(共40张PPT)
第一章 常用逻辑用语
1．4 全称量词与存在量词
1．4.1 全称量词
1．4.2 存在量词
梳理知识 夯实基础
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任意一个
一切
?
全称量词
?x∈M，p(x)
至少有一个
有些
?
存在量词
?x0∈M，p(x0)
解剖难点 探究提高
重点难点突破
归纳透析 触类旁通
课堂互动探究
即学即练 稳操胜券
课堂基础达标
1．4.1 全称量词 1．4.2 存在量词
课时跟踪检测
一、选择题
1．下列命题中全称命题的个数是( )
①任意一个自然数都是正整数；
②所有的实数的平方都是非负数；
③有的等差数列也是等比数列；
④三角形的内角和是180°.
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：①②④是全称命题，③是特称命题．
答案：D
2．(2019·厦门期末)已知命题p：若a>b，则a2>b2，命题q：?x>0，x＋≥2，则以下为真命题的是( )
A．p∨q B．p∧q
C．p∨(﹁q) D．p∧(﹁q)
解析：命题p为假命题，命题q为真命题，∴p∨q为真命题，故选A.
答案：A
3．下列命题中，是真命题的是( )
A．?x∈R，有ln(x＋1)>0
B．sin2x＋≥3(x≠kπ，k∈Z)
C．函数f(x)＝2x－x2有三个零点
D．a>1，b>1是ab>1的充分不必要条件
解析：当x＝0时，ln(x＋1)＝0，A错误；
当sin x＝－1时，sin2x＋＝－1<3，B错误；
f(x)＝2x－x2有两个零点，C错误；
a>1，b>1?ab>1，反之不成立，∴a>1，b>1是ab>1的充分不必要条件，D正确，故选D.
答案：D
4．(2019·临川月考)已知命题p：?x0∈R，x＋2ax0＋a≤0.若命题p是假命题，则实数a的取值范围是( )
A．a<0或a>1 B．a≤0或a≥1
C．0≤a≤1 D．0
解析：由题可知，Δ＝4a2－4a<0，
即0答案：D
5．已知定义域为R的函数f(x)不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是( )
A．?x∈R，f(－x)≠f(x)
B．?x∈R，f(－x)≠－f(x)
C．?x0∈R，f(－x0)≠f(x0)
D．?x0∈R，f(－x0)≠－f(x0)
解析：若f(x)为偶函数，则有对?x∈R，f(－x)＝f(x)，若f(x)不是偶函数，举出反例即可，即?x0∈R，f(－x0)≠f(x0)，故选C.
答案：C
6．下列命题：①在△ABC中，若A＞B，则sin A＞sin B；②已知＝(3,4)，＝(－2，－1)，则在上的投影为－2；③已知p：?x0∈R，cos x0＝1，q：?x∈R，x2－x＋1＞0，则“p∧(﹁q)”为假命题．其中真命题的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：在△ABC中，由A＞B知，a＞b，由正弦定理可知，sin A＞sin B，故①正确；对于②，在上的投影为＝＝－2，故②不正确；对于③，p为真命题，q为真命题，∴p∧(﹁q)为假命题，故③正确，∴其中真命题的个数为2个．
答案：C
二、填空题
7．若“?x∈，tan x≤m”是真命题，则实数m的最小值是________．
解析：∵x∈，∴tan x∈[0,1]．又∵tan x≤m是真命题，∴m≥1，即m的最小值是1.
答案：1
8．下列命题中的假命题是________．(填序号)
①?α0，β0∈R，使sin(α0＋β0)＝sin α0＋sin β0；
②?φ∈R，函数f(x)＝sin(2x＋φ)都不是偶函数；
③?x0∈R，使x＋ax＋bx0＋c＝0(a，b，c∈R，且为常数)；
④?a>0，函数f(x)＝ln2x＋ln x－a有零点．
解析：取β0＝0，则sin(α0＋β0)＝sin α0＋sin β0＝sin α0.∴①正确；取φ＝，函数f(x)＝sin＝cos 2x是偶函数，∴②不正确；令f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，则当x→－∞时，f(x)→－∞，当x→＋∞时，f(x)→＋∞，又f(x)在R上是连续的，∴?x0∈R，使x＋ax＋bx0＋c＝0，∴③正确；当f(x)＝0时，a＝ln2x＋ln x＝2－≥－，∴?a>0，f(x)＝ln2x＋ln x－a有零点，∴④正确．
答案：②
9．若命题“?x0∈R，使得x＋(1－a)x0＋1<0”是真命题，则实数a的取值范围是________．
解析：由题意可知，Δ＝(1－a)2－4>0，
解得a<－1或a>3.
