第1章 直角三角形单元检测卷（含解析）

湘教版八年级下册第1章直角三角形单元检测卷
姓名：__________班级：__________考号：__________
题号
一
二
三
总分
得分
、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1.如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=6，点P是Rt△ABC的重心，则点P到AB所在直线的距离等于（　　）
A．1 B． C． D．2
2.如图,在△ABC中,CE平分∠ACB,CF平分∠ACD,且EF∥BC交AC于M,若CM=5,则等于(????)
A． 75 B． 100 C． 120 D． 125
3.将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，得到的三角形是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不变
4.如图是一个长为4，宽为3，高为12矩形牛奶盒，从上底一角的小圆孔插入一根到达底部的直吸管，吸管在盒内部分a的长度范围是(牛奶盒的厚度、小圆孔的大小及吸管的粗细均忽略不计)(　　)
A．5≤a≤12 B．12≤a≤3 C．12≤a≤4 D．12≤a≤13
5.如图，在四边形ABCD中，BE⊥AC于点E，连接DE，四边形ABCD的面积为12cm2．若BE平分∠ABC，则四边形ABED的面积为（　　）
A．4cm2 B．6cm2 C．8cm2 D．10cm2
6.若直角三角形的两条直角边长分别为3cm、4cm，则斜边上的高为（　　）
A． cm B． cm C． 5cm D． cm
7.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，若CD=n，AB=m，则△ABD的面积是（ ）
A． mn B．mn C．2mn D．mn
8.在平面直角坐标系中，等边△ABC的二个顶点A（0，1），B（0，－3），那么第三个顶点C的坐标是(?? )
A．?（0 , ）?B.?（0 ,- 4）C.?（－1,4）或（-1,-4）?D.?( ,-1)或(- ,-1)
9.下列说法中，正确的个数有（　　）
①已知直角三角形的面积为2，两直角边的比为1：2，则斜边长为；
②直角三角形的最大边长为，最短边长为1，则另一边长为；
③在△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：5：6，则△ABC为直角三角形；
④等腰三角形面积为12，底边上的高为4，则腰长为5．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10.如图，矩形纸片ABCD，AB=3，AD=5，折叠纸片，使点A落在BC边上的E处，折痕为PQ，当点E在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点E在BC边上可移动的最大距离为（　　）
A． 1 B． 2 C． 4 D． 5
11.如图，A的坐标是（2，2），若点P在x轴上，且△APO是等腰三角形，则点P的坐标不可能是（??? )
A．（2，0） B．（4，0） C．（-2，0） D．（3，0）
12.如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（　　）
A．20 B．12 C．14 D．13
、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13.将一副直角三角板ABC和EDF如图放置（其中∠A=60°，∠F=45°）．使点E落在AC边上，且ED∥BC，则∠CEF的度数为　　　　　　．
14. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab=8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为_______．
15.直角三角形两锐角的平分线的夹角是______．
16.如图，△ABC中，∠C=90°，CA=CB，点M在线段AB上，∠GMB=∠A，BG⊥MG，垂足为G，MG与BC相交于点H，若MH=8cm，则BG= cm.

17.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，CD是斜边AB上的中线，将△BCD沿直线CD翻折至△ECD的位置，连接AE．若DE∥AC，计算AE的长度等于　 　．
18.如图，已知Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=60°，AC=2+4，点M、N分别在线段AC、AB上，将△ANM沿直线MN折叠，使点A的对应点D恰好落在线段BC上，当△DCM为直角三角形时，折痕MN的长为　 　．
、解答题（本大题共8小题，共66分）
19.如图，在△ABC中，CE，BF是两条高，若∠A=70°，∠BCE=30°，求∠EBF与∠FBC的度数．
