2020年北师大版九年级下学期数学第三章《圆》单元测试卷（解析版）
文档属性
| 名称 | 2020年北师大版九年级下学期数学第三章《圆》单元测试卷（解析版） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 517.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-04-28 20:35:30 | ||
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文档简介
《圆》
题号 一 二 三 总分
得分
第Ⅰ卷（选择题）
一．选择题
1．如图，P为⊙O外一点，PC切⊙O于C，PB与⊙O交于A、B两点．若PA＝1，PB＝5，则PC＝（ ）
A．3 B． C．4 D．无法确定
2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交，连接CO，过点D作⊙O的切线，与AB的延长线交于点E，若DE∥AC，∠BAC＝40°，则∠OCD的度数为（ ）
A．65° B．30° C．25° D．20°
3．三个正方形方格在扇形中的位置如图所示，点O为扇形的圆心，格点A，B，C分别在扇形的两条半径和弧上，已知每个方格的边长为1，则扇形EOF的面积为（ ）
A．π B．π C．π D．π
4．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，∠A＝30°，CD＝4，则⊙O的直径的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
5．如图，△ABC，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝60°，过点A作BC的平行线1，P为直线l上一动点，⊙O为△APC的外接圆，直线BP交⊙O于E点，则AE的最小值为（ ）
A． B．7﹣4 C． D．1
6．如图，PA、PB为⊙O的切线，直线MN切⊙O且MN⊥PA．若PM＝5，PN＝4，则OM的长为（ ）
A．2 B． C． D．
7．如图所示，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且OC⊥AB，过点C的弦CD与线段OB相交于点E，满足∠AEC＝65°，连接AD，则∠BAD等于（ ）
A．20° B．25° C．30° D．32.5°
8．如图，点A，B，C，D在⊙O上，AC是⊙O的直径，∠BAC＝40°，则∠D的度数是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．90°
9．如图，AB是半圆O的直径，C、D是上的两点，＝，点E为上一点，且∠CED＝∠COD，则∠DOB＝（ ）
A．92° B．96° C．100° D．120°
10．如图，⊙O的半径为2，点A为⊙O上一点，半径OD⊥弦BC于D，如果∠BAC＝60°，那么OD的长是（ ）
A．2 B． C． D．1
11．如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC＝30°，半径为2cm的⊙P的圆心在射线OA上，且与点O的距离为6cm，如果P以1cm/s的速度沿直线AB由A向B的方向移动，那么⊙P与直线CD相切时⊙P运动的时间是（ ）
A．3秒或10秒 B．3秒或8秒 C．2秒或8秒 D．2秒或10秒
12．如图是一个可以自由转动的转盘，转盘分成黑、白两种颜色指针的位置固定，转动的转盘停止后，指针恰好指向白色扇形的穊率为（指针指向OA时，当作指向黑色扇形；指针指OB时，当作指向白色扇形），则黑色扇形的圆心角∠AOB＝（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
13．《九章算术》总共收集了246个数学问题，这些算法要比欧洲同类算法早1500多年，对中国及世界数学发展产生过重要影响．在《九章算术》中有很多名题，下面就是其中的一道．原文：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”翻译：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E．CE＝1寸，AB＝10寸，则可得直径CD的长为（ ）
A．13寸 B．26寸 C．18寸 D．24寸
14．如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，C为的三等分点（更靠近A点），点P是⊙O上个动点，取弦AP的中点D，则线段CD的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．
15．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，O为矩形ABCD的中心，以D为圆心，1为半径作⊙D，P为⊙D上的一个动点，连接AP、PO和OA，则△AOP面积的最大值为（ ）
