2.1 空间中直线与平面的位置关系 同步练习（含解析）

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空间中直线与平面的位置关系
班级：____________ 姓名：__________________
1．已知，是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则下列命题中错误的是（ ）
A．若，，则或
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，则
2．表示直线，表示平面，给出下列四个命题：①若则；②若，则；③若，则；④若，则.其中正确命题的个数有（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．已知直三棱柱的所有棱长都相等，为的中点，则与所成角的余弦值为
A． B． C． D．
4．已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成的角的正弦值为（ ）．
A． B． C． D．
5．如图所示，在正方体中，，分别是，的中点，则直线与所成角的余弦值是
A． B．
C． D．
6．在我国古代数学名著 九章算术 中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑中， 平面，且，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）

A． B． C． D．

(多选题)7．如图所示，在正方体中，，分别为棱，
的中点，其中正确的结论为（ ）
A．直线与是相交直线；B．直线与是平行直线；
C．直线与是异面直线：D．直线与所成的角为.
8．如图，在三棱柱中，底面，，，是的中点，则直线与所成角的余弦值为__________．
9．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论
①AB⊥EF；
②AB与CM所成的角为60°；
③EF与MN是异面直线；
④MN∥CD．

以上四个命题中，正确命题的序号是 _________
10．如图，已知三棱锥，，
，，、分别是
棱、的中点，则直线与所成的角的余弦值为__________．
11．在平面四边形中，已知，，．
（1）若，求的面积；
（2）若，，求的长．





12．已知数列的前n项和为，.
（1）证明：数列是等比数列；
（2）求数列的前n项和.



























参考答案
1．D
选项A：若，，根据线面平行和面面平行的性质，有或，故A正确；
选项B：若，，，由线面平行的判定定理，有，故B正确；
选项C：若，，，故，所成的二面角为，则，故C正确；
选项D，若，，有可能，故D不正确.
故选：D
2．B
试题分析：若则平行或相交或异面，故①错；若，则或，故②错；若，则平行或相交或异面，故③错；若，则，是直线与平面垂直的性质定理，故④正确．故选B．
考点：点线面的位置关系．
3．D
由题意，取的中点，连接，则,
所以异面直线与所成角就是直线与所成角，
设正三棱柱的各棱长为,则，
设直线与所成角为，
在中，由余弦定理可得，
即异面直线与所成角的余弦值为，故选D．

4．C
根据题意画出图形:

设M,N,P分别为和的中点，
则的夹角为MN和NP夹角或其补角
可知，.
作BC中点Q，则为直角三角形；
中，由余弦定理得

，在中，
在中，由余弦定理得

所以
故选：C
5．C
如图，取AD的中点G，连接EG，GF，∠GEF为直线AD1与EF所成的角
设棱长为2，则EG=，GF=1，EF=cos∠GEF=，
故选C．
6．A
【解析】
如图，分别取的中点，连，
则，
∴即为异面直线和所成的角（或其补角）．
又由题意得，.
设，则.
又,
∴为等边三角形，
∴，
∴异面直线AC与BD所成角为，其余弦值为．选A．
7．CD
结合图形，显然直线与是异面直线，直线与是异面直线，直线与是异面直线，直线与所成的角即直线与所成的角,在等边中，所以直线与所成的角为,
综上正确的结论为C D.
8．
详解：记中点为E，并连接，
是的中点，则，直线与所成角即为与所成角，
设，，.
故答案为.
9．①③
把正方体的平面展开图还原成原来的正方体，如图：

则，与异面，，
只有①③正确.
故答案为：①③.
10．
【解析】
分析：首先将图画出，取相应边的中点，利用三角形的中位线得到相应的平行关系，利用异面直线所成角的定义，确定其平面角，之后利用余弦定理求得其余弦值.
详解：，，，
可以求得，
取AB中点F，OC中点G,连结，
则是和以及的中位线，
以，即就是直线与所成的角，
且有,，
根据题意可得，从而求得，
根据余弦定理可得，
即答案是.

11．（1）；（2）.
（1）在中，
即 ,解得.
所以.
（2）因为,所以 ，,
.
在中，, .

所以.
12．（1）见解析（2）
证明：由题知,，
所以，
所以数列是公比为2的等比数列.
（2）由，令，
可得，即，
令，则，
由知数列是以为首项，为公比的等比数列,
由等比数列通项公式可得,，
即,解得，
设的前n项和为，由分组求和可得,
.






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