高一数学（人教A版）平面向量的加法运算-（45张ppt课件）
文档属性
| 名称 | 高一数学（人教A版）平面向量的加法运算-（45张ppt课件） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 8.3MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-05-02 10:56:41 | ||
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文档简介
(共145张PPT)
高一年级 数学
平面向量的加法运算
引言
物理背景
向量的运算
启发
引进
物理背景
向量的运算
启发
引进
类比数
研究
物理背景
向量的运算
运算法则
启发
引进
类比数
研究
探索
物理背景
向量的运算
运算性质
运算法则
启发
引进
类比数
研究
探索
体会
物理背景
向量的运算
运算性质
运算法则
运算作用
物理背景
向量的运算
启发
引进
位移、力的合成
物理背景
向量的运算
启发
引进
启发
引进
加法运算
位移、力的合成
物理背景
向量的运算
启发
引进
启发
引进
一、向量加法的三角形法则
如图所示，假设某人上午从点A到达了点B，下午从点B到达了点C.
（1）分别用向量表示出该人上午的位移，下午的位移以及这一天的位移；
（2）这一天的位移与上午的位移，下午的位移有什么联系？
A
C
B
情境引入
A
B
C
如图所示，假设某人上午从点A到达了点B，下午从点B到达了点C.
（1）分别用向量表示出该人上午的位移，下午的位移以及这一天的位移；
情境引入
A
B
C
如图所示，假设某人上午从点A到达了点B，下午从点B到达了点C.
（1）分别用向量表示出该人上午的位移，下午的位移以及这一天的位移；
上午的位移： ；下午的位移： ；
一天的位移： .
情境引入
如图所示，假设某人上午从点A到达了点B，下午从点B到达了点C.
（2）这一天的位移与上午的位移，下午的位移有什么联系？
A
B
C
位移 可以看作是位移 与位移 的和.
情境引入
如图所示，假设某人上午从点A到达了点B，下午从点B到达了点C.
（2）这一天的位移与上午的位移，下午的位移有什么联系？
A
B
C
位移 可以看作是位移 与位移 的和.
情境引入
可以看作是 与 的和.
b
a
向量加法的三角形法则
如图，已知非零向量a，b，
b
a
向量加法的三角形法则
如图，已知非零向量a，b，
在平面内任取一点A ，
A
b
a
A
B
a
C
b
向量加法的三角形法则
如图，已知非零向量a，b，
在平面内任取一点A ，
作 = a， = b，
叫做a与b的和，记作a + b，
b
a
A
B
a
C
b
a + b
向量加法的三角形法则
如图，已知非零向量a，b，
在平面内任取一点A ，
作 = a， = b，
叫做a与b的和，记作a + b，
b
a
A
B
a
C
b
a + b
向量加法的三角形法则
如图，已知非零向量a，b，
在平面内任取一点A ，
作 = a， = b，
即, .
向量加法的三角形法则
求两个向量和的运算，叫作向量的加法.
向量加法的三角形法则
求两个向量和的运算，叫作向量的加法.
b
a
A
B
a
C
b
a + b
向量加法的三角形法则
求两个向量和的运算，叫作向量的加法.
这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则.
b
a
A
B
a
C
b
a + b
向量加法的三角形法则
求两个向量和的运算，叫作向量的加法.
这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则.
位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型.
b
a
A
B
a
C
b
a + b
向量加法的三角形法则
求两个向量和的运算，叫作向量的加法.
这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则.
位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型.
