八年级数学下册北师大版 第4章 因式分解 单元测试（附答案）

第4章 因式分解
一．选择题（共8小题）
1．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　）
A．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4 B．ab+ac+d＝a（b+c）+d
C．x2﹣9＝（x﹣3）2 D．a2b﹣ab2＝ab（a﹣b）
2．多项式：①16x2﹣8x；②（x﹣1）2﹣4（x﹣1）+4；③（x+1）4﹣4x（x+1）2+4x2；④﹣4x2﹣1+4x分解因式后，结果中含有相同因式的是（　　）
A．①和② B．③和④ C．①和④ D．②和③
3．如果a﹣b＝4，ab＝6，那么ab2﹣a2b的值是（　　）
A．﹣24 B．﹣10 C．24 D．2
4．下列多项式能用完全平方公式分解的是（　　）
A．x2﹣2x﹣ B．（a+b）（a﹣b）﹣4ab
C．a2+ab+ D．y2+2y﹣1
5．若x2+mx+9＝（x﹣3）2，则m＝（　　）
A．6 B．﹣6 C．3 D．﹣3
6．下列各式能用平方差公式计算的是（　　）
A．（x﹣0.2）（0.2﹣x） B．（﹣2x﹣5）（5﹣2x）
C．（3x﹣1）（2x+1） D．（﹣2x﹣5）（2x+5）
7．983﹣98不能被下列哪些正整数整除（　　）
A．97 B．98 C．99 D．100
8．已知x2+kx+4可以用完全平方公式进行因式分解，则k的值为（　　）
A．﹣4 B．2 C．4 D．±4
二．填空题（共8小题）
9．若关于x的多项式ax3+bx2﹣2的一个因式是x2+3x﹣1，则a+b的值为　 　．
10．若4x2﹣（k﹣1）x+9能用完全平方公式因式分解，则k的值为　 　．
11．如果关于x的二次三项式x2﹣4x+m在实数范围内不能因式分解，那么m的值可以是　 　．（填出符合条件的一个值）
12．在实数范围内分解因式﹣4+x4的结果是　 　．
13．利用几何图形可以得到一些相关的代数关系式，请根据右图分解因式：2a2+5ab+2b2＝　 　．
14．a与b互为相反数，则a3+2a2b+ab2＝　 　．
15．已知x2﹣3x﹣1＝0，则多项式x3﹣x2﹣7x+5的值为　 　．
16．在日常生活中，如取款、上网需要密码，有一种因式分解法产生密码，例如x4﹣y4＝（x﹣y）（x+y）（x2+y2），当x＝9，y＝9时，x﹣y＝0，x+y＝18，x2+y2＝162，则密码018162．对于多项式9y3﹣x2y，取x＝10，y＝10，用上述方法产生密码是　 　．（写出一个即可）
三．解答题（共5小题）
17．将下列各式分解因式：
（1）（p﹣4）（p+1）+3p；
（2）4xy2﹣4x2y﹣y3
18．已知a﹣b＝7，ab＝﹣12．
（1）求ab2﹣a2b的值；
（2）求a2+b2的值；
（3）已知a+b＝k2﹣2，求非负数k的值．
19．请仔细阅读下面某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程，然后回答问题：
解：令x2﹣4x+2＝y，则：
原式＝y（y+4）+4（第一步）
＝y2+4y+4（第二步）
＝（y+2）2（第三步）
＝（x2﹣4x+4）2（第四步）
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的　 　；
A．提取公因式
B．平方差公式
C．两数和的完全平方公式
D．两数差的完全平方公式
（2）另外一名同学发现第四步因式分解的结果不彻底，请你直接写出因式分解的最后结果　 　；
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．
20．1637年笛卡儿（R．Descartes，1596﹣1650）在其《几何学》中，首次应用待定系数法最早给出因式分解定理．关于笛卡尔的“待定系数法”原理，举例说明如下：
分解因式：x3+2x2﹣3．观察知，显然x＝1时，原式＝0，因此原式可分解为（x﹣1）与另一个整式的积．令：x3+2x2﹣3＝（x﹣1）（x2+bx+c），而（x﹣1）（x2+bx+c）＝x3+（b﹣1）x2+（c﹣b）x﹣c，因等式两边x同次幂的系数相等，