A．4 B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题）
二．填空题
16．如图，AB是半圆的直径，O是圆心，C是半圆外一点，CA，CB分别交半圆于点D，E，若△CDE的面积与四边形ABED的面积相等，则∠C等于 ．
17．如图，BC为半圆O的直径，EF⊥BC于点F，且BF：FC＝5：1，若AB＝8，AE＝2，则AD的长为 ．
18．如图，点P（3，4）在以原点为圆心，5为半径的⊙O上，点E，F为y轴上的两点，△PEF是以P为顶角顶点的等腰三角形，直线PE，PF交⊙O于D，C两点，直线CD交y轴于点A，则sin∠DAE＝ ．
19．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2，AB＝5，∠A＝30°，以点A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连结CE，则阴影部分的面积是 （结果保留π）
20．如图，已知：A，B，C是直线l上的三点，且AB＝BC＝6，⊙O与直线l相切于点A，又分别过点B，C作⊙O异于直线l的切线，两切线交于点P，则PB+PC＝ ．
三．解答题
21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，以CD为直径的⊙O分别交AC、BC于点E，F两点，过点F作FG⊥AB于点G．
（1）试判断FG与⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）若AC＝3，BF＝2，求AB的长．
22．如图，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BM，点C为BM上一点，连接AC与⊙O交于点D，E为⊙O上一点，且满足∠EAC＝∠ACB，连接BD，BE．
（1）求证：∠ABE＝2∠CBD；
（2）过点D作AB的垂线，垂足为F，若AE＝6，BF＝，求⊙O的半径长．
23．如图，AB是⊙O的直径，C是AB延长线上一点，CD与⊙O相切于点E，AD⊥CD，∠ABE＝60°，
（1）求∠C的度数；
（2）求证：EC＝2DE；
（3）若AB＝6，求出图中阴影部分的面积．
24．如图，⊙O为△ABC的外接圆，D为OC与AB的交点，E为线段OC延长线上一点，且∠EAC＝∠ABC．
（1）求证：直线AE是⊙O的切线．
（2）若D为AB的中点，CD＝6，AB＝16
①求⊙O的半径；
②求△ABC的内心到点O的距离．
25．已知，如图1，AB为⊙O直径，△ACD内接于⊙O，∠D+∠ACE＝90°，点E在线段AD上，连接CE．
（1）若CE⊥AD，求证：CA＝CD；
（2）如图2，连接BD，若AE＝DE，求证：BD平行CE；
（3）如图，在（2）的条件下，过点C作AB的垂线交AB于点K，交AD于点L，4AK＝9BK，若OL＝，求BD的值．
参考答案
一．选择题
1．解：∵PA＝1，PB＝5，
∴AB＝PB﹣PA＝4，
∴OC＝OA＝OB＝2，
∴PO＝1+2＝3，
∵PC切⊙O于C，
∴∠PCO＝90°，
在Rt△PCO中，由勾股定理得：PC＝＝＝，
故选：B．
2．解：连接OD，如图，
∵DE∥AC，
∴∠E＝∠BAC＝40°，
∵DE为切线，
∴OD⊥DE，
∴∠DOE＝90°﹣40°＝50°，
∵∠BOC＝2∠A＝80°．
∴∠COD＝80°+50°＝130°，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC＝（180°﹣130°）＝25°．
故选：C．
3．解：连接OC，
由勾股定理得：OC＝＝，
由正方形的性质得：∠EOB＝45°，
所以扇形EOF的面积为：＝π，
故选：A．
4．解：连接BC，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，
∴∠ACB＝90°，CH＝DH＝CD＝2，
∵∠A＝30°，
∴AC＝2CH＝4，
在Rt△ABC中，∠A＝30°，
∴AC＝BC＝4，AB＝2BC，
∴BC＝4，AB＝8，
故选：D．
5．解：如图，连接CE．
∵AP∥BC，
∴∠PAC＝∠ACB＝60°，
∴∠CEP＝∠CAP＝60°，
∴∠BEC＝120°，
∴点E在以O'为圆心，O'B为半径的上运动，
连接OA交于E′，此时AE′的值最小．此时⊙O与⊙O'交点为E'．
∵∠BE'C＝120°
∴所对圆周角为60°，
∴BOC＝2×60°＝120°，
∵△BOC是等腰三角形，BC＝4，
OB＝OC＝4，
∵∠ACB＝60°，∠BCO'＝30°，
∴∠ACO；＝90°
∴O'A＝＝5，
∴AE′＝O'A﹣O'E′＝5﹣4＝1．
故选：D．
6．解：∵PA、PB为⊙O的切线，直线MN切⊙O于C，
∴MB＝MC，PA＝PB，
连接OC，OA，
则四边形AOCN是正方形，
设NC＝OC＝OA＝AN＝r，
∵MN⊥PA，PM＝5，PN＝4，
∴MN＝3，
∴CM＝BM＝3﹣r，
∴5+3﹣r＝4+r，
解得：r＝2，
∴OC＝2，CM＝1，
∴OM＝＝，
故选：D．
7．解：连接OD，
∵OC⊥AB，
∴∠COB＝90°，