首尾相接，再连首尾
b
a
A
B
a
C
b
a + b
共线向量求作和向量
问题1.如果向量a ， b共线，你能作出向量a + b？
共线向量求作和向量
a
b
同向
问题1.如果向量a ， b共线，你能作出向量a + b？
共线向量求作和向量
问题1.如果向量a ， b共线，你能作出向量a + b？
a
b
同向
A
B
a
共线向量求作和向量
a
b
同向
A
B
C
a
b
问题1.如果向量a ， b共线，你能作出向量a + b？
共线向量求作和向量
a
b
同向
A
B
C
a
b
问题1.如果向量a ， b共线，你能作出向量a + b？
共线向量求作和向量
a
b
同向
A
B
C
a
b
问题1.如果向量a ， b共线，你能作出向量a + b？
共线向量求作和向量
a
b
a
b
同向
反向
A
B
C
a
b
问题1.如果向量a ， b共线，你能作出向量a + b？
共线向量求作和向量
a
b
a
b
同向
反向
A
B
C
a
b
A
B
a
问题1.如果向量a ， b共线，你能作出向量a + b？
共线向量求作和向量
问题1.如果向量a ， b共线，你能作出向量a + b？
a
b
a
b
同向
反向
A
B
C
a
b
A
B
a
b
C
共线向量求作和向量
a
b
a
b
同向
反向
A
B
C
a
b
A
B
C
a
b
问题1.如果向量a ， b共线，你能作出向量a + b？
共线向量求作和向量
a
b
a
b
同向
反向
A
B
C
a
b
A
B
C
a
b
问题1.如果向量a ， b共线，你能作出向量a + b？
对于零向量与任意向量a，我们规定
a + 0 = 0 + a = a
向量a , b的模与a + b的模的关系
A
B
a
C
b
a+ b
不共线向量
作 则
A
B
a
C
b
a+ b
三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，
不共线向量
作 则
A
B
a
C
b
a+ b
三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，
不共线向量
作 则
A
B
a
C
b
a+ b
不共线向量
作 则
三角形三边关系：任意两边之差小于第三边，
A
B
a
C
b
a+ b
不共线向量
作 则
三角形三边关系：任意两边之差小于第三边，
A
B
a
C
b
a+ b
不共线向量
作 则
三角形三边关系：任意两边之差小于第三边，
A
B
a
C
b
a+ b
不共线向量
作 则
三角形三边关系：任意两边之差小于第三边，
a
b
同向
A
B
C
a
b
共线向量
a
b
同向
A
B
C
a
b
共线向量
a
b
a
b
同向
反向
A
B
C
a
b
A
B
C
a
b
共线向量
a
b
a
b
同向
反向
A
B
C
a
b
A
B
C
a
b
共线向量
向量a , b的模与a + b的模的关系
综上所述可以得到
例 已知 求 的最大值和最小值，并说明取得最大值和最小值时a与b的关系.
例题
例 已知 求 的最大值和最小值，并说明取得最大值和最小值时a与b的关系.
由 ，
例 已知 求 的最大值和最小值，并说明取得最大值和最小值时a与b的关系.
由 ，
可知 的最大值为
例 已知 求 的最大值和最小值，并说明取得最大值和最小值时a与b的关系.
可知 的最大值为
由 ，
例 已知 求 的最大值和最小值，并说明取得最大值和最小值时a与b的关系.
由 ，
当且仅当a与b方向相同时取得最大值.
可知 的最大值为
例 已知 求 的最大值和最小值，并说明取得最大值和最小值时a与b的关系.
由 ，
例 已知 求 的最大值和最小值，并说明取得最大值和最小值时a与b的关系.
可知 的最小值为
由 ，
例 已知 求 的最大值和最小值，并说明取得最大值和最小值时a与b的关系.
可知 的最小值为
由 ，
例 已知 求 的最大值和最小值，并说明取得最大值和最小值时a与b的关系.
可知 的最小值为
当且仅当a与b方向相反时取得最小值.
由 ，
二、向量加法的平行四边形法则
情境引入
O
A
B
当在光滑的水平面上沿着两个不同的方向拉动一个静止的物体时，如图所示，物体会沿着力 或 所在的方向运动吗？如果不会，物体的运动方向将是怎样的？
物体在以OA，OB为邻边的平行四边形对角线OC方向上运动.
情境引入
O
A
B
C
O
物体在以OA，OB为邻边的平行四边形对角线OC方向上运动.
力 可以看作是力 与力 的和.
情境引入
O
A
B
C
O
物体在以OA，OB为邻边的平行四边形对角线OC方向上运动.
力 可以看作是力 与力 的和.
情境引入
O
A
B
C
O
可以看作是 与 的和.
物体在以OA，OB为邻边的平行四边形对角线OC方向上运动.
力 可以看作是力 与力 的和.
情境引入
可以看作是 与 的和.
力的合成可以看作向量的加法.
O
A
B
C
O
从力的合成受到启发，你能给出两个向量加法的另一个运算法则吗？
向量加法的平行四边形法则
不共线向量
a
b
如图，已知非零向量a，b，
不共线向量
第一步：在平面内任取一点O ，
a
b
O
不共线向量
第一步：在平面内任取一点O ，
第二步：作 ， .
a
b
O
A
B
a
b
不共线向量
第一步：在平面内任取一点O ，
第二步：作 ， .
a
b
第三步：以OA，OB为邻边作 ，
O
A
B
a
b
C
不共线向量
第一步：在平面内任取一点O ，
第四步：连接OC，
第二步：作 ， .
