人教版数学八年级下册 第17章勾股定理全章课件（4课时 88张PPT）
文档属性
| 名称 | 人教版数学八年级下册 第17章勾股定理全章课件（4课时 88张PPT） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 3.4MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-04-29 21:46:45 | ||
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文档简介
(共88张PPT)
人教版八年级第17章
勾股定理全章课件
1.勾股定理
2.勾股定理的应用
3.勾股定理的作图与计算
4.勾股定理的逆定理
第十七章
17.1 勾股定理
17.1. 勾股定理
教学目标
1.能熟练进行二次根式的混合运算 ;（重点）
2.灵活运用因式分解、约分等技巧,运用运算律使计算简便 .（难点）
以等腰直角三角形三边为边长的三个正方形 , 这三个正方形面积之间存在怎样的关系 ? 三个正方形之间的面积关系说明了什么 ?
小正方形的面积之和等于大正方形的面积 , 也就是等腰直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 .
新知探究
新知探究
为什么叫勾股定理这个名称呢 ? 原来在中国古代 , 人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾” , 下半部分称为“股” . 于是我国古代学者就把直角三角形中较短直角边称为“勾” , 较长直角边称为“股” , 斜边称为“弦” . 由于命题反映的正好是直角三角形三边的关系 , 所以叫做勾股定理 .
勾
股
国外又叫毕达哥拉斯定理
新知探究
A
B
C
由这三个正方形A , B , C的边长构成的等腰直角三角形三条边长度之间有怎样的特殊关系 ?
探究一 : 三个正方形A , B , C 的面积有什么关系 ?
SA+SB=SC
新知探究
（图中每个小方格是1个单位面积）
A中含有 个小方格 ,
即A的面积是 个单位面积 ;
B的面积是 个单位面积 ;
C的面积是 个单位面积 .
9
9
18
9
A
B
C
图1
结论 : 图1中三个正方形A , B , C 的面积之间的数量关系是 :
SA+SB=SC
探究二 : 三个正方形A , B , C 的面积有什么关系 ?
新知探究
探究三 : SA+SB=SC在图2中还成立吗 ?
A
B
C
图2
结论 : 仍然成立.
A的面积是 个单位面积 ;
B的面积是 个单位面积 ;
C的面积是 个单位面积 .
25
16
9
你是怎样得到正方形C的面积的 ? 与同伴交流交流 .
（图中每个小方格是1个单位面积）
新知探究
A
B
C
问题2: 式子SA+SB=SC能用直角三角形的三边 a , b , c 来表示吗 ?
问题 4: 那么直角三角形三边a , b , c 之间的关系式是 ．
a
b
c
至此 , 我们在网格中验证了:直角三角形两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形面积 , 即SA+SB=SC .
a2 + b2 = c2
a2 + b2 = c2
问题1: 去掉网格结论会改变吗？
问题 3: 去掉正方形结论会改变吗 ?
a
b
c
A
B
C
知识归纳
如果直角三角形两直角边长分别为a , b , 斜边长为c , 那么 a2+b2=c2 .
1.成立条件 : 在直角三角形中 ;
3.作用 : 已知直角三角形任意两边长 ,
求第三边长 .
2.公式变形 :
a
b
c
新知探究
利用拼图来验证勾股定理 :
c
a
b
1．准备四个全等的直角三角形(设直角三角形的两条角边分
别为a , b , 斜边c) ;
2．你能用这四个直角三角形拼成一个正方形吗 ? 拼一拼试试看 .
3．你拼的正方形中是否含有以斜边c为边的正方形 ?
4．你能否就你拼出的图说明 a2+b2=c2 ?
新知探究
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
=2ab+b2-2ab+a2
=a2+b2
∴ a2+b2=c2
大正方形的面积可以表示为 ;
也可以表示为 ．
c2
4 ? +(b- a)2
∵ c2= 4? +(b-a)2
新知探究
美国总统证法 :
b
c
a
b
c
a
A
B
C
D
∴a?+b? =c?
ABCD
解：如图所示 .
正方形A , B , C , D的边长分别是12 , 16 , 9 , 12,
设直角三角形的斜边长为c , 由勾股定理知 :
122+162=c2.
c=20 , 即正方形F边长为20 .
同理可得 , 正方形G的边长为15 ,
故直角三角形的两直角边分别为20 , 15 .
设它的斜边长为k，由勾股定理知 :
202+152=k2,
k=25.
正方形E的边长为25 ,
S正方形E=25×25=625 .
例1：如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形.
已知正方形A , B , C , D的边长分别是12 , 16 , 9 , 12 ,求最大正方形E的面积 .
A
B
C
D
E
F
G
K
H
新知探究
新知探究
例2: 求出下列直角三角形中未知边的长度 .
解：（1）在Rt△ABC中,由勾股定理得：AB2=AC2+BC2
x2 =36+64
x2 =100
x2=62+82
∵x>0
y2+52=132
y2=132-52
y2=144
∴ y=12
（2）在Rt△ABC中,由勾股定理 得:AC2+BC2=AB2
∵y>0
A
6
8
x
C
B
5
y
13
C
A
B
∴x=10
知识归纳
利用勾股定理建立方程 .
新知探究
美丽的勾股树
课堂小结
勾股定理：
如果直角三角形两直角边长分别为 a , b ,斜边长为 c , 那么 a2+b2=c2 .
勾股定理的证明方法 .
利用勾股定理建立方程 .
课堂小测
1.如图所示 , 字母 B 所代表的正方形的面积是 ( )
A.12 B.13
C.144 D.194
C
课堂小测
2.如图所示,若∠A=60°, AC=20 m , 则 BC 大约是 (结果精确到0.1 m) ( )
A.34.64 m B.34.6 m
C.28.3 m D.17.3 m
B
课堂小测
3.直角△ABC的两直角边a=5 , b=12 , c= .
4.直角△ABC的一条直角边a=10 , 斜边 c=26 , 则b= .
13
24
课堂小测
5.在Rt△ABC中,∠C=90°.
(1)若a=3,b=4,则c= ;?
(2)若b=6,c=10,则a= ;?
(3)若a=5,c=13,则b= ;?
(4)若a=1.5,b=2,则c= .?
5
8
12
2.5
课堂小测
6.已知 : 直角三角形的两边长分别是3 , 4 , 则第三边长是 .
?
7.已知等边三角形的边长为 2cm , 则它的高为 ,
面积为 ．
?
?
课堂小测
解:(1)∵AD平分∠CAB ,
DE⊥AB ,∠C=90° ,
∴CD=DE .
∵CD=3 , ∴DE=3 .
8.如图所示 , Rt△ABC 中 , ∠C=90° , AD平∠CAB , DE⊥AB于E , 若AC=6 , BC=8 , CD=3 . (1)求DE的长 ; (2)求△ADB的面积 .