则有：，得，从而x3+2x2﹣3＝0．
根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：
（1）若x+1是多项式x3+ax+1的因式，求a的值并将多项式x3+ax+1分解因式．
（2）若多项式3x4+ax3+bx﹣34含有因式x+1及x﹣2，求a，b的值．
21．我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图A可以用来解释a2+2ab+b2＝（a+b）2，实际上利用一些卡片拼成的图形面积也可以对某些二次三项式进行因式分解．
（1）图B可以解释的代数恒等式是　 　；
（2）现有足够多的正方形和矩形卡片，如图C：
①若要拼出一个面积为（3a+b）（a+2b）的矩形，则需要1号卡片　 　张，2号卡片　 　张，3号卡片　 　张；
②试画出一个用若干张1号卡片、2号卡片和3号卡片拼成的矩形，使该矩形的面积为6a2+7ab+2b2，并利用你画的图形面积对6a2+7ab+2b2进行因式分解．

参考答案
一．选择题（共8小题）
1． D．
2． C．
3． A．
4． C．
5． B．
6． B．
7． D．
8． D．
二．填空题（共8小题）
9． 26．
10． 13或﹣11．
11． 5（答案不唯一）．
12．（x2+2）（x+）（x﹣）．
13． 2a2+5ab+2b2＝（a+2b）（2a+b）．
14． 0．
15． 7．
16． 104020．
三．解答题（共5小题）
17．解：（1）（p﹣4）（p+1）+3p
＝p2﹣3p﹣4+3p
＝p2﹣4
＝（p+2）（p﹣2）；
（3）4xy2﹣4x2y﹣y3
＝﹣y（4x2﹣4xy+y2）
＝﹣y（2x﹣y）2．
18．解：（1）∵a﹣b＝7，ab＝﹣12，
∴ab2﹣a2b＝﹣ab（a﹣b）＝﹣（﹣12）×7＝84；
（2）∵a﹣b＝7，ab＝﹣12，
∴（a﹣b）2＝49，
∴a2+b2﹣2ab＝49，
∴a2+b2﹣2×（﹣12）＝49，
∴a2+b2＝25；
（3）∵a2+b2＝25，
∴（a+b）2＝25+2ab＝25﹣24＝1，
∴a+b＝±1，
∵a+b＝k2﹣2，
∴k2﹣2＝1或k2﹣2＝﹣1，
∴k2＝3或k2＝1，
∴k＝±或k＝±1，
∵k是非负数，
∴k＝或k＝1．
19．解：（1）运用了C，两数和的完全平方公式；
故答案为：C；
（2）x2﹣4x+4还可以分解，分解不彻底；
（x2﹣4x+4）2＝（x﹣2）4．
故答案为：（x﹣2）4．
（3）设x2﹣2x＝y．
（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1，
＝y（y+2）+1，
＝y2+2y+1，
＝（y+1）2，
＝（x2﹣2x+1）2，
＝（x﹣1）4．
20．解：（1）令x3+ax+1＝（x+1）（x2+bx+c），
而（x+1）（x2+bx+c）＝x3+（b+1）x2+（c+b）x+c，
∵等式两边x同次幂的系数相等，
即x3+（b+1）x2+（c+b）x+c＝x3+ax+1
∴
解得
∴a的值为0，x3+1＝（x+1）（x2﹣x+1）
（2）（x+1）（x﹣2）＝x2﹣x﹣2
令3x4+ax3+bx﹣34＝（x2﹣x﹣2）（3x2+cx+d），
而（x2﹣x﹣2）（3x2+cx+d）＝3x4+（c﹣3）x3+（d﹣c﹣6）x2﹣（2c+d）x﹣2d，
∵等式两边x同次幂的系数相等，
即3x4+（c﹣3）x3+（d﹣c﹣6）x2﹣（2c+d）x﹣2d＝3x4+ax3+bx﹣34
∴
解得
答：a、b的值分别为8、﹣39．
21．解：（1）由图形面积可得：（2n）2＝4n2；
故答案为（2n）2＝4n2；
（2）①∵（3a+b）（a+2b）＝3a2+7ab+2b2，
∴需要1号考3张，2号卡片2张，3号卡片7张，
故答案为3，2，7；
②图形是一个两边长分别为（2a+b）和（3a+2b）的长方形；
∴6a2+7ab+2b2＝（2a+b）（3a+2b）．