第三步：以OA，OB为邻边作 ，
a
b
O
A
B
a
b
C
第一步：在平面内任取一点O ，
第四步：连接OC，
第二步：作 ， .
第三步：以OA，OB为邻边作 ，
则 ，即为所求.
a
b
不共线向量
O
A
B
a
b
a b
+
C
这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则.
向量加法的平行四边形法则
这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则.
力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型.
向量加法的平行四边形法则
这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则.
力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型.
向量加法的平行四边形法则
共起点
问题3.向量加法的平行四边形法则与三角形法则一致吗？为什么？
向量加法的平行四边形法则
问题3.向量加法的平行四边形法则与三角形法则一致吗？为什么？
平行四边形法则，
A
B
O
C
a
b
a b
+
向量加法的平行四边形法则
问题3.向量加法的平行四边形法则与三角形法则一致吗？为什么？
平行四边形法则，
，
A
B
O
C
a
b
a b
+
b
向量加法的平行四边形法则
问题3.向量加法的平行四边形法则与三角形法则一致吗？为什么？
平行四边形法则，
，
三角形法则
A
B
O
C
a
b
a b
+
b
向量加法的平行四边形法则
问题3.向量加法的平行四边形法则与三角形法则一致吗？为什么？
平行四边形法则，
，
三角形法则.所以两个法则是一致的.
A
B
O
C
a
b
a b
+
b
向量加法的平行四边形法则
三、向量加法的运算律
交换律
B
D
A
a
b
交换律
B
D
A
C
a
b
交换律
B
D
A
C
a
b
b
a
交换律
B
D
A
C
a
b
b a
+
b
a
交换律
B
D
A
C
a
b
a b
+
b
a
交换律
B
D
A
C
a
b
a b
+
b
a
交换律
B
D
A
C
a
b
a b
+
b
a
交换律
体现了平行四边形的性质：对边平行且相等.
B
D
A
C
a
b
a b
+
b
a
交换律
结合律
A
B
C
D
a
b
c
结合律
A
B
C
D
a
b
c
a+ b
结合律
A
B
C
D
a
b
c
a+ b
a+ b + c
结合律
A
B
C
D
a
b
c
a+ b
a+ b + c
结合律
A
B
C
D
a
b
c
b + c
a+ b + c
结合律
A
B
C
D
a
b
c
b + c
a+ b + c
结合律
A
B
C
D
a
b
c
b + c
a+ b + c
结合律
A
B
C
D
a
b
c
b + c
a+ b + c
结合律
A
B
C
D
a
b
c
b + c
a+ b + c
a+ b
结合律
A
B
C
D
a
b
c
b + c
a+ b + c
a+ b
结合律
A
B
C
D
a
b
c
a+ b + c
结合律
A
B
C
D
a
b
c
a+ b + c
结合律
例 化简下列各式：
例题
（1） ；
（2） .
解(1)
例题
解(1)
例题
解(1)
例题
解(1)
例题
(2)
例题
(2)
例题
(2)
例题
(2)
例题
(2)
例题
(2)
例题
(2)
例题
四、向量加法的应用
例 长江两岸之间没有大桥的
地方，常常通过轮渡进行运输．
如右图，一艘船从长江南岸A
地出发，垂直于对岸航行，航
行速度的大小为15km/h，同时
江水的速度为向东6km/h．
北
典型例题
（1）用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；
典型例题
（1）用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；
解：
A
B
C
D
典型例题
（1）用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；
解：
A
B
C
D
典型例题
（1）用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；
解：
A
B
C
D
典型例题
（2）求船实际航行的速度的大小（结果保留小数点后一位）与船实际航行的方向（用与江水速度间的夹角表示，精确到1°）.
典型例题
(2)在 中 ， ， ，于是
.
6
15
A
B
C
D
(2)在 中 ， ， ，于是
.
6
15
A
B
C
D
(2)在 中 ， ， ，于是
.
6
15
A
B
C
D
(2)在 中 ， ， ，于是
因为 ， .
6
15
A
B
C
D
(2)在 中 ， ， ，于是
因为 ，所以利用计算工具可得 .
6
15
A
B
C
D
(2)在 中 ， ， ，于是
因为 ，所以利用计算工具可得 .