(2)在Rt△ABC中 , 由勾股定理得 ,
∵
2 勾股定理的应用
教学目标
1.运用勾股定理解决实际问题 ;（重点）
2.勾股定理的灵活运用 .（难点）
新课导入
如果直角三角形两直角边分别为a , b , 斜边为c , 那么
即 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 .
a
b
c
1. 已知Rt△ABC中 , ∠C=90° , 若 a=1 , c=3 , 则 b= .
2. 已知Rt△ABC中 , ∠A=90° , ∠B=30° , 若 a=4 , 则 c= . Zx```x``k
3. 已知Rt△ABC中 , ∠B=90° , ∠A=45° , 若 b=7 , 则 c= .
7
新课导入
新课导入
电视的尺寸是屏幕对角线的长度 . 小华的爸爸买了一台29英寸 (74cm) 的电视机 , 小华量电视机的屏幕后 , 发现屏幕只有58cm 长和 46cm 宽 . 他觉得一定是售货员搞错了 , 你同意他的想法吗 ? 你能解释是为什么吗 ?
新知探究
1m
2m
例1 : 一个门框的尺寸如图所示 , 一块长 3m , 宽 2.2m 的长方形薄木板能否从门框内通过 ? 为什么 ?
解 : 如图所示 , 在 Rt△ABC 中 , 根据勾股定理 ,
得 AC2=AB2+BC2=12+22=5 .
AC= ≈2.24 .
因为 AC 大于木板的宽 2.2m , 所以木板能从门框内通过 .
解题策略 : 在遇到木板进门或将物体放入立体图形内的问题, 常常需要找到能通过(放入)物体的最大长度 , 与物体的长度比较大小 , 从而判断是否可以通过(放入) .
新知探究
例2 : 如图所示 , 一架 2.6m 长的梯子 AB 斜靠在一竖直的墙 AO 上 , 这时 AO 为2.4m . 如果梯子的顶端 A 沿墙下滑 0.5m , 那么梯子底端 B 也外移 0.5m 吗 ?
解:可以看出 , BD=OD-OB .
在 Rt△AOB 中 , 根据勾股定理 ,
得 OB2=AB2-OA2=2.62-2.42=1 , OB= =1 .
在 Rt△COD 中, 根据勾股定理 ,
得 OD2=CD2-OC2=2.62-(2.4-0.5)2=3.15 , OD= ≈1.77.
BD=OD-OB≈1.77-1=0.77 .
所以梯子的顶端沿墙下滑 0.5m 时 , 梯子底端并不是
也外移 0.5m , 而是外移约 0.77m .
新知探究
A
B
A
B
C
2a
a
例3 : 如图所示,一只蚂蚁沿棱长为 a 的正方体表面从顶点 A 爬到
顶点 B , 则它走过的最短路程为
解 : 将正方体侧面展开 , 部分展开图如图所示 .
由图知 AC=2a , BC=a .
根据勾股定理 , 得 AB
知识归纳
勾股定理应用的条件必须是直角三角形 , 所以要应用勾股定理必须构造直角三角形 . 常见的应用类型为 :
① 化非直角三角形为直角三角形 ;
② 将实际问题转化为直角三角形模型 .
1.一辆装满货物的卡车 , 其外形高 2.5米 ,
宽 1.6米 , 要开进厂门形状如图的某工
厂 , 问这辆卡车能否通过该工厂的厂
门 ? 说明理由 .
新知探究
2.3米
2米
1.6米
A
B
M
E
O
┏
C
D
H
实际问题
数学问题
实物图形
几何图形
新知探究
当车的高度﹥CH 时 , 则车 通过 ;
当车的高度﹤CH 时 , 则车 通过 .
A
B
M
E
O
C
┏
D
H
2米
2.3米
由图可知:CH =DH+CD , OD=0.8米 , OC= 1米 , CD⊥AB,
于是车能否通过这个问题就转化到直角△ODC中CD这
条边上 ;
不能
能
解 : 由于厂门宽度足够 , 所以卡车能否通过 , 只要看当卡车位于厂门正中间时其高度与 CH 值的大小比较 .
1.6米
根据勾股定理得 : CD= = =0.6（米）
2.3+0.6=2.9﹥2.5 , ∴卡车能通过 .
CH的值是多少 , 如何计算呢 ?
新知探究
2.我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题 , 原文是 :
今有方池一丈 , 葭生其中央 , 出水一尺 , 引葭赴岸 , 适
与岸齐 , 水深 , 葭长各几何 ? 请用学过的数学知识回答
这个问题 .
译 : 有一个水池 , 水面是一个为10尺的正方形 , 在水池正中央有一根芦苇 , 它高出水面一尺 . 如果把这根芦苇拉向水池一边的中点 , 它的顶端恰好到达池边的水面 . 这个水池的深度与这根芦苇的长度分别是多少 ?
新知探究
A
解:设水池的深度AC为x米 ,
则芦苇高AD为 (x+1)米 .
根据题意得:BC2+AC2=AB2,
∴52+x2 =(x+1)2
25+x2=x2+2x+1
x=12 ,
∴x+1=12+1=13(米) .
答:水池的深度为12米 , 芦苇高为13米 .
B
C
D
新知探究
课堂小结
勾股定理的应用：
用勾股定理计算时 , 要先画好图形 , 并标好图形 , 理清各边之间的关系 , 再灵活运用勾股定理计算 .
在利用勾股定理进行有关计算和证明时 ,要注意运用方程的思想 ; 求直角三角形有关线段的长 , 有时还要运用转化的数学思想 , 或利用添加辅助线的方法构造直角三角形 , 再运用勾股定理求解.
课堂小测
1.小明用火柴棒摆直角三角形 , 已知他摆两条直角边分别用了6 根和 8 根火柴棒 , 他摆完这个直角三角形共用火柴棒 ( )
A.20根 B.14根 C.24根 D.30根
C
课堂小测
2.如图 , △ABC中∠C＝90° , AD平分∠BAC ,
DE⊥AB于E , 下面等式错误的是( )
A.
B.
C.
D.
D
课堂小测
3.为迎接新年的到来 , 同学们做了许多花布置教室 , 准备召开新年晚会 . 小刘搬来一架高 2.5 米的木梯 , 木梯放好后 , 顶端与地面的距离为 2.4米 , 则梯脚与墙脚的距离应为 ( )
A.0.7米 B.0.8米 C.0.9米 D.1.0米
A
课堂小测
4.我国古代有这样一道数学问题 :“枯木一根直立地上 , 高二丈 , 周三尺 , 有葛藤自根缠绕而上 , 五周而达其顶 , 问葛藤之长几何 ?” 题意是 : 如图所示 , 把枯木看作一个圆柱体 , 因一丈是十尺 , 则该圆柱的高为20尺 , 底面周长为3尺 , 有葛藤自点A处缠绕而上 , 绕五周后其末端恰好到达点B处 . 则问题中葛藤的最短长度是 尺 .?
