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中考数学动点问题研究
学习目标：学习解决几何动点问题的一般方法 考点分析：动点问题属于一类开放探究型问题。这类问题在中考一般以压轴题的形式出现，其分数基本维持在10-15分。主要是以多边形与函数相结合为出题思路。 【典型例题】 (2019﹒三门峡二模）已知△ABC是边长为4的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA＝6，点D是射线OM上的动点，当点D不与点A重合时，将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE,连接DE，设OD＝m． （1）问题发现 如图1,△CDE的形状是等边等边三角形． （2）探究证明 如图2，当6＜m＜10时,△BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE周长的最小值；若不存在，请说明理由． （3）解决问题 是否存在m的值，使△DEB是直角三角形？若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由． (2020﹒吴兴区一模）如图所示，动点A、B同时从原点O出发，运动的速度都是每秒1个单位，动点A沿x轴正方向运动，动点B沿y轴正方向运动，以OA、OB为邻边建立正方形OACB,抛物线y＝经过B、C两点，假设A、B两点运动的时间为t秒： （1）直接写出直线OC的解析式； （2）当t＝3秒时，求此时抛物线的解析式；此时抛物线上是否存在一点D，使得＝6？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由； （3）在（2）的条件下，有一条平行于y轴的动直线l，交抛物线于点E，交直线OC于点F，若以O、B、E、F四个点构成的四边形是平行四边形，求点F的坐标； （4）在动点A、B运动的过程中，若正方形OACB内部有一个点P，且满足OP＝＝2,∠OPA＝135°,直接写出此时AP的长度． (2020﹒通州区模拟）已知二次函数y＝． （1）求证：无论m为任何实数，该二次函数的图象与x轴都有两个交点； （2）当该二次函数的图象经过点(3,6)时，求二次函数的解析式； （3）将直线y＝x向下平移2个单位长度后与（2）中的抛物线交于A、B两点（点A在点B的左边），一个动点P自A点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点E，再到达x轴上的某点F，最后运动到点B．求使点P运动的总路径最短的点E、点F的坐标，并求出这个最短总路径的长． (2019春﹒文登区期中）如图1，抛物线y＝经过点A,B,C,已知点A(－1,0),点B(3,0) （1）求抛物线的解析式 （2）点D为抛物线的顶点,DE⊥x轴于点E，点N是线段DE上一动点 ①当点N在何处时,△CAN的周长最小？ ②若点M(m,0)是x轴上一个动点，且∠MNC＝90°,求m的取值范围． 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝16cm，AB＝12cm，BC＝21cm，动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2cm的速度运动，动点Q从点A出发，在线段AD上以每秒1cm的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动的时间为t（秒）． （1）当t为何值时，四边形PQDC是平行四边形． （2）当t为何值时，以C，D，Q，P为顶点的梯形面积等于60cm2？ （3）是否存在点P，使△PQD是等腰三角形（不考虑QD＝PD）？若存在，请求出所有满足要求的t的值，若不存在，请说明理由． 6．已知,矩形ABCD中,AB＝4cm,BC＝8cm ,AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F,垂足为O. (1)如图1,连接AF、CE.求证四边形AFCE为菱形,并求AF的长；