因此，船实际航行速度的大小约为16.2km/h，
方向与江水速度间的夹角约为68°.
6
15
A
B
C
D
五、课堂小结
1.我们是如何研究向量的加法运算的？
2.向量加法运算的法则是什么？
3.向量加法运算的性质是什么？应用有什么？
课堂小结
启发
引进
向量的
加法运算
位移、
力的合成
运算法则
启发
引进
向量的
加法运算
位移、
力的合成
运算法则
三角形法则
平行四边形法则
启发
引进
向量的
加法运算
位移、
力的合成
A
B
a
C
b
a + b
运算法则
三角形法则
平行四边形法则
启发
引进
向量的
加法运算
位移、
力的合成
A
B
a
C
b
a + b
运算性质
运算法则
三角形法则
平行四边形法则
启发
引进
向量的
加法运算
位移、
力的合成
A
B
a
C
b
a + b
运算性质
运算法则
三角形法则
平行四边形法则
交换律
启发
引进
向量的
加法运算
位移、
力的合成
A
B
a
C
b
a + b
运算性质
运算法则
三角形法则
平行四边形法则
交换律
结合律
启发
引进
向量的
加法运算
位移、
力的合成
A
B
a
C
b
a + b
运算性质
运算法则
三角形法则
平行四边形法则
交换律
启发
引进
向量的
加法运算
位移、
力的合成
平行四边形对边平行且相等
体现
结合律
A
B
a
C
b
a + b
运算性质
运算法则
三角形法则
平行四边形法则
交换律
结合律
运算应用
启发
引进
向量的
加法运算
位移、
力的合成
平行四边形对边平行且相等
体现
A
B
a
C
b
a + b
运算性质
运算法则
三角形法则
平行四边形法则
交换律
结合律
几何问题
物理问题
运算应用
启发
引进
向量的
加法运算
位移、
力的合成
平行四边形对边平行且相等
体现
A
B
a
C
b
a + b
课后作业
1．如图，已知向量a，b，用两种方法求作向量a + b.
2．化简：
（1） ；（2） .
3．有一条东西向的小河，一艘小船从河南岸的渡口出发渡河.小船航行速度的大小为15km/h ，方向为北偏西30°，河水的速度为向东7.5km/h ，求小船实际航行速度的大小与方向．
b
a
课后作业
谢谢观看！
高一年级 数学
平面向量的加法运算
引言
物理背景
向量的运算
启发
引进
物理背景
向量的运算
启发
引进
类比数
研究
物理背景
向量的运算
运算法则
启发
引进
类比数
研究
探索
物理背景
向量的运算
运算性质
运算法则
启发
引进
类比数
研究
探索
体会
物理背景
向量的运算
运算性质
运算法则
运算作用
物理背景
向量的运算
启发
引进
位移、力的合成
物理背景
向量的运算
启发
引进
启发
引进
加法运算
位移、力的合成
物理背景
向量的运算
启发
引进
启发
引进
一、向量加法的三角形法则
如图所示，假设某人上午从点A到达了点B，下午从点B到达了点C.
（1）分别用向量表示出该人上午的位移，下午的位移以及这一天的位移；
（2）这一天的位移与上午的位移，下午的位移有什么联系？
A
C
B
情境引入
A
B
C
如图所示，假设某人上午从点A到达了点B，下午从点B到达了点C.
（1）分别用向量表示出该人上午的位移，下午的位移以及这一天的位移；
情境引入
A
B
C
如图所示，假设某人上午从点A到达了点B，下午从点B到达了点C.
（1）分别用向量表示出该人上午的位移，下午的位移以及这一天的位移；
上午的位移： ；下午的位移： ；
一天的位移： .
情境引入
如图所示，假设某人上午从点A到达了点B，下午从点B到达了点C.
（2）这一天的位移与上午的位移，下午的位移有什么联系？
A
B
C
位移 可以看作是位移 与位移 的和.
情境引入
如图所示，假设某人上午从点A到达了点B，下午从点B到达了点C.
（2）这一天的位移与上午的位移，下午的位移有什么联系？
A
B
C
位移 可以看作是位移 与位移 的和.
