【备战2020】高考数学二轮专题：专题三 应用题 复习学案（上海地区专用）

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【备考2020】高考数学二轮专题复习学案
专题三 应用题
课题 应用题 单元 第章 学科 数学 年级 十二
学习 目标 1．总结高考常考的函数应用题的类型； 2．通过相应的例题和习题提高学生审题、析题能力
重点 1．函数性质类试题分析； 2．应用题中的审题与析题以及相应知识的迁移．
难点 应用题中的审题与析题以及相应知识的迁移．
教学安排
版块 时长
1 知识梳理 30
2 例题解析 60
3 巩固训练 20
4 师生总结 10
5 课后练习 30



纵观历年试题，上海高考的的应用题，普遍具有实际背景，命题老师非常喜欢将实际问题抽象出相应模型加以考查。其中涵盖的知识点很广，函数、三角、解析几何、数列、立体几何都有所涉及。函数方面主要考查求函数最值、单调性等；三角主要考查解三角形的相关应用，而且多次出现在高考试题中，2014、2015年高考都考查了三角部分；其余章节的考查也都以主干知识为主。


一、函数应用题专题
1、以耐克函数为载体的函数应用题
【例1】为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源消耗，可在建筑物的外墙加装不超过厘米厚的隔热层．某幢建筑物要加装可使用年的隔热层．每厘米厚的隔热层的加装成本为万元．该建筑物每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层厚度（单位：厘米）满足关系：．若不加装隔热层，每年能源消耗费用为万元．设为隔热层加装费用与年的能源消耗费用之和．
（1）求的值及的表达式，并写出的定义域；
（2）隔热层加装厚度为多少厘米时，总费用最小？并求出最小总费用．
【难度】★★
【答案】（1）由已知，当时，，即，所以，所以，
又加装隔热层的费用为．
所以，定义域为．
（2），
当且仅当，，，即时取等号．
所以当隔热层加装厚度为厘米时，总费用最小．最小总费用为万元．

【例2】如图1，，是某地一个湖泊的两条互相垂直的湖堤，线段和曲线段分别是湖泊中的一座栈桥和一条防波堤．为观光旅游的需要，拟过栈桥上某点分别修建与，平行的栈桥、，且以、为边建一个跨越水面的三角形观光平台.建立如图2所示的直角坐标系，测得线段的方程是，曲线段的方程是，设点的坐标为，记.（题中所涉及的长度单位均为米，栈桥和防波堤都不计宽度）
（1）求的取值范围；
（2）试写出三角形观光平台面积关于的函数解析式，并求出该面积的最小值．
【难度】★★
【答案】（1）由题意，得在线段CD：上，即，
又因为过点要分别修建与、平行的栈桥、，所以；
；
所以的取值范围是
（2）由题意，得，
所以
则，
因为函数在单调递减，
所以当时，三角形观光平台的面积取最小值为225平方米．

【巩固训练】
1．某轮船公司的一艘轮船每小时花费的燃料费与轮船航行速度的平方成正比，比例系数为．轮船的最大速度为15海里/小时．当船速为10海里/小时，它的燃料费是每小时96元，其余航行运作费用（不论速度如何）总计是每小时150元．假定运行过程中轮船以速度匀速航行．
（1）求的值；
（2）求该轮船航行100海里的总费用（燃料费＋航行运作费用）的最小值．
【难度】★
【答案】（1）由题意得燃料费，
把，代入得．
（2），
，
其中等号当且仅当时成立，解得，
所以，该轮船航行海里的总费用的最小值为2400（元）．

2．某通讯公司需要在三角形地带区域内建造甲、乙两种通信信号加强中转站，甲中转站建在区域内，乙中转站建在区域内．分界线固定，且=百米，边界线始终过点，边界线满足．
设（）百米，百米．
（1）试将表示成的函数，并求出函数的解析式；
（2）当取何值时？整个中转站的占地面积最小，并求出其面积的最小值．
【难度】★★
【答案】（1）结合图形可知，．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
于是，，　　　　　　　　　　
　　解得．　　　　　　　　　　　　　　　
（2）由（1）知，，
因此，
（当且仅当，即时，等号成立）．　　　　 　　
答：当米时，整个中转站的占地面积最小，最小面积是平方米．


2、以二次函数为载体的函数应用题
【例3】有一块铁皮零件，其形状是由边长为的正方形截去一个三角形所得的五边形，其中，如图所示．现在需要用这块材料截取矩形铁皮，使得矩形相邻两边分别落在上，另一顶点落在边或边上．设，矩形的面积为．
（1）试求出矩形铁皮的面积关于的函数解析式，
并写出定义域；
（2）试问如何截取（即取何值时），可使得到的矩形的面积最大？
【难度】★★
【答案】（1）依据题意并结合图形，可知：
当点在线段上，即时，；
当点在线段上，即时，由，得．
于是，．
　　所以， 定义域．
（2）由（1）知，当时，；
当时，
　 　，当且仅当时，等号成立．
　 因此，的最大值为．
答：先在上截取线段，然后过点作的垂线交于点，再过点作的平行线交于点，最后沿与截铁皮，所得矩形面积最大，最大面积为．

