北师大版八年级下册期中备考基础检测--《因式分解》

【因式分解的定义】
北师大版八年级下册期中备考基础检测
《因式分解》



1. 下列从左到右的变形，是因式分解的是 ．（填序号）
①(y-1)(y+1)=y2-1； ②x2y+xy2-1=xy(x+y)-1；
③ x2 x 6 (x 3)(x 2) ； ④(x-5)(x-6)=(5-x)(6-x)；
⑤ (a 2)2 (a 1)2 6a 3 ； ⑥x4-1=(x2+1)(x+1)(x-1)．

【因式分解的方法】提公因式法
2. 多项式mx2 m 与多项式 x2 2x 1的公因式是 ．
3. 将多项式a2b 2ab2 提取公因式 后，另一个因式 ．
4. 因式分解： (a b)2 (b a) ．
5. 若a b 4 ， ab 1，则a2b ab2 ．
公式法
6. 下列多项式不能使用平方差公式分解因式的是（ ）



A． 16x2 y2
C． m2 n2
B． b2 a2
D． 4a2 49n2



7. 将下列多项式分解因式，结果中不含因式 x-1 的是（ ）



A． x2 1
C． x2 2x 1
8. 把下列各式分解因式：
B． x2 2x 1
D． x(x 2) (2 x)



（1） m2 mn 1 n2 ； （2） x3 2x2 y xy2 ；
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（3） 3x3 6x2 y 3xy2 ； （4）x2(x-y)+(y-x)；


（5） x4 1； （6） (a2 1)2 4a2 ；


（7） (x 1)2 2(x 1) 1 ．



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十字相乘法
9. 把多项式 x2 ax b 分解因式，得(x 1)(x 3) ，则a ， b 的值分别为 ，
．
10. 多项式77x2 13x 30 可因式分解成(7x a)(bx c) ，其中a ，b ，c 均为整数， 则a b c 的值为 ．
11. 把下列各式分解因式：
（1） x2 x 6 ； （2） x3 6x2 27x ；



（3） (x 1)2 2(x 1) 3 .



12. 用适当的方法因式分解：
（1） x2 y2 2xy 1； （2） ab bc a2 c2 ；




（3）1 a b ab .



【因式分解的应用】
13. 若关于 x 的多项式 x2 mx 1可分解为(x n)2 ，则 n= ．
14. 在实数范围内因式分解： x3 5x= ．
15. 利用因式分解计算： 2012 1992 = ．
16. 若 k 为任意整数，且 993-99 能被 k 整除，则 k 不可能是（ ）
A．50 B．100 C．98 D．97
17. 利用因式分解说明：257-512 能被 120 整除．








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18. 已知 a，b，c 分别是△ABC 的三边长，且满足 2a4+2b4+c4=2a2c2+2b2c2，则
△ABC 是（ ）
A．等腰三角形 B．等腰直角三角形
C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
19. 已知 a，b，c 为△ABC 的三边长，且满足a2c2 b2c2 a4 b4 ，则△ABC 是
．
20. 阅读材料：若 m2-2mn+2n2-6n+9=0，求 m，n 的值． 解：∵m2-2mn+2n2-6n+9=0，
∴(m2-2mn+n2)+(n2-6n+9)=0，
∴(m-n)2+(n-3)2=0，
∴(m-n)2=0，(n-3)2=0，
∴n=3，m=3．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知 x2-2xy+2y2+8y+16=0，求 xy 的值；
（2）已知△ABC 的三边长 a，b，c 都是正整数，且满足 a2+b2-12a-16b+100=0，求△ABC 的最大边 c 可能是哪几个值？




21. 如图，边长为a ， b 的长方形的周长为 14，面积为 10，求a3b ab3 2a2b2
的值．


22. 如图，在一个大圆盘中有 4 个相同的小圆盘，已知大、小圆盘的半径都是整数，阴影部分的面积为 5π cm2，求大、小圆盘的半径．


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23. 给你若干个长方形和正方形的卡片，如图所示，请你运用拼图的方法，选取相应种类和数量的卡片，拼成一个大长方形，使它的面积等于a2 3ab 2b2 ， 并根据你拼成的图形分解因式： a2 3ab 2b2 ．









24. 观察下列各式：
12 +(1 2)2 22 9 32 ，
22 +(2 3)2 32 49 72 ，
32 +(3 4)2 42 169 132 ，…
你发现了什么规律？请用含有字母 n（n 为正整数）的等式表示出来，并说明理由．





25. 阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
1+x x(x 1) x(x 1)2
(1 x)1+x x(x 1)
(1 x)2 (1 x)
=(1 x)3
（1）上述分解因式的方法是 ，共应用了 次；
（2）若分解因式：1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)2018 ，则需应用上述方法
次，结果是 ；
（3）1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)n（n 为正整数）．






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26. 对于多项式 x3 5x2 x 10 ，如果我们把 x 2 代入此多项式，发现多项式x3 5x2 x 10 0 ，这时可以断定多项式中有因式(x 2) （注：把 x a 代入多项式能使多项式的值为 0，则多项式含有因式(x a) ），于是我们可以把多项式写成： x3 5x2 x 10 (x 2)(x2 mx n) ．
（1）求式子中m ， n 的值；
（ 2 ） 以上这种因式分解的方法叫做试根法， 用试根法分解多项式
x3 2x 2 13x 10 的因式．








27. 任何一个正整数都可以进行这样的分解：n=p×q（p，q 是正整数，且 p≤q），正整数的所有这种分解中，如果 p，q 两因数之差的绝对值最小，我们就称



p×q 是正整数的最佳分解，并规定：F ( n )
p ．例如：24 可以分解成 1×24，
q



2×12，3×8 或 4×6，因为 24-1>12-2>8-3>6-4，所以 4×6 是 24 的最佳分解，
所以 F(24)= 2 ．
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（1）求 F(18)；
（2）如果一个两位正整数，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y 为自然数），交换其个位上的数字与十位上的数字得到的新数减去原来的两位正整数所得的差记为 m，交换其个位上的数字与十位上的数字得到的新数加上原来的两位正整数所得的和记为 n，若 m 与 n 的积为 1 188，那么我们称这个数为“最美数”，求这个“最美数”．












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28. 仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式 x2 4x m 有一个因式是(x 3) ，求另一个因式以及
m 的值．
解：设另一个因式为(x n) ，得 x2 4x m (x 3)(x n) ， 则 x2 4x m x2 (n 3)x 3n ．
n 3 4
∴m 3n ．
解得： n 7，m 21．
∴另一个因式为(x 7) ，m 的值为-21．
问题：
（1）若二次三项式 x2 5x 6 可分解为(x 2)(x a) ，则 a= ；
（2）若二次三项式2x2 bx 5 可分解为(2x 1)(x 5) ，则 b= ；
（3）仿照以上方法解答下面问题：若二次三项式2x2 3x k 有一个因式为
(2x 5) ，求另一个因式以及 k 的值．






29. 阅读下面的例题，解答问题： 分解因式： x2 2x 3 ．
解：原式= x2 2x 11 3
= (x2 2x 1) 4
= (x 1)2 4
= (x 1 2)(x 1 2)
= (x 3)(x 1)
上述因式分解的方法称为配方法，请体会配方法的特点，用配方法分解因式：
（1） x2 4x 3 ；
（2） 4x2 12x 7 ．








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参考答案：