20.如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC的中点，EF平分∠BED．求证：EF⊥BD．
21.如图，在△ABC中，∠C=90°．
(1)作∠BAC的平分线AD，交BC于D；
(2)若AB=10cm，CD=4cm，求△ABD的面积．
22.如图，∠AOB=90°，OM平分∠AOB，直角三角板的直角顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与OA．CB相交于点C、D．
（1）问PC与PD相等吗？试说明理由．
（2）若OP=2，求四边形PCOD的面积．
23.如图，在小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段AB和线段CD，点A．B．C．D均在小正方形的顶点上．
（1）在方格纸中画出以AB为斜边的直角三角形ABE，点E小正方形的顶点上，且△ABE的面积为5；
（2）在方格纸中画出以CD为一边的△CDF，点F在小正方形的顶点上，且△CDF的面积为4，CF与（1）中所画线段BE平行，连接AF，请直接写出线段AF的长．
24.如图，△ABD和△ACE均为等腰直角三角形，A为公共直角顶点，过A作AF垂直CB交CB的延长线于F．
（1）若AC=10，求四边形ABCD的面积；
（2）求证：CE=2AF．
25.已知Rt△ABC≌Rt△DBE，∠ACB=∠DEB=90°，∠A=∠D．
（1）将两三角形按图①方式摆放，其中点E落在AB上，DE所在直线交边AC于点F．求证：AF+EF=DE；
（2）若将两三角形按照图②方式摆放，边AC的延长线与DE相交于点F．你认为（1）中的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出AF、EF与DE之间的关系，并说明理由．
26.已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点．
（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是　 　，QE与QF的数量关系式　 　；
（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；
（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明．
答案解析
、选择题
1.【考点】 三角形的重心；等腰直角三角形．
【分析】连接CP并延长，交AB于D，根据重心的性质得到CD是△ABC的中线，PD=CD，根据直角三角形的性质求出CD，计算即可．
解：连接CP并延长，交AB于D，
∵P是Rt△ABC的重心，
∴CD是△ABC的中线，PD=CD，
∵∠C=90°，
∴CD=AB=3，
∵AC=BC，CD是△ABC的中线，
∴CD⊥AB，
∴PD=1，即点P到AB所在直线的距离等于1，
故选：A．
2.【考点】角平分线的定义，直角三角形的判定，勾股定理
【分析】根据角平分线的定义推出△ECF为直角三角形，然后根据勾股定理即可求得CE2+CF2=EF2，进而可求出CE2+CF2的值．
解：∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ACE=∠BCE=∠ACB，∠ACF=∠DCF=∠ACD，即∠ECF=（∠ACB+∠ACD）=90°，
∴△EFC为直角三角形，
又∵EF∥BC，
∴∠MEC=∠BCE，∠MFC=∠DCF，
∴∠ECB=∠MEC=∠ECM，∠DCF=∠CFM=∠MCF，
∴CM=EM=MF=5，EF=10，
由勾股定理可知：CE2+CF2=EF2=100．
故选B．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，直角三角形的判定以及勾股定理的运用，解题的关键是首先证明出△ECF为直角三角形．
3.【考点】勾股定理的逆定理
【分析】设直角三角形的三边长分别为a、b、c（斜边），由勾股定理得a2+b2=c2，三边都扩大k倍，三边为ka，kb，kc进一步勾股定理的逆定理得出结论即可．
解：设直角三角形的三边长分别为a、b、c（斜边），
由勾股定理得a2+b2=c2，
三边都扩大k倍，为ka，kb，kc，
而（ka）2+（kb）2=k2（a2+b2），
（kc）2=k2c2；
∴k2（a2+b2）=k2c2，所以直角三角形的三边长扩大相同的倍数后，得到的三角形是直角三角形．
故选：A．
【点睛】本题考查勾股定理以及勾股定理的逆定理的运用．
4.【考点】勾股定理的应用
【分析】最短距离就是牛奶盒的高度，当吸管、牛奶盒的高及底面对角线的长正好构成直角三角形时，插入盒子内的吸管长度最长，用勾股定理即可解答．
解：最短距离就是牛奶盒的高度，即最短为12，
由题意知：牛奶盒底面对角长为＝5，
当吸管、牛奶盒的高及底面对角线的长正好构成直角三角形时，插入盒子内的吸管长度最长，
则吸管长度为＝13，
即吸管在盒内部分a的长度范围是12≤a≤13，
故选D.
【点睛】本题考查勾股定理的应用.