【例4】某油库的设计容量为30万吨，年初储量为10万吨，从年初起计划每月购进石油万吨，以满足区域内和区域外的需求，若区域内每月用石油1万吨，区域外前个月的需求量（万吨）与的函数关系为，并且前4个月，区域外的需求量为20万吨．
（1）试写出第个月石油调出后，油库内储油量（万吨）与的函数关系式；
（2）要使16个月内每月按计划购进石油之后，油库总能满足区域内和区域外的需求，且每月石油调出后，油库的石油剩余量不超过油库的容量，试确定的取值范围．
【难度】★★
【答案】（1）由条件得，所以
，（）．
（2）因为，
所以恒成立
恒成立
设，则：
恒成立，
由恒成立得（时取等号）
恒成立得（时取等号）
所以．

【巩固训练】
1．上海某化学试剂厂以千克/小时的速度生产某种产品（生产条件要求），为了保证产品的质量，需要一边生产一边运输，这样按照目前的市场价格，每小时可获得利润是元．
（1）要使生产运输该产品2小时获得的利润不低于3000元，求的取值范围；
（2）要使生产运输900千克该产品获得的利润最大，问：该工厂应该选取何种生产速度？并求最大利润．
【难度】★★
【答案】（1）根据题意，
又，可解得，因此，所求的取值范围是；
（2）设利润为元，则
故时，元．

2．为了寻找马航残骸，我国“雪龙号”科考船于2014年3月26日从港口出发，沿北偏东角的射线方向航行，而在港口北偏东角的方向上有一个给科考船补给物资的小岛，海里，且．现指挥部需要紧急征调位于港口正东海里的处的补给船，速往小岛装上补给物资供给科考船．该船沿方向全速追赶科考船，并在处相遇．经测算当两船运行的航线与海岸线围成的三角形的面积最小时，这种补给方案最优．
（1）求关于的函数关系式；
（2）应征调位于港口正东多少海里处的补给船只，补给方案最优？
【难度】★★
【答案】（1）以O点为原点，正北的方向为y轴正方向建立直角坐标系，
则直线OZ的方程为，设点A（x0，y0），则，，即A（900，600），
又B（m，0），则直线AB的方程为：，
由此得到C点坐标为：，

（2）由（1）知

所以当，即时，最小，
（或令，则
，当且仅当时，最小）
∴征调海里处的船只时，补给方案最优．


3、以分段函数为载体的函数应用题
【例5】在等边中，，长为的线段两端点都在边上，且由点向点运动（运动前点与点重合），，点在边或边上；，点在边或边上，设．
（1）若面积为，由围成的平面图形面积为，分别求出函数的表达式；
（2）若四边形为矩形时，求当时，设，求函数的取值范围．
【难度】★★
【答案】（1）① 当时，在边上，，；
当时，在边上，，
，
② 当时，、都在边上，，，
；
当时，在边上，在边上，，，；
当时，、都在边上，，，；
．
（2），
① 当时，，；
② 当时，，令，则，
在上单调递增，；
的取值范围为

【例6】某市环保部门对市中心每天的环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染指数与时刻（时）的关系为，，其中是与气象有关的参数，且．若用每天的最大值为当天的综合污染指数，并记作．
（1）令，，求的取值范围；
（2）求的表达式，并规定当时为综合污染指数不超标，求当在什么范围内时，该市市中心的综合污染指数不超标．
【难度】★★
【答案】（1）当时，；
当时，因为，所以，
即的取值范围是．
（2）当时，由（1），令，则，
所以
于是，在时是关于的减函数，在时是增函数，
因为，，由，
所以，当时，；
当时，，
即
由，解得．
所以，当时，综合污染指数不超标．


【巩固训练】
1．某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平等因素的限制，会产生较多次品，
根据经验知道，次品数（万件）与日产量（万件）之间满足关系：．
已知每生产1万件合格的元件可以盈利20万元，但每产生l万件次品将亏损10万元．
（实际利润合格产品的盈利生产次品的亏损）
（1）试将该工厂每天生产这种元件所获得的实际利润（万元）表示为日产量（万件）的函数；
（2）当工厂将这种仪器的元件的日产量（万件）定为多少时获得的利润最大，最大利润为多少？
【难度】★★
【答案】（1）当时，合格的元件数为（万件），
利润（万元）；
当时，合格的元件数为（万件），
利润（万元），
综上，该工厂每天生产这种元件所获得的利润为，
（2）当时，
∴当（万件）时，利润的最大值20（万元）
当时，
因为在上是单调递增，所以函数在上是减函数，当时，利润的最大值0．
综上所述，当日产量定为2（万件）时，工厂可获得最大利润20万元．