25
课堂小测
5.如图 , 山坡的坡角为30° , 山坡上两株木之间的坡面距离是 米 ,
则这两株树之间的垂直距离是 米 , 水平距离是 米 .
6
课堂小测
6.如图所示 , 两点 A , B 都与平面镜 CD 相距 4米 , 且 A , B 两点相距 6米 , 一束光由 A 点射向平面镜 , 反射之后恰好经过 B 点 , 求 B 点与入射点间的距离 .
解:作出B点关于CD的对称点B' , 连接AB' , 交CD于点O, 则O点就是光的入射点 , 连接OB ,
因为 AC=BD , ∠ACO=∠BDO=90°, ∠AOC=∠BOD ,
所以 △AOC≌△BOD . 所以 OC=OD= AB=3米 .
在 Rt△ODB中 , OD2+BD2=OB2 ,
所以 OB2=32+42=25 , 所以OB=5米 .
课堂小测
7.如图 , 铁路上A , B两点相距25km , C , D为两庄 , DA⊥AB于A , CB⊥AB于B ,
已知 DA=15km , CB=10km , 现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E , 使得C ,
D两村到E站的距离相等 , 则E站应建在离A站多少km处 ?
C
A
E
B
D
x
25-x
解：设AE= x km ,
根据勾股定理 , 得
AD2+AE2=DE2 ,
BC2+BE2=CE2 ,
又 ∵ DE=CE ,
∴ AD2+AE2= BC2+BE2 .
即：152+x2=102+(25-x)2
答：E站应建在离A站10km处 .
∴ x=10 .
则 BE=(25-x) km ,
15
10
LOREM IPSUM DOLOR
3、勾股定理的作图与计算
教学目标
1.能利用勾股定理在数轴上表示无理数 ;（重点）
2.利用勾股定理寻找直角三角形中长度为无理数的线段 .（难点）
1.如图 , 欲测量松花江的宽度 , 沿江岸取B , C两点 , 在江
对岸取一点A , 使AC垂直江岸 , 测得BC=50米 , ∠B=60° ,
则江面的宽度为 米 .
2.数轴上表示的点 到原点的距离是 ;点M在数轴
上与原点相距 个单位 ; 则点M表示的实数为 .
新课导入
新课导入
证明“HL”
′
′
′
′
′
′
已知：如图，在Rt△ABC 和Rt△A B C 中 , ∠C=∠C =90° ,
AB=A B , AC=A C .
求证 :△ABC ≌△A B C ．
′
′
′
′
′
′
′
′
′
′
′
证明：在Rt△ABC 和Rt△A B C 中 ,
∠C=∠C′=90° ,
根据勾股定理 , 得
′
′
′
A
B
C
A
B
C′
′
′
证明：∵ AB=A B ,
AC=A C ,
∴ BC=B C .
新课导入
A
B
C
A
B
C′
′
′
′
′
′
∴ △ABC ≌△A B C （SSS）.
′
′
′
′
′
′
新知探究
0
1
2
3
4
步骤：
l
A
B
C
1 . 在数轴上找到点A , 使OA=3 ,
2 . 作直线 l ⊥OA , 在 l 上取一点B , 使AB=2 ;
3 . 以原点 O 为圆心 , 以OB为半径作弧 , 弧与数轴交 于C点 , 则点C即为表示 的点 .
∴点C即为表示 的点 .
?
新知探究
-1 0 1 2 3
?
新知探究
在数学中也有这样一幅美丽的“海螺型”图案
由此可知,利用勾股定理,可以作出长为
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
第七届国际数学教育大会的会徽.
1
的线段.
知识归纳
在数轴上表示无理数的步骤：
① 利用勾股定理拆分出哪两条线段长的平方和等于所画线
段(斜边)长的平方 , 注意一般其中两条线段的长是整数 ;
② 以数轴原点为直角三角形斜边的顶点 , 构造直角三角形 ;
③ 以数轴原点为圆心 , 以斜边长为半径画弧 , 即可在数轴上找到表示该无理数的点 .
新知探究
例1：小刚欲划船横渡一条河 , 由于水流的影响 , 实际船靠岸的地点
B偏离欲到达地点C 50m , 结果船在水中实际行驶的路程比河
宽多10m , 求该河的宽AC是多少米？
解：设河宽AC为x m , 则AB为（x+10）m .
在直角三角形ACB中 ,
∵AB2=AC2+CB2 ,
∴（x+10）2=x2+502 .
解得x=120 .
答：该河的宽AC是120m .
x
x+10
50
?
新知探究
例2： 如图所示 , ∠B=∠D=90° , ∠A=60° , AB=4 , CD=2 .
求四边形ABCD的面积 .
3
课堂小结
勾股定理的作图与计算：
用勾股定理在数轴上表示无理数 , 构造长为无理数的线段放在直角三角形中 , 有时是直角边 , 有时是斜边 .
求不规则图形的面积 , 应用割补法把图形分解为特殊图形 , 四边形中常常通过作辅助线构造直角三角形 , 以利用勾股定理 .
课堂小测
1.如图所示 , 长方形 OABC 的边 OA 长为2 , 边 AB 长为1 , OA 在数轴上 , 以原点 O 为圆心 , 对角线 OB 的长为半径画弧 , 交数轴正半轴于一点 , 则这个点表示的实数是 ( )
C
?
2.如图所示 , 在Rt△ABC中 , ∠ACB=90° , AC=BC , 边AC落在数轴上 , 点A表示的数是1 , 点C表示的数是3 . 以点A为圆心 , AB长为半径画弧交数轴负半轴于点B1 , 则点B1所表示的数是 ( )
课堂小测
C
?
课堂小测
3.如图所示 , 数轴上点A所表示的数为a , 则a的值是 .?
4.如图所示 , 在Rt△AOB中 , OB=1 , AB=2 , 以原点O为圆心 , OA为半径画弧 , 交数轴负半轴于点P , 则点P表示的实数是 .?
课堂小测
5.如图 , △ACB和△ECD都是等腰直角三角形 , ∠ACB =∠ECD =90° ,
D为AB边上一点 . 求证 : AD2 +DB2 =DE2．
证明：∵∠ACB =∠ECD ,
∴∠ACD +∠BCD=∠ACD +∠ACE ,
∴∠BCD =∠ACE .
又∵ BC=AC , DC=EC ,
∴ △ACE ≌△BCD .