5.【点评】角平分线的定义，三角形的中线的性质
【分析】根据BE⊥AC，BE平分∠ABC，得到AE=EC，根据三角形的中线的性质解答即可．
解：∵BE⊥AC，BE平分∠ABC，
∴AE=EC，
∴S△ABE=S△ABC，S△ADE=S△ADC，
∴四边形ABED的面积=×四边形ABCD的面积=6cm2，
故选：B．
【点评】本题考查的是角平分线的定义，掌握角平分线的定义、三角形的中线的性质是解题的关键．　
6.【考点】勾股定理；三角形的面积．
【分析】先根据勾股定理求出斜边的长度，再根据三角形的面积列式进行计算即可求解．
解：根据勾股定理，斜边==5，
设斜边上的高为h，
则S△=×3×4=×5?h，
整理得5h=12，
解得h=cm．
故选B．
【点评】本题考查了勾股定理以及三角形的面积的利用，根据三角形的面积列式求出斜边上的高是常用的方法之一，需熟练掌握．
7.【分析】角平分线的性质
【分析】作DM⊥AB，由题意可知DM=DC，即可推出△ABD的面积．
解答：解：作DM⊥AB，垂足为M，
∵∠C=90°，BD是∠ABC的平分线，∴DM=DC，∵CD=n，AB=m，∴△ABD的面积=mn．故选择B．
【点评】本题主要考查角平分线的性质，关键在于作出D点到AB的距离．
8.【考点】等边三角形的性质 ，勾股定理
【分析】设点C的坐标为C（a，b），根据A（0，1），B（0，－3），求得AB=4，根据等边三角形的性质得到AB=BC=AC=4，得到第三个顶点C在AB的垂直平分线上，于是求得b=-1，|a|==， 即可得到答案.
解：设点C的坐标为C（a，b），
∵A（0，1），B（0，－3），
∴AB=4，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=4，
∴第三个顶点C在AB的垂直平分线上，
∴b=-1，|a|==，
∴a=，
∴C（， -1）或（-， -1）.
故答案为D.
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，熟记等边三角形的性质是解题的关键．
9.【考点】等腰三角形的性质,直角三角形的判定，勾股定理
【分析】根据勾股定理以及三角形的内角和定理一一判断解答即可.
解:①设较短的一个直角边为M,则另一个直角边为2M,所以M2M=2,解得M=,2M=2.根据勾股定理解得斜边为.所以此项正确;
②根据勾股定理解得,另一边==,所以此项正确;
③设∠A=x,则∠B=5x,∠C=6x.因为x+5x+6x=180解得x=15,从而得到三个角分别为15,75,90.即△ABC为直角三角形,所以此项正确;
④已知面积和高则可以得到底边为6,又因为是等腰三角形,则底边上的高也是底边上的中线,则可以得到底边的一半为3.此时再利用勾股定理求得腰长为=5.所以此项正确.
所以正确的有四个.
所以D选项是正确的.
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质,直角三角形的判定及勾股定理等知识点.
10.【考点】翻折变换（折叠问题）．勾股定理
【分析】根据翻折变换，当点Q与点D重合时，点A′到达最左边，当点P与点B重合时，点A′到达最右边，所以点A′就在这两个点之间移动，分别求出这两个位置时A′B的长度，然后两数相减就是最大距离．
解：如图1，当点D与点Q重合时，根据翻折对称性可得
ED=AD=5，
在Rt△ECD中，ED2=EC2+CD2，
即52=（5﹣EB）2+32，
解得EB=1，
如图2，当点P与点B重合时，根据翻折对称性可得EB=AB=3，
∵3﹣1=2，
∴点E在BC边上可移动的最大距离为2．
故选B．
【点评】本题考查的是翻折变换及勾股定理，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键．
11.【考点】坐标与图形性质，等腰三角形的性质，勾股定理的逆定理
【分析】先根据勾股定理求出OA的长，再根据①AP=PO；②AO=AP；③AO=OP分别算出P点坐标即可。
解：点A的坐标是（2，2），
根据勾股定理可得：OA=2，
①若AP=PO，可得：P（2，0），
②若AO=AP可得：P（4，0），
③若AO=OP，可得：P（2，0），
∴P（2，0），（4，0），（2，0）．
故选D．
【点评】此题主要考查等腰三角形的判定及坐标与图形性质的综合运用，注意分类讨论思想的运用．
12.【考点】直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质．
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，CD=BD，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE=CE=AC，然后根据三角形的周长公式列式计算即可得解．
解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，BC=8，
∴AD⊥BC，CD=BD=BC=4，
∵点E为AC的中点，
∴DE=CE=AC=5，
∴△CDE的周长=CD+DE+CE=4+5+5=14．
故选：C．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
、填空题
13.【考点】平行线的性质．直角三角形的性质
【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠1，再根据两直线平行，内错角相等求出∠2，然后根据∠CEF=45°﹣∠2计算即可得解．
解：∵∠A=60°，∠F=45°，
∴∠1=90°﹣60°=30°，∠DEF=90°﹣45°=45°，
∵ED∥BC，
∴∠2=∠1=30°，
∠CEF=∠DEF﹣∠2=45°﹣30°=15°．
故答案为：15°．
【点评】本题考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余的性质是基础题，熟记性质是解题的关键．
14.【考点】勾股定理的证明
【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为：a－b，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长.
