【备战2020】高考数学二轮专题：专题二 三角 复习学案（上海地区专用）

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【备考2020】高考数学二轮专题复习学案
专题二 三角
课题 三角 单元 第章 学科 数学 年级 十二
学习 目标 1．熟练掌握三角中的公式，并可以灵活应用； 2．掌握正余弦定理，并会借此解解决实际应用问题； 3．掌握正弦函数，余弦函数，正切函数的图像和性质.
重点 1．三角函数的化简和求值，解斜三角形； 2．三角函数图象和性质，其中图象部分包括“五点法”作图和图象变换规律。函数性质包括三角函数的周期性、奇偶性、单调性等。．
难点 三角函数图象和性质，其中图象部分包括“五点法”作图和图象变换规律。函数性质包括三角函数的周期性、奇偶性、单调性等。
教学安排
版块 时长
1 知识梳理 30
2 例题解析 60
3 巩固训练 20
4 师生总结 10
5 课后练习 30



一、三角恒等式专题
【例1】已知，求的值
【难度】★★
【答案】解：
故



【例2】如图，在平面上，点，点在单位圆上，().
(1)若点，求的值；
(2)若，四边形的面积用表示，求的取值范围.
【难度】★★
【答案】由于，，所以

于是
（2）
由于,，所以

（）
由于，所以，所以

【巩固训练】
1．已知
（1）求的值；
（2）求的值。
【难度】★★
【答案】【解】（1）由条件得到，
解得或者
，
（2）

2．已知和，，且，
求与的值．
【难度】★★
【答案】解：


．
由，得

或
，

又，
．
，，
．


二、解三角形专题
【例3】a、b、c分别是锐角△ABC的内角A、B、C的对边，向量=(2–2sinA，cosA+sinA)，
=(sinA–cosA，1+sinA)，且∥．已知a=，△ABC面积为，求b、c的大小．
【难度】★★
【答案】解：，，又∥
(2–2sinA)(1+sinA)–(cosA+sinA)(sinA–cosA)=0， 即：
又 HYPERLINK "http://www.zxsx.com" 为锐角，则 HYPERLINK "http://www.zxsx.com" ，所以∠A=60(
因为△ABC面积为，所以bcsinA=，即bc=6，
又a=，所以7=b2+c2–2bccosA，b2+c2=13， 解之得：或

【例4】 设三角形的内角所对的边长分别是，且．若不是钝角三角形，求：（1）角的范围；（2）的取值范围．
【难度】★★
【答案】（1）因为，
由得：
（2）
（）
当时，
当时，
所以

【例5】 在△中，已知，外接圆半径．
（1）求角的大小；
（2）若角，求△面积的大小.
【难度】★★
【答案】（1）由题意，，
因为，所以，故，
解得（舍），或． 所以，．
（2）由正弦定理，，得，所以．
因为，由，得，
又，所以△的面积．

【例6】在锐角中，a、b、c分别为内角A、B、C所对的边长，且满足.
（1）求B的大小；
（2）若， 的面积，求的值.
【难度】★★
【答案】解：（1）根据正弦定理，得，所以，
又由角B为锐角，得；
（2），又，所以，
根据余弦定理，得，
所以=16，从而=4．

【例7】在中，角、、所对的边分别为、、，且，的平分线为，
若
（1）当时，求的值；
（2）当时，求实数的取值范围.
【难度】★★
【答案】解：（1）由 又 得
，
（2）由 得；
又=，
所以，

【例8】在中,已知.
(1)求证;
（2）若求角A的大小.[来
【难度】★★
【答案】(1)∵,∴,
即.
由正弦定理,得,∴.
又∵,∴.∴即.
(2)∵ ,∴.∴.
∴,即.∴.
由 (1) ,得,解得.

∵,∴.∴.

【巩固训练】
1．在中，角所对的边分别是，若，，求的面积．
【难度】★★
【答案】
由条件，，。
，，

。

2．在中，分别为内角所对的边，且满足,．
（1）求的大小；
（2）若，，求的面积．
【难度】★★
【答案】
解：（1）
由于，为锐角，
（2）由余弦定理：，，
，或，由于，……10分 所以

3．在中，角、、所对的边分别为、、，且.
（1）求；（2）求的值.
【难度】★★
【答案】
（1）在中，由正弦定理得
将代入上式得，
解得；
（2）中，,且为钝角，所以