A
B
C
D
E
∴ ∠B =∠CAE=45° ,
∠DAE =∠CAE+∠BAC=45°+45°=90° ,
∴ AD2 +AE2 =DE2 ,
∵ AE=DB ,
∴ AD2 +DB2 =DE2．
课堂小测
6.荷花问题
平平湖水清可鉴 ,
面上一尺生红莲 ;
出泥不染亭亭立 ,
忽被强风吹一边 ;
渔人观看忙向前 ,
花离原位二尺远 ;
能算诸君请解题 ,
湖水如何知深浅 .
1
x
x+1
2
A
B
C
D
课堂小测
A
?
课堂小测
A
B
我怎么走会最近呢?
8.有一个圆柱 , 它的高等于12 cm , 底面半径等于3cm , 在圆柱下底面上的A点有一只蚂蚁 , 它想从点A爬到点B , 蚂蚁沿着圆柱侧面爬行的最短路程是多少 ? (π的值取3)
课堂小测
B
A
高
12cm
B
A
长18cm (π的值取3)
9cm
解∵ AB2=92+122=81+144=225=
∴ AB=15(cm).
答：蚂蚁爬行的最短路程是15cm .
152.
4、 勾股定理的逆定理
勾股定理 如果直角三角形的两条直角边长分别为
a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
题设（条件）：直角三角形的
两直角边长为a，b，斜边长为c ．
结论：a2+b2=c2．
问题 回忆勾股定理的内容．
形
数
学习目标：
1．理解勾股定理的逆定理，经历“观察－测量－猜想－论证”的定理探究的过程，体会“构造法”证明数学命题的基本思想；
2．了解逆命题的概念，知道原命题为真命题，它的逆命题不一定为真命题．
学习重点：
探索并证明勾股定理的逆定理.
逆向思考 提出问题
思考 如果三角形的三边长a，b，c 满足a2+b2=c2，
那么这个三角形是否是直角三角形？
据说，古埃及人曾用下面的方法画直角：把一根长
绳打上等距离的13 个结，然后以3 个结间距，4 个结间
距、5 个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，
其中一个角便是直角．你认为结论正确吗？
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（13）
（12）
（11）
（10）
（9）
如果三角形的三边分别
为3，4，5，这些数满足
关系：32+42=52，围成的
三角形是直角三角形．
实验操作：
（1）画一画：下列各组数中的两数平方和等于第三数的
平方，分别以这些数为边长画出三角形（单位：cm），
它们是直角三角形吗？
① 2.5，6，6.5； ② 6，8，10．
（2）量一量：用量角器分别测量上述各三角形的最大角
的度数．
（3）想一想：请判断这些三角形的形状，并提出猜想．
A1
B1
C1
已知：如图，△ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2．
求证：△ABC是直角三角形．
？
三角形全等
∠C是直角
△ABC是直角三角形
A
B
C
a
b
c
a
作用：判定一个三角形三边满足什么条件时为直角
三角形．
定理：如果三角形的三边长a，b，c 满足a2+b2=c2，
那么这个三角形是直角三角形．
例1 判断由线段a，b，c 组成的三角形是不是直
角三角形：
（1）a=15，b=17，c=8；
（2）a=13，b=15，c=14；
（3）a= ，b=4，c=5．
分析：根据勾股定理及其逆定理判断一个三角形是
不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等
于最大边长的平方．
解：（1）
∵ 152+82 =225+64=289，
172 =289，
∴ 152+82 =172.
∴ 以15，8，17为边长的三角形是直角三角形．
例1 判断由线段a，b，c 组成的三角形是不是直
角三角形：
（1） a=15，b=17，c=8；（2） a=13，b=15，c=14；
（3） a= ，b=4，c=5．
像15，17，8 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数．
勾股定理的逆定理：
定理：如果三角形的三边长a，b，c 满足a2+b2=c2，
那么这个三角形是直角三角形．
两个命题的题设与结论正好相反，像这样的两个命
题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那
么另一个命题叫做它的逆命题．
勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，
斜边为c，那么a2+b2=c2．
说出下列命题的逆命题．这些命题的逆命题是真命
题吗？
（1）两条直线平行，内错角相等；
逆命题：内错角相等，两直线平行．真命题．
（2）对顶角相等；
逆命题：相等的角是对顶角．假命题．
（3）线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．
逆命题：到线段两端点的距离相等的点在线段的
垂直平分线上．真命题．
1. 判断由线段a、b、c组成的三角形是不是直角三角形.
① a=7, b=24, c=25
④ a=40, b=50, c=60
√
√
√
×
2. 下列各命题都成立，写出它们的逆命题. 这些逆命题成立吗？
① 同旁内角互补，两直线平行；
② 如果两个角是直角，那么它们相等；
③ 全等三角形的对应边相等；
④ 如果两个实数相等，那么它们的平方相等。
3. 已知：如图，四边形ABCD中，∠B＝900，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13,求四边形ABCD的面积?
A
B
C
D
S四边形ABCD=36
讲授新课
例1 某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”
号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向
航行，“远航”号每小时航行16 n mile，“海天”号每
小时航行12 n mile．它们离开港口一个半小时后分别位
于点Q，R处，且相距
30 n mile ．如果知道
“远航”号沿东北方
向航行，能知道“海
天”号沿哪个方向航
行吗？
R
S
Q
P
E
N
分析：由图可以看到，由于“远航”号的航向
已知，如果求出两艘船的航向所成的角 ，就能
知道“海天”号的航向了。
例2 如图，在四边形ABCD中，AB=3，BC=4，
CD=12，AD=13，∠B=90°，求四边形ABCD的面积．
解：∵ AB=3，BC=4，∠B=90°，
∴ AC=5．又∵ CD=12，AD=13，
∴ AC2+CD2=52+122=169．
又∵ AD2=132=169，
即 AC2+CD2=AD2，
∴ △ACD是直角三角形．
∴ 四边形ABCD的面积为 ．
A
B
C
D
问题2 通过例1及例2的学习，我们进一步学习了
像18，24，30；3，4，5；5，12，13这样的勾股数，大
家有没有发现18，24，30；3，4，5 这两组勾股数有什
么关系？
追问1 类似这样的关系6，8，10；9，12，15是否
也是勾股数？如何验证？
追问2 通过对以上勾股数的研究，你有什么样的
猜想？
问题2 通过例1及例2的学习，我们进一步学习了
像18，24，30；3，4，5；5，12，13这样的勾股数，大
家有没有发现18，24，30；3，4，5 这两组勾股数有什
么关系？
结论：若a，b，c是一组勾股数，那么ak，bk，ck
（k为正整数)也是一组勾股数．
练习1 如图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，
∠A=∠B=∠C=∠D=90°．点E是BC的中点，点F是CD
上一点，且 ．求证：∠AEF=90°．
A
B
C
D
E
F
练习2 如图，南北向MN为我国领域，即MN以西为我国领海，以东为公海. 上午9时50分，我反走私艇A发现正东方向有一走私艇C以13海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B.已知A、C 两艇的距离是13海里，A、B两艇的距离是5海里 ；反走私艇B测得离C艇的距离是12海里.若走私艇C的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？
C
N
E
B
A
M
人教版八年级第17章
勾股定理全章课件
1.勾股定理
2.勾股定理的应用
3.勾股定理的作图与计算
4.勾股定理的逆定理
第十七章
17.1 勾股定理
17.1. 勾股定理
教学目标
1.能熟练进行二次根式的混合运算 ;（重点）
2.灵活运用因式分解、约分等技巧,运用运算律使计算简便 .（难点）
以等腰直角三角形三边为边长的三个正方形 , 这三个正方形面积之间存在怎样的关系 ? 三个正方形之间的面积关系说明了什么 ?