∵∠AEC＝65°，
∴∠OCE＝180°﹣90°﹣65°＝25°，
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD＝25°，
∴∠DOC＝180°﹣25°﹣25°＝130°，
∴∠DOB＝∠DOC﹣∠BOC＝130°﹣90°＝40°，
∴由圆周角定理得：∠BAD＝∠DOB＝20°，
故选：A．
8．解：∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∴∠C＝90°﹣40°＝50°，
由圆周角定理得，∠D＝∠C＝50°，
故选：B．
9．解：设∠COD＝x，则∠CED＝x，
∴，
解得：x＝60°，
∴∠COD＝60°，
∴∠BOD+∠AOC＝180°﹣60°＝120°，
∵＝，
∴∠BOD＝4∠AOC，
∴∠BOD＝120°×＝96°，
故选：B．
10．解：∵∠BAC＝60°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝120°，
∵OD⊥弦BC，OB＝OC，
∴∠ODC＝90°，∠COD＝∠BOD＝60°，
∴∠OCD＝30°，
∴OD＝OC＝1，
故选：D．
11．解：作PH⊥CD于H，
在Rt△OPH中，∠AOC＝30°，
∴OP＝2PH，
当点P在OA上，⊙P与直线CD相切时，OP＝2PH＝4cm，
∴点P运动的距离为6﹣4＝2，
∴⊙P运动的时间是2秒，
当点P在AO的延长线上，⊙P与直线CD相切时，OP＝2PH＝4cm，
∴点P运动的距离为6+4＝10，
∴⊙P运动的时间是10秒，
故选：D．
12．解：∵指针恰好指向白色扇形的穊率为，
∴黑、白两种颜色的扇形的面积比为1：7，
∴∠AOB＝×360°＝45°，
故选：B．
13．解：连接OA，AB⊥CD，
由垂径定理知，点E是AB的中点，AE＝AB＝5，OE＝OC﹣CE＝OA﹣CE，
设半径为r，由勾股定理得，OA2＝AE2+OE2＝AE2+（OA﹣CE）2，
即r2＝52+（r﹣1）2，
解得：r＝13，
所以CD＝2r＝26，
即圆的直径为26寸．
故选：B．
14．解：如图，连接OD，OC，
∵AD＝DP，
∴OD⊥PA，
∴∠ADO＝90°，
∴点D的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，AC，
当点D在CK的延长线上时，CD的值最大，
∵C为的三等分点，
∴∠AOC＝60°，
∴△AOC是等边三角形，
∴CK⊥OA，
在Rt△OCK中，∵∠COA＝60°，OC＝2，OK＝1，
∴CK＝＝，
∵DK＝OA＝1，
∴CD＝+1，
∴CD的最大值为+1，
故选：D．
15．解：当P点移动到过点P的直线平行于OA且与⊙D相切时，△AOP面积的最大，如图，
∵过P的直线是⊙D的切线，
∴DP垂直于切线，
延长PD交AC于M，则DM⊥AC，
∵在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，
∴AC＝＝5，
∴OA＝，
∵∠AMD＝∠ADC＝90°，∠DAM＝∠CAD，
∴△ADM∽△ACD，
∴＝，
∵AD＝4，CD＝3，AC＝5，
∴DM＝，
∴PM＝PD+DM＝1+＝，
∴△AOP的最大面积＝OA?PM＝＝，
故选：D．
二．填空题（共5小题）
16．解：连接BD．如图：
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ADB＝90°．
∴∠CDB＝90°，
∵△CDE的面积与四边形ABED的面积相等，
∴△ABC的面积是△CDE的面积的2倍．
∵∠CED＝∠CAB，∠C＝∠C，
∴△CDE∽△CBA．
∴S△CDE：S△CBA＝CD2：CB2＝1：2．
∴CD：CB＝：2．
∵cosC＝＝，
∴∠C＝45°．
故答案为：45°．
17．解：连接BE．
∵BC是直径．
∴∠AEB＝∠BEC＝90°
在直角△ABE中，根据勾股定理可得：BE2＝AB2﹣AE2＝82﹣22＝60．
∵＝5
∴设FC＝x，则BF＝5x，BC＝6x．
又∵BE2＝BF?BC
即：30x2＝60
解得：x＝，
∴EC2＝FC?BC＝6x2＝12
∴EC＝2，
∴AC＝AE+EC＝2+2，
∵AD?AB＝AE?AC
∴AD＝＝＝．
故答案为．
18．解：过P点作x轴平行线，交圆弧于G，交OA连接OG．
由题意：G点坐标为（﹣3，4），PG⊥EF，
∵△PEF是以P为顶角的等腰三角形，
∴PG就是角EPC的平分线，
∴＝
∴OG⊥CD，
∴∠DAO+∠GOA＝90°．
而∠PGO+∠GOA＝90°．
∴∠DAO＝∠PGO，
在Rt△OGH中，∵GH＝3，OH＝4，
∴OG＝＝＝5，
∴sin∠DAE＝sin∠OGH＝＝，
故答案为．
19．解：过D点作DF⊥AB于点F．
∵AD＝2，AB＝5，∠A＝30°，
∴DF＝AD?sin30°＝1，EB＝AB﹣AE＝5﹣2＝3，
∴阴影部分的面积：5×1﹣﹣×1×3＝﹣，
故答案为：﹣．
20．解：∵AB，PB是⊙O的切线，
∴AB＝PB＝6，
∵AC，PC是⊙O的切线，
∴PC＝AC＝AB+BC＝6+6＝12，