答案：a<－1或a>3
三、解答题
10．选择合适的量词“?”、“?”，加在p(x)的前面，使其成为一个真命题：
(1)x>π；
(2)|x|≥0；
(3)x是偶数；
(4)若x是无理数，则x2是无理数；
(5)a2＋b2＝c2(这是含有三个变量的语句，用p(a，b，c)表示)．
解：(1)?x0∈R，x0>π.
(2)?x∈R，|x|≥0.
(3)?x0∈Z，x0是偶数．
(4)?x0∈R，若x0是无理数，则x是无理数(如x0＝)．
(5)?a0，b0，c0∈R，有a＋b＝c.
11．指出下列命题中哪些是全称命题，哪些是特称命题，并判断其真假．
(1)若a>0，且a≠1，则对任意实数x，ax>0；
(2)对任意实数x1，x2，若x1(3)?T0∈R，使|sin(x＋T0)|＝|sin x|；
(4)?x0∈R，使x＋1<0.
解：(1)(2)是全称命题，(3)(4)是特称命题．
(1)∵当a>0，且a≠1，?x∈R，ax>0恒成立，
∴命题(1)是真命题．
(2)存在x1＝0，x2＝π，x1∴命题(2)是假命题．
(3)∵y＝|sin x|是周期函数，π是它的一个周期，
∴当T0＝π时，|sin(x＋π)|＝|sin x|成立，故命题(3)是真命题．
(4)∵?x∈R，x2＋1>0，∴命题(4)是假命题．
12．(2019·邵阳月考)已知p：?x∈R，ax2－x＋3>0，q：?x0∈[1,2]a·2x0≥1.
(1)若p为真命题，求a的取值范围；
(2)若p∨q为真命题，且p∧q为假命题，求a的取值范围．
解：(1)当a＝0时，－x＋3>0不恒成立；
当a≠0时，
∴a>，
∴若p为真命题，则a的取值范围是.
(2)若q为真命题，则a≥min，x0∈[1,2]
∴a≥，
∵p∨q为真命题，p∧q为假命题，
∴p与q一真一假，
当p真q假，则∴当p假q真，则无解．
∴a的取值范围为.
13．(2019·宣城月考)已知命题p：对任意x∈R，不等式2x＋|2x－2|>a2－a恒成立；命题q：关于x的方程x2＋2ax＋1＝0有两个不相等的实数根，若“(﹁p)∨q”为真命题，“(﹁p)∧q”为假命题，则实数a的取值范围是________．
解析：令f(x)＝2x＋|2x－2|＝
∴f(x)min＝2.
若命题p为真命题，则a2－a<2，∴－1若命题q为真命题，则Δ＝4a2－4>0，
∴a<－1或a>1.
∵(﹁p)∨q为真命题，(﹁p)∧q为假命题，
则﹁p与q一真一假，
若p假q假，则∴a＝－1；
若p真q真，则∴1故a的取值范围是{a|a＝－1或1＜a＜2}．
答案：{a|a＝－1或1＜a＜2}
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(共42张PPT)
第一章 常用逻辑用语
1．4 全称量词与存在量词
1．4.3 含有一个量词的命题的否定
梳理知识 夯实基础
自主学习导航
解剖难点 探究提高
重点难点突破
归纳透析 触类旁通
课堂互动探究
即学即练 稳操胜券
课堂基础达标
1.4.3 含有一个量词的命题的否定
课时跟踪检测
一、选择题
1．设命题p：?x∈R，x2＋1>0，则﹁p为( )
A．?x0∈R，x＋1>0
B．?x0∈R，x＋1≤0
C．?x0∈R，x＋1<0
D．?x∈R，x2＋1≤0
解析：全称命题的否定是特称命题．
答案：B
2．命题“?n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是( )
A．?n∈N*，f(n)∈N*且f(n)>n
B．?n∈N*，f(n)∈N*或f(n)>n
C．?n0∈N*，f(n0)∈N*且f(n0)>n0
D．?n0∈N*，f(n0)?N*或f(n0)>n0
解析：全称命题的否定是特称命题，“且”的否定是“或”，故选D.
答案：D
3．命题“?x>0，x－1－ln x≥0”的否定是( )
A．?x>0，x－1－ln x<0
B．?x0≤0，x0－1－ln x0≥0
C．?x0>0，x0－1－ln x0<0
D．?x0≤0，x0－1－ln x0<0
答案：C
4．(2019·鄱阳一中检测)下列有关命题的说法正确的是( )
A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”
B．“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件
C．命题“?x0∈R，使得x＋x0－1<0”的否定是“?x∈R，均有x2＋x－1>0”
D．命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为真命题
解析：命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，A错；由x2－5x－6＝0，得x＝－1或x＝6，故“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的充分不必要条件，B错；命题“?x0∈R，使得x＋x0－1<0”的否定为“?x∈R，使得x2＋x－1≥0”，C错；“若x＝y，则sin x＝sin y”是真命题，则其逆否命题也为真，D正确，故选D.