小正方形的面积之和等于大正方形的面积 , 也就是等腰直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 .
新知探究
新知探究
为什么叫勾股定理这个名称呢 ? 原来在中国古代 , 人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾” , 下半部分称为“股” . 于是我国古代学者就把直角三角形中较短直角边称为“勾” , 较长直角边称为“股” , 斜边称为“弦” . 由于命题反映的正好是直角三角形三边的关系 , 所以叫做勾股定理 .
勾
股
国外又叫毕达哥拉斯定理
新知探究
A
B
C
由这三个正方形A , B , C的边长构成的等腰直角三角形三条边长度之间有怎样的特殊关系 ?
探究一 : 三个正方形A , B , C 的面积有什么关系 ?
SA+SB=SC
新知探究
（图中每个小方格是1个单位面积）
A中含有 个小方格 ,
即A的面积是 个单位面积 ;
B的面积是 个单位面积 ;
C的面积是 个单位面积 .
9
9
18
9
A
B
C
图1
结论 : 图1中三个正方形A , B , C 的面积之间的数量关系是 :
SA+SB=SC
探究二 : 三个正方形A , B , C 的面积有什么关系 ?
新知探究
探究三 : SA+SB=SC在图2中还成立吗 ?
A
B
C
图2
结论 : 仍然成立.
A的面积是 个单位面积 ;
B的面积是 个单位面积 ;
C的面积是 个单位面积 .
25
16
9
你是怎样得到正方形C的面积的 ? 与同伴交流交流 .
（图中每个小方格是1个单位面积）
新知探究
A
B
C
问题2: 式子SA+SB=SC能用直角三角形的三边 a , b , c 来表示吗 ?
问题 4: 那么直角三角形三边a , b , c 之间的关系式是 ．
a
b
c
至此 , 我们在网格中验证了:直角三角形两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形面积 , 即SA+SB=SC .
a2 + b2 = c2
a2 + b2 = c2
问题1: 去掉网格结论会改变吗？
问题 3: 去掉正方形结论会改变吗 ?
a
b
c
A
B
C
知识归纳
如果直角三角形两直角边长分别为a , b , 斜边长为c , 那么 a2+b2=c2 .
1.成立条件 : 在直角三角形中 ;
3.作用 : 已知直角三角形任意两边长 ,
求第三边长 .
2.公式变形 :
a
b
c
新知探究
利用拼图来验证勾股定理 :
c
a
b
1．准备四个全等的直角三角形(设直角三角形的两条角边分
别为a , b , 斜边c) ;
2．你能用这四个直角三角形拼成一个正方形吗 ? 拼一拼试试看 .
3．你拼的正方形中是否含有以斜边c为边的正方形 ?
4．你能否就你拼出的图说明 a2+b2=c2 ?
新知探究
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
=2ab+b2-2ab+a2
=a2+b2
∴ a2+b2=c2
大正方形的面积可以表示为 ;
也可以表示为 ．
c2
4 ? +(b- a)2
∵ c2= 4? +(b-a)2
新知探究
美国总统证法 :
b
c
a
b
c
a
A
B
C
D
∴a?+b? =c?
ABCD
解：如图所示 .
正方形A , B , C , D的边长分别是12 , 16 , 9 , 12,
设直角三角形的斜边长为c , 由勾股定理知 :
122+162=c2.
c=20 , 即正方形F边长为20 .
同理可得 , 正方形G的边长为15 ,
故直角三角形的两直角边分别为20 , 15 .
设它的斜边长为k，由勾股定理知 :
202+152=k2,
k=25.
正方形E的边长为25 ,
S正方形E=25×25=625 .
例1：如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形.
已知正方形A , B , C , D的边长分别是12 , 16 , 9 , 12 ,求最大正方形E的面积 .
A
B
C
D
E
F
G
K
H
新知探究
新知探究
例2: 求出下列直角三角形中未知边的长度 .
解：（1）在Rt△ABC中,由勾股定理得：AB2=AC2+BC2
x2 =36+64
x2 =100
x2=62+82
∵x>0
y2+52=132
y2=132-52
y2=144
∴ y=12
（2）在Rt△ABC中,由勾股定理 得:AC2+BC2=AB2
∵y>0
A
6
8
x
C
B
5
y
13
C
A
B
∴x=10
知识归纳
利用勾股定理建立方程 .
新知探究
美丽的勾股树
课堂小结
勾股定理：
如果直角三角形两直角边长分别为 a , b ,斜边长为 c , 那么 a2+b2=c2 .
勾股定理的证明方法 .
利用勾股定理建立方程 .
课堂小测
1.如图所示 , 字母 B 所代表的正方形的面积是 ( )
A.12 B.13
C.144 D.194
C
课堂小测
2.如图所示,若∠A=60°, AC=20 m , 则 BC 大约是 (结果精确到0.1 m) ( )
A.34.64 m B.34.6 m
C.28.3 m D.17.3 m
B
课堂小测
3.直角△ABC的两直角边a=5 , b=12 , c= .
4.直角△ABC的一条直角边a=10 , 斜边 c=26 , 则b= .
13
24
课堂小测
5.在Rt△ABC中,∠C=90°.
(1)若a=3,b=4,则c= ;?
(2)若b=6,c=10,则a= ;?
(3)若a=5,c=13,则b= ;?
(4)若a=1.5,b=2,则c= .?
5
8
12
2.5
课堂小测
6.已知 : 直角三角形的两边长分别是3 , 4 , 则第三边长是 .
?
7.已知等边三角形的边长为 2cm , 则它的高为 ,
面积为 ．
?
?
课堂小测
解:(1)∵AD平分∠CAB ,
DE⊥AB ,∠C=90° ,
∴CD=DE .
∵CD=3 , ∴DE=3 .
8.如图所示 , Rt△ABC 中 , ∠C=90° , AD平∠CAB , DE⊥AB于E , 若AC=6 , BC=8 , CD=3 . (1)求DE的长 ; (2)求△ADB的面积 .