∴PB+PC＝6+12＝18．
故答案为：18．
三．解答题（共5小题）
21．解：（1）结论：FG与⊙O相切，
理由：如图，连接OF，
∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，
∴CD＝BD，
∴∠DBC＝∠DCB，
∵OF＝OC，
∴∠OFC＝∠OCF，
∴∠OFC＝∠DBC，
∴OF∥DB，
∴∠OFG+∠DGF＝180°，
∵FG⊥AB，
∴∠DGF＝90°，
∴∠OFG＝90°，
∴FG与⊙O相切．
（2）连接DF，
∵CD为⊙O的直径，
∴∠DFC＝90°，
∴FD⊥BC，
∵DB＝DC，
∴BF＝CF＝2
∴BC＝2BF＝4，
∵∠ACB＝90°，
∴AB＝＝＝5．
22．解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，即∠DAB+∠DBA＝90°，
∵BM是⊙O的切线，
∴AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，即∠CBD+∠DBA＝90°，
∴∠DAB＝∠CBD，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ACB＝90°﹣∠BAC，
∵∠EAC＝∠ACB，
∴∠EAC＝90°﹣∠BAC
＝90°﹣（∠EAC﹣∠BAE），
∴∠BAE＝2∠EAC﹣90°，
∵AB是直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠ABE＝90°﹣∠BAE
＝90°﹣（2∠EAC﹣90°）
＝2（90°﹣∠EAC）
＝2（90°﹣∠ACB）
＝2∠CAB
＝2∠CBD．
∴∠ABE＝2∠CBD；
（2）如图，连接DO并延长交AE于点G，
∵∠DOB＝2∠BAD，
∠ABE＝2∠CAB，
∴∠DOB＝∠ABE，
∴DG∥BE，
∴∠AGO＝∠AEB＝90°，
∴AG＝EG＝AE＝3，
∠AOG＝∠DOF，
OA＝OD，
∴△AOG≌△DOF（AAS）
∴DF＝AG＝3，
又OF＝OB﹣BF＝OD﹣，
在Rt△DOF中，根据勾股定理，得
OD2＝DF2+OF2，
即OD2＝32+（OD﹣）2，
解得OD＝．
答：⊙O的半径长为．
23．（1）解：连接OE，
∵OB＝OE，∠ABE＝60°，
∴△OBE为等边三角形，
∴∠EOC＝60°，
∵CD与⊙O相切，
∴OE⊥CD，
∴∠C＝90°﹣60°＝30°；
（2）证明：由圆周角定理得，∠EAB＝∠EOB＝30°，
∴∠EAB＝∠C，
∴EA＝EC，
∵AD⊥CD，
∴∠DAC＝90°﹣∠C＝60°，
∴∠DAE＝30°，
∴AE＝2DE，
∴EC＝2DE；
（3）解：∵∠EOC＝60°，
∴∠AOE＝120°，
则阴影部分的面积＝扇形AOE的面积﹣△AOE的面积
＝﹣××3×3×tan60°
＝3π﹣．
24．解：（1）证明：连接AO，并延长AO交⊙O于点F，连接CF
∵AF是直径
∴∠ACF＝90°
∴∠F+∠FAC＝90°，
∵∠F＝∠ABC，∠ABC＝∠EAC
∴∠EAC＝∠F
∴∠EAC+∠FAC＝90°
∴∠EAF＝90°，且AO是半径
∴直线AE是⊙O的切线．
（2）①如图，连接AO，
∵D为AB的中点，OD过圆心，
∴OD⊥AB，AD＝BD＝AB＝8，
∵AO2＝AD2+DO2，
∴AO2＝82+（AO﹣6）2，
∴AO＝，
∴⊙O的半径为；
②如图，作∠CAB的平分线交CD于点H，连接BH，过点H作HM⊥AC，HN⊥BC，
∵OD⊥AB，AD＝BD
∴AC＝BC，且AD＝BD
∴CD平分∠ACB，且AH平分∠CAB
∴点H是△ABC的内心，且HM⊥AC，HN⊥BC，HD⊥AB
∴MH＝NH＝DH
在Rt△ACD中，AC＝＝＝BC，
∵S△ABC＝S△ACH+S△ABH+S△BCH，
∴×16×6＝×10×MH+×16×DH+×10×NH，
∴DH＝，
∵OH＝CO﹣CH＝CO﹣（CD﹣DH），
∴OH＝﹣（6﹣）═5．
25．解：（1）∵CE⊥AD，
∴∠D+∠ECD＝90°，∠AEC＝∠DEC＝90°，
∵∠D+∠ACE＝90°，
∴∠ACE＝∠DCE，
在△ACE和△DCE中，
，
∴△ACE≌△DCE（ASA），
∴CA＝CD；
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
即∠ADC+∠BDC＝90°，
∵∠ADC+∠ACE＝90°，
∴∠BDC＝∠ACE，
∵∠BDC＝∠BAC，
∴∠BAC＝∠ACE，
设AB与CE的交点为M，则MA＝MC，
∴M在AC的垂直平分线上，
∵弦的垂直平分线过圆心O，即弦的垂直平分线与直径的交点是圆心，
∴M与点O重合，即CE过圆心O，
∵AE＝DE，
∴CE⊥AD，
∴∠AEC＝∠ADB＝90°，
∴CE∥BD；
（3）∵4AK＝9BK，
∴AK：BK＝9：4，
设BK＝4m，则AK＝9m，
∴AB＝13m，
∴OA＝OB＝6.5m，
∴OK＝OB﹣BK＝2.5m，
∵AK⊥CL，
∴∠AKC＝90°＝∠AEO，
在△OAE和△OCK中，
，
∴△OAE≌△OCK（AAS），