(2)如图2,动点P、Q分别从A、C两点同时出发,沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周.即点P自A→F→B→A停止,点Q自C→D→E→C停止.在运动过程中 ①已知点P的速度为每秒5cm,点Q的速度为每秒4cm,运动时间为t秒,当A、P、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,求t的值. ②若点P、Q的运动路程分别为a、b (单位:cm,ab≠0),已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形,求a与b满足的数量关系. 7.如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4．动点P从点A出发沿AC向终点C运动，同时动点Q从点B出发沿BA向点A运动，到达A点后立刻以原来的速度沿AB返回．点P，Q运动速度均为每秒1个单位长度，当点P到达点C时停止运动，点Q也同时停止．连结PQ，设运动时间为t（t＞0）秒． （1）求线段AC的长度； （2）当点Q从B点向A点运动时（未到达A点），求△APQ的面积S关于t的函数关系式，并写出t的取值范围； （3）伴随着P，Q两点的运动，线段PQ的垂直平分线为l： ①当l经过点A时，射线QP交AD于点E，求AE的长； ②当l经过点B时，求t的值． 8．如图，已知点A是直线与反比例函数图象的交点，且点A的横坐标为. （1）求k的值； （2）如图1，双曲线上一点M，若=4，求点M的坐标； （3）如图2所示，若已知反比例函数图象上一点B(3，1),点P是直线上一动点，点Q是反比例函数图象上另一点，是否存在以P、A、B、Q为顶点的平行四边形，若存在,请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 9.如图，一条直线少y1=kl x +b与反比例函数y2=的图像交于A(1，5)、B(5，n)两点，与x轴交于D点，AC⊥x轴，垂足为C。 (1)如图甲，①求反比例函数的解析式；②求D点坐标； (2)请直接写出当y1
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中考数学动点问题研究
学习目标：学习解决几何动点问题的一般方法 考点分析：动点问题属于一类开放探究型问题。这类问题在中考一般以压轴题的形式出现，其分数基本维持在10-15分。主要是以多边形与函数相结合为出题思路。 【典型例题】 (2019﹒三门峡二模）已知△ABC是边长为4的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA＝6，点D是射线OM上的动点，当点D不与点A重合时，将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE,连接DE，设OD＝m． （1）问题发现 如图1,△CDE的形状是等边等边三角形． （2）探究证明 如图2，当6＜m＜10时,△BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE周长的最小值；若不存在，请说明理由． （3）解决问题 是否存在m的值，使△DEB是直角三角形？若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由． 【考点】几何变换综合题．勾股定理,平行四边形的判定,相似三角形的判定与性质,两直线【分析】（1）由旋转的性质得到∠DCE＝60°,DC＝EC，即可得到结论； （2）当6＜m＜10时，由旋转的性质得到BE＝AD，于是得到＝BE＋DB＋DE＝AB＋DE＝4＋DE,根据等边三角形的性质得到DE＝CD，由垂线段最短得到当CD⊥AB时,△BDE的周长最小，于是得到结论； （3）存在，①当点D与点B重合时,D,B,E不能构成三角形， ②当0≤m＜6时，由旋转的性质得到∠ABE＝60°,∠BDE＜60°,求得∠BED＝90°,根据等边三角形的性质得到∠DEB＝60°,求得∠CEB＝30°,求得OD＝OA－DA＝6－4＝2＝m ③当6＜m＜10时，此时不存在； ④当m＞10时，由旋转的性质得到∠DBE＝60°,求得∠BDE＞60°,于是得到m＝14． 【解答】解：（1）证明：∵将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE, ∴∠DCE＝60°,DC＝EC， ∴△CDE是等边三角形； 故答案为：等边； （2）存在，当6＜t＜10时， 由旋转的性质得，BE＝AD， ∴＝BE＋DB＋DE＝AB＋DE＝4＋DE, 由（1）知,△CDE是等边三角形， ∴DE＝CD， ∴＝CD＋4, 由垂线段最短可知，当CD⊥AB时,△BDE的周长最小， 此时，CD＝ ∴△BDE的最小周长＝CD＋4＝ （3）存在，①∵当点D与点B重合时,D,B,E不能构成三角形， ∴当点D与点B重合时，不符合题意， ②当0≤m＜6时，由旋转可知,∠ABE＝60°,∠BDE＜60°, ∴∠BED＝90°, 由（1）可知,△CDE是等边三角形， ∴∠DEB＝60°, ∴∠CEB＝30°, ∵∠CEB＝∠CDA, ∴∠CDA＝30°, ∵∠CAB＝60°, ∴∠ACD＝∠ADC＝30°, ∴DA＝CA＝4， ∴OD＝OA－DA＝6－4＝2， ∴m＝2； ③当6＜m＜10时，由∠DBE＝120°＞90°, ∴此时不存在； ④当m＞10时，由旋转的性质可知,∠DBE＝60°, 又由（1）知∠CDE＝60°, ∴∠BDE＝∠CDE＋∠BDC＝60°＋∠BDC, 而∠BDC＞0°, ∴∠BDE＞60°, ∴只能∠BDE＝90°, 从而∠BCD＝30°, ∴BD＝BC＝4， ∴OD＝14， ∴m＝14， 综上所述：当m＝2或14时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形． 