(2)在Rt△ABC中 , 由勾股定理得 ,
∵
2 勾股定理的应用
教学目标
1.运用勾股定理解决实际问题 ;（重点）
2.勾股定理的灵活运用 .（难点）
新课导入
如果直角三角形两直角边分别为a , b , 斜边为c , 那么
即 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 .
a
b
c
1. 已知Rt△ABC中 , ∠C=90° , 若 a=1 , c=3 , 则 b= .
2. 已知Rt△ABC中 , ∠A=90° , ∠B=30° , 若 a=4 , 则 c= . Zx```x``k
3. 已知Rt△ABC中 , ∠B=90° , ∠A=45° , 若 b=7 , 则 c= .
7
新课导入
新课导入
电视的尺寸是屏幕对角线的长度 . 小华的爸爸买了一台29英寸 (74cm) 的电视机 , 小华量电视机的屏幕后 , 发现屏幕只有58cm 长和 46cm 宽 . 他觉得一定是售货员搞错了 , 你同意他的想法吗 ? 你能解释是为什么吗 ?
新知探究
1m
2m
例1 : 一个门框的尺寸如图所示 , 一块长 3m , 宽 2.2m 的长方形薄木板能否从门框内通过 ? 为什么 ?
解 : 如图所示 , 在 Rt△ABC 中 , 根据勾股定理 ,
得 AC2=AB2+BC2=12+22=5 .
AC= ≈2.24 .
因为 AC 大于木板的宽 2.2m , 所以木板能从门框内通过 .
解题策略 : 在遇到木板进门或将物体放入立体图形内的问题, 常常需要找到能通过(放入)物体的最大长度 , 与物体的长度比较大小 , 从而判断是否可以通过(放入) .
新知探究
例2 : 如图所示 , 一架 2.6m 长的梯子 AB 斜靠在一竖直的墙 AO 上 , 这时 AO 为2.4m . 如果梯子的顶端 A 沿墙下滑 0.5m , 那么梯子底端 B 也外移 0.5m 吗 ?
解:可以看出 , BD=OD-OB .
在 Rt△AOB 中 , 根据勾股定理 ,
得 OB2=AB2-OA2=2.62-2.42=1 , OB= =1 .
在 Rt△COD 中, 根据勾股定理 ,
得 OD2=CD2-OC2=2.62-(2.4-0.5)2=3.15 , OD= ≈1.77.
BD=OD-OB≈1.77-1=0.77 .
所以梯子的顶端沿墙下滑 0.5m 时 , 梯子底端并不是
也外移 0.5m , 而是外移约 0.77m .
新知探究
A
B
A
B
C
2a
a
例3 : 如图所示,一只蚂蚁沿棱长为 a 的正方体表面从顶点 A 爬到
顶点 B , 则它走过的最短路程为
解 : 将正方体侧面展开 , 部分展开图如图所示 .
由图知 AC=2a , BC=a .
根据勾股定理 , 得 AB
知识归纳
勾股定理应用的条件必须是直角三角形 , 所以要应用勾股定理必须构造直角三角形 . 常见的应用类型为 :
① 化非直角三角形为直角三角形 ;
② 将实际问题转化为直角三角形模型 .
1.一辆装满货物的卡车 , 其外形高 2.5米 ,
宽 1.6米 , 要开进厂门形状如图的某工
厂 , 问这辆卡车能否通过该工厂的厂
门 ? 说明理由 .
新知探究
2.3米
2米
1.6米
A
B
M
E
O
┏
C
D
H
实际问题
数学问题
实物图形
几何图形
新知探究
当车的高度﹥CH 时 , 则车 通过 ;
当车的高度﹤CH 时 , 则车 通过 .
A
B
M
E
O
C
┏
D
H
2米
2.3米
由图可知:CH =DH+CD , OD=0.8米 , OC= 1米 , CD⊥AB,
于是车能否通过这个问题就转化到直角△ODC中CD这
条边上 ;
不能
能
解 : 由于厂门宽度足够 , 所以卡车能否通过 , 只要看当卡车位于厂门正中间时其高度与 CH 值的大小比较 .
1.6米
根据勾股定理得 : CD= = =0.6（米）
2.3+0.6=2.9﹥2.5 , ∴卡车能通过 .
CH的值是多少 , 如何计算呢 ?
新知探究
2.我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题 , 原文是 :
今有方池一丈 , 葭生其中央 , 出水一尺 , 引葭赴岸 , 适
与岸齐 , 水深 , 葭长各几何 ? 请用学过的数学知识回答
这个问题 .
译 : 有一个水池 , 水面是一个为10尺的正方形 , 在水池正中央有一根芦苇 , 它高出水面一尺 . 如果把这根芦苇拉向水池一边的中点 , 它的顶端恰好到达池边的水面 . 这个水池的深度与这根芦苇的长度分别是多少 ?
新知探究
A
解:设水池的深度AC为x米 ,
则芦苇高AD为 (x+1)米 .
根据题意得:BC2+AC2=AB2,
∴52+x2 =(x+1)2
25+x2=x2+2x+1
x=12 ,
∴x+1=12+1=13(米) .
答:水池的深度为12米 , 芦苇高为13米 .
B
C
D
新知探究
课堂小结
勾股定理的应用：
用勾股定理计算时 , 要先画好图形 , 并标好图形 , 理清各边之间的关系 , 再灵活运用勾股定理计算 .
在利用勾股定理进行有关计算和证明时 ,要注意运用方程的思想 ; 求直角三角形有关线段的长 , 有时还要运用转化的数学思想 , 或利用添加辅助线的方法构造直角三角形 , 再运用勾股定理求解.
课堂小测
1.小明用火柴棒摆直角三角形 , 已知他摆两条直角边分别用了6 根和 8 根火柴棒 , 他摆完这个直角三角形共用火柴棒 ( )
A.20根 B.14根 C.24根 D.30根
C
课堂小测
2.如图 , △ABC中∠C＝90° , AD平分∠BAC ,
DE⊥AB于E , 下面等式错误的是( )
A.
B.
C.
D.
D
课堂小测
3.为迎接新年的到来 , 同学们做了许多花布置教室 , 准备召开新年晚会 . 小刘搬来一架高 2.5 米的木梯 , 木梯放好后 , 顶端与地面的距离为 2.4米 , 则梯脚与墙脚的距离应为 ( )
A.0.7米 B.0.8米 C.0.9米 D.1.0米
A
课堂小测
4.我国古代有这样一道数学问题 :“枯木一根直立地上 , 高二丈 , 周三尺 , 有葛藤自根缠绕而上 , 五周而达其顶 , 问葛藤之长几何 ?” 题意是 : 如图所示 , 把枯木看作一个圆柱体 , 因一丈是十尺 , 则该圆柱的高为20尺 , 底面周长为3尺 , 有葛藤自点A处缠绕而上 , 绕五周后其末端恰好到达点B处 . 则问题中葛藤的最短长度是 尺 .?
