第19章 四边形单元测试卷
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）下列图形中具有稳定性的是（ ）
A．等腰三角形 B．长方形 C．正方形 D．平行四边形
2．（4分）从五边形的一个顶点出发可以连接的对角线条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（4分）下列说法不正确的是（ ）
A．平行四边形对边平行
B．两组对边平行的四边形是平行四边形
C．平行四边形对角相等
D．一组对角相等的四边形是平行四边形
4．（4分）正十边形的外角和的度数为（ ）
A．1440° B．720° C．360° D．180°
5．（4分）如图，在四边形ABCD中，点P是边CD上的动点，点Q是边BC上的定点，连接AP，PQ，E，F分别是AP，PQ的中点，连接EF．点P在由C到D运动过程中，线段EF的长度（ ）
A．保持不变 B．逐渐变小
C．先变大，再变小 D．逐渐变大
6．（4分）如图，点D、E、F分别是△ABC三边的中点，则下列判断错误的是（ ）
A．四边形AEDF一定是平行四边形
B．若AD平分∠A，则四边形AEDF是正方形
C．若AD⊥BC，则四边形AEDF是菱形
D．若∠A＝90°，则四边形AEDF是矩形
7．（4分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝52°，BE为AC边上的中线，AD平分∠BAC，交BC边于点D，过点B作BF⊥AD，垂足为F，则∠EBF的度数为（ ）
A．19° B．33° C．34° D．43°
8．（4分）将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，恰好得到菱形AECF．若AB＝3，则菱形AECF的面积为（ ）
A．1 B．2 C．2 D．4
9．（4分）“创卫工作，人人参与”我区园林工作者，为了把城市装扮得更加靓丽，用若干相同的花盆按一定的规律组成不同的正多边形图案．如图，其中第1个图形一共有6个花盆，第2个图形一共有12个花盆，第3个图形一共有20个花盆…则第8个图形中一共有花盆的个数为（ ）
A．56 B．64 C．72 D．90
10．（4分）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为（ ）
A．1 B．1.3 C．1.2 D．1.5
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
11．（5分）过一个多边形的一个顶点的对角线有6条，则该多边形是 边形．
12．（5分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，斜边AB＝9，D为AB的中点，F为CD上一点，且CF＝CD，过点B作BE∥DC交AF的延长线于点E，则BE的长为 ．
13．（5分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG＝BD，连接BG、DF．若AG＝13，CF＝6，则四边形BDFG的周长为 ．
14．（5分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，BC＝8，E是BC的中点，点P以每秒1个单位长度的速度从A点出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动，点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当运动时间t＝ 秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形．
三．解答题（共9小题，满分90分）
15．（8分）已知：从n边形的一个顶点出发共有4条对角线；从m边形的一个顶点出发的所有对角线把m边形分成6个三角形；正t边形的边长为7，周长为63．求（n﹣m）t的值．
16．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE∥DF，∠1＝∠2．求证：∠3＝∠4．
17．（8分）如图，AD是△ABC的高线，且BD＝AC，E是AC的中点，连结BE，取BE的中点F，连结DF，求证：DF⊥BE．
18．（8分）已知：如图，AC，BD是矩形ABCD的两条对角线，AE＝CG＝BF＝DH．求证：四边形EFGH是矩形．
19．（10分）如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点．
（1）AB＝12，AC＝9，求四边形AEDF的周长；
（2）EF与AD有怎样的位置关系？证明你的结论．
20．（10分）如图，D是△ABC的边AB上一点，CE∥AB，DE交AC于点F，若FA＝FC．
（1）求证：四边形ADCE是平行四边形；
（2）若AE⊥EC，EF＝EC＝5，求四边形ADCE的面积．
21．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）求证：四边形ADCF是菱形；