答案：D
5．下列命题是全称命题，并且是真命题的是( )
A．无论m取何正数，方程x2＋x＋m＝0必无实根
B．存在实数大于等于3
C．对任意x∈R，有x2－4x＋5≥0
D．有的三角形没有外接圆
解析：C为全称命题，且x2－4x＋5＝(x－2)2＋1≥0，故选C.
答案：C
6．已知命题p“对?x∈R，?m0∈R，使4x＋m02x＋1＝0”．若命题﹁p是假命题，则实数m0的取值范围是( )
A．[－2,2] B．[2，＋∞)
C．(－∞，－2] D．[－2，＋∞)
解析：∵﹁p是假命题，∴p是真命题，即求原命题为真时m0的取值范围．
由4x＋m02x＋1＝0，得－m0＝＝2x＋≥2.
∴m0≤－2.故选C.
答案：C
二、填空题
7．命题“偶函数的图象关于y轴对称”的否定是________．
答案：有些偶函数的图象不关于y轴对称
8．(2019·焦作月考)已知命题p：?x0∈R，使tan x0＝1；命题q：x2－3x＋2<0的解集是{x|1①命题“p且q”是真命题；②命题“p且﹁q”是假命题；③命题“﹁p或q”是真命题；④命题“﹁p或﹁q”是假命题．其中正确结论的序号为________．
解析：∵p，q均为真命题，∴①②③④均为真命题．
答案：①②③④
9．已知下列命题，其中是真命题的是________．
①命题“?x0∈R，x＋1>3x0”的否定是“?x∈R，x2＋1<3x”
②已知p，q为两个命题，若“p∨q”为假命题，则“(﹁p)∧(﹁q)”为真命题
③“a>2”是“a>5”的充分不必要条件
④“若xy＝0，则x＝0且y＝0”的逆否命题为真命题
解析：命题“?x0∈R，x＋1>3x0”的否定是“?x∈R，x2＋1≤3x”，①错误；若p∨q为假命题，则p，q均为假命题，∴(﹁p)∧(﹁q)为真命题，②正确；“a>2”是“a>5”的必要不充分条件，③错误；若xy＝0，则x＝0且y＝0，是假命题，故逆否命题为假命题，④错误．
答案：②
三、解答题
10．判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：
(1)存在一个三棱锥，它的每个侧面都是直角三角形；
(2)?a∈R，函数f(x)＝ax2＋3的值域是[3，＋∞)；
(3)?x0∈R，sin2＋cos2＝；
(4)不论m取何值，方程x2＋x－m＝0必有实数根．
解：(1)是真命题．命题的否定：所有三棱锥的侧面不都是直角三角形．
(2)假命题．命题的否定：?a0∈R，函数f(x)＝a0x2＋3的值域不是[3，＋∞)．
(3)假命题．命题的否定：?x∈R，sin2＋cos2≠.
(4)假命题．命题的否定：存在实数m0，使得方程x2＋x－m0＝0没有实数根．
11．若命题：“对任意实数x,2x>m(x2＋1)”是真命题，求实数m的取值范围．
解：由题意知，不等式2x>m(x2＋1)恒成立，即不等式mx2－2x＋m<0恒成立．
①当m＝0时，不等式可化为－2x<0，显然不恒成立，不合题意．
②当m≠0时，要使不等式mx2－2x＋m<0恒成立，则解得m<－1.
综上可知，所求实数m的取值范围是(－∞，－1)．
12．(2019·沙市月考)已知函数f(x)＝x＋，g(x)＝2x＋a，若?x1∈，?x2∈[2,3]f(x1)≥g(x2)恒成立，求实数a的取值范围．
解：由题可知，f(x)min≥g(x)max，
∵f(x)在上为减函数，
∴f(x)min＝f(1)＝5，
∵g(x)在[2,3]上为增函数，
∴g(x)max＝g(3)＝8＋a，
∴8＋a≤5，
∴a≤－3，
故实数a的取值范围为(－∞，－3]．
13．(2019·全国卷Ⅲ)记不等式组表示的平面区域为D.命题p：?(x0，y0)∈D,2x0＋y0≥9；命题q：?(x，y)∈D,2x＋y≤12.下面给出了四个命题：
①p∨q ②(﹁p)∨q ③p∧(﹁q) ④(﹁p)∧(﹁q)
这四个命题中，所有真命题的编号是( )
A．①③ B．①②
C．②③ D．③④
解析：可取(6,1)∈D，
∵6×2＋1＝13>9，∴命题p为真命题，
∵2×6＋1＝13>12，∴命题q为假命题，
∴p∨q为真命题，p∧(﹁q)为真命题，故选A.
答案：A
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