2．如图所示，一种医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体.开始输液时，滴管内匀速滴下球状液体，其中球状液体的半径毫米，滴管内液体忽略不计．
（1）如果瓶内的药液恰好分钟滴完，问每分钟应滴下多少滴？
（2）在条件（1）下，设输液开始后（单位：分钟），瓶内液面与进气管的距离为（单位：厘米），已知当时，．试将表示为的函数．（注：）
【难度】★★
【答案】（1）设每分钟滴下（）滴，
则瓶内液体的体积滴球状液体的体积
所以，解得，故每分钟应滴下滴．
（2）由（1）知，每分钟滴下药液
当时，，即，此时
当时，，即，此时
综上可得


4、其他类型的函数应用题
【例7】某种海洋生物身体的长度（单位：米）与生长年限（单位：年）满足如下的函数关系：.（设该生物出生时）
（1）需经过多少时间，该生物的身长超过8米；
（2）设出生后第年，该生物长得最快，求的值．
【难度】★★
【答案】（1）设，即，解得，
即该生物6年后身长可超过8米；
（2）设第年生长最快，于是有

令，则，
令
等号当且仅当即，，时成立，因为，因此的可能值为4或5，由知，所求的年份为第4年和第5年，两年内各生长了米．

【例8】某医药研究所开发一种新药，据监测：服药后每毫升血液中的含药量与时间之间满足如图所示曲线．当时，所示的曲线是二次函数图像的一部分，满足，当时，所示的曲线是函数的图像的一部分．据测定：每毫升血液中含药量不少于微克时治疗疾病有效．请你算一下，服用这种药一次大概能维持多长的有效时间？（精确到小时）
【难度】★★
【答案】由，解得： ①
由，解得： ②
由①、②知：，
，∴服用这种药一次大概能维持的有效时间为小时．


【巩固训练】
1．某医药研究所开发一种新药，在实验药效时发现：如果成人按规定剂量服用，那么服药
后每毫升血液中的含药量（微克）与时间（小时）之间满足，
其对应曲线（如图所示）过点．:学科网]
（1）试求药量峰值（的最大值）与达峰时间（取最大值
时对应的值）；
（2）如果每毫升血液中含药量不少于1微克时治疗疾病有效，
那么成人按规定剂量服用该药一次后能维持多长的有效时
间？（精确到0.01小时）
【难度】★★
【答案】（1）由曲线过点，可得，故
当时，，
当时，设，可知，
（当且仅当时，）
综上可知，且当取最大值时，对应的值为1
所以药量峰值为4mg，达峰时间为1小时．
（2）当时，由，可得，
解得，又，故．
当时，设，则，
由，可得，解得，
又，故，所以，可得．
由图像知当时，对应的的取值范围是，
∵，
所以成人按规定剂量服用该药一次后能维持大约3.85小时的有效时间．
【另法提示：可直接解不等式，得出的取值范围，然后求出有效时间】

2．某企业为打入国际市场，决定从A、B两种产品中只选择一种进行投资生产．已知投资生产这两种产品的有关数据如下表：（单位：万美元）
项 目 类 别 年固定 成本 每件产品 成本 每件产品 销售价 每年最多可 生产的件数
A产品 20 m 10 200
B产品 40 8 18 120
其中年固定成本与年生产的件数无关，m为待定常数，其值由生产A产品的原材料价格决定，预计．另外，年销售件B产品时需上交万美元的特别关税．假设生产出来的产品都能在当年销售出去．
（1）写出该厂分别投资生产A、B两种产品的年利润与生产相应产品的件数之间的函数关系并指明其定义域；
（2）如何投资才可获得最大年利润？请你做出规划．
【难度】★★
【答案】（1）由年销售量为件，按利润的计算公式，有生产A、B两产品的年利润分别为：
且

．
（2），，为增函数，
时，生产A产品有最大利润为（万美元）
又时，生产B产品有最大利润为460（万美元）
现在我们研究生产哪种产品年利润最大，为此，我们作差比较：

所以：当时，投资生产A产品200件可获得最大年利润；
当时，生产A产品与生产B产品均可获得最大年利润；
当时，投资生产B产品100件可获得最大年利润．


二、三角应用题专题
1、以三角函数的图象为载体的三角应用题
【例9】如图，摩天轮上一点在时刻距离地面高度满足，，已知某摩天轮的半径为米，点距地面的高度为米，摩天轮做匀速转动，每分钟转一圈，点的起始位置在摩天轮的最低点处．
（1）根据条件写出（米）关于（分钟）的解析式；
（2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点距离地面超过米？
【难度】★★
【答案】（1）由题设可知，，
又，所以，从而，
再由题设知时，代入，得，从而，
因此，．
（2）要使点距离地面超过米，则有，
即 ，又解得，即
所以，在摩天轮转动的一圈内，点距离地面超过米的时间有分钟．


