中考数学二轮专题复习图形变换——折叠问题（PDF版，附答案）

二轮复习：图形变换（一）—折叠
图形变换历来是中考必考点之一。考试大纲要求：会运用图形变换的相关知
识进行简单的作图与计算，并能解决相关动态需求数学问题，并能进行图案设计。
图形变换一般包括，折叠、平移、旋转、对称、位似和图形的探究。在图形
变换的考题中，最多题型是折叠、旋转。
在解决折叠问题时，应注意折叠前后相对应的边相等、角相等。下面着重从三个
方面进行讲述：三角形折折叠、特殊平行四边形折叠和在平面直角坐标系内的图
形折叠三大类进行。
（一）三角形的折叠：
题型 1、一般三角形的折叠：
1、如图，将一张三角形纸片 ABC的一角折叠，使点 A落在△ABC外的 A'处，折痕为 DE．如
果∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，那么下列式子中正确的是
A．γ＝2α+β B．γ＝α+2β C．γ＝α+β D．γ＝180°﹣α﹣β
2、（2019?江西）如图，在△ABC中，点 D是 BC上的点，∠BAD＝∠ABC＝40°，将△ABD
沿着 AD翻折得到△AED，则∠CDE＝ °．
3、如图，在△ABC中，AB=10，∠B=60°，点 D、E分别在 AB、BC上，且 BD=BE=4，将
△BDE沿 DE所在直线折叠得到△B′DE（点 B′在四边形 ADEC内），连接 AB′，则 AB′的
长为___．
题型 2、等腰或等边三角形的折叠：
4、如图，在△ABC 中，AB=AC，BC=24，tanC=2，如果将△ABC 沿直线 l翻折后，点 B 落在
边 AC 的中点 E处，直线 l与边 BC 交于点 D，那么 BD 的长为_____.
5、如图，D是等边△ABC边 AB上的点，AD=2，DB=4．现将△ABC折叠，使得点 C与
点 D重合，折痕为 EF，且点 E、F分别在边 AC和 BC上，则
CF
CE
=_______．（利用相似三
角形周长的比等于相似比△AED 相似△DBF）
题型 3、直角三角形的折叠：
6、如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，BC=6，CD 是斜边 AB 上的中线，将△BCD
沿直线CD翻折至△ECD的位置，连接AE．若DE∥AC，计算AE的长度等于 ．
7、如图，在等腰直角三角形 ABC 中，∠C=90°，D为 BC 的中点，将△ABC 折叠，
使点 A与点 D 重合，EF 为折痕，则 sin∠BED的值是
（二）特殊平行四边形的折叠：
题型 1、矩形折叠：
1、（求角）.如图，将矩形 沿对角线 折叠，点 落在 处， 交 于点
，已知 ,则 的度为
A. B. C. D.
2、（求三角函数值）如图，将矩形 ABCD沿 AE折叠，点 D恰好落在 BC边上的点 F处，
如果 AB：AD=2：3，那么 tan∠EFC值是 ．
3、（求边长）如图，在矩形 ABCD中，AB=4，BC=6，点 E为 BC的中点，将△ABE沿 AE
折叠，使点 B落在矩形内点 F处，连接 CF，则 CF 的长为
4、（求折痕长）如图，将矩形纸片 ABCD 折叠，使点 A 与点 C重合，折痕为 EF，若 AB=4，BC=2，
那么线段 EF 的长为
5、（求边的比）如下图，在矩形 ABCD中，点 E，F分别在 BC，CD上，将△ABE沿 AE折
叠，使点 B落在 AC上的点 B′处，又将△CEF沿 EF折叠，使点 C落在 EB′与 AD的交点 C′
处．则 BC：AB的值为 。
6. （求面积）如图，把矩形 ABCD 沿 EF 翻折，点 B 恰好落在 AD 边的 B′处，若 AE=2，DE=6，
∠EFB=60°，则矩形 ABCD 的面积是
题型 2、菱形折叠：
1、（求边）如图，在边长为 2的菱形 ABCD中，∠A=60°，点M是 AD边的中点，连接MC，
将菱形 ABCD 翻折，使点 A落在线段 CM 上的点 E处，折痕交 AB于点 N，则线段 EC 的
长为 ．
2、（求角）如图，菱形纸片 ABCD 中，∠A=60°，折叠菱形纸片 ABCD，使点 C 落
在 DP（P 为 AB 中点）所在的直线上，得到经过点 D 的折痕 DE．则∠DEC 的大
小为
3、（求边的比）如图，在菱形纸片 ABCD中，∠A=60°，将纸片折叠，点 A、D
分别落在点 A′、D′处，且 A′D′经过点 B，EF为折痕，当 D′F⊥CD时，
FD
CF
的
值为
题型 3、正方形折叠：
1、如图，在一张矩形纸片 ABCD中，AD=4cm，点 E，F分别是 CD和 AB的中点，现将这
张纸片折叠，使点 B落在 EF上的点 G处，折痕为 AH，若 HG延长线恰好经过点 D，则
CD的长为
2、如上图，在边长为 2的正方形 ABCD中，E是 AB的中点，F是 AD边上的一个动点，
将△AEF沿 EF所在直线折叠得到△GEF，连接 GC，则 GC长度的最小值是 ．
3、如图，M、N分别是正方形 ABCD边 DC、AB的中点，分别以 AE、BF为折痕，使点 D、
点 C落在MN的点 G处，则△ABG是 三角形．
4、如图，将边长为 6cm 的正方形 ABCD 折叠，使点 D 落在 AB 边的中点 E 处，
折痕为 FH，点 C 落在 Q 处，EQ与 BC 交于点 G，则△EBG 的周长是 cm．
