人教版八年级下册第十六章二次根式导学案和单元测试(9课时)

文档属性

名称 人教版八年级下册第十六章二次根式导学案和单元测试(9课时)
格式 zip
文件大小 1.1MB
资源类型 教案
版本资源 人教版
科目 数学
更新时间 2020-05-08 21:15:01

文档简介

二次根式的概念
学习目标:
(1) 了解二次根式的概念
(2) 当≥0时,= ;
学习重点:二次根式的概念以及二次根式的基本性质
学习难点:经历知识产生的过程,探索新知识.
学习过程:
一、知识准备
1.回顾:什么叫平方根? 什么叫算术平方根?
2. 计算:
(1)的平方根是 .
(2)如图,在RABC中,AB=50m,BC=m,则AC= m.
(3)圆的面积为S,则圆的半径是 .
(4)正方形的面积为,则边长为 .
3.对上面(2)~(4)题的结果,你能发现它们有什么共同的特征吗?
二、学习内容
1、二次根式的定义.
______________________________________________________
说说对二次根式的认识,好吗?
________________________________________________________

2、例1: x是怎样的实数时,式子在实数范围内有意义?
3、二次根式性质的探索:
22=4,即()2= 4;32=9,即()2= 9;……
观察上述等式的两边,你得到什么启示?

揭示:当≥0时, = 。
4、例2。计算:
(1); (2);
(3) (a+b≥0)

(1) (2)

三、知识梳理
什么叫做二次根式,二次根式有哪两个形式上的特点?
3.当≥0时, = ?



四、达标测试
1、说一说,下列各式是二次根式吗?
(1) (2)6 (3) (4)
(5)、异号) (6) (7)
2、 (1)
(2)
3、x是怎样的实数时,下例式子在实数范围内有意义?












A

B

C



二次根式的性质
学习目标:
会用二次根式的性质进行根式的化简..
学习重点:二次根式的性质的掌握.
学习难点:二次根式的性质的应用..
学习过程:
一.知识准备
1.在化简时,李明同学的解答过程是;张后同学的解答过程是. 谁的解答正确?为什么?
2. ?
二、学习内容
1.请同学们观察下列各式的特点,找出各式的共同规律,并用表达式表示你发现的?规律,再和同学们进行交流.
;
……
让学生通过观察,提出发现的猜想,并进行交流.
2.发现:当a≥0时, a,当a<0, - a
3.明确 师生共同归纳可得:
4.比较与的区别




三、知识梳理
(1)内容总结
二次根式的性质
(2)方法归纳
正确地理解二次根式的性质是进行化简或运算二次根式的关键.

四、达标测试
1.尝试练习:化简(1)
(2)
讨论交流后,推选代表板演

2.讨论.
计算:
(1)
(2)
(3) (x≥1)
3. 计算:
(1)
(2)
(3)
(4) ()=

4、


二次根式的乘除(1)
学习目标:
(1)能掌握积的算术平方根的性质:;.
(2)能运用积的算术平方根的性质熟练解题。
(3)能掌握并能运用二次根式的乘法法则=并进行相关计算。
学习重点: 积的算术平方根的性质及二次根式的乘法法则
学习难点:积的算术平方根的性质及二次根式的乘法法则的理解与运用
学习过程:

一、知识准备
1.复习旧知:什么是二次根式? 已学过二次根式的哪些性质?
二、学习内容

计算:(1)与;
(2)与;
(3)×与
1.学生计算。其中有什么规律?
2.概括:一般地,有=.二次根式相乘,实际上就是把被开方数相乘,而根号不变.
5.由以上公式逆向运用可得______________________________.
板书:
文字语言叙述:积的算术平方根,等于积中各因式的算术平方根的积.

例1、计算: (1) (2) (3)


例2、化简:
(1), (2), (3); (4) (5)(a≥0,b≥0)
小结:如何化简二次根式?(关键:将被开方数因式分解或因数分解,使出现“完全平方数”或“偶次方因式”)

三、知识梳理
我学到的知识有1、 2、 3、

四、达标测试
1、观察:=.思考:××=________
请举例说明它的应用.
2、 化简:





3、计算、











二次根式的乘除(2)
学习目标:
(1)能进一步理解二次根式的乘法法则,能熟练地进行二次根式的乘法运算;.
(2)能熟练地进行二次根式的化简及变形。
学习重点:熟练地进行二次根式的化简、乘法运算
学习难点:熟练地进行二次根式的化简、乘法运算
学习过程:
一、知识准备
复习旧知:上节课主要学习了二次根式的乘法法则及其积的算术平方根的性质,谁能说说它们的内容各是什么?
回答:(1)×=______,(2)___________.
这节课继续学习它们的应用。
二、学习内容
1.学生尝试练习。
化简:(1) (2)(x≥0,y≥0)
(3)(x≥0,x+y≥0)

2.学生分小组讨论后全班交流。

3、例题教学
1.引导学生回顾:
=.与
然后教师引导学生分析并教师讲解上面的例题。
板书解答过程。
2.例4.计算:(1) (2)
(3)



例5、如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=10cm, BC=24cm,求AB。





三、知识梳理
1、
2、
3、

四、达标测试
1..化简:
(1) (2) (3)
(4)
2.计算:
(1)
(2)
(3)
3、把根号外面的因式移到根号里面:








A

B

C



二次根式的乘除(3)
学习目标:
(1).经历二次根式除法法则的探究过程,进一步理解除法法则.
(2)能运用法则=(a≥0,b>0)进行二次根式的除法运算;
(3)理解商的算术平方根的性质=(a≥0,b>0),并能运用于二次根式的化简和计算。
学习重点:商的算术平方根的性质及二次根式的除法法则的探究
学习难点:商的算术平方根的性质及二次根式的除法法则的理解与运用
学习过程:
一、知识准备
1.想一想: = 是用什么样的方法引出的?
2.思考:=?(a≥0,b>0)
二、学习内容
(一)1.计算并观察两者关系:
(1)=_______=_______(2)=_______=______
(3)=______=______(4)=______=_______
2.请再举例试一试.
你猜想到什么结论呢?
3.小结:一般地,可以得到=(a≥0,b>0)。
注意,为什么要加a,b条件?
(二).例5 计算: (1) (2)
(3) (4)
2.思考: = ( )利用这个等式可以化简一些二次根式.
3.例6 化简:(1)
(2)
(3)
(4)(a>0,b≥0)
三、知识梳理
二次根式除法运算如何进行?对于简单的二次根式如何逆用二次根式除法运算法则进行化简?
四、达标测试
1.怎样计算:?



2.小明在学习了=(a≥0,b>0)后,认为=也成立,因此他认为:====2是正确的,你认为他的化简对吗?说说你的理由。




3、化简







二次根式的乘除(4)
学习目标:
(1)能运用法则=(a≥0,b>0)化去被开方数的分母或分母中的根号;.
(2)能进一步明确二次根式化简结果中的被开方数应不含有能开得尽方的因数或因式,也不含有分母.根式运算的结果中分母不含有根号。
学习重点:商的算术平方根的性质及二次根式的除法法则的应用
学习难点:商的算术平方根的性质的理解与运用
学习过程:
一、知识准备
想一想: =?(a__,b__),=? (a__,b__)
二、学习内容
(一)1.思考:如何化去 的被开方数中的分母呢?
2.小组讨论后交流.
板书: ====
3.请再举例试一试.
4. 想一想:如果上面首先化成,那么该怎样化去分母中的根号呢?
5. 小组讨论后交流.
指名板书过程,有: ===.
(二)、例题教学
1.例7 化去根号内的分母:
(1) (2) (3)
2. 例8.化去分母中根号: (1) (2)
(3)


三、知识梳理
1.一般地,二次根式运算的结果中,被开方数中应不含有分母,分母中应不含有根号.那么应该怎样进行这两类二次根式的化简呢?
2.化简二次根式实际上就是使二次根式满足:
(1)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式;
(2)被开方数中不含有分母;
(3)分母中不含有根号.
四、达标测试
1、把下列各式分母有理化:







2、计算










二次根式的加减(1)
学习目标:
(1)使学生了解同类二次根式的概念, 掌握判断同类二次根式的方法;.
(2)使学生能正确合并同类二次根式,进行二次根式的加减运算.
学习重点:同类二次根式的概念及掌握合并同类二次根式的方法
学习难点:同类二次根式的概念
学习过程:
一、知识准备
1.(1)两列火车分别运煤2x吨和3x吨,问这两列火车共运多少?
(2)两列火车分别运煤2x吨和3y吨,问这两列火车共运多少?
2.以下问题你能用同样的方法计算吗?