【巩固训练】
1．在某个旅游业为主的地区，每年各个月份从事旅游服务工作的人数会发生周期性的变化. 现假设该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数可近似地用函数来刻画．其中：正整数表示月份且，例如时表示1月份；和是正整数；．
统计发现，该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律：
① 各年相同的月份，该地区从事旅游服务工作的人数基本相同；
② 该地区从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差约400人；
③ 2月份该地区从事旅游服务工作的人数约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多．
（1）试根据已知信息，确定一个符合条件的的表达式；
（2）一般地，当该地区从事旅游服务工作的人数超过400人时，该地区也进入了一年中的旅游“旺季”. 那么，一年中的哪几个月是该地区的旅游“旺季”？请说明理由．
【难度】★★
【答案】（1）根据三条规律，可知该函数为周期函数，且周期为12．由此可得，；
由规律②可知，，
；
又当时，，
所以，，由条件是正整数，故取．
综上可得，符合条件．
（2）解法一：由条件，，可得
，
，
，．
因为，，所以当时，，
故，即一年中的7，8，9，10四个月是该地区的旅游“旺季”．
解法二：列表，用计算器可算得
月份 … 6 7 8 9 10 11 …
人数 … 383 463 499 482 416 319 …
故一年中的7，8，9，10四个月是该地区的旅游“旺季”．


2、以解三角形为载体的三角应用题
【例10】气象台预报，距离岛正东方向300km的处有一台风形成，并以每小时30km的速度向北偏西的方向移动，在距台风中心处不超过270km以内的地区将受到台风的影响．从台风形成起经过多少小时，岛开始受到台风的影响？持续时间多久？（精确到0.1小时）
【难度】★★
【答案】可设台风中心经过小时到达点
由题意得，，
在中，，，
由余弦定理，

若岛受到台风影响，则有，而，化简整理得，
解此不等式得．即的范围大约在2.5小时与7.4小时之间．
所以从台风形成起，大约在2.5小时岛开始受到影响，约持续4.9小时以后影响结束．

【例11】如图，某市拟在长为8千米的道路的一侧修建
一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段，该曲线段
为函数（，），的图像，
且图像的最高点为；赛道的后一部分为折线段，
为保证参赛运动员的安全，限定．
（1）求，的值和线段的长；
（2）设，问为何值时，才能使折线段赛道最长？
【难度】★★
【答案】（1）由题意，，设函数在上的周期为，
则，又，所以，
所以，当时，，故，
因为，所以．即的长为5千米．
（2）在△中，，，则，
由正弦定理得，，
所以，，
所以
， 因为，所以当时，折线段赛道最长．

【例12】如图：某污水处理厂要在一个矩形污水处理池的池底水平铺设污水净化管道，是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口是的中点，分别落在线段上.已知米，米，记．
（1）试将污水净化管道的长度表示为的函数，并写出定义域；
（2）若，求此时管道的长度；
（3）问：当取何值时，污水净化效果最好？并求出此时
管道的长度．
【难度】★★
【答案】（1），，
由于，
，
，．
（2）时，，
（3）
设，则
由于，所以
在内单调递减，于是当时时
的最大值米
答：当或时所铺设的管道最长，为米

【例13】（理）某种型号汽车四个轮胎半径相同，均为，同侧前后两轮胎之间的距离（指轮胎中心之间距离）为（假定四个轮胎中心构成一个矩形）．当该型号汽车开上一段上坡路（如图（1）所示，其中（）），且前轮已在段上时，后轮中心在位置；若前轮中心到达处时，后轮中心在处（假定该汽车能顺利驶上该上坡路）．设前轮中心在和处时与地面的接触点分别为和，且，．（其它因素忽略不计）
（1）如图（2）所示，和的延长线交于点，
求证：（cm）；
（2）当=时，后轮中心从处移动到处实际移动了多少厘米？（精确到1cm）
【难度】★★★
【答案】（1） 由，，得，
过点作，，则
，从而．
在中，由得，
从而，．
（2）由（1）结论得．[
设，，
在中，由余弦定理得，
，解得．
在中，由余弦定理得，
，解得．
所以，，即后轮中心从处移动到处实际移动了约．


【巩固训练】
1．某轮船以30海里/时的速度航行，在A点测得海面上油井P在
南偏东60°，向北航行40分钟后到达B点，测得油井P在南偏东30°，
轮船改为北偏东60°的航向再行驶80分钟到达C点，求P、C间的距离．
【难度】★
【答案】如图，在△ABP中，，∠APB＝30°，∠BAP＝120°
由正弦定理知得∴
在△BPC中，，又∠PBC＝90°，∴
∴可得P、C间距离为（海里）

2．如图所示，ABCD是一块边长为7米的正方形铁皮，其中ATN是一半径为6米的扇形，已经被腐蚀不能使用，其余部分完好可利用．工人师傅想在未被腐蚀部分截下一个有边落在BC与CD上的长方形铁皮PQCR，其中P是上一点．设，长方形PQCR的面积为S平方米．
（1）求S关于的函数解析式；
（2）设，求S关于t的表达式以及S的最大值．
【难度】★★
【答案】（1）延长交于，延长交于，
由是正方形，是矩形，可知，
由，可得，，
∴，，
∴