∴OE＝OK＝2.5m，
∵OA＝OB，AE＝DE，
∴BD＝2OE＝5m，
∴AD＝，
∵∠AKL＝∠ADB＝90°，∠LAK＝∠BAD，
∴△AKL∽△ADB，
∴，即，
∴LK＝，
∵OK2+LK2＝OL2，
∴，
解得，m＝0.8，
∴BD＝5m＝4．
题号 一 二 三 总分
得分
第Ⅰ卷（选择题）
一．选择题
1．如图，P为⊙O外一点，PC切⊙O于C，PB与⊙O交于A、B两点．若PA＝1，PB＝5，则PC＝（ ）
A．3 B． C．4 D．无法确定
2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交，连接CO，过点D作⊙O的切线，与AB的延长线交于点E，若DE∥AC，∠BAC＝40°，则∠OCD的度数为（ ）
A．65° B．30° C．25° D．20°
3．三个正方形方格在扇形中的位置如图所示，点O为扇形的圆心，格点A，B，C分别在扇形的两条半径和弧上，已知每个方格的边长为1，则扇形EOF的面积为（ ）
A．π B．π C．π D．π
4．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，∠A＝30°，CD＝4，则⊙O的直径的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
5．如图，△ABC，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝60°，过点A作BC的平行线1，P为直线l上一动点，⊙O为△APC的外接圆，直线BP交⊙O于E点，则AE的最小值为（ ）
A． B．7﹣4 C． D．1
6．如图，PA、PB为⊙O的切线，直线MN切⊙O且MN⊥PA．若PM＝5，PN＝4，则OM的长为（ ）
A．2 B． C． D．
7．如图所示，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且OC⊥AB，过点C的弦CD与线段OB相交于点E，满足∠AEC＝65°，连接AD，则∠BAD等于（ ）
A．20° B．25° C．30° D．32.5°
8．如图，点A，B，C，D在⊙O上，AC是⊙O的直径，∠BAC＝40°，则∠D的度数是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．90°
9．如图，AB是半圆O的直径，C、D是上的两点，＝，点E为上一点，且∠CED＝∠COD，则∠DOB＝（ ）
A．92° B．96° C．100° D．120°
10．如图，⊙O的半径为2，点A为⊙O上一点，半径OD⊥弦BC于D，如果∠BAC＝60°，那么OD的长是（ ）
A．2 B． C． D．1
11．如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC＝30°，半径为2cm的⊙P的圆心在射线OA上，且与点O的距离为6cm，如果P以1cm/s的速度沿直线AB由A向B的方向移动，那么⊙P与直线CD相切时⊙P运动的时间是（ ）
A．3秒或10秒 B．3秒或8秒 C．2秒或8秒 D．2秒或10秒
12．如图是一个可以自由转动的转盘，转盘分成黑、白两种颜色指针的位置固定，转动的转盘停止后，指针恰好指向白色扇形的穊率为（指针指向OA时，当作指向黑色扇形；指针指OB时，当作指向白色扇形），则黑色扇形的圆心角∠AOB＝（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
13．《九章算术》总共收集了246个数学问题，这些算法要比欧洲同类算法早1500多年，对中国及世界数学发展产生过重要影响．在《九章算术》中有很多名题，下面就是其中的一道．原文：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”翻译：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E．CE＝1寸，AB＝10寸，则可得直径CD的长为（ ）
A．13寸 B．26寸 C．18寸 D．24寸
14．如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，C为的三等分点（更靠近A点），点P是⊙O上个动点，取弦AP的中点D，则线段CD的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．
15．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，O为矩形ABCD的中心，以D为圆心，1为半径作⊙D，P为⊙D上的一个动点，连接AP、PO和OA，则△AOP面积的最大值为（ ）
A．4 B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题）
二．填空题
16．如图，AB是半圆的直径，O是圆心，C是半圆外一点，CA，CB分别交半圆于点D，E，若△CDE的面积与四边形ABED的面积相等，则∠C等于 ．