二、学习内容
(一)1.运用以前所学知识进行总结:如果几个二次根式的被开方数相同,那么可以直接根据分配律进行加减运算;
2.下列2组二次根式,每组二次根式的被开方数相同吗?可以相加吗?


3.经过化简,这组的各个根式被开方数相同吗?那么原来这组数据可以相加吗?
4.讨论:要进行二次根式加减运算,它们具备什么特征才能进行合并?
下定义:几个二次根式化简后,如果被开方数相同,那么这几个二次根式就叫做同类二次根式。
5.(1)说出 的三个同类二次根式;(2)试举出一组同类二次根式.
6.怎样合并同类二次根式?
与合并同类项类似,把同类二次根式的系数相加减,作为结果的系数,根号及根号内部都不变
7.上面引例中第(3)小题该怎样计算?
二次根式加减运算的步骤:
(1)把各个二次根式化成最简二次根式
(2)把各个同类二次根式合并.
注意:不是同类二次根式的二次根式(如与不能合并)
(二)、例题教学
1.计算:

(指名板演,然后集体批改评讲)
2.例2

三、知识梳理
1.同类二次根式的定义;2.二次根式加减运算的步骤;
3.如何合并同类二次根式,合并同类二次根式与合并同类项类似;
四、达标测试
1.在二次根式:①②③;④是同类二次根式的是( )
A.①和③ B.②和③ C.①和④ D.③和④
2. 如果最简根式和是同类根式,那么a=_____,b =______.
3、计算:













二次根式的加减(2)
学习目标:
(1) 使学生掌握二次根式的运算方法,明确数的运算顺序、运算律及乘法公式在二次根式的运算中仍然适用;.
(2) 正确运用二次根式的性质及运算法则进行二次根式的混合运算。
学习重点:正确运用二次根式的性质及运算法则进行二次根式的混合运算
学习难点:二次根式的运算法则
学习过程:
一、知识准备
1.二次根式的乘除法是怎样进行的?二次根式的加减法是怎样进行的?
2.什么叫同类二次根式?举例说明。
3.回顾整式的乘法公式:多项式乘法公式、平方差公式、完全平方公式。
二、学习内容
(一)1.怎样计算:?
小组讨论,全班交流。
类比:怎样计算(a-b)(a+2b)?
2.怎样计算:?
回顾:(a-b)(a+b)=________
3.呢?
小结:在进行二次根式的混合运算时,我们曾学过的整式运算的运算律仍然适用。
(二)、例题教学
1.例3、计算:(1)(2)
2.例4、计算:(1)(2)


三、知识梳理
本节课学习了二次根式的运算,在进行运算时要注意什么?
1.二次根式四则混合运算的顺序和整式的四则混合运算的顺序是一样的,含相同二次根式的项要合并.
2.运算律同样适用于二次根式的运算.
3.计算结果要最简.
四、达标测试
1:计算:
(1).

(2).



(3).



(4).(a>0,b>0)


2.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB= ,AC=
求Rt△ABC的周长和面积.



3.






4. 比较大小,并说明理由.












二次根式数学单元试卷
班级 学号 姓名 得分
选择题(每小题3分,共24分)
1、下列各式中,属于二次根式的有( )
① ② ③ ④ ⑤ ⑥
A、2个 B、3个 C、4个 D、5个
2、下列二次根式中,与是同类二次根式的是( )。
A、 B、 C、 D、

3、下列计算中,正确的是( )
A、2+= B、
C、 D、
4、如果a是非零实数,则下列各式中一定有意义的是( )
A、 B、 C、 D、
5、化简的结果是( )
A、 B、 C、 D、
6.已知a<0,化简:的结果是 ( )
A.1 B.-1 C.0 D.2a
7、计算的结果是( )
A、0 B、 C、 D、
8、把的根号外的因式移动到根号内的结果是( )
A、 B、 C、 D、
填空题(每小题3分,共24分)
9、计算()2 =_______________10、、当x__________时,有意义。
11、在实数范围内分解因式= 。
12、请写出两个与是同类的二次根式的根式______________
13、若+|y+1|=0,则x=__________,y=____________.
14、若根式与是同类二次根式,则 。
15、已知三角形底边的边长是,面积是,则此边上的高长是 。
16、当x________时,= x+1。
解答题:17、化简(每小题3分,共12分)
(1) (2) (3) (4) (a>0)

18、计算:(共32分)(1)



(2) (3)


(4) (5)


(6) (7)



(8) a>0,b>0






19、若,,求的值。(8分)








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