【点评】本题考查了几何变换的综合题，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，三角形周长的计算，直角三角形的判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． (2020﹒吴兴区一模）如图所示，动点A、B同时从原点O出发，运动的速度都是每秒1个单位，动点A沿x轴正方向运动，动点B沿y轴正方向运动，以OA、OB为邻边建立正方形OACB,抛物线y＝经过B、C两点，假设A、B两点运动的时间为t秒： （1）直接写出直线OC的解析式； （2）当t＝3秒时，求此时抛物线的解析式；此时抛物线上是否存在一点D，使得＝6？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由； （3）在（2）的条件下，有一条平行于y轴的动直线l，交抛物线于点E，交直线OC于点F，若以O、B、E、F四个点构成的四边形是平行四边形，求点F的坐标； （4）在动点A、B运动的过程中，若正方形OACB内部有一个点P，且满足OP＝＝2,∠OPA＝135°,直接写出此时AP的长度． 【考点】二次函数综合题．二次函数综合题 (1)(2)(3)略 （4）如图，将△AOP绕点A逆时针旋转90°得到△AP′C, 由旋转的性质得,AP′＝AP,P′C＝OP＝＝∠OPA＝135°, ∵△APP′是等腰直角三角形， ∴∠AP′P＝45°, ∴∠PP′C＝135°－45°＝90°, 由勾股定理得,PP′＝＝＝ 所以，AP＝＝＝1． 【点评】本题是二次函数综合题型，主要利用了正方形的性质，待定系数法求二次函数解析式，三角形的面积，二次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，难点在于（2）求出点D的纵坐标,(3)分情况讨论,(4)利用旋转作出等腰直角三角形和直角三角形． (2020﹒通州区模拟）已知二次函数y＝． （1）求证：无论m为任何实数，该二次函数的图象与x轴都有两个交点； （2）当该二次函数的图象经过点(3,6)时，求二次函数的解析式； （3）将直线y＝x向下平移2个单位长度后与（2）中的抛物线交于A、B两点（点A在点B的左边），一个动点P自A点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点E，再到达x轴上的某点F，最后运动到点B．求使点P运动的总路径最短的点E、点F的坐标，并求出这个最短总路径的长． 【考点】二次函数综合题．建立函数解析式——动点 (1)证明：令y＝0，则＝0， ∵△＝＝＝分） 又∵ ∴即△＞0． ∴无论m为任何实数，一元二次方程＝0总有两不等实根； ∴该二次函数图象与x轴都有两个交点．（2分） （2）解：∵二次函数y＝的图象经过点(3,6), ∴＝6， 解得m＝ ∴二次函数的解析式为y＝．（3分） （3）解：将y＝x向下平移2个单位长度后得到解析式为：y＝x－2,(4分） 解方程组， 得； ∴直线y＝x－2与抛物线y＝的交点为 ∴点A关于对称轴x＝的对称点是 点B关于x轴的对称点是B'(1,1),设过点A'、B'的直线解析式为y＝kx＋b; ∴,， ∴直线A'B'的解析式为y＝ ∴直线A'B'与x轴的交点为分） 与直线x＝的交点为分） 则点、为所求； 过点B'做B'H⊥AA'的延长线于点H， ∴B′H＝＝1； 在Rt△A'B'H中,A′B′＝＝ ∴所求最短总路径的长为AE＋EF＋FB＝A'B'＝．（7分） 【点评】此题是二次函数的综合题，考查了根的判别式、函数解析式的确定、函数图象交点坐标的求法、轴对称的性质、平面展开－最短路径问题等重要知识点，综合性强，难度较大． (2019春﹒文登区期中）如图1，抛物线y＝经过点A,B,C,已知点A(－1,0),点B(3,0) （1）求抛物线的解析式 （2）点D为抛物线的顶点,DE⊥x轴于点E，点N是线段DE上一动点 ①当点N在何处时,△CAN的周长最小？ ②若点M(m,0)是x轴上一个动点，且∠MNC＝90°,求m的取值范围． 【考点】二次函数综合题．