（利用相似三角形周长的比等于相似比△AEF 相似△EBG）
（三）在平面直角坐标系中的折叠：
1、如图，直线 2
3
3
??? xy 与 x轴， y轴分别交于 BA, 两点，把 AOB? 沿着直线 AB翻
折后得到 BOA ?? ，则点O?的坐标是
2、如图，在平面直角坐标系中，将矩形 AOCD 沿直线 AE 折叠（点 E 在边 DC 上），折叠后端
点 D 恰好落在边 OC 上的点 F 处．若点 D 的坐标为（10，8），则点 E 的坐标为 ．
3、如图，四边形 是矩形，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，把矩形
沿 折叠，点 落在点 处，则点 的坐标为________．
Ａ
Ｂ
Ｏ
Ｏ＇
x
y
2
（四）折叠中的最值：
1、（2019?锦州）如图，在矩形 ABCD中，AB＝3，BC＝2，M是 AD边的中点，N是 AB边
上的动点，将△AMN沿 MN所在直线折叠，得到△A′MN，连接 A′C，则 A′C的最小值
是 ．
（五）综合题目
1、矩形 AOBC 中，OB=4，OA=3．分别以 OB，OA 所在直线为 x 轴，y 轴，建立
如图 1所示的平面直角坐标系．F 是 BC 边上一个动点（不与 B，C重合），过点
F 的反比例函数 y= （k＞0）的图象与边 AC 交于点 E．
（1）当点 F 运动到边 BC 的中点时，求点 E 的坐标；
（2）连接 EF，求∠EFC 的正切值；
（3）如图 2，将△CEF 沿 EF 折叠，点 C 恰好落在边 OB 上的点 G 处，求此时反
比例函数的解析式．
中考在线：
1、（2019?天水）如图，在矩形 ABCD中，AB＝3，AD＝5，点 E在 DC上，将矩形 ABCD
沿 AE折叠，点 D恰好落在 BC边上的点 F处，那么 sin∠EFC的值为 ．
2．（2019?恩施州）如图，对折矩形纸片 ABCD，使 AD与 BC重合，得到折痕 EF．把纸片
展平，再一次折叠纸片，使点 A落在 EF上的点 A′处，并使折痕经过点 B，得到折痕
BM．若矩形纸片的宽 AB＝4，则折痕 BM的长为（ ）
A． B． C．8 D．8
3、（2019?辽阳）如图，直线 EF是矩形 ABCD的对称轴，点 P在 CD边上，将△BCP沿 BP
折叠，点 C恰好落在线段 AP与 EF的交点 Q处，BC＝4 ，则线段 AB的长是（ ）
A．8 B．8 C．8 D．10
4、（2018 遵义）如图，在菱形 ABCD 中，∠ABC=120°，将菱形折叠，使点 A 恰
好落在对角线 BD 上的点 G 处（不与 B、D 重合），折痕为 EF，若 DG=2，BG=6，
则 BE 的长为 ．
5、（2019?邵阳）如图，在 Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝36°，AD是斜边 BC上的中
线，将△ACD沿 AD对折，使点 C落在点 F处，线段 DF与 AB相交于点 E，则∠BED
等于
A．120° B．108° C．72° D．36°
6、（2019?上海）如图，在正方形 ABCD中，E是边 AD的中点．将△ABE沿直线 BE翻折，
点 A落在点 F处，联结 DF，那么∠EDF的正切值是 ．
7、（2018?无锡）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝m，BC＝n，m＞n，点 P是边 AB
上一点，连结 CP，将△ACP沿 CP翻折得到△QCP．
（1）若 m＝4，n＝3，且 PQ⊥AB，求 BP的长；
（2）连结 BQ，若四边形 BCPQ是平行四边形，求 m与 n之间的关系式．
参考答案：
（一）三角形的折叠：
1、A 2、20 3、 72 4、13 5、
5
4 6、
7、sin∠BED=sin∠CDF= ．
（二）特殊平行四边形的折叠：
题型 1、矩形折叠：1、D 2、
3、
4、
题型 2、菱形折叠：1、 17 ? 2、
题型 3、正方形折叠：1、2 cm 2、 1-5 3、等边 4、12
（三）在平面直角坐标系中的折叠：
1、 2、（10，3） 3、
（四）折叠中的最值： ﹣1
（五）综合题目
1、
∴E（2，3）；在 Rt△CEF 中，tan∠EFC= = ，反比例函数解析式为 y= ．
中考在线：1、
2、
A 3、A 4、2.8
5、B 6、2
7、解：（1）如图，作 CH⊥AB于 H．
由翻折的性质可知：∠APC＝∠QPC，
∵PQ⊥PA，
∴∠APQ＝90°，
∴∠APC＝∠QPC＝135°，∴∠BPC+∠QPB＝135°，
∵∠QPB＝90°，∴∠BPC＝45°，
∵CH⊥AB，∴CH＝PH，
在 Rt△ABC中，AB＝ ＝ ＝5，
∵ ?AB?CH＝ ?AC?BC，
∴CH＝ ，BH＝ ＝ ，
∴PB＝PH+BH＝ + ＝ ．
（2）如图 2中，连接 BQ．
由翻折不变性可知：PA＝PQ，∠QPC＝∠APC，
∵四边形 BCPQ是平行四边形，
∴PQ＝BC＝PA＝n，PQ∥BC，
∴∠QPC+∠PCB＝180°，
∵∠BPC+∠APC＝180°，
∴∠PCB＝∠BPC，
∴PB＝BC＝n，
∴AP＝PB＝n，AB＝2n，
在 Rt△ABC中，则有（2n）2＝m2+n2，
∴m2＝3n2，
∵m＞0．n＞0，
∴m＝ n．