解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a－b，
∵每一个直角三角形的面积为：ab＝×8＝4，
∴4×ab＋(a－b)2＝25，
∴(a?b)2＝25－16＝9，
∴a－b＝3，
故答案为：3.
【点睛】本题考查了勾股定理的证明，熟练掌握该知识点是本题解题的关键.
15.【考点】角平分线的定义，直角三角形的性质
【分析】作出图形，根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC+∠BAC=90°，再根据角平分线的定义可得∠OAB+∠OBA（∠ABC+∠BAC），然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠AOE，进而得出∠AOB，即可得出结论．
解：如图，∠ABC+∠BAC=90°．
∵AD、BE分别是∠BAC和∠ABC的角平分线，
∴∠OAB+∠OBA（∠ABC+∠BAC）=45°，
∴∠AOE=∠OAB+∠OBA=45°，
∴∠AOB=135°，
∴两锐角的平分线的夹角是45°或135°．
故答案为：45°或135°．
【点睛】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键，作出图形更形象直观．
16.【考点】全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质
【分析】作MD⊥BC于D，延长DE交BG的延长线于E，构建等腰直角三角形△BDM，证明△BED和△MHD全等，
解：如图，作MD⊥BC于D，延长DE交BG的延长线于E，
∵△ABC中，∠C=90°，CA=CB，
∴∠ABC=∠A=45°，
∵∠GMB=∠A，
∴∠GMB=∠A=22.5°，
∵BG⊥MG，
∴∠BGM=90°，
∴∠GBM=90°﹣22.5°=67.5°，
∴∠GBH=∠EBM﹣∠ABC=22.5°．
∵MD∥AC，
∴∠BMD=∠A=45°，
∴△BDM为等腰直角三角形
∴BD=DM，
而∠GBH=22.5°，
∴GM平分∠BMD，
而BG⊥MG，
∴BG=EG，即BG=BE，
∵∠MHD+∠HMD=∠E+∠HMD=90°，
∴∠MHD=∠E，
∵∠GBD=90°﹣∠E，∠HMD=90°﹣∠E，
∴∠GBD=∠HMD，
∴在△BED和△MHD中，
，
∴△BED≌△MHD（AAS），
∴BE=MH，
∴BG=MH=4．
故答案是：4．
【点评】本题考查了全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质。作辅助线是解题的关键。
17.【考点】翻折变化，平行线的性质，直角三角形斜边上的中线
【分析】根据题意、解直角三角形、菱形的性质、翻折变化可以求得AE的长．
解：由题意可得，
DE=DB=CD=AB，
∴∠DEC=∠DCE=∠DCB，
∵DE∥AC，∠DCE=∠DCB，∠ACB=90°，
∴∠DEC=∠ACE，
∴∠DCE=∠ACE=∠DCB=30°，
∴∠ACD=60°，∠CAD=60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴AC=CD，
∴AC=DE，
∵AC∥DE，AC=CD，
∴四边形ACDE是菱形，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，∠B=30°，
∴AC=，
∴AE=．
【点评】本题考查翻折变化、平行线的性质、直角三角形斜边上的中线，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
18.【考点】含30度角的直角三角形；勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【分析】依据△DCM为直角三角形，需要分两种情况进行讨论：当∠CDM=90°时，△CDM是直角三角形；当∠CMD=90°时，△CDM是直角三角形，分别依据含30°角的直角三角形的性质以及等腰直角三角形的性质，即可得到折痕MN的长．
解：分两种情况：
①如图，当∠CDM=90°时，△CDM是直角三角形，
∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=60°，AC=2+4，
∴∠C=30°，AB=AC=，
由折叠可得，∠MDN=∠A=60°，
∴∠BDN=30°，
∴BN=DN=AN，
∴BN=AB=，
∴AN=2BN=，
∵∠DNB=60°，
∴∠ANM=∠DNM=60°，
∴∠AMN=60°，
∴AN=MN=；
②如图，当∠CMD=90°时，△CDM是直角三角形，
由题可得，∠CDM=60°，∠A=∠MDN=60°，
∴∠BDN=60°，∠BND=30°，
∴BD=DN=AN，BN=BD，
又∵AB=，
∴AN=2，BN=，
过N作NH⊥AM于H，则∠ANH=30°，
∴AH=AN=1，HN=，
由折叠可得，∠AMN=∠DMN=45°，
∴△MNH是等腰直角三角形，
∴HM=HN=，
∴MN=，
故答案为：或．
【点评】本题考查了翻折变换﹣折叠问题，等腰直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
、解答题
19.【考点】直角三角形的性质，三角形内角和定理
【分析】在Rt△ABF中，∠A=70，CE，BF是两条高，求得∠EBF的度数，在Rt△BCF中∠FBC=40°求得∠FBC的度数．
解：在Rt△ABF中，∠A=70，CE，BF是两条高，
∴∠EBF=20°，∠ECA=20°，
又∵∠BCE=30°，
∴∠ACB=50°，
∴在Rt△BCF中∠FBC=40°．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
20.【考点】直角三角形斜边上的中线，等腰三角形三线合一
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BE=AC，DE=AC，从而得到BE=DE，再根据等腰三角形三线合一的性质证明．
证明：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴△ABC和△ADC都是直角三角形．
又∵E是AC的中点，
∴BE＝DE＝AC.