25
课堂小测
5.如图 , 山坡的坡角为30° , 山坡上两株木之间的坡面距离是 米 ,
则这两株树之间的垂直距离是 米 , 水平距离是 米 .
6
课堂小测
6.如图所示 , 两点 A , B 都与平面镜 CD 相距 4米 , 且 A , B 两点相距 6米 , 一束光由 A 点射向平面镜 , 反射之后恰好经过 B 点 , 求 B 点与入射点间的距离 .
解:作出B点关于CD的对称点B' , 连接AB' , 交CD于点O, 则O点就是光的入射点 , 连接OB ,
因为 AC=BD , ∠ACO=∠BDO=90°, ∠AOC=∠BOD ,
所以 △AOC≌△BOD . 所以 OC=OD= AB=3米 .
在 Rt△ODB中 , OD2+BD2=OB2 ,
所以 OB2=32+42=25 , 所以OB=5米 .
课堂小测
7.如图 , 铁路上A , B两点相距25km , C , D为两庄 , DA⊥AB于A , CB⊥AB于B ,
已知 DA=15km , CB=10km , 现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E , 使得C ,
D两村到E站的距离相等 , 则E站应建在离A站多少km处 ?
C
A
E
B
D
x
25-x
解：设AE= x km ,
根据勾股定理 , 得
AD2+AE2=DE2 ,
BC2+BE2=CE2 ,
又 ∵ DE=CE ,
∴ AD2+AE2= BC2+BE2 .
即：152+x2=102+(25-x)2
答：E站应建在离A站10km处 .
∴ x=10 .
则 BE=(25-x) km ,
15
10
LOREM IPSUM DOLOR
3、勾股定理的作图与计算
教学目标
1.能利用勾股定理在数轴上表示无理数 ;（重点）
2.利用勾股定理寻找直角三角形中长度为无理数的线段 .（难点）
1.如图 , 欲测量松花江的宽度 , 沿江岸取B , C两点 , 在江
对岸取一点A , 使AC垂直江岸 , 测得BC=50米 , ∠B=60° ,
则江面的宽度为 米 .
2.数轴上表示的点 到原点的距离是 ;点M在数轴
上与原点相距 个单位 ; 则点M表示的实数为 .
新课导入
新课导入
证明“HL”
′
′
′
′
′
′
已知：如图，在Rt△ABC 和Rt△A B C 中 , ∠C=∠C =90° ,
AB=A B , AC=A C .
求证 :△ABC ≌△A B C ．
′
′
′
′
′
′
′
′
′
′
′
证明：在Rt△ABC 和Rt△A B C 中 ,
∠C=∠C′=90° ,
根据勾股定理 , 得
′
′
′
A
B
C
A
B
C′
′
′
证明：∵ AB=A B ,
AC=A C ,
∴ BC=B C .
新课导入
A
B
C
A
B
C′
′
′
′
′
′
∴ △ABC ≌△A B C （SSS）.
′
′
′
′
′
′
新知探究
0
1
2
3
4
步骤：
l
A
B
C
1 . 在数轴上找到点A , 使OA=3 ,
2 . 作直线 l ⊥OA , 在 l 上取一点B , 使AB=2 ;
3 . 以原点 O 为圆心 , 以OB为半径作弧 , 弧与数轴交 于C点 , 则点C即为表示 的点 .
∴点C即为表示 的点 .
?
新知探究
-1 0 1 2 3
?
新知探究
在数学中也有这样一幅美丽的“海螺型”图案
由此可知,利用勾股定理,可以作出长为
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
第七届国际数学教育大会的会徽.
1
的线段.
知识归纳
在数轴上表示无理数的步骤：
① 利用勾股定理拆分出哪两条线段长的平方和等于所画线
段(斜边)长的平方 , 注意一般其中两条线段的长是整数 ;
② 以数轴原点为直角三角形斜边的顶点 , 构造直角三角形 ;
③ 以数轴原点为圆心 , 以斜边长为半径画弧 , 即可在数轴上找到表示该无理数的点 .
新知探究
例1：小刚欲划船横渡一条河 , 由于水流的影响 , 实际船靠岸的地点
B偏离欲到达地点C 50m , 结果船在水中实际行驶的路程比河
宽多10m , 求该河的宽AC是多少米？
解：设河宽AC为x m , 则AB为（x+10）m .
在直角三角形ACB中 ,
∵AB2=AC2+CB2 ,
∴（x+10）2=x2+502 .
解得x=120 .
答：该河的宽AC是120m .
x
x+10
50
?
新知探究
例2： 如图所示 , ∠B=∠D=90° , ∠A=60° , AB=4 , CD=2 .
求四边形ABCD的面积 .
3
课堂小结
勾股定理的作图与计算：
用勾股定理在数轴上表示无理数 , 构造长为无理数的线段放在直角三角形中 , 有时是直角边 , 有时是斜边 .
求不规则图形的面积 , 应用割补法把图形分解为特殊图形 , 四边形中常常通过作辅助线构造直角三角形 , 以利用勾股定理 .
课堂小测
1.如图所示 , 长方形 OABC 的边 OA 长为2 , 边 AB 长为1 , OA 在数轴上 , 以原点 O 为圆心 , 对角线 OB 的长为半径画弧 , 交数轴正半轴于一点 , 则这个点表示的实数是 ( )
C
?
2.如图所示 , 在Rt△ABC中 , ∠ACB=90° , AC=BC , 边AC落在数轴上 , 点A表示的数是1 , 点C表示的数是3 . 以点A为圆心 , AB长为半径画弧交数轴负半轴于点B1 , 则点B1所表示的数是 ( )
课堂小测
C
?
课堂小测
3.如图所示 , 数轴上点A所表示的数为a , 则a的值是 .?
4.如图所示 , 在Rt△AOB中 , OB=1 , AB=2 , 以原点O为圆心 , OA为半径画弧 , 交数轴负半轴于点P , 则点P表示的实数是 .?
课堂小测
5.如图 , △ACB和△ECD都是等腰直角三角形 , ∠ACB =∠ECD =90° ,
D为AB边上一点 . 求证 : AD2 +DB2 =DE2．
证明：∵∠ACB =∠ECD ,
∴∠ACD +∠BCD=∠ACD +∠ACE ,
∴∠BCD =∠ACE .
又∵ BC=AC , DC=EC ,
∴ △ACE ≌△BCD .
A
B
C
D
E
∴ ∠B =∠CAE=45° ,
∠DAE =∠CAE+∠BAC=45°+45°=90° ,
∴ AD2 +AE2 =DE2 ,
∵ AE=DB ,
∴ AD2 +DB2 =DE2．
课堂小测
6.荷花问题
平平湖水清可鉴 ,
面上一尺生红莲 ;
出泥不染亭亭立 ,
忽被强风吹一边 ;
渔人观看忙向前 ,
花离原位二尺远 ;
能算诸君请解题 ,
湖水如何知深浅 .