17．如图，BC为半圆O的直径，EF⊥BC于点F，且BF：FC＝5：1，若AB＝8，AE＝2，则AD的长为 ．
18．如图，点P（3，4）在以原点为圆心，5为半径的⊙O上，点E，F为y轴上的两点，△PEF是以P为顶角顶点的等腰三角形，直线PE，PF交⊙O于D，C两点，直线CD交y轴于点A，则sin∠DAE＝ ．
19．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2，AB＝5，∠A＝30°，以点A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连结CE，则阴影部分的面积是 （结果保留π）
20．如图，已知：A，B，C是直线l上的三点，且AB＝BC＝6，⊙O与直线l相切于点A，又分别过点B，C作⊙O异于直线l的切线，两切线交于点P，则PB+PC＝ ．
三．解答题
21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，以CD为直径的⊙O分别交AC、BC于点E，F两点，过点F作FG⊥AB于点G．
（1）试判断FG与⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）若AC＝3，BF＝2，求AB的长．
22．如图，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BM，点C为BM上一点，连接AC与⊙O交于点D，E为⊙O上一点，且满足∠EAC＝∠ACB，连接BD，BE．
（1）求证：∠ABE＝2∠CBD；
（2）过点D作AB的垂线，垂足为F，若AE＝6，BF＝，求⊙O的半径长．
23．如图，AB是⊙O的直径，C是AB延长线上一点，CD与⊙O相切于点E，AD⊥CD，∠ABE＝60°，
（1）求∠C的度数；
（2）求证：EC＝2DE；
（3）若AB＝6，求出图中阴影部分的面积．
24．如图，⊙O为△ABC的外接圆，D为OC与AB的交点，E为线段OC延长线上一点，且∠EAC＝∠ABC．
（1）求证：直线AE是⊙O的切线．
（2）若D为AB的中点，CD＝6，AB＝16
①求⊙O的半径；
②求△ABC的内心到点O的距离．
25．已知，如图1，AB为⊙O直径，△ACD内接于⊙O，∠D+∠ACE＝90°，点E在线段AD上，连接CE．
（1）若CE⊥AD，求证：CA＝CD；
（2）如图2，连接BD，若AE＝DE，求证：BD平行CE；
（3）如图，在（2）的条件下，过点C作AB的垂线交AB于点K，交AD于点L，4AK＝9BK，若OL＝，求BD的值．
参考答案
一．选择题
1．解：∵PA＝1，PB＝5，
∴AB＝PB﹣PA＝4，
∴OC＝OA＝OB＝2，
∴PO＝1+2＝3，
∵PC切⊙O于C，
∴∠PCO＝90°，
在Rt△PCO中，由勾股定理得：PC＝＝＝，
故选：B．
2．解：连接OD，如图，
∵DE∥AC，
∴∠E＝∠BAC＝40°，
∵DE为切线，
∴OD⊥DE，
∴∠DOE＝90°﹣40°＝50°，
∵∠BOC＝2∠A＝80°．
∴∠COD＝80°+50°＝130°，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC＝（180°﹣130°）＝25°．
故选：C．
3．解：连接OC，
由勾股定理得：OC＝＝，
由正方形的性质得：∠EOB＝45°，
所以扇形EOF的面积为：＝π，
故选：A．
4．解：连接BC，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，
∴∠ACB＝90°，CH＝DH＝CD＝2，
∵∠A＝30°，
∴AC＝2CH＝4，
在Rt△ABC中，∠A＝30°，
∴AC＝BC＝4，AB＝2BC，
∴BC＝4，AB＝8，
故选：D．
5．解：如图，连接CE．
∵AP∥BC，
∴∠PAC＝∠ACB＝60°，
∴∠CEP＝∠CAP＝60°，
∴∠BEC＝120°，
∴点E在以O'为圆心，O'B为半径的上运动，
连接OA交于E′，此时AE′的值最小．此时⊙O与⊙O'交点为E'．
∵∠BE'C＝120°
∴所对圆周角为60°，
∴BOC＝2×60°＝120°，
∵△BOC是等腰三角形，BC＝4，
OB＝OC＝4，
∵∠ACB＝60°，∠BCO'＝30°，
∴∠ACO；＝90°
∴O'A＝＝5，
∴AE′＝O'A﹣O'E′＝5﹣4＝1．
故选：D．
6．解：∵PA、PB为⊙O的切线，直线MN切⊙O于C，
∴MB＝MC，PA＝PB，
连接OC，OA，
则四边形AOCN是正方形，
设NC＝OC＝OA＝AN＝r，
∵MN⊥PA，PM＝5，PN＝4，
∴MN＝3，
∴CM＝BM＝3﹣r，
∴5+3﹣r＝4+r，
解得：r＝2，
∴OC＝2，CM＝1，
∴OM＝＝，
故选：D．
7．解：连接OD，
∵OC⊥AB，
∴∠COB＝90°，
∵∠AEC＝65°，
∴∠OCE＝180°﹣90°﹣65°＝25°，
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD＝25°，
∴∠DOC＝180°﹣25°﹣25°＝130°，
∴∠DOB＝∠DOC﹣∠BOC＝130°﹣90°＝40°，