情境引入
可以看作是 与 的和.
b
a
向量加法的三角形法则
如图，已知非零向量a，b，
b
a
向量加法的三角形法则
如图，已知非零向量a，b，
在平面内任取一点A ，
A
b
a
A
B
a
C
b
向量加法的三角形法则
如图，已知非零向量a，b，
在平面内任取一点A ，
作 = a， = b，
叫做a与b的和，记作a + b，
b
a
A
B
a
C
b
a + b
向量加法的三角形法则
如图，已知非零向量a，b，
在平面内任取一点A ，
作 = a， = b，
叫做a与b的和，记作a + b，
b
a
A
B
a
C
b
a + b
向量加法的三角形法则
如图，已知非零向量a，b，
在平面内任取一点A ，
作 = a， = b，
即, .
向量加法的三角形法则
求两个向量和的运算，叫作向量的加法.
向量加法的三角形法则
求两个向量和的运算，叫作向量的加法.
b
a
A
B
a
C
b
a + b
向量加法的三角形法则
求两个向量和的运算，叫作向量的加法.
这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则.
b
a
A
B
a
C
b
a + b
向量加法的三角形法则
求两个向量和的运算，叫作向量的加法.
这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则.
位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型.
b
a
A
B
a
C
b
a + b
向量加法的三角形法则
求两个向量和的运算，叫作向量的加法.
这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则.
位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型.
首尾相接，再连首尾
b
a
A
B
a
C
b
a + b
共线向量求作和向量
问题1.如果向量a ， b共线，你能作出向量a + b？
共线向量求作和向量
a
b
同向
问题1.如果向量a ， b共线，你能作出向量a + b？
共线向量求作和向量
问题1.如果向量a ， b共线，你能作出向量a + b？
a
b
同向
A
B
a
共线向量求作和向量
a
b
同向
A
B
C
a
b
问题1.如果向量a ， b共线，你能作出向量a + b？
共线向量求作和向量
a
b
同向
A
B
C
a
b
问题1.如果向量a ， b共线，你能作出向量a + b？
共线向量求作和向量
a
b
同向
A
B
C
a
b
问题1.如果向量a ， b共线，你能作出向量a + b？
共线向量求作和向量
a
b
a
b
同向
反向
A
B
C
a
b
问题1.如果向量a ， b共线，你能作出向量a + b？
共线向量求作和向量
a
b
a
b
同向
反向
A
B
C
a
b
A
B
a
问题1.如果向量a ， b共线，你能作出向量a + b？
共线向量求作和向量
问题1.如果向量a ， b共线，你能作出向量a + b？
a
b
a
b
同向
反向
A
B
C
a
b
A
B
a
b
C
共线向量求作和向量
a
b
a
b
同向
反向
A
B
C
a
b
A
B
C
a
b
问题1.如果向量a ， b共线，你能作出向量a + b？
共线向量求作和向量
a
b
a
b
同向
反向
A
B
C
a
b
A
B
C
a
b
问题1.如果向量a ， b共线，你能作出向量a + b？
对于零向量与任意向量a，我们规定
a + 0 = 0 + a = a
向量a , b的模与a + b的模的关系
A
B
a
C
b
a+ b
不共线向量
作 则
A
B
a
C
b
a+ b
三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，
不共线向量
作 则
A
B
a
C
b
a+ b
三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，
不共线向量
作 则
A
B
a
C
b
a+ b
不共线向量
作 则
三角形三边关系：任意两边之差小于第三边，
A
B
a
C
b
a+ b
不共线向量
作 则
三角形三边关系：任意两边之差小于第三边，
A
B
a
C
b
a+ b
不共线向量
作 则
三角形三边关系：任意两边之差小于第三边，
A
B
a
C
b
a+ b
不共线向量
作 则
三角形三边关系：任意两边之差小于第三边，
a
b
同向
A
B
C
a
b
共线向量
a
b
同向
A
B
C
a
b
共线向量
a
b
a
b
同向
反向
A
B
C
a
b
A
B
C
a
b
共线向量
a
b
a
b
同向
反向
A
B
C
a
b
A
B
C
a
b
共线向量
向量a , b的模与a + b的模的关系
综上所述可以得到
例 已知 求 的最大值和最小值，并说明取得最大值和最小值时a与b的关系.
例题
例 已知 求 的最大值和最小值，并说明取得最大值和最小值时a与b的关系.
由 ，
例 已知 求 的最大值和最小值，并说明取得最大值和最小值时a与b的关系.
由 ，
可知 的最大值为
例 已知 求 的最大值和最小值，并说明取得最大值和最小值时a与b的关系.
