＝5，
∴AO＝＝5，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC＝2A0＝10，
∵四边形ODEC是矩形，∠ACE＝90°，CE＝OD＝5，
在Rt△ACE中，由勾股定理得：AE＝＝＝．
9．【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD且AB＝CD，
∵E，F分别是AB和CD的中点
∴，
∴BE＝DF，
又∵AB∥CD，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）连接BD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC且AD＝BC，
∴BG＝BC，
∴AD＝BG，
又AD∥BC，
∴四边形ADBG是平行四边形，
∵AG⊥BC，
∴∠G＝90°，
∴∠ADB＝∠G＝90°
又∵E是AB中点
∴DE＝BE＝，
由（1）得：四边形BEDF是平行四边形，
∴四边形BEDF是菱形．

10．【解答】解：（1）证明：∵点O是AC的中点，
∴AO＝CO，
∵AM∥BN，
∴∠DAC＝∠ACB，
在△AOD和△COB中，，
∴△ADO≌△CBO（ASA）；
（2）证明：由（1）得△ADO≌△CBO，
∴AD＝CB，
又∵AM∥BN，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AM∥BN，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵BD平分∠ABN，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AD＝AB，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（3）解：由（2）得四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AD＝CB，
又DE⊥BD，
∴AC∥DE，
∵AM∥BN，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴AC＝DE＝2，AD＝EC，
∴EC＝CB，
∵四边形ABCD是菱形，
∴EC＝CB＝AB＝2，
∴EB＝4，
在Rt△DEB中，由勾股定理得BD＝＝，
∴．

11．【解答】解：AE与CF相等且平行；或相等且共线．理由如下：
（1）数量关系：AE＝CF．理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠ABE＝∠CDF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS）．
∴AE＝CF．

（2）当点E与点F不在BD的中点时，AE∥FC．
∵△ABE≌△CDF，
∴∠AEB＝∠CFD，
∴∠AED＝∠CFB，
∴AE∥CF．

（3）当点E和点F在BD的中点时，AE与CF共线．
12．【解答】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝8，AB＝CD，AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE，
∵AE＝AD﹣ED＝BC﹣ED＝8﹣3＝5，
∴AB＝5，
∴平行四边形ABCD的周长＝2AB+2BC＝2×5+2×8＝26；
（2）证明：连接CE，过点C作CK∥BF交BE于K，如图2所示：
则∠FBG＝∠CKG，
∵点G是CF的中点，
∴FG＝CG，
在△FBG和△CKG中，，
∴△FBG≌△CKG（ASA），
∴BG＝KG，CK＝BF＝CD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠D，∠BAE+∠D＝180°，AB＝CD＝CK，AD∥BC，
∴∠DEC＝∠BCE，∠AEB＝∠KBC，
∵∠FBE+∠ABC＝180°，
∴∠FBE+∠D＝180°，
∴∠CKB+∠D＝180°，
∴∠EKC＝∠D，
∵∠BAE+∠D＝180°，
∴∠CKB＝∠BAE，
在△AEB和△KBC中，，
∴△AEB≌△KBC（AAS），
∴BC＝BE，
∴∠KEC＝∠BCE，
∴∠KEC＝∠DEC，
在△KEC和△DEC中，，
∴△KEC≌△DEC（AAS），
∴KE＝ED，
∵BE＝BG+KG+KE＝2BG+ED，
∴2BG+ED＝BC．

13．【解答】（1）证明：如图1，在AB上截取BM＝BE，连接ME，
∵∠B＝90°，
∴∠BME＝∠BEM＝45°，
∴∠AME＝135°＝∠ECF，
∵AB＝BC，BM＝BE，
∴AM＝EC，
在△AME和△ECF中，
∴△AME≌△ECF（ASA），
∴AE＝EF；
（2）解：取AB中点M，连接EM，
∵AB＝BC，E为BC中点，M为AB中点，
∴AM＝CE＝BE，
∴∠BME＝∠BME＝45°，
∴∠AME＝135°＝∠ECF，
∵∠B＝90°，
∴∠BAE+∠AEB＝90°，
∵∠AEF＝90°，
∴∠AEB+∠FEC＝90°，
∴∠BAE＝∠FEC，
在△AME和△ECF中，
∴△AME≌△ECF（ASA），
∴EM＝CF，
∵AB＝2，点E是边BC的中点，
∴BM＝BE＝1，
∴CF＝ME＝．


14．【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，OB＝OD
∵∠EDO＝∠FBO，∠OED＝∠OFB
∴△OED≌△OFB
∴DE＝BF
又∵ED∥BF
∴四边形BEDF是平行四边形
∵EF⊥BD
∴四边形BFDE是菱形；
（2）∵四边形BFDE是菱形，BD＝8
∴OD＝BD＝4
∵ED＝5
∴OE＝3
∴EF＝6
∴菱形BFDE的面积为：×8×6＝24
答：菱形BFDE的面积为24．
15．【解答】解：（1）∵当P、Q两点与A、B两点构成的四边形是平行四边形时，
∵AP∥BQ，
∴当AP＝BQ时，四边形APQB为平行四 边形．
此时，t＝22﹣3t，t＝．
当P、Q两点与C、D两点构成的四边形是平行四边形时，
∵PD∥QC，
∴当PD＝QC时，四边形PQCD为平行四 边形．
此时，16﹣t＝3t，t＝4，
∵线段PQ为平行四边形的一边，
故当t＝或4时，线段PQ为平行四边形的一边．
（2）当四边形PBQD能成为菱形时，设PA＝x，

在Rt△APB中，则有82+x2＝（16﹣x）2，
解得x＝6，
∴t＝6．
当四边形AQCP是菱形时，呵AP＝AQ＝CQ＝y．

在Rt△ABQ中，则有82+（22﹣y）2＝y2，
解得y＝，
∴t＝
综上所述，t的值为6或时，满足条件．
16．【解答】解：（1）EG＝BE+DG．
如图1，延长AD至F，使DF＝BE，连接CF，

∵四边形ABCD为正方形，
∴BC＝DC，∠ABC＝∠ADC＝∠BCD＝90°，
∵∠CDF＝180﹣∠ADC，
∴∠CDF＝90°，
∴∠ABC＝∠CDF，
∵BE＝DF，
∴△EBC≌△FDC（SAS），
∴∠BCE＝∠DCF，EC＝FC，
∵∠ECG＝45°，
∴∠BCE+∠GCD＝∠BCD﹣∠ECG＝90°﹣45°＝45°，
∴∠GCD+DCF＝∠FCG＝45°，
∴∠ECG＝∠FCG，
∵GC＝GC，
∴△ECG≌△FCG（SAS），
∴EG＝GF，
∵GF＝GD+DF＝GD+BE，
∴EG＝GD+BE．
（2）如图2，过点C作CD⊥AG，交AG的延长线于D．


∵AG∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠B＝90°，
∴∠A＝180°﹣∠B＝90°，
∵∠CDA＝90°，AB＝BC，
∴四边形ABCD是正方形，
∵AB＝BC＝12，
∴CD＝AD＝12，
∵BE＝4，
∴AE＝AB﹣BE＝8，
设EG＝x，由（1）知EG＝BE+GD，
∴GD＝x﹣4，
∴AG＝AD﹣GD＝12﹣（x﹣4）＝16﹣x，
在Rt△AEG中：GE2＝AG2+AE2，
∴x2＝（16﹣x）2+82，解得x＝10，
∴EG＝10．