∴由圆周角定理得：∠BAD＝∠DOB＝20°，
故选：A．
8．解：∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∴∠C＝90°﹣40°＝50°，
由圆周角定理得，∠D＝∠C＝50°，
故选：B．
9．解：设∠COD＝x，则∠CED＝x，
∴，
解得：x＝60°，
∴∠COD＝60°，
∴∠BOD+∠AOC＝180°﹣60°＝120°，
∵＝，
∴∠BOD＝4∠AOC，
∴∠BOD＝120°×＝96°，
故选：B．
10．解：∵∠BAC＝60°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝120°，
∵OD⊥弦BC，OB＝OC，
∴∠ODC＝90°，∠COD＝∠BOD＝60°，
∴∠OCD＝30°，
∴OD＝OC＝1，
故选：D．
11．解：作PH⊥CD于H，
在Rt△OPH中，∠AOC＝30°，
∴OP＝2PH，
当点P在OA上，⊙P与直线CD相切时，OP＝2PH＝4cm，
∴点P运动的距离为6﹣4＝2，
∴⊙P运动的时间是2秒，
当点P在AO的延长线上，⊙P与直线CD相切时，OP＝2PH＝4cm，
∴点P运动的距离为6+4＝10，
∴⊙P运动的时间是10秒，
故选：D．
12．解：∵指针恰好指向白色扇形的穊率为，
∴黑、白两种颜色的扇形的面积比为1：7，
∴∠AOB＝×360°＝45°，
故选：B．
13．解：连接OA，AB⊥CD，
由垂径定理知，点E是AB的中点，AE＝AB＝5，OE＝OC﹣CE＝OA﹣CE，
设半径为r，由勾股定理得，OA2＝AE2+OE2＝AE2+（OA﹣CE）2，
即r2＝52+（r﹣1）2，
解得：r＝13，
所以CD＝2r＝26，
即圆的直径为26寸．
故选：B．
14．解：如图，连接OD，OC，
∵AD＝DP，
∴OD⊥PA，
∴∠ADO＝90°，
∴点D的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，AC，
当点D在CK的延长线上时，CD的值最大，
∵C为的三等分点，
∴∠AOC＝60°，
∴△AOC是等边三角形，
∴CK⊥OA，
在Rt△OCK中，∵∠COA＝60°，OC＝2，OK＝1，
∴CK＝＝，
∵DK＝OA＝1，
∴CD＝+1，
∴CD的最大值为+1，
故选：D．
15．解：当P点移动到过点P的直线平行于OA且与⊙D相切时，△AOP面积的最大，如图，
∵过P的直线是⊙D的切线，
∴DP垂直于切线，
延长PD交AC于M，则DM⊥AC，
∵在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，
∴AC＝＝5，
∴OA＝，
∵∠AMD＝∠ADC＝90°，∠DAM＝∠CAD，
∴△ADM∽△ACD，
∴＝，
∵AD＝4，CD＝3，AC＝5，
∴DM＝，
∴PM＝PD+DM＝1+＝，
∴△AOP的最大面积＝OA?PM＝＝，
故选：D．
二．填空题（共5小题）
16．解：连接BD．如图：
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ADB＝90°．
∴∠CDB＝90°，
∵△CDE的面积与四边形ABED的面积相等，
∴△ABC的面积是△CDE的面积的2倍．
∵∠CED＝∠CAB，∠C＝∠C，
∴△CDE∽△CBA．
∴S△CDE：S△CBA＝CD2：CB2＝1：2．
∴CD：CB＝：2．
∵cosC＝＝，
∴∠C＝45°．
故答案为：45°．
17．解：连接BE．
∵BC是直径．
∴∠AEB＝∠BEC＝90°
在直角△ABE中，根据勾股定理可得：BE2＝AB2﹣AE2＝82﹣22＝60．
∵＝5
∴设FC＝x，则BF＝5x，BC＝6x．
又∵BE2＝BF?BC
即：30x2＝60
解得：x＝，
∴EC2＝FC?BC＝6x2＝12
∴EC＝2，
∴AC＝AE+EC＝2+2，
∵AD?AB＝AE?AC
∴AD＝＝＝．
故答案为．
18．解：过P点作x轴平行线，交圆弧于G，交OA连接OG．
由题意：G点坐标为（﹣3，4），PG⊥EF，
∵△PEF是以P为顶角的等腰三角形，
∴PG就是角EPC的平分线，
∴＝
∴OG⊥CD，
∴∠DAO+∠GOA＝90°．
而∠PGO+∠GOA＝90°．
∴∠DAO＝∠PGO，
在Rt△OGH中，∵GH＝3，OH＝4，
∴OG＝＝＝5，
∴sin∠DAE＝sin∠OGH＝＝，
故答案为．
19．解：过D点作DF⊥AB于点F．
∵AD＝2，AB＝5，∠A＝30°，
∴DF＝AD?sin30°＝1，EB＝AB﹣AE＝5﹣2＝3，
∴阴影部分的面积：5×1﹣﹣×1×3＝﹣，
故答案为：﹣．
20．解：∵AB，PB是⊙O的切线，
∴AB＝PB＝6，
∵AC，PC是⊙O的切线，
∴PC＝AC＝AB+BC＝6+6＝12，
∴PB+PC＝6+12＝18．
故答案为：18．
三．解答题（共5小题）
21．解：（1）结论：FG与⊙O相切，
理由：如图，连接OF，
∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，
∴CD＝BD，