所以


4．在中，角所对的边分别为，且．
（1）求角的大小；
（2）若，求的面积．
【难度】★★
【答案】解：（1）
所以，即
由于，故
（2）由余弦定理得， 所以
故

5．在中，角所对边的长分别为，且.
（1）求的值；（2）求的值.
【难度】★★
【答案】（1）由正弦定理,得
（2）由余弦定理，得
所以
故
所以

6．在中，角，，所对的边长分别为，，，向量，，且．
（1）求角；
（2）若，求的面积的最大值．
【难度】★★
【答案】解：（1），，
，
又，，，
（2），，，即
，即，当且仅当时等号成立．
，当时，．


三、三角函数专题
1、值域与最值
【例9】已知函数，求的最小正周期，并求在区间上的最大值和最小值．
【难度】★★
【答案】解：
，
因为，所以，
当时，即时，的最大值为，
当时，即时，的最小值为．

【例10】已知函数，函数与函数的图像关于原点对称．
（1）求的解析式；
（2）当时，求函数的取值范围．
【难度】★★
【答案】解(1)设点是函数的图像上任意一点，由题意可知，点在的图像上，
于是有．所以，，．
(2)由(1)可知，．
　又，所以，．
考察正弦函数的图像，可知，，．
　于是，．
所以，当时，函数的取值范围是．

【例11】已知函数， HYPERLINK "http://www.zxsx.com" .
（1）求的零点； （2）求 HYPERLINK "http://www.zxsx.com" 的最大值和最小值.
【难度】★★
【答案】解法一：解：令，得 HYPERLINK "http://www.zxsx.com" ，
所以，或 HYPERLINK "http://www.zxsx.com" .
由 ， HYPERLINK "http://www.zxsx.com" ，得；
由 HYPERLINK "http://www.zxsx.com" ，，得 HYPERLINK "http://www.zxsx.com" .
综上，函数的零点为 HYPERLINK "http://www.zxsx.com" 或.
解法二： HYPERLINK "http://www.zxsx.com" .
令，得 HYPERLINK "http://www.zxsx.com" .
因为，所以 HYPERLINK "http://www.zxsx.com" .
所以，当，或 HYPERLINK "http://www.zxsx.com" 时，
即 HYPERLINK "http://www.zxsx.com" 或时， HYPERLINK "http://www.zxsx.com" .
综上，函数的零点为 HYPERLINK "http://www.zxsx.com" 或.
（2）解： HYPERLINK "http://www.zxsx.com"
因为，所以 HYPERLINK "http://www.zxsx.com" .
当，即 HYPERLINK "http://www.zxsx.com" 时，的最大值为 HYPERLINK "http://www.zxsx.com" ；
当，即 HYPERLINK "http://www.zxsx.com" 时，的最小值为 HYPERLINK "http://www.zxsx.com" .


2、单调性
【例12】已知函数，函数与函数的图像关于原点对称
（1）求的解析式；
（2）求函数在上的单调递增区间．
【难度】★★
【答案】解(1)设点是函数的图像上任意一点，由题意可知，点在的 图像上，
于是有．所以，，．
(2)由(1)可知，，记． 　
由，解得，
则函数在形如的区间上单调递增.
结合定义域，可知上述区间中符合题意的整数只能是0和1．
　 令得；时，得. 所以，，．
于是，函数在上的单调递增区间是和．

【例13】已知函数，．
（1）设是函数的一个零点，求的值；
（2）求函数的单调递增区间．
【难度】★★
【答案】（1）由题设知．
因为是函数的一个零点，所以，
即（）．
所以
（2）

．
当，即（）时，
函数是增函数，
故函数的单调递增区间是（）．

【例14】已知函数，
（1）求函数的单调递增区间；
（2）将函数图像向右平移个单位后，得到函数的图像，求方程的解.
【难度】★★
【答案】（1），
由得：
的单调递增区间是；
（2）由已知，，
由，得，
，.



3、其他性质
【例15】 已知函数满足
（1）求实数的值以及函数的最小正周期；
（2）记，若函数是偶函数，求实数的值.
【难度】★★
【答案】【解】 （1）由得，，解得
将，代入得
所以
所以函数的最小正周期
（2）由（1）得，，所以
函数是偶函数，则对于任意的实数，均有成立。
所以
整理得，……（﹡）
（﹡）式对于任意的实数均成立，只有，解得，
所以，

【例16】已知函数满足
（1）求实数的值以及函数的最小正周期；
（2）记，若函数是偶函数，求实数的值.
【难度】★★
【答案】【解】 （1）由，得解得
将代入得
所以
所以函数的最小正周期
（2）由（1）得，，所以
函数是偶函数，则对于任意的实数，均有成立。
所以
整理得，……（﹡）
（﹡）式对于任意的实数均成立，只有，解得，
所以，

【例17】已知函数．
（1）若直线是函数图象的一条对称轴，求的值；
（2）若，求的值域．
【难度】★★
【答案】解：（1）
，其对称轴为，即,所以，
由于
所以

由得
所以，即函数的值域为.