可知 的最大值为
由 ，
例 已知 求 的最大值和最小值，并说明取得最大值和最小值时a与b的关系.
由 ，
当且仅当a与b方向相同时取得最大值.
可知 的最大值为
例 已知 求 的最大值和最小值，并说明取得最大值和最小值时a与b的关系.
由 ，
例 已知 求 的最大值和最小值，并说明取得最大值和最小值时a与b的关系.
可知 的最小值为
由 ，
例 已知 求 的最大值和最小值，并说明取得最大值和最小值时a与b的关系.
可知 的最小值为
由 ，
例 已知 求 的最大值和最小值，并说明取得最大值和最小值时a与b的关系.
可知 的最小值为
当且仅当a与b方向相反时取得最小值.
由 ，
二、向量加法的平行四边形法则
情境引入
O
A
B
当在光滑的水平面上沿着两个不同的方向拉动一个静止的物体时，如图所示，物体会沿着力 或 所在的方向运动吗？如果不会，物体的运动方向将是怎样的？
物体在以OA，OB为邻边的平行四边形对角线OC方向上运动.
情境引入
O
A
B
C
O
物体在以OA，OB为邻边的平行四边形对角线OC方向上运动.
力 可以看作是力 与力 的和.
情境引入
O
A
B
C
O
物体在以OA，OB为邻边的平行四边形对角线OC方向上运动.
力 可以看作是力 与力 的和.
情境引入
O
A
B
C
O
可以看作是 与 的和.
物体在以OA，OB为邻边的平行四边形对角线OC方向上运动.
力 可以看作是力 与力 的和.
情境引入
可以看作是 与 的和.
力的合成可以看作向量的加法.
O
A
B
C
O
从力的合成受到启发，你能给出两个向量加法的另一个运算法则吗？
向量加法的平行四边形法则
不共线向量
a
b
如图，已知非零向量a，b，
不共线向量
第一步：在平面内任取一点O ，
a
b
O
不共线向量
第一步：在平面内任取一点O ，
第二步：作 ， .
a
b
O
A
B
a
b
不共线向量
第一步：在平面内任取一点O ，
第二步：作 ， .
a
b
第三步：以OA，OB为邻边作 ，
O
A
B
a
b
C
不共线向量
第一步：在平面内任取一点O ，
第四步：连接OC，
第二步：作 ， .
第三步：以OA，OB为邻边作 ，
a
b
O
A
B
a
b
C
第一步：在平面内任取一点O ，
第四步：连接OC，
第二步：作 ， .
第三步：以OA，OB为邻边作 ，
则 ，即为所求.
a
b
不共线向量
O
A
B
a
b
a b
+
C
这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则.
向量加法的平行四边形法则
这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则.
力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型.
向量加法的平行四边形法则
这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则.
力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型.
向量加法的平行四边形法则
共起点
问题3.向量加法的平行四边形法则与三角形法则一致吗？为什么？
向量加法的平行四边形法则
问题3.向量加法的平行四边形法则与三角形法则一致吗？为什么？
平行四边形法则，
A
B
O
C
a
b
a b
+
向量加法的平行四边形法则
问题3.向量加法的平行四边形法则与三角形法则一致吗？为什么？
平行四边形法则，
，
A
B
O
C
a
b
a b
+
b
向量加法的平行四边形法则
问题3.向量加法的平行四边形法则与三角形法则一致吗？为什么？
平行四边形法则，
，
三角形法则
A
B
O
C
a
b
a b
+
b
向量加法的平行四边形法则
问题3.向量加法的平行四边形法则与三角形法则一致吗？为什么？
平行四边形法则，
，
三角形法则.所以两个法则是一致的.
A
B
O
C
a
b
a b
+
b
向量加法的平行四边形法则
三、向量加法的运算律
交换律
B
D
A
a
b
交换律
B
D
A
C
a
b
交换律
B
D
A
C
a
b
b
a
交换律
B
D
A
C
a
b
b a
+
b
a
交换律
B
D
A
C
a
b
a b
+
b
a
交换律
B
D
A
C
a
b
a b
+
b
a
交换律
B
D
A
C
a
b
a b
+
b
a
交换律
体现了平行四边形的性质：对边平行且相等.