∴∠DBC＝∠DCB，
∵OF＝OC，
∴∠OFC＝∠OCF，
∴∠OFC＝∠DBC，
∴OF∥DB，
∴∠OFG+∠DGF＝180°，
∵FG⊥AB，
∴∠DGF＝90°，
∴∠OFG＝90°，
∴FG与⊙O相切．
（2）连接DF，
∵CD为⊙O的直径，
∴∠DFC＝90°，
∴FD⊥BC，
∵DB＝DC，
∴BF＝CF＝2
∴BC＝2BF＝4，
∵∠ACB＝90°，
∴AB＝＝＝5．
22．解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，即∠DAB+∠DBA＝90°，
∵BM是⊙O的切线，
∴AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，即∠CBD+∠DBA＝90°，
∴∠DAB＝∠CBD，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ACB＝90°﹣∠BAC，
∵∠EAC＝∠ACB，
∴∠EAC＝90°﹣∠BAC
＝90°﹣（∠EAC﹣∠BAE），
∴∠BAE＝2∠EAC﹣90°，
∵AB是直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠ABE＝90°﹣∠BAE
＝90°﹣（2∠EAC﹣90°）
＝2（90°﹣∠EAC）
＝2（90°﹣∠ACB）
＝2∠CAB
＝2∠CBD．
∴∠ABE＝2∠CBD；
（2）如图，连接DO并延长交AE于点G，
∵∠DOB＝2∠BAD，
∠ABE＝2∠CAB，
∴∠DOB＝∠ABE，
∴DG∥BE，
∴∠AGO＝∠AEB＝90°，
∴AG＝EG＝AE＝3，
∠AOG＝∠DOF，
OA＝OD，
∴△AOG≌△DOF（AAS）
∴DF＝AG＝3，
又OF＝OB﹣BF＝OD﹣，
在Rt△DOF中，根据勾股定理，得
OD2＝DF2+OF2，
即OD2＝32+（OD﹣）2，
解得OD＝．
答：⊙O的半径长为．
23．（1）解：连接OE，
∵OB＝OE，∠ABE＝60°，
∴△OBE为等边三角形，
∴∠EOC＝60°，
∵CD与⊙O相切，
∴OE⊥CD，
∴∠C＝90°﹣60°＝30°；
（2）证明：由圆周角定理得，∠EAB＝∠EOB＝30°，
∴∠EAB＝∠C，
∴EA＝EC，
∵AD⊥CD，
∴∠DAC＝90°﹣∠C＝60°，
∴∠DAE＝30°，
∴AE＝2DE，
∴EC＝2DE；
（3）解：∵∠EOC＝60°，
∴∠AOE＝120°，
则阴影部分的面积＝扇形AOE的面积﹣△AOE的面积
＝﹣××3×3×tan60°
＝3π﹣．
24．解：（1）证明：连接AO，并延长AO交⊙O于点F，连接CF
∵AF是直径
∴∠ACF＝90°
∴∠F+∠FAC＝90°，
∵∠F＝∠ABC，∠ABC＝∠EAC
∴∠EAC＝∠F
∴∠EAC+∠FAC＝90°
∴∠EAF＝90°，且AO是半径
∴直线AE是⊙O的切线．
（2）①如图，连接AO，
∵D为AB的中点，OD过圆心，
∴OD⊥AB，AD＝BD＝AB＝8，
∵AO2＝AD2+DO2，
∴AO2＝82+（AO﹣6）2，
∴AO＝，
∴⊙O的半径为；
②如图，作∠CAB的平分线交CD于点H，连接BH，过点H作HM⊥AC，HN⊥BC，
∵OD⊥AB，AD＝BD
∴AC＝BC，且AD＝BD
∴CD平分∠ACB，且AH平分∠CAB
∴点H是△ABC的内心，且HM⊥AC，HN⊥BC，HD⊥AB
∴MH＝NH＝DH
在Rt△ACD中，AC＝＝＝BC，
∵S△ABC＝S△ACH+S△ABH+S△BCH，
∴×16×6＝×10×MH+×16×DH+×10×NH，
∴DH＝，
∵OH＝CO﹣CH＝CO﹣（CD﹣DH），
∴OH＝﹣（6﹣）═5．
25．解：（1）∵CE⊥AD，
∴∠D+∠ECD＝90°，∠AEC＝∠DEC＝90°，
∵∠D+∠ACE＝90°，
∴∠ACE＝∠DCE，
在△ACE和△DCE中，
，
∴△ACE≌△DCE（ASA），
∴CA＝CD；
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
即∠ADC+∠BDC＝90°，
∵∠ADC+∠ACE＝90°，
∴∠BDC＝∠ACE，
∵∠BDC＝∠BAC，
∴∠BAC＝∠ACE，
设AB与CE的交点为M，则MA＝MC，
∴M在AC的垂直平分线上，
∵弦的垂直平分线过圆心O，即弦的垂直平分线与直径的交点是圆心，
∴M与点O重合，即CE过圆心O，
∵AE＝DE，
∴CE⊥AD，
∴∠AEC＝∠ADB＝90°，
∴CE∥BD；
（3）∵4AK＝9BK，
∴AK：BK＝9：4，
设BK＝4m，则AK＝9m，
∴AB＝13m，
∴OA＝OB＝6.5m，
∴OK＝OB﹣BK＝2.5m，
∵AK⊥CL，
∴∠AKC＝90°＝∠AEO，
在△OAE和△OCK中，
，
∴△OAE≌△OCK（AAS），
∴OE＝OK＝2.5m，
∵OA＝OB，AE＝DE，
∴BD＝2OE＝5m，
∴AD＝，
∵∠AKL＝∠ADB＝90°，∠LAK＝∠BAD，
∴△AKL∽△ADB，
∴，即，
∴LK＝，
∵OK2+LK2＝OL2，
∴，
解得，m＝0.8，
∴BD＝5m＝4．