故S关于的函数解析式为
．
（2）由，可得
，即，
∴．
又由，可得，
故，
∴S关于t的表达式为（）．
又由，
可知当时，取最大值，
故的最大值为．

3．如图，制图工程师要用两个同中心的边长均为4的正方形合成一个八角形图形．由对称性，图中8个三角形都是全等的三角形，设．
（1）试用表示的面积；
（2）求八角形所覆盖面积的最大值，并指出此时的大小．
【难度】★★
【答案】（1）设为，∴，
，，，
（2）令，
只需考虑取到最大值的情况，即为，
当，即时，达到最大
此时八角形所覆盖面积的最大值为．

4．如图，在海岸线一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段，
该曲线段是函数，的图像，图像的
最高点为．边界的中间部分为长千米的直线段，且．游乐场的后一部分边界是以为圆心的一段圆弧．
（1）求曲线段的函数表达式；
（2）曲线段上的入口距海岸线最近距离为千米，现准备从入口修一条笔直的景观路到，求景观路长；
（3）如图，在扇形区域内建一个平行四边
形休闲区，平行四边形的一边在海岸线上，一边在半径上，另外一个顶点在圆弧
上，且，求平行四边形休闲区面积的最大值及此时 HYPERLINK "http://www.zxsx.com" 的值．
【难度】★★
【答案】（1）由已知条件，得
又∵
又∵当时，有
∴ 曲线段的解析式为．
（2）由得

又

∴ 景观路长为千米
（3）如图，
作轴于点，在中，
在中，
∴



当时，即时：平行四边形面积最大值为


3、以米勒问题（最大张角）为载体的三角应用题
【例14】某兴趣小组测量电视塔的高度（单位：m），如示意图，垂直放置的标杆的高度，仰角，．
（1）该小组已经测得一组、的值，，，请据此算出的值；
（2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离（单位：m），使与之差较大，可以提高测量精确度．若电视塔的实际高度为125m，试问为多少时，最大？
【难度】★★
【答案】（1）由，，及，得
，解得．
因此，算出的电视塔的高度是124m．
（2）由题设知，得．
由，得，所以
，
当且仅当，即时，上式取等号．
所以当时，最大．
因为，则，所以当时，最大．
故所求的是m．


【巩固训练】
1．如图，、是两个小区所在地，、到一条公路的垂直距离分别为，，两端之间的距离为．
（1）某移动公司将在之间找一点，在处建造一个信号塔，使得对、的张角与对、的张角相等，试确定点的位置．
（2）环保部门将在之间找一点，在处建造一个垃圾处理厂，使得对、所张角最大，试确定点的位置．

【难度】★★
【答案】（1）设，，.
依题意有，.
由，得，解得，故点应选在距点2处.
（2）设，，.
依题意有，，

令，由，得，，
，，
当，所张的角为钝角，最大角当，即时取得，故点应选在距点处.
三、其他应用题
【例15】用一个长为，宽为的矩形铁皮（如图1）制作成一个直角圆形弯管（如图3）：先在矩形的中间画一条曲线，并沿曲线剪开，将所得的两部分分别卷成体积相等的斜截圆柱状（如图2），然后将其中一个适当翻转拼接成直角圆形弯管（如图3）（不计拼接损耗部分），并使得直角圆形弯管的体积最大．
（1）求直角圆形弯管（图3）的体积；
（2）求斜截面椭圆的焦距；
（3）在相应的图1中建立适当的坐标系，使所画的曲线的方程为，并求出方程．
??







【难度】★★★
【答案】（1）显然，直角圆形弯管（图3）的体积就是圆柱（图2）的体积
当以为底面圆周长时，底面圆半径为1，则其体积；
当以为底面圆周长时，底面圆半径为，则其体积，
从而，直角圆形弯管（图3）的较大体积为．
（2）在体积较大的直角圆形弯管（图3）中，易知拼接椭圆长轴所在直线与较长的母线所成的角为，所以椭圆的长轴长为又椭圆的短轴长为圆柱的底面直径，从而椭圆的焦距
（3）建立如图所示的直角坐标系，底面圆直径为2，
设图2中最短的母线长为，
因为在直角圆形弯管的轴截面上，由，
曲线的最低点为，最高点为，
代入，解得，， 从而所求的曲线方程为：



【例16】如图所示，某传动装置由两个陀螺组成，陀螺之间没有滑动．每个陀螺都由具有公共轴的圆锥和圆柱两个部分构成，每个圆柱的底面半径和高都是相应圆锥底面半径的，且的轴相互垂直，它们相接触的直线与的轴所成角．若陀螺中圆锥的底面半径为．
（1）求陀螺的体积；
（2）当陀螺转动一圈时，陀螺中圆锥底面圆周上一点转动到点，求与之间的距离．
【难度】★★
【答案】（1）设陀螺圆锥的高为，则，即
得陀螺圆柱的底面半径和高为

