北师大版八年级上册数学 1.3 勾股定理的应用教学课件(共24张PPT)

(共24张PPT)
第一章 勾股定理
1.3 勾股定理的应用
1
课堂讲解
利用勾股定理及直角三角形的判定求最值
勾股定理及直角三角形的判定的实际应用
2
课时流程
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
1、勾股定理的内容是什么？
2、勾股定理的逆定理是什么？
复
习
提
问
1
知识点
利用勾股定理及直角三角形的判定求最值
知1－导
有一个圆柱，它的高等于12cm，底面上圆的
周长等于18cm.在圆柱下底面的点A有一只蚂蚁，它想吃
到上底面上与点A相对的点B处的食物，
沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？
（1） 自己做一个圆柱，尝试从点A到
点B沿圆柱侧面画出几条路线，
你觉得哪条路线最短呢？
如图所示，
知1－导
将圆柱侧面剪开展成一个长方形，从点
A到点B的最短路线是什么？你画对了吗？
（3）蚂蚁从点A出发，想吃到点B处的食物，它沿圆柱侧
面爬行的最短路程是多少？
（2）如图所示，
知1－讲
确定圆柱上的最短路线：
求圆柱上两点之间的最短距离，可转化为求
一个平面图形上对应线段的长.
其一般步骤：
（1）将圆柱的侧面展开为一个长方形；
（2）确定相应点的位置；
（3）连接相应点，构造直角三角形；
（4）利用勾股定理求解.
知1－讲
例1 如图，有一个圆柱状的玻璃杯，高为12 cm，底
面周长为18 cm，在杯内壁离杯底4 cm的点C处
有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离
杯上沿4 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到蜂蜜
的最短路线长为________．




15 cm
知1－讲
导引： 紧扣圆柱上最短路线的确定方法，确定路线，再
利用勾股定理求路线的长.
作CD⊥ FA 于D， 作A 关于EF 的对称点A′，
连接A′ C，与EF 交于B，连接AB，则A → B → C
为最短路线.
由题意知DC=9 cm，FD=8 cm，FA′ =4 cm，
在Rt △ A′DC 中，A′C2=A′D2+DC2
=（FA′ +FD）2+DC2=（4+ 8）2+92
=225=152，故A′C=15 cm.
因为AB+BC=A′B+BC=A′C，
所以最短路线的长为15 cm.
解: 如图，
2
知识点
勾股定理及直角三角形的判定的实际应用
知2－讲
1.确定长方体上的最短路线:
求长方体（如图1）上A，B 两点之间的距离，将长方体相邻两个面展开有三种方式（如图2）.
图1
知2－讲
（1）右侧面向前展开， 如图2 ①， 此时AB2=（a+b）2+ c2=a2+b2+c2+2ab.
（2） 上底面向前展开， 如图2 ②，此时AB2=（c+b）2+ a2=a2+b2+c2+2bc.
（3） 上底面向左展开， 如图2 ③，此时AB2=（a+c）2+ b2=a2+b2+c2+2ac.
通过对三种展开方式的分析，我们得到：
①当c 最大时，图2 ①中AB 最短；
②当a 最大时，图2 ②中AB 最短；
③当b 最大时，图2 ③中AB 最短.
知2－讲
例2 〈探究题〉如图，长方体的高为3 cm，底面是
正方形，其边长为2 cm.现有一只蚂蚁从A处出
发，沿长方体表面到达C处，则蚂蚁爬行的最
短路线的长为(　　)
A．4 cm　　B．5 cm C．6 cm D．7 cm
B
知2－讲
解： 考虑将长方体表面展开成平面图形的各种情况，
分类讨论求解．连接AC.
(2＋2)2＋32＝25；如图②，AC2＝22＋(3＋ 2)2
＝29.因为29＞25，所以蚂蚁爬行的最短路线的
长为5 cm.
如图①，
AC 2＝
知2－练
如图，正方体的边长为1，一只蚂蚁沿正方体的
表面从一个顶点A爬行到另一个顶点B，则蚂蚁爬行的最短路程的平方是(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
D
知2－讲
做一做
李叔叔想要检测雕塑（如图）底座正面的边AD和边BC是否分别
垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺.
（1）你能替他想办法完成任务吗？
（2）李叔叔量得边AD长是30cm，
边AB长是40cm,点B,D之间的距
离是50cm,边AD垂直于边AB吗?
（3）小明随身只有一个长度为20cm的刻度尺，他能有办法检验
边AD是否垂直于边AB吗？边BC与边AB呢？
知2－讲
在解决一些求高度、宽度、长度、距离等的问题时，
要先结合题意画出符合要求的直角三角形，也就是
把实际问题转化为数学问题，进而把要求的量看作
直角三角形的一条边，然后利用勾股定理求解．
在日常生活中，判断一个角是否为直角，除了用三
角板、量角器等测量角度的工具判断外，还可以通
过测量长度，结合计算的方法来判断，其一般步骤
如下：
（1）在要判断的角的两边上分别取两点，比如在∠C
的两边上分别取点A，B；
（2）测量出AC，BC，AB 的长度，比如AC=b，BC=a，
AB=c；
（3）验证a2+b2 与c2 是否具有相等关系，若c2=a2+b2，
则△ ABC 是直角三角形，且∠ C=90°；若c2 ≠ a2+b2，
则∠ C ≠ 90° .
知2－讲
知2－讲
例3 如图是一个滑梯示意图，若将滑道AC水平放置，
则刚好与AB一样长.已知滑梯的高度 CE=3m,
CD=1m,试求滑道AC的长.
解：设滑道AC的长度为xm,则AB的长度为xm,
AE的长度为（x－1）m,
在Rt△ACE中，∠AEC=90°，
由勾股定理得AE2+CE2=AC2，即(x－1)2+32=x2,
解得x=5.故滑道AC的长度为5m.
知2－讲
例4 〈实际应用题〉假期中，小明和同学们到某海岛上
去探宝旅游，按照探宝图，他们在点A登陆后先
往东走8 km到达C处，又往北走了2 km，遇到障
碍后又往西走了3 km，再往
北走了6 km后往东拐，仅走了
1km就找到了藏宝点B，如
图，登陆点A到藏宝点B的
距离是________．
知2－讲
10km
知2－讲
导引：如图，过点B作BD⊥AC，垂足为D，连接AB，
则看图可以得出AD，BD的长度，在直角三角
形ABD中，AB为斜边，根据勾股定理计算出
AB的长即可．
知2－练
(中考·厦门)已知A，B，C三地位置如图所示，
∠C＝90°，A，C两地的距离是4 km，B，C两地的距离是3 km，则A，B两地的距离是________；若A地在C地的正东方向，则B地在C地的________方向．
1
5 km
正北
知2－练
如图，甲货船以16 n mile/h的速度从港口A出发向东北方向航行，乙货船以12 n mile/h的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口3 h时两船相
距(　　)
A．35 n mile　
B．50 n mile　
C．60 n mile　
D．40 n mile
2
C
1．解决实际问题的方法是建立数学模型求解．
2．在寻求最短路径时，往往把空间问题平面化，
利用勾股定理及其逆定理解决实际问题．
1.必做: 完成教材P14-15,习题 T1-T5