又∵EF平分∠BED，
∴EF⊥BD.
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质是解题的关键．
21.【考点】角平分线的性质
【分析】(1)根据三角形角平分线的定义,即可得到AD;?
(2)过D作于DE⊥ABE,根据角平分线的性质得到DE=CD=4,由三角形的面积公式即可得到结论.
解:(1)如图所示,AD即为所求;?
(2)如图,过D作DE⊥AB于E,?
∵AD平分∠BAC,?
∴DE=CD=4,?
∴S△ABD=AB·DE=20cm2.
【点睛】掌握画角平分线的方法和角平分线的相关定义知识是解答本题的关键.
22.【考点】角平分线的性质，全等三角形的判定与性质
【分析】（1）过P分别作PE⊥OB于E，PF⊥OA于F，由角平分线的性质易得PE=PF，然后由同角的余角相等证明∠1=∠2，即可由ASA证明△CFP≌△DEP，从而得证；
（2）只要证明四边形PCOD的面积=正方形OEPF的面积即可.
解：（1）结论：PC=PD．
理由：如图，
过P分别作PE⊥OB于E，PF⊥OA于F，
∴∠CFP=∠DEP=90°，
∵OM是∠AOB的平分线，
∴PE=PF，
∵∠1+∠FPD=90°，∠AOB=90°，
∴∠FPE=90°，
∴∠2+∠FPD=90°，
∴∠1=∠2，
在△CFP和△DEP中，，
∴△CFP≌△DEP（ASA），
∴PC=PD；
（2）∵四边形PCOD的面积=正方形OEPF的面积，
∴四边形PCOD的面积=×2×2=2．
【点睛】此题考查了角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
23.【考点】勾股定理；作图—复杂作图．
【分析】（1）根据题意可知：AB=，因为、、恰好构成以AB为斜边的直角三角形，由此画出图形即可；
（2）根据题意可知：CD=，以CD为底，高为的三角形面积为4，由此画出图形，根据勾股定理求出AF的长即可．
解：（1）作图如下：
（2）AF==5．
【点评】此题考查勾股定理运用，三角形的面积计算方法，灵活利用数据之间的联系，结合图形解决问题．
24.【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
【分析】（1）求出∠BAC=∠EAD，根据SAS推出△ABC≌△ADE，推出四边形ABCD的面积=三角形ACE的面积，即可得出答案；
（2）过点A作AG⊥CG，垂足为点G，根据等腰直角三角形的性质得出∠ACE=∠AEC=45°，△ABC≌△ADE求出∠ACB=∠AEC=45°，再推出∠ACB=∠ACE，求出AF=AG，求出CG=AG=GE，即可得出答案．
（1）解：∵∠BAD=∠CAE=90°，
∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD
∴∠BAC=∠EAD，
在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∵S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD，
∴S四边形ABCD=S△ADE+S△ACD=S△ACE=×10×10=50；
（2）证明：过点A作AG⊥CG，垂足为点G，
∵△ACE是等腰直角三角形，
∴∠ACE=∠AEC=45°，
由△ABC≌△ADE得：
∠ACB=∠AEC=45°，
∴∠ACB=∠ACE，
∴AC平分∠ECF，
∵AF⊥CB，
∴AF=AG，
又∵AC=AE，
∴∠CAG=∠EAG=45°，
∴∠CAG=∠EAG=∠