（2）若AC＝12，AB＝16，求菱形ADCF的面积．
22．（12分）（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA＝5cm，BD＝8cm．则AC＝ cm；
（2）在宽为8cm的长方形纸带上，用图1中的四边形设计如图2所示的图案．
①如果用7个图1中的四边形设计图案，那么至少需要 cm长的纸带；
②设图1中的四边形有x个，所需的纸带长为ycm，求y与x之间的函数表达式；
③在长为40cm的纸带上，按照这种方法，最多能设计多少个图1中的四边形？
23．（14分）在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，点E为AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：AD＝AF；
（2）填空：①当∠ACB＝ °时，四边形ADCF为正方形；
②连接DF，当∠ACB＝ °时，四边形ABDF为菱形．
第19章 四边形单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）下列图形中具有稳定性的是（ ）
A．等腰三角形 B．长方形 C．正方形 D．平行四边形
解：等腰三角形，长方形，正方形，平行四边形中只有等腰三角形具有稳定性．
故选：A．
2．（4分）从五边形的一个顶点出发可以连接的对角线条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
解：∵n边形（n＞3）从一个顶点出发可以引（n﹣3）条对角线，
∴从五边形的一个顶点出发可以画出5﹣3＝2（条）对角线．
故选：B．
3．（4分）下列说法不正确的是（ ）
A．平行四边形对边平行
B．两组对边平行的四边形是平行四边形
C．平行四边形对角相等
D．一组对角相等的四边形是平行四边形
解：A、正确；
B、正确；
C、正确；
D、一组对角相等而另一组对角不相等的四边形不是平行四边形，故命题错误．
故选：D．
4．（4分）正十边形的外角和的度数为（ ）
A．1440° B．720° C．360° D．180°
解：正十边形的外角和的度数为360°．
故选：C．
5．（4分）如图，在四边形ABCD中，点P是边CD上的动点，点Q是边BC上的定点，连接AP，PQ，E，F分别是AP，PQ的中点，连接EF．点P在由C到D运动过程中，线段EF的长度（ ）
A．保持不变 B．逐渐变小
C．先变大，再变小 D．逐渐变大
解：连接AQ，
∵点Q是边BC上的定点，
∴AQ的大小不变，
∵E，F分别是AP，PQ的中点，
∴EF＝AQ，
∴线段EF的长度保持不变，
故选：A．
6．（4分）如图，点D、E、F分别是△ABC三边的中点，则下列判断错误的是（ ）
A．四边形AEDF一定是平行四边形
B．若AD平分∠A，则四边形AEDF是正方形
C．若AD⊥BC，则四边形AEDF是菱形
D．若∠A＝90°，则四边形AEDF是矩形
解：A、∵点D、E、F分别是△ABC三边的中点，∴DE、DF为△ABC得中位线，
∴ED∥AC，且ED＝AC＝AF；同理DF∥AB，且DF＝AB＝AE，
∴四边形AEDF一定是平行四边形，正确．
B、若AD平分∠A，如图，延长AD到M，使DM＝AD，连接CM，由于BD＝CD，DM＝AD，
∠ADB＝∠CDM，（SAS）∴△ABD≌△MCD∴CM＝AB，又∵∠DAB＝∠CAD，
∠DAB＝∠CMD，∴∠CMD＝∠CAD，∴CA＝CM＝AB，因AD平分∠A
∴AD⊥BC，则△ABD≌△ACD；AB＝AC，AE＝AF，
结合（1）四边形AEDF是菱形，因为∠A不一定是直角
∴不能判定四边形AEDF是正方形；
C、若AD⊥BC，则△ABD≌△ACD；AB＝AC，AE＝AF，结合（1）四边形AEDF是菱形，正确；
D、若∠A＝90°，则四边形AEDF是矩形，正确．
故选：B．
7．（4分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝52°，BE为AC边上的中线，AD平分∠BAC，交BC边于点D，过点B作BF⊥AD，垂足为F，则∠EBF的度数为（ ）
A．19° B．33° C．34° D．43°
解：∵∠ABC＝90°，BE为AC边上的中线，
∴∠BAC＝90°﹣∠C＝90°﹣52°＝38°，BE＝AC＝AE＝CE，
∴∠EBC＝∠C＝52°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAC＝19°，
∴∠ADB＝∠C+∠DAC＝52°+19°＝71°，
∵BF⊥AD，
∴∠BFD＝90°，
∴∠FBD＝90°﹣∠ADB＝19°，
∴∠EBF＝∠EBC﹣∠FBD＝52°﹣19°＝33°；
故选：B．
8．（4分）将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，恰好得到菱形AECF．若AB＝3，则菱形AECF的面积为（ ）
A．1 B．2 C．2 D．4
解：∵四边形AECF是菱形，AB＝3，
∴假设BE＝x，则AE＝3﹣x，CE＝3﹣x，
∵四边形AECF是菱形，
∴∠FCO＝∠ECO，
∵∠ECO＝∠ECB，
∴∠ECO＝∠ECB＝∠FCO＝30°，
2BE＝CE，
∴CE＝2x，
∴2x＝3﹣x，
解得：x＝1，
∴CE＝2，利用勾股定理得出：
BC2+BE2＝EC2，
BC＝＝＝，
又∵AE＝AB﹣BE＝3﹣1＝2，
则菱形的面积是：AE?BC＝2．
故选：C．
9．（4分）“创卫工作，人人参与”我区园林工作者，为了把城市装扮得更加靓丽，用若干相同的花盆按一定的规律组成不同的正多边形图案．如图，其中第1个图形一共有6个花盆，第2个图形一共有12个花盆，第3个图形一共有20个花盆…则第8个图形中一共有花盆的个数为（ ）
A．56 B．64 C．72 D．90
10．（4分）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为（ ）
A．1 B．1.3 C．1.2 D．1.5
解：∵AB＝3，AC＝4，BC＝5，
∴∠EAF＝90°，
∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，
∴四边形AEPF是矩形，
∴EF，AP互相平分．且EF＝AP，
∴EF，AP的交点就是M点．
∵当AP的值最小时，AM的值就最小，
∴当AP⊥BC时，AP的值最小，即AM的值最小．
∵AP?BC＝AB?AC，
∴AP?BC＝AB?AC．
∵AB＝3，AC＝4，BC＝5，
∴5AP＝3×4，
∴AP＝2.4，
∴AM＝1.2；
故选：C．
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
11．（5分）过一个多边形的一个顶点的对角线有6条，则该多边形是 九 边形．
解：∵过一个多边形的一个顶点的对角线有6条，
∴多边形的边数为6+3＝9，
∴这个多边形是九边形．
故答案为九．
12．（5分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，斜边AB＝9，D为AB的中点，F为CD上一点，且CF＝CD，过点B作BE∥DC交AF的延长线于点E，则BE的长为 6 ．
解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，斜边AB＝9，D为AB的中点，
∴CD＝AB＝4.5．
∵CF＝CD，
∴DF＝CD＝×4.5＝3．
∵BE∥DC，
∴DF是△ABE的中位线，
∴BE＝2DF＝6．
故答案为6．
13．（5分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG＝BD，连接BG、DF．若AG＝13，CF＝6，则四边形BDFG的周长为 20 ．
解：∵AG∥BD，BD＝FG，
∴四边形BGFD是平行四边形，
∵CF⊥BD，
∴CF⊥AG，
又∵点D是AC中点，
∴BD＝DF＝AC，
∴四边形BGFD是菱形，
设GF＝x，则AF＝13﹣x，AC＝2x，
∵在Rt△ACF中，∠CFA＝90°，
∴AF2+CF2＝AC2，即（13﹣x）2+62＝（2x）2，
解得：x＝5，
故四边形BDFG的周长＝4GF＝20．
故答案为：20．
14．（5分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，BC＝8，E是BC的中点，点P以每秒1个单位长度的速度从A点出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动，点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当运动时间t＝ 1或 秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形．
解：由已知梯形，
当Q运动到E和B之间，设运动时间为t，则得：
2t﹣＝3﹣t，
解得：t＝，
当Q运动到E和C之间，设运动时间为t，则得：﹣2t＝3﹣t，
解得：t＝1，
故当运动时间t为1或秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形．
故答案为：1或．
三．解答题（共9小题，满分90分）
15．（8分）已知：从n边形的一个顶点出发共有4条对角线；从m边形的一个顶点出发的所有对角线把m边形分成6个三角形；正t边形的边长为7，周长为63．求（n﹣m）t的值．
解：依题意有n＝4+3＝7，
m＝6+2＝8，
t＝63÷7＝9
则（n﹣m）t＝（7﹣8）9＝﹣1．
16．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE∥DF，∠1＝∠2．求证：∠3＝∠4．
证明：∵∠A＝∠C＝90°，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∵BE∥DF，
∴∠2＝∠5，
∵∠1＝∠2，
∴∠ABC＝2∠5，
∴2∠5+∠ADC＝180°，
∵2∠5+2∠3＝180°，
∴∠ADC＝2∠3，
∴∠3＝∠4．
17．（8分）如图，AD是△ABC的高线，且BD＝AC，E是AC的中点，连结BE，取BE的中点F，连结DF，求证：DF⊥BE．
证明：连结DE，
∵AD是△ABC的高线，E是AC的中点，
∴，
又∵，
∴DE＝BD．
又∵F是BE的中点，
∴DF⊥BE．
18．（8分）已知：如图，AC，BD是矩形ABCD的两条对角线，AE＝CG＝BF＝DH．求证：四边形EFGH是矩形．
证明：∵AC，BD是矩形ABCD的两条对角线，
∴AC＝BD，OA＝OB＝OC＝OD，
∵AE＝CG＝BF＝DH，
∴OE＝OF＝OG＝OH，
∴EG＝FH，
∴四边形EFGH是矩形．
19．（10分）如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点．
（1）AB＝12，AC＝9，求四边形AEDF的周长；
（2）EF与AD有怎样的位置关系？证明你的结论．
解：（1）∵AD是高，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵E、F分别是AB、AC的中点，
∴ED＝EB＝AB，DF＝FC＝AC，
∵AB＝12，AC＝9，
∴AE+ED＝12，AF+DF＝9，
∴四边形AEDF的周长为12+9＝21；
（2）EF⊥AD，
理由：∵DE＝AE，DF＝AF，
∴点E、F在线段AD的垂直平分线上，
∴EF⊥AD．
20．（10分）如图，D是△ABC的边AB上一点，CE∥AB，DE交AC于点F，若FA＝FC．
（1）求证：四边形ADCE是平行四边形；
（2）若AE⊥EC，EF＝EC＝5，求四边形ADCE的面积．
解：（1）证明：∵CE∥AB，
∴∠BAC＝∠ECA，
在△DAF和△ECF中，
，
∴△DAF≌△ECF （ASA），
∴CE＝AD，
∴四边形ADCE是平行四边形；
（2）∵AE⊥EC，四边形ADCE是平行四边形，
∴四边形ADCE是矩形，
在Rt△AEC中，F为AC的中点，
∴AC＝2EF＝10，
∴AE2＝AC2﹣EC2＝102﹣52＝75，
∴AE＝5，
∴四边形ADCE的面积＝AE?EC＝25．
21．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）求证：四边形ADCF是菱形；
（2）若AC＝12，AB＝16，求菱形ADCF的面积．
（1）证明：∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
在△AEF和△DEB中，
∵，
∴△AEF≌△DEB（AAS），
∴AF＝DB，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，
∴AD＝CD＝BC，
∴四边形ADCF是菱形；
（2）解：设AF到CD的距离为h，
∵AF∥BC，AF＝BD＝CD，∠BAC＝90°，
∴S菱形ADCF＝CD?h＝BC?h＝S△ABC＝AB?AC＝×12×16＝96．
22．（12分）（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA＝5cm，BD＝8cm．则AC＝ 6 cm；
（2）在宽为8cm的长方形纸带上，用图1中的四边形设计如图2所示的图案．
①如果用7个图1中的四边形设计图案，那么至少需要 24 cm长的纸带；
②设图1中的四边形有x个，所需的纸带长为ycm，求y与x之间的函数表达式；
③在长为40cm的纸带上，按照这种方法，最多能设计多少个图1中的四边形？
解：（1）如图1中，设菱形的对角线交于点O．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OD＝OB＝4cm，
∴OA＝OC＝＝＝3（cm），
∴AC＝2OA＝6cm，
故答案为6．
∴在长为40cm的纸带上，按照这种方法，最多能设计12个图1中的四边形．
23．（14分）在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，点E为AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：AD＝AF；
（2）填空：①当∠ACB＝ 45 °时，四边形ADCF为正方形；
②连接DF，当∠ACB＝ 30 °时，四边形ABDF为菱形．
（1）证明：∵∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，
∵AD＝CD＝BD，
∵点E为AD的中点，
∴AE＝DE，
∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
∵∠AEF＝∠DEB，
∴△AEF≌△DEB（AAS），
∴AF＝BD，
∴AD＝AF；
（2）解：①当∠ACB＝45°时，四边形ADCF为正方形；
∵AD＝AF，
∴AF＝CD，
∵AF∥CD，
∴四边形ADCF是菱形，
∴∠ACD＝∠ACF＝45°，
∴∠DCF＝90°，
∴四边形ADCF是正方形；
②当∠ACB＝30°时，四边形ABDF为菱形；
∵四边形ADCF是菱形，四边形ABDF是平行四边形，
∴CD＝CF，
∵∠ACB＝∠ACF＝30°，
∴∠DCF＝60°，
∴△DCF是等边三角形，
∴DF＝CD，
∴DF＝BD，
∴四边形ABDF为菱形．
故答案为：45，30．
