微复习：线段和最小
两线段的和最小是中考常考知识点之一，学生是在学习轴对称时建模构造出来的，也被称为“将军饮马或“两定点一定直线”问题，在解决这类问题时，常用到一些数学思想在里面，因此在中考复习时被重点重视。在历年的考试中虽不断被创新，但其解题的实质并没有改变即找一定点关于定直线的对称点，连接对称点与另一定点的线段就是最短距离（两线段和最小），通过作垂线构造直角三三角形，利用勾股定理就可求出线段的长；连接线段与定直线的交点就是动点所在的位置。
基础题型：1、如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（ ）.
?
解决此题应运用到的知识点：转化思想：把立体图形转化为平面图形；对称点的求法：找A 或B关于定直线的对称点；直角三角形的性质：勾股定理的应用。
题型：等腰三角形中的线段和最小题
2、（2018 泸州）如图，等腰△ABC的底边BC=20，面积为120，点F在边BC上，且BF=3FC，EG是腰AC的垂直平分线，若点D在EG上运动，则△CDF周长的最小值为 ．
题型：等边三角形中的线段和最小
3、（2017 随州 ）如图，∠AOB的边OB与x轴正半轴重合，点P是OA上的一动点，点N（3，0）是OB上的一定点，点M是ON的中点，∠AOB=30°，要使PM+PN最小，则点P的坐标为______．
题型：直角三角形中的线段和最小
4、（2019 聊城）如图，在Rt△ABO中，∠OBA＝90°，A（4，4），点C在边AB上，且＝，点D为OB的中点，点P为边OA上的动点，当点P在OA上移动时，使四边形PDBC周长最小的点P的坐标为（ ）
题型：菱形中的线段和最小
5、（2017 东营 ）如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积为8，E为AB的中点，若P为对角线BD上一动点，则EP+AP的最小值为 ．
题型：矩形中的线段和最小
6、如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，动点P满足,则点P到A，B两点距离之和PA＋PB的最小值为【 】
A．； B．； C．； D．
题型：正方形中的线段和最小
7、如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上的一点，BE=1，F为AB上的一点，AF=2，P为AC上一个动点，则PF+PE的最小值为 ．
题型：圆中的线段和最小
8、如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB=8cm，==，M是AB上一动点，CM+DM的最小值是 cm．
题型：平面坐标系中的线段和最小
9、如图，直线与x轴，y轴分别交于点 A和点B，点C，点D分别为线段AB，OB的中点，点P为OA上一动点，当PC+PD最小时,点P的坐标为（ ）
[来源:Z#xx#k.Com A．（﹣3，0） B．（﹣6，0） C．（，0） D．（，0）
中考在线：
10、（2018 天津）如图，在正方形 中， ， 分别为 ， 的中点， 为对角线 上的一个动点，则下列线段的长等于 最小值的是（? ）
A.???????????????????????B.????????????????C.???????????????D.?
11、如图，MN为⊙O的直径，A、B是⊙O上的两点，过A作AC⊥MN于点C，过B作BD⊥MN于点D，P为DC上的任意一点，若MN＝20，AC＝8，BD＝6，则PA＋PB的最小值是________
12、如图，AB是⊙O的直径，C是半圆上的一个三等分点，D是的中点，P是直径AB上一点，⊙O是半径为1，则PC+PD的最小值是_______．
13、菱形ABCD的边长为2，,E是AD边中点，点P是对角线BD上的动点，当AP+PE的值最小时，PC的长是__________．
14、（2017 泰安 ） 如图， ，为上一点， ，点是上的一动点， ，垂足为点，则的最小值为 ．
15、如图，已知正方形ABCD边长为3，点E在AB边上且BE=1，点P，Q分别是边BC，CD的动点（均不与顶点重合），当四边形AEPQ的周长取最小值时，四边形AEPQ的面积是 ．
16、（2019达州市）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+m+1（m为常数）交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，顶点为B．
①抛物线y＝﹣x2+2x+m+1与直线y＝m+2有且只有一个交点；
②若点M（﹣2，y1）、点N（，y2）、点P（2，y3）在该函数图象上，则y1＜y2＜y3；
③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为
y＝﹣（x+1）2+m；
④点A关于直线x＝1的对称点为C，点D、E分别在x轴和y轴上，当m＝1时，四边形BCDE周长的最小值为+．其中正确判断的序号是 ．
17、（2019 潍坊市）如图，直线y＝x+1与抛物线y＝x2﹣4x+5交于A，B两点，点P是y轴上的一个动点，当△PAB的周长最小时，△PAB的面积＝ ．
18、如图，直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B．抛物线y=a（x﹣2）2+k经过A、B，并与x轴交于另一点C，其顶点为P，
（1）求a，k的值；
（2）抛物线的对称轴上是否存在一点M，使△ABM的周长最小？若存在，求△ABM的周长；若不存在，请说明理由；
参考答案：
1、13cm 2、18 3、 4、 5、2 6、D
7、 8、8 9、C 10、D 11、 12、
14、 15、 16、①③④ 17、
18、解答： 解：（1）在y=﹣3x+3中，令y=0，可求得x=1，令x=0，
可求得y=3，∴A（1，0），B（0，3），
分别代入y=a（x﹣2）2+k，可得，解得，即a为1，k为﹣1；
（2）由条件可知对称轴方程为x=2，连接BC交对称轴于点M，连接MA，如图3，
∵A、C两点关于对称轴对称，
∴AM=MC，
∴BM+AM最小，
∴△ABM周长最小，
∵B（0，3），C（3，0），
∴可设直线BC解析式为y=mx+3，
把C点坐标代入可求得m=﹣1，
∴直线BC解析式为y=﹣x+3，
当x=2时，可得y=1，
∴M（2，1）；
∴存在满足条件的M点，
此时BC=3，且AB=，
∴△ABM的周长的最小值为3+；
微复习：线段和最小
两线段的和最小是中考常考知识点之一，学生是在学习轴对称时建模构造出
来的，也被称为“将军饮马或“两定点一定直线”问题，在解决这类问题时，常
用到一些数学思想在里面，因此在中考复习时被重点重视。在历年的考试中虽不
断被创新，但其解题的实质并没有改变即找一定点关于定直线的对称点，连接对
称点与另一定点的线段就是最短距离（两线段和最小），通过作垂线构造直角三
三角形，利用勾股定理就可求出线段的长；连接线段与定直线的交点就是动点所
在的位置。
基础题型：1、如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为 12cm，
底面周长为 10cm，在容器内壁离容器底部 3cm 的点 B处有一饭粒，此时一只蚂
蚁正好在容器外壁，且离容器上沿 3cm的点 A 处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最
短路径是（ ）.