二次函数综合题 将点A、C′的坐标代入一次函数表达式：y＝kx＋b得：，解得：， 故直线AC′的表达式为：y＝－x－1, 当x＝1时，y＝－2， 故点N(1,－2); ②如图2，过点C作CG⊥ED于点G， 设NG＝n，则NE＝3－n, ∵∠CNG＋∠GCN＝90°,∠CNG＋∠MNE＝90°, ∴∠NCG＝∠MNE, 则tan∠NCG＝n＝tan∠MNE＝ 故ME＝ ∴－1＜0,故ME有最大值，当n＝时，ME＝ 则m的最小值为： 如下图所示，当点N与点D处时，m取得最大值， 同理可得：m＝5； 故：． 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形等，其中(3),用求函数最值的方式，求解m的值比较新颖． （10分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝16cm，AB＝12cm，BC＝21cm，动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2cm的速度运动，动点Q从点A出发，在线段AD上以每秒1cm的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动的时间为t（秒）． （1）当t为何值时，四边形PQDC是平行四边形． （2）当t为何值时，以C，D，Q，P为顶点的梯形面积等于60cm2？ （3）是否存在点P，使△PQD是等腰三角形（不考虑QD＝PD）？若存在，请求出所有满足要求的t的值，若不存在，请说明理由． 解：（1）∵四边形PQDC是平行四边形，∴DQ＝CP， 当P从B运动到C时，如图（1）： ∵DQ＝AD﹣AQ＝16﹣t，CP＝21﹣2t，∴16﹣t＝21﹣2t，解得t＝5 当P从C运动到B时，∵DQ＝AD﹣AQ＝16﹣t，CP＝2t﹣21，∴16﹣t＝2t﹣21，解得t＝， ∴当t＝5或秒时，四边形PQDC是平行四边形； （2）若点P、Q分别沿AD、BC运动时，如图（2）： ，即，解得t＝9； 若点P返回时，CP＝2（t﹣），则，解得t＝15． 故当t＝9或15秒时，以C，D，Q，P为顶点的梯形面积等60cm2； （3）当PQ＝PD时，如图（3）： 作PH⊥AD于H，则HQ＝HD。∵QH＝HD＝QD＝（16﹣t） 由AH＝BP得2t＝（16﹣t）＋t，解得t＝秒； 当PQ＝QD时QH＝AH﹣AQ＝BP﹣AQ＝2t﹣t＝t，QD＝16﹣t， ∵QD2＝PQ2＝t2＋122，∴（16﹣t）2＝122＋t2，解得t＝（秒）； 当QD＝PD时DH＝AD﹣AH＝AD﹣BP＝16﹣2t， ∵QD2＝PD2＝PH2＋HD2＝122＋（16﹣2t）2。∴（16﹣t）2＝122＋（16﹣2t）2 即3t2﹣32t＋144＝0，∵△＜0，∴方程无实根， 综上可知，当t＝秒或t＝秒时，△PQD是等腰三角形． 已知,矩形ABCD中,AB＝4cm,BC＝8cm ,AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F,垂足为O. (1)如图1,连接AF、CE.求证四边形AFCE为菱形,并求AF的长；
(2)如图2,动点P、Q分别从A、C两点同时出发,沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周.即点P自A→F→B→A停止,点Q自C→D→E→C停止.在运动过程中 ①已知点P的速度为每秒5cm,点Q的速度为每秒4cm,运动时间为t秒,当A、P、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,求t的值. ②若点P、Q的运动路程分别为a、b (单位:cm,ab≠0),已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形,求a与b满足的数量关系. 解：（1）①∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC， ∴∠CAD＝∠ACB，∠AEF＝∠CFE， ∵EF垂直平分AC，垂足为O，∴OA=OC， ∴△AOE≌△COF，∴OE=OF， ∴四边形AFCE为平行四边形，又∵EF⊥AC， ∴四边形AFCE为菱形， ②设菱形的边长AF=CF=xcm，则BF=（8-x）cm， 在Rt△ABF中，AB=4cm，由勾股定理得， 解得x=5，∴AF=5cm． （2）①显然当P点在AF上时，Q点在CD上，此时A、C、P、Q四点不可能构成平行四边形； 同理P点在AB上时，Q点在DE或CE上或P在BF，Q在CD时不构成平行四边形，也不能构成平行四边形．因此只有当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形， ∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC=QA， ∵点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒， ∴PC=5t，QA=CD+AD-4t=12-4t，即QA=12-4t，∴5t=12-4t， 解得t＝，∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，t＝秒． ②由题意得，四边形APCQ是平行四边形时，点P、Q在互相平行的对应边上． 