【巩固训练】
1．已知函数（）
（1）求函数的单调递增区间；
（2）若，求的取值范围．
【难度】★★
【答案】(1)∵，
∴.
解，得．
∴函数的单调增区间是．
(2)∵, ∴．
　考察函数，易知，． 　
∴ ．
∴函数的取值范围是．
2． 已知函数满足关系，其中是常数.
（1）若，且，求的解析式，并写出的递增区间；
（2）设，若的最小值为6，求常数的值．
【难度】★★
【答案】解：（1），；
递增区间为 ，（）（注：开区间或半开区间均正确）
（2），

解得 所以

3．已知，向量，，．
（1）求的单调递增区间；
（2）若是第二象限角，，求的值．
【难度】★★
【答案】解：（1），
由（），
得的单调递增区间是（）．
（2）由已知得，，
即，
所以，，
若，则，所以；
若，则，．
综上，的值为或．

4．已知函数满足关系，其中是常数.
（1）若，且，求的解析式，并写出的递增区间；
（2）设，若在上恒成立，求常数的取值范围．
【难度】★★
【答案】解：（1），；
递增区间为 ，（）（注：开区间或半开区间均正确）
（2），当时，
令，则函数在上递减
所以
因而，当时，在上恒成立







1．注重化归思想的运用．如将任意角的三角函数值的问题化归为锐角的三角函数的问题，将不同名的三角函数问题化成同名的三角函数的问题，将不同角的三角函数问题化成同角的三角函数问题等．
2．注意数形结合思想的运用．如讨论函数性质等问题时，要结合函数图象思考，便易找出解题思路和问题答案．



1．如图，点A、B是单位圆上的两点，点C是圆与轴的正半轴的交点，将锐角的终边按逆时针方向旋转到.
（1）若点A的坐标为，求的值；
（2）用表示，并求的取值范围.
【难度】★★
【答案】解：（1）由已知，

=
（2）

，，



2．已知函数（,,）的图像与轴的
交点为，它在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别
为和
（1）求函数的解析式；
（2）若锐角满足，求的值.
【难度】★★
【答案】（1）由题意可得 即，
，, 由且，得
函数
由于且为锐角，所以



3．在中，记(角的单位是弧度制)，的面积为S，且
．
(1)求的取值范围；
(2)就(1)中的取值范围，求函数的最大值、最小值．
【难度】★★
【答案】(1)∵，，
又，
∴，即 ．
∴所求的的取值范围是.
(2)∵，


∴，.
∴

4．已知函数．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）在中，内角所对边的长分别是，若，
求的面积的值．
【难度】★★
【答案】解：（1）∵，∴.
由，解得.
∴函数的单调递增区间是.
（2）∵在中，，∴解得.
又，∴.
依据正弦定理，有.∴.
∴

5．已知向量和向量，且.
（1）求函数的最小正周期和最大值；
（2）已知的三个内角分别为，若有，，，求的长度.
【难度】★★
【答案】（1）由条件得，得.则函数的周期为，最大值为2.
（2）由得，即，由正弦定理得，又，，则.

6．已知函数．]
（1）求函数的最小值和最小正周期；
（2）设的内角、、的对边分别为，，，且，，
若，求，的值．
【难度】★★
【答案】
（1）的最小值是－2， 最小正周期是；
（2）．

7．已知，其中，．
（1）求的最小正周期及单调递增区间；
（2）在中，、、分别是角、、的对边，若，，面积为，求：边的长及的外接圆半径．
【难度】★★
【答案】（1）
单调递增区间
（2），由，得
，

，
8． 在中，角、、的对边分别、、，已知，，
且.
（1）求角的大小；
（2）求的面积.
【难度】★★
【答案】（1）（2）

9．已知函数．
（1）求函数的最小正周期；
（2）若存在满足，求实数的取值范围；
（3）对任意的，是否存在唯一的，使成立，请说明理由．

【难度】★★★
【答案】（1）
，
函数的最小正周期
（2）当时，，

存在满足的实数的取值范围为．
（3）存在唯一的，使成立．
当时，，



设，则，由
得
所以的集合为
∵
∴在上存在唯一的值使成立．










知识梳理

任意角的概念

弧长公式

角度制与
弧度制

同角三角函数的基本关系式

诱导
公式

计算与化简
证明恒等式

任意角的
三角函数

三角函数的
图像和性质

已知三角函数值求角
图像和性质

和角公式

倍角公式

差角公式

应用

应用

应用

应用

应用

应用

应用

例题解析

反思总结

课后练习

x

y

A

B

C

O










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