（2）设陀螺圆锥底面圆心为，则，
得
在中，
【例17】电视传媒为了解某市100万观众对足球节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查．如图是根据调查结果绘制的观众每周平均收看足球节目时间的频率分布直方图，将每周平均收看足球节目时间不低于1.5小时的观众称为“足球迷”，并将其中每周平均收看足球节目时间不低于2.5小时的观众称为“铁杆足球迷”．
（1）试估算该市“足球迷”的人数，并指出其中“铁杆足球迷”约为多少人；
（2）该市要举办一场足球比赛，已知该市的足球场可容纳10万名观众．根据调查，如果票价定为100元/张，则非“足球迷”均不会到现场观看，而“足球迷”均愿意前往现场观看．如果票价提高元/张，则“足球迷”中非“铁杆足球迷”愿意前往观看的人数会减少，“铁杆足球迷”愿意前往观看的人数会减少．问票价至少定为多少元/张时，才能使前往现场观看足球比赛的人数不超过10万人？
【难度】★★
【答案】（1）样本中“足球迷”出现的频率
“足球迷”的人数（万）
“铁杆足球迷”（万）
所以16万“足球迷”中，“铁杆足球迷”约有3万人.
（2）设票价为元，则一般“足球迷”中约有万人，“铁杆足球迷”约有万人去现场看球．
令
化简得：
解得：，由，
即平均票价至少定为元，才能使前往现场观看足球比赛的“足球迷”不超过10万人．

【例18】如图所示：一块椭圆形状的铁板的长轴长为4米，短轴长为2米．
（1）若利用这块椭圆铁板截取矩形，要求矩形的四个顶点都在
椭圆铁板的边缘，求所能截取的矩形面积的最大值；
（2）若以短轴的端点为直角顶点，另外两个锐角的顶点、都
在椭圆铁板的边缘，切割等腰直角三角形，则在不同的切割方
案中，共能切割出几个面积不同的等腰直角三角形？最大面积
是多少？（结果保留一位小数）
【难度】★★
【答案】建系（略），得椭圆的标准方程为
设矩形的一个顶点坐标为

当且仅当，即时等号成立．
（2）设所在的直线方程为：，则所在的直线方程为：---2分
将所在的直线方程代入椭圆方程，得
可求得，
同理可求得，
不妨设，令，得，
即，
解得，或．当时，所截取等腰直角三角形面积为2.6平方米；
当时，所截取等腰直角三角形面积为2.1平方米．
所以，切割出的等腰直角三角形的最大面积约2.6平方米．

【例19】某市2013年发放汽车牌照12万张，其中燃油型汽车牌照10万张，电动型汽车2万张．为了节能减排和控制总量，从2013年开始，每年电动型汽车牌照按50%增长，而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少万张，同时规定一旦某年发放的牌照超过15万张，以后每一年发放的电动车的牌照的数量维持在这一年的水平不变．
（1）记2013年为第一年，每年发放的燃油型汽车牌照数构成数列，每年发放的电动型汽车牌照数为构成数列，完成下列表格，并写出这两个数列的通项公式；
（2）从2013年算起，累计各年发放的牌照数，哪一年开始超过200万张？
…………
…………
【难度】★★
【答案】（1）
9 8.5 …………
4.5 6.75 …………
当且，；
当且，．

而，
（2）当时，．
当时，


由 得，即，得
到2029年累积发放汽车牌照超过200万张．


【巩固训练】
1．如图，在两块钢板上打孔，用钉帽呈半球形、钉身为圆柱形的铆钉（图1）穿在一起，在没有帽的一端锤打出一个帽，使得与钉帽的大小相等，铆合的两块钢板，成为某种钢结构的配件，其截面图如图2．（单位：mm）．（加工中不计损失）．
（1）若钉身长度是钉帽高度的2倍，求铆钉的表面积；
（2）若每块钢板的厚度为mm，求钉身的长度（结果精确到mm）．
SHAPE \* MERGEFORMAT

【难度】★★
【答案】设钉身的高为，钉身的底面半径为，钉帽的底面半径为，由题意可知：
（1）圆柱的高
圆柱的侧面积
半球的表面积
所以铆钉的表面积（）
（2）

设钉身长度为，则
由于，所以，
解得
答：钉身的表面积为，钉身的长度约为．

2．为了加强环保建设，提高社会效益和经济效益，某市计划用若干年时间更换一万辆燃油型公交车．每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，更换的新车为电力型车和混合动力型车．今年初投入了电力型公交车辆，混合动力型公交车辆，计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加，混合动力型车每年比上一年多投入辆．设、分别为第年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量，设、分别为年里投入的电力型公交车、混合动力型公交车的总数量．
（1）求、，并求年里投入的所有新公交车的总数；
（2）该市计划用年的时间完成全部更换，求的最小值．
【难度】★★
【答案】（1）设、分别为第年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量，
依题意知，数列是首项为、公比为的等比数列；
数列是首项为、公差为的等差数列，
所以数列的前和，
数列的前项和，
所以经过年，该市更换的公交车总数
；
（2）因为、是关于的单调递增函数，
因此是关于的单调递增函数，
所以满足的最小值应该是，
即，解得，
又，所以的最小值为147．