B
D
A
C
a
b
a b
+
b
a
交换律
结合律
A
B
C
D
a
b
c
结合律
A
B
C
D
a
b
c
a+ b
结合律
A
B
C
D
a
b
c
a+ b
a+ b + c
结合律
A
B
C
D
a
b
c
a+ b
a+ b + c
结合律
A
B
C
D
a
b
c
b + c
a+ b + c
结合律
A
B
C
D
a
b
c
b + c
a+ b + c
结合律
A
B
C
D
a
b
c
b + c
a+ b + c
结合律
A
B
C
D
a
b
c
b + c
a+ b + c
结合律
A
B
C
D
a
b
c
b + c
a+ b + c
a+ b
结合律
A
B
C
D
a
b
c
b + c
a+ b + c
a+ b
结合律
A
B
C
D
a
b
c
a+ b + c
结合律
A
B
C
D
a
b
c
a+ b + c
结合律
例 化简下列各式：
例题
（1） ；
（2） .
解(1)
例题
解(1)
例题
解(1)
例题
解(1)
例题
(2)
例题
(2)
例题
(2)
例题
(2)
例题
(2)
例题
(2)
例题
(2)
例题
四、向量加法的应用
例 长江两岸之间没有大桥的
地方，常常通过轮渡进行运输．
如右图，一艘船从长江南岸A
地出发，垂直于对岸航行，航
行速度的大小为15km/h，同时
江水的速度为向东6km/h．
北
典型例题
（1）用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；
典型例题
（1）用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；
解：
A
B
C
D
典型例题
（1）用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；
解：
A
B
C
D
典型例题
（1）用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；
解：
A
B
C
D
典型例题
（2）求船实际航行的速度的大小（结果保留小数点后一位）与船实际航行的方向（用与江水速度间的夹角表示，精确到1°）.
典型例题
(2)在 中 ， ， ，于是
.
6
15
A
B
C
D
(2)在 中 ， ， ，于是
.
6
15
A
B
C
D
(2)在 中 ， ， ，于是
.
6
15
A
B
C
D
(2)在 中 ， ， ，于是
因为 ， .
6
15
A
B
C
D
(2)在 中 ， ， ，于是
因为 ，所以利用计算工具可得 .
6
15
A
B
C
D
(2)在 中 ， ， ，于是
因为 ，所以利用计算工具可得 .
因此，船实际航行速度的大小约为16.2km/h，
方向与江水速度间的夹角约为68°.
6
15
A
B
C
D
五、课堂小结
1.我们是如何研究向量的加法运算的？
2.向量加法运算的法则是什么？
3.向量加法运算的性质是什么？应用有什么？
课堂小结
启发
引进
向量的
加法运算
位移、
力的合成
运算法则
启发
引进
向量的
加法运算
位移、
力的合成
运算法则
三角形法则
平行四边形法则
启发
引进
向量的
加法运算
位移、
力的合成
A
B
a
C
b
a + b
运算法则
三角形法则
平行四边形法则
启发
引进
向量的
加法运算
位移、
力的合成
A
B
a
C
b
a + b
运算性质
运算法则
三角形法则
平行四边形法则
启发
引进
向量的
加法运算
位移、
力的合成
A
B
a
C
b
a + b
运算性质
运算法则
三角形法则
平行四边形法则
交换律
启发
引进
向量的
加法运算
位移、
力的合成
A
B
a
C
b
a + b
运算性质
运算法则
三角形法则
平行四边形法则
交换律
结合律
启发
引进
向量的
加法运算
位移、
力的合成
A
B
a
C
b
a + b
运算性质
运算法则
三角形法则
平行四边形法则
交换律
启发
引进
向量的
加法运算
位移、
力的合成
平行四边形对边平行且相等
体现
结合律
A
B
a
C
b
a + b
运算性质
运算法则
三角形法则
平行四边形法则
交换律
结合律
运算应用
启发
引进
向量的
加法运算
位移、
力的合成
平行四边形对边平行且相等
体现
A
B
a
C
b
a + b
运算性质
运算法则
三角形法则
平行四边形法则
交换律
结合律
几何问题
物理问题
运算应用
启发
引进
向量的
加法运算
位移、
力的合成
平行四边形对边平行且相等
体现
A
B
a
C
b
a + b
课后作业
1．如图，已知向量a，b，用两种方法求作向量a + b.
2．化简：
（1） ；（2） .
3．有一条东西向的小河，一艘小船从河南岸的渡口出发渡河.小船航行速度的大小为15km/h ，方向为北偏西30°，河水的速度为向东7.5km/h ，求小船实际航行速度的大小与方向．
b
a
课后作业
谢谢观看！