解决此题应运用到的知识点：转化思想：把立体图形转化为平面图形；对称
点的求法：找 A 或 B 关于定直线的对称点；直角三角形的性质：勾股定理的应
用。
题型：等腰三角形中的线段和最小题
2、（2018 泸州）如图，等腰△ABC 的底边 BC=20，面积为 120，点 F 在边 BC 上，
且 BF=3FC，EG 是腰 AC的垂直平分线，若点 D在 EG 上运动，则△CDF 周长的最
小值为 ．
题型：等边三角形中的线段和最小
3、（2017 随州 ）如图，∠AOB 的边 OB 与 x 轴正半轴重合，点 P 是 OA 上的一动点，点
N（3，0）是 OB 上的一定点，点 M 是 ON 的中点，∠AOB=30°，要使 PM+PN 最小，则点
P 的坐标为______．
题型：直角三角形中的线段和最小
4、（2019 聊城）如图，在 Rt△ABO中，∠OBA＝90°，A（4，4），点 C在边 AB上，且
＝ ，点 D为 OB的中点，点 P为边 OA上的动点，当点 P在 OA上移动时，使四边
形 PDBC周长最小的点 P的坐标为（ ）
题型：菱形中的线段和最小
5、（2017 东营 ）如图，已知菱形 ABCD 的周长为 16，面积为 8 ，E 为 AB 的中
点，若 P为对角线 BD 上一动点，则 EP+AP的最小值为 ．
题型：矩形中的线段和最小
6、如图，在矩形 ABCD 中，AB＝5，AD＝3，动点 P 满足
1
3PAB ABCD
S S?V 矩形 ,则点 P 到 A，B
两点距离之和 PA＋PB 的最小值为【 】
A． 29 ； B． 34； C．5 2； D． 41
题型：正方形中的线段和最小
7、如图，正方形 ABCD 的边长为 4，E 为 BC 上的一点，BE=1，F 为 AB 上的一点，AF=2，P
为 AC 上一个动点，则 PF+PE 的最小值为 ．
题型：圆中的线段和最小
8、如图，在⊙O 中，AB 是⊙O 的直径，AB=8cm， = = ，M 是 AB 上一动点，CM+DM
的最小值是 cm．
题型：平面坐标系中的线段和最小
9、如图，直线
2 4
3
y x? ? 与 x 轴，y 轴分别交于点 A 和点 B，点 C，点 D 分别为线段 AB，
OB 的中点，点 P 为 OA 上一动点，当 PC+PD 最小时,点 P 的坐标为（ ）
[来源:Z#xx#k.Com A．（﹣3，0） B．（﹣6，0） C．（
3
2
? ，0） D．（
5
2
? ，0）
A
B C
D
E
F
P
中考在线：
10、（2018 天津）如图，在正方形 中， ， 分别为 ， 的中点， 为
对角线 上的一个动点，则下列线段的长等于 最小值的是（ ）
A. B. C. D.
11、如图，MN 为⊙O 的直径，A、B 是⊙O 上的两点，过 A 作 AC⊥MN 于点 C，过 B 作 BD
⊥MN 于点 D，P 为 DC 上的任意一点，若 MN＝20，AC＝8，BD＝6，则 PA＋PB 的最小值是
________
12、如图，AB 是⊙O的直径，C是半圆上的一个三等分点，D是 CA ? 的中点，P 是
直径 AB 上一点，⊙O是半径为 1，则 PC+PD 的最小值是_______．