做好对每个版块的主知识的梳理，对于应对函数类应用题有很大帮助。函数部分重点关注最值，单调性；三角部分加强解三角形的相应知识；数列扎实等差、等比数列求和、求通项；解析几何关注圆锥曲线的性质的转化；立体几何可以总结空间角、距离、体积、表面积等相应基础内容的解法。最后，高考命题离不开课本，课本中还有一些试题值得深入研究，说不定会成为试题的原型，比如高三数学课本第43页的内容，就是2015年湖北卷中立体几何试题的出处。






1．投资公司拟投资开发某项新产品，市场评估能获得10~1000万元的投资收益.现公司准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金 HYPERLINK "http://www.zxsx.com" （单位：万元）随投资收益 HYPERLINK "http://www.zxsx.com" （单位：万元）的增加而增加，且奖金不低于 HYPERLINK "http://www.zxsx.com" 万元，同时不超过投资收益的 HYPERLINK "http://www.zxsx.com" ．
（1）设奖励方案的函数模型为 HYPERLINK "http://www.zxsx.com" ，试用数 (?http:?/??/?www.zxsx.com?/??)学语言表述公司对奖励方案的函数模型 HYPERLINK "http://www.zxsx.com" 的基本要求；
（2）公司预设的一个奖励方案的函数模 (?http:?/??/?www.zxsx.com?/??)型： HYPERLINK "http://www.zxsx.com" ；试分析这个函数模型是否符合公司要求；
（3）求证：函数模型是符合公司的一个奖励方案．
【难度】★★
【答案】（1）由题意知，公司对奖励方案的函数模型 HYPERLINK "http://www.zxsx.com" 的基本要求是：
当 HYPERLINK "http://www.zxsx.com" 时，① HYPERLINK "http://www.zxsx.com" 是增函数；② HYPERLINK "http://www.zxsx.com" 恒成立；③ HYPERLINK "http://www.zxsx.com" 恒成立
（2）对于函数模型 HYPERLINK "http://www.zxsx.com" ：
当 HYPERLINK "http://www.zxsx.com" 时， HYPERLINK "http://www.zxsx.com" 是增函数，则 HYPERLINK "http://www.zxsx.com" 显然恒成立
而若使函数 HYPERLINK "http://www.zxsx.com" 在 HYPERLINK "http://www.zxsx.com" 上恒成立，整理即 HYPERLINK "http://www.zxsx.com" 恒成立，
而 HYPERLINK "http://www.zxsx.com" ，∴ HYPERLINK "http://www.zxsx.com" 不恒成立．
故该函数模型不符合公司要求．
（3）对于函数模型
HYPERLINK "http://www.zxsx.com" 时，显然单调递增
成立．∴恒成立．
方法一（分析法）：
欲证： HYPERLINK "http://www.zxsx.com" 时，恒成立
等价于，恒成立
等价于恒成立　　（***）
又在单调递增
故
，所以（***） 成立
所以 HYPERLINK "http://www.zxsx.com" 时，恒成立
符合公司的模型

方法二：
设，





单调递增
，所以
单调递减


恒成立
恒成立
符合公司的模型

2．如图，有一块扇形草地，已知半径为，，
现要在其中圈出一块矩形场地作为儿童乐园使用，
其中点、在弧上，且线段平行于线段．
（1）若点为弧的一个三等分点，求矩形的面积；
（2）当在何处时，矩形的面积最大？最大值为多少？
【难度】★★
【答案】（1）解：如图，作于点H，交线段CD于点E，连接OA、OB，
，
，




（2）设
则，



，
即时，
，此时A在弧MN的四等分点处
　答：当A在弧MN的四等分点处时，

3．如图，游客从某旅游景区的景点处下山至处有两种路径．一种是从沿直线步行到，另一种是先从沿索道乘缆车到，然后从沿直线步行到．
现有甲、乙两位游客从处下山，甲沿匀速步行，速度为50 m/min，在甲出发2 min后，乙从乘缆车到，在处停留1 min后，再从匀速步行到．假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，山路长为1260 m，经测量，，．
（1）求索道的长；
（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
（3）为使两位游客在处互相等待的时间不超过3分钟，
乙步行的速度应控制在什么范围内？
【难度】★★
【答案】（1）在中，因为，，所以，．
从而.
由正弦定理，得．
所以索道的长为1 040 m.
（2）假设乙出发 min后，甲、乙两游客距离为，
此时，甲行走了m，乙距离处 m，
所以由余弦定理得，
因，即，故当（min）时，甲、乙两游客距离最短．
（3）由正弦定理，得．
乙从出发时，甲已走了，还需走710 m才能到达．
设乙步行的速度为 m/min，由题意得，解得，
所以为使两位游客在处互相等待的时间不超过3 min，乙步行的速度应控制在（单位：m/min）范围内．