分三种情况： i）如图1，当P点在AF上、Q点在CE上时，AP=CQ，即a=12-b，得a+b=12； ii）如图2，当P点在BF上、Q点在DE上时，AQ=CP，即12-b=a，得a+b=12； iii）如图3，当P点在AB上、Q点在CD上时，AP=CQ，即12-a=b，得a+b=12． 综上所述，a与b满足的数量关系式是a+b=12（ab≠0）． （10分）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4．动点P从点A出发沿AC向终点C运动，同时动点Q从点B出发沿BA向点A运动，到达A点后立刻以原来的速度沿AB返回．点P，Q运动速度均为每秒1个单位长度，当点P到达点C时停止运动，点Q也同时停止．连结PQ，设运动时间为t（t＞0）秒． （1）求线段AC的长度； （2）当点Q从B点向A点运动时（未到达A点），求△APQ的面积S关于t的函数关系式，并写出t的取值范围； （3）伴随着P，Q两点的运动，线段PQ的垂直平分线为l： ①当l经过点A时，射线QP交AD于点E，求AE的长； ②当l经过点B时，求t的值． 解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：； （2）如图1， 过点P作PH⊥AB于点H，AP=t，AQ=3﹣t，则∠AHP=∠ABC=90°， ∵∠PAH=∠CAB，∴△AHP∽△ABC，∴=，∵AP=t，AC=5，BC=4，∴PH=， ∴S=?（3﹣t）?t，即S=﹣t2+t，t的取值范围是：0＜t＜3． （3）①如图2，∵线段PQ的垂直平分线为l经过点A，∴AP=AQ，∴3﹣t=t，∴t=1.5， ∴AP=AQ=1.5，延长QP交AD于点E，过点Q作QO∥AD交AC于点O， ∴△AQO∽△ABC，∴，∴，，∴PO=AO﹣AP=1， ∵OQ∥BC∥AD，∴△APE∽△OPQ，∴，∴． ②如图③，（i）当点Q从B向A运动时l经过点B，BQ=BP=AP=t，∠QBP=∠QAP， ∵∠QBP+∠PBC=90°，∠QAP+∠PCB=90°，∴∠PBC=∠PCB，∴CP=BP=AP=t ∴CP=AP=AC=×5=2.5，∴t=2.5； （ⅱ）如图4，当点Q从A向B运动时l经过点B，BP=BQ=3﹣（t﹣3）=6﹣t，AP=t，PC=5﹣t， 过点P作PG⊥CB于点G，则PG∥AB，∴△PGC∽△ABC，∴， ∴PG=?AB=（5﹣t），CG=?BC=（5﹣t），∴BG=4﹣= 由勾股定理得BP2=BG2+PG2，即，解得． 如图，已知点A是直线与反比例函数图象的交点，且点A的横坐标为. （1）求k的值； （2）如图1，双曲线上一点M，若=4，求点M的坐标； （3）如图2所示，若已知反比例函数图象上一点B(3，1),点P是直线上一动点，点Q是反比例函数图象上另一点，是否存在以P、A、B、Q为顶点的平行四边形，若存在,请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 解：（1）∵点A是直线y=2x+1的点，点A的横坐标为1，∴y=2×1+1=3，∴A（1，3）， ∵点A是反比例函数y=（x＞0）图象上的点，∴k=3； （2）如图1，设点M（m，），过A作AE⊥x轴于E，过M作MF⊥x轴于F， 根据题意得：S△AOM=S梯形AEFM=（3+）（m﹣1）=4，解得：m=3（负值舍去），∴M（3，1）； （3）∵反比例函数y=（x＞0）图象经过点A（1，3），∴k=1×3=3，∴反比例函数的解析式为y=，∵点P在直线y=x上，∴设P（m，m），若PQ为平行四边形的边， ∵点A的横坐标比点B的横坐标小2，点A的纵坐标比点B的纵坐标大2， ∴点Q在点P的下方，则点Q的坐标为（m+2，m﹣2）如图2， 若点Q在点P的上方，则点Q的坐标为（m﹣2，m+2）如图3， 把Q（m+2，m﹣2）代入反比例函数的解析式得：m=±，∵m＞0，∴m=， ∴Q1（+2，﹣2），同理可得另一点Q2（﹣2，+2）； ②若PQ为平行四边形的对角线，如图4，∵A、B关于y=x对称，∴OP⊥AB 此时点Q在直线y=x上，且为直线y=x与双曲线y=的交点，由 解得，（舍去）∴Q3（，） 综上所述，满足条件的点Q有三个，坐标分别为：Q1（+2，﹣2），Q2（﹣2，+2），Q3（，）． 如图，一条直线少y1=kl x +b与反比例函数y2=的图像交于A(1，5)、B(5，n)两点，与x轴交于D点，AC⊥x轴，垂足为C。 (1)如图甲，①求反比例函数的解析式；②求D点坐标； (2)请直接写出当y1