1
x
x+1
2
A
B
C
D
课堂小测
A
?
课堂小测
A
B
我怎么走会最近呢?
8.有一个圆柱 , 它的高等于12 cm , 底面半径等于3cm , 在圆柱下底面上的A点有一只蚂蚁 , 它想从点A爬到点B , 蚂蚁沿着圆柱侧面爬行的最短路程是多少 ? (π的值取3)
课堂小测
B
A
高
12cm
B
A
长18cm (π的值取3)
9cm
解∵ AB2=92+122=81+144=225=
∴ AB=15(cm).
答：蚂蚁爬行的最短路程是15cm .
152.
4、 勾股定理的逆定理
勾股定理 如果直角三角形的两条直角边长分别为
a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
题设（条件）：直角三角形的
两直角边长为a，b，斜边长为c ．
结论：a2+b2=c2．
问题 回忆勾股定理的内容．
形
数
学习目标：
1．理解勾股定理的逆定理，经历“观察－测量－猜想－论证”的定理探究的过程，体会“构造法”证明数学命题的基本思想；
2．了解逆命题的概念，知道原命题为真命题，它的逆命题不一定为真命题．
学习重点：
探索并证明勾股定理的逆定理.
逆向思考 提出问题
思考 如果三角形的三边长a，b，c 满足a2+b2=c2，
那么这个三角形是否是直角三角形？
据说，古埃及人曾用下面的方法画直角：把一根长
绳打上等距离的13 个结，然后以3 个结间距，4 个结间
距、5 个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，
其中一个角便是直角．你认为结论正确吗？
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（13）
（12）
（11）
（10）
（9）
如果三角形的三边分别
为3，4，5，这些数满足
关系：32+42=52，围成的
三角形是直角三角形．
实验操作：
（1）画一画：下列各组数中的两数平方和等于第三数的
平方，分别以这些数为边长画出三角形（单位：cm），
它们是直角三角形吗？
① 2.5，6，6.5； ② 6，8，10．
（2）量一量：用量角器分别测量上述各三角形的最大角
的度数．
（3）想一想：请判断这些三角形的形状，并提出猜想．
A1
B1
C1
已知：如图，△ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2．
求证：△ABC是直角三角形．
？
三角形全等
∠C是直角
△ABC是直角三角形
A
B
C
a
b
c
a
作用：判定一个三角形三边满足什么条件时为直角
三角形．
定理：如果三角形的三边长a，b，c 满足a2+b2=c2，
那么这个三角形是直角三角形．
例1 判断由线段a，b，c 组成的三角形是不是直
角三角形：
（1）a=15，b=17，c=8；
（2）a=13，b=15，c=14；
（3）a= ，b=4，c=5．
分析：根据勾股定理及其逆定理判断一个三角形是
不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等
于最大边长的平方．
解：（1）
∵ 152+82 =225+64=289，
172 =289，
∴ 152+82 =172.
∴ 以15，8，17为边长的三角形是直角三角形．
例1 判断由线段a，b，c 组成的三角形是不是直
角三角形：
（1） a=15，b=17，c=8；（2） a=13，b=15，c=14；
（3） a= ，b=4，c=5．
像15，17，8 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数．
勾股定理的逆定理：
定理：如果三角形的三边长a，b，c 满足a2+b2=c2，
那么这个三角形是直角三角形．
两个命题的题设与结论正好相反，像这样的两个命
题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那
么另一个命题叫做它的逆命题．
勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，
斜边为c，那么a2+b2=c2．
说出下列命题的逆命题．这些命题的逆命题是真命
题吗？
（1）两条直线平行，内错角相等；
逆命题：内错角相等，两直线平行．真命题．
（2）对顶角相等；
逆命题：相等的角是对顶角．假命题．
（3）线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．
逆命题：到线段两端点的距离相等的点在线段的
垂直平分线上．真命题．
1. 判断由线段a、b、c组成的三角形是不是直角三角形.
① a=7, b=24, c=25
④ a=40, b=50, c=60
√
√
√
×
2. 下列各命题都成立，写出它们的逆命题. 这些逆命题成立吗？
① 同旁内角互补，两直线平行；
② 如果两个角是直角，那么它们相等；
③ 全等三角形的对应边相等；
④ 如果两个实数相等，那么它们的平方相等。
3. 已知：如图，四边形ABCD中，∠B＝900，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13,求四边形ABCD的面积?
A
B
C
D
S四边形ABCD=36
讲授新课
例1 某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”
号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向
航行，“远航”号每小时航行16 n mile，“海天”号每
小时航行12 n mile．它们离开港口一个半小时后分别位
于点Q，R处，且相距
30 n mile ．如果知道
“远航”号沿东北方
向航行，能知道“海
天”号沿哪个方向航
行吗？
R
S
Q
P
E
N
分析：由图可以看到，由于“远航”号的航向
已知，如果求出两艘船的航向所成的角 ，就能
知道“海天”号的航向了。
例2 如图，在四边形ABCD中，AB=3，BC=4，
CD=12，AD=13，∠B=90°，求四边形ABCD的面积．
解：∵ AB=3，BC=4，∠B=90°，
∴ AC=5．又∵ CD=12，AD=13，
∴ AC2+CD2=52+122=169．
又∵ AD2=132=169，
即 AC2+CD2=AD2，
∴ △ACD是直角三角形．
∴ 四边形ABCD的面积为 ．
A
B
C
D
问题2 通过例1及例2的学习，我们进一步学习了
像18，24，30；3，4，5；5，12，13这样的勾股数，大
家有没有发现18，24，30；3，4，5 这两组勾股数有什
么关系？
追问1 类似这样的关系6，8，10；9，12，15是否
也是勾股数？如何验证？
追问2 通过对以上勾股数的研究，你有什么样的
猜想？
问题2 通过例1及例2的学习，我们进一步学习了
像18，24，30；3，4，5；5，12，13这样的勾股数，大
家有没有发现18，24，30；3，4，5 这两组勾股数有什
么关系？
结论：若a，b，c是一组勾股数，那么ak，bk，ck
（k为正整数)也是一组勾股数．
练习1 如图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，
∠A=∠B=∠C=∠D=90°．点E是BC的中点，点F是CD
上一点，且 ．求证：∠AEF=90°．
A
B
C
D
E
F
练习2 如图，南北向MN为我国领域，即MN以西为我国领海，以东为公海. 上午9时50分，我反走私艇A发现正东方向有一走私艇C以13海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B.已知A、C 两艇的距离是13海里，A、B两艇的距离是5海里 ；反走私艇B测得离C艇的距离是12海里.若走私艇C的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？
C
N
E
B
A
M