13、菱形 ABCD 的边长为 2， 60ABC? ? ? ,E 是 AD 边中点，点 P是对角线 BD 上的动
点，当 AP+PE 的值最小时，PC 的长是__________．
14、（2017 泰安 ） 如图， 30BCA? ? ?，M 为 AC上一点， 2AM ? ，点 P是 AB
上的一动点， PQ AC? ，垂足为点Q，则 PM PQ? 的最小值为 ．
15、如图，已知正方形 ABCD 边长为 3，点 E在 AB 边上且 BE=1，点 P，Q分别是
边 BC，CD 的动点（均不与顶点重合），当四边形 AEPQ 的周长取最小值时，四边
形 AEPQ 的面积是 ．
16、（2019达州市）如图，抛物线 y＝﹣x2+2x+m+1（m为常数）交 y轴于点 A，与 x轴的
一个交点在 2和 3之间，顶点为 B．
①抛物线 y＝﹣x2+2x+m+1与直线 y＝m+2有且只有一个交点；
②若点 M（﹣2，y1）、点 N（ ，y2）、点 P（2，y3）在该函数图象上，则 y1＜y2＜y3；
③将该抛物线向左平移 2个单位，再向下平移 2个单位，所得抛物线解析式为
y＝﹣（x+1）2+m；
④点 A关于直线 x＝1的对称点为 C，点 D、E分别在 x轴和 y轴上，当 m＝1 时，四边
形 BCDE周长的最小值为 + ．其中正确判断的序号是 ．
17、（2019 潍坊市）如图，直线 y＝x+1 与抛物线 y＝x2﹣4x+5 交于 A，B 两点，点 P 是 y
轴上的一个动点，当△PAB 的周长最小时，△PAB 的面积＝ ．
18、如图，直线 y=﹣3x+3 与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B．抛物线 y=a（x﹣2）2+k 经过 A、B，
并与 x 轴交于另一点 C，其顶点为 P，
（1）求 a，k 的值；
（2）抛物线的对称轴上是否存在一点 M，使△ABM 的周长最小？若存在，求△ABM 的周
长；若不存在，请说明理由；
参考答案：
1、13cm 2、18 3、
2
3
4、 ?
?
?
?
?
?
3
8
3
8
，
5、2 6、D
7、 8、8 9、C 10、D 11、 214 12、 2
13、
2 3
3 14、
3 15、 2
9
16、①③④ 17、 5
12
18、解答： 解：（1）在 y=﹣3 x+3 中，令 y=0，可求得 x=1，令 x=0，
可求得 y=3，∴A（1，0），B（0，3），
分别代入 y=a（x﹣2）2+k，可得 ，解得 ，即 a为 1，k为﹣1；
（2）由条件可知对称轴方程为 x=2，连接 BC 交对称轴于点 M，连接 MA，如图 3，
∵A、C 两点关于对称轴对称，
∴AM=MC，
∴BM+AM 最小，
∴△ABM 周长最小，
∵B（0，3），C（3，0），
∴可设直线 BC 解析式为 y=mx+3，
把 C 点坐标代入可求得 m=﹣1，
∴直线 BC 解析式为 y=﹣x+3，
当 x=2 时，可得 y=1，
∴M（2，1）；
∴存在满足条件的 M 点，
此时 BC=3 ，且 AB= ，
∴△ABM 的周长的最小值为 3 + ；