4．钓鱼岛及其附属岛屿是中国固有领土，如图：点、、分别表示钓鱼岛、南小岛、黄尾屿，点在点的北偏东方向，点在点的南偏西方向，点在点的南偏东方向，且、两点的距离约为3海里．
（1）求、两点间的距离；（精确到0.01）
（2）某一时刻，我国一渔船在点处因故障抛锚发出求
救信号．一艘国舰艇正从点正东10海里的点处以
18海里/小时的速度接近渔船，其航线为（直线行进），
而我东海某渔政船正位于点南偏西方向20海里的点处，收到信号后赶往救助，其航线先向正北航行8海里至点处，再折向点直线航行，航速为22海里/小时．渔政船能否先于国舰
艇赶到进行救助？说明理由．
【难度】★★
【答案】（1）求得，
由海里．
（2）国舰艇的到达时间为：小时．
在中，
得海里，
所以渔政船的到达时间为：小时．
因为，所以渔政船先到．
答：渔政船能先于国舰艇赶到进行救助．

5．设足球场宽米，球门宽米，当足球运动员沿边路带球突破，距底线多远处射门，对球门所张的角最大？（不考虑球门高等因素，结果保留两位小数）







【难度】★★
【答案】由题意可知米，米，设足球运动员在边线上的点处射球门，，，显然越大，越有利于射门．设点与底线的距离为米．
则，
∴

当且仅当即时，取最大值．
因为当时，为增函数，所以当（米）时，取最大值，此时对球门的张角最大，有利于提高射门的命中率．







6．如图，相距200海里的、两地分别有救援船和船．在接到求救信息后，船能立即出发，船因港口原因需2小时后才能出发，两船的航速都是30海里/小时．在同时收到求救信息后，船早于船到达的区域称为区，否则称为区．若在地北偏东方向，距地海里处的点有一艘遇险船正以10海里/小时的速度向正北方向漂移．
（1）求区与区边界线（即、两船能同时到达的点的轨迹）方程；
（2）问：
①应派哪艘船前往救援？
②救援船最快需多长时间才能与遇险船相遇？（精确到小时）
【难度】★★
【答案】（1）设点为边界线上的点，由题意知，即，
即动点到两定点、的距离之差为常数，∴点的轨迹是双曲线中的一支．
由得，
∴方程为（）
（2）①点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，∴，，，∴点在区，又遇险船向正北方向漂移，即遇险船始终在区内，∴应派船前往救援
②设经小时后，救援船在点处与遇险船相遇．在中，，
∴
整理得，
解得或（舍）
∴救援船需小时后才能与遇险船相遇．

7．沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，
开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一
个沙时．如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直
径和高均为8cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的
（细管长度忽略不计）．
（1）如果该沙漏每秒钟漏下0.02cm3的沙，则该沙漏的一个沙时为多少秒（精确到1秒）？
（2）细沙全部漏入下部后，恰好堆成个一盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，求此锥形沙堆的高度（精确到0.1cm）．
【难度】★★
【答案】（1）开始时，沙漏上部分圆锥中的细沙的高
为，底面半径为
39.71
（秒）
所以，沙全部漏入下部约需1986秒．
（2）细沙漏入下部后，圆锥形沙堆的底面半径4，设高为


锥形沙堆的高度约为2.4cm．

8．为了缓解城市道路拥堵的局面，某市拟提高中心城区内占道停车场的收费标准，并实行累进加价收费．已公布的征求意见稿是这么叙述此收费标准的：“（中心城区占道停车场）收费标准为每小时10元，并实行累进加价制度，占道停放1小时后，每小时按加价50%收费．”
方案公布后，这则“累进加价”的算法却在媒体上引发了争议（可查询2010年12月14日的相关国内新闻）．请你用所学的数学知识说明争议的原因，并请按照一辆普通小汽车一天内连续停车14小时测算：根据不同的解释，收费各应为多少元？
【难度】★★
【答案】争议的原因是收费标准中对于“每小时按加价50%收费”的含义出现了歧义．以下给出三种不同的理解：
解释一：第一小时为10元，以后每小时都为15元．14小时总收费为：元；
解释二：第一小时为10元，以后每小时都比前一小时增加5元．
可以理解为等差数列求和，则14小时总收费为元．
解释三：第一小时为10元，以后每小时都增加50%．可以理解为等比数列求和，
　　则14个小时的收费为元．
【说明】以上三种解释中能任意给出两种即可得满分.











知识梳理

例题解析

图1







































图2

A

B

C

O

东

北

A

B

C

O

·

·

·

Z

·

Z

东

北

A

B

C

O

·

·

y

x

















达峰时间

y

x

药量峰值



O

x

y



M

S

N

P







A

B

C

D

E

F

H





A

C

B

D

E

F

G

H

A1

B1

C1

D1

E1

F1

G1

H1


图1 图2 图3































38

12

12

19

20

图2

19

38

20

图1

反思总结

课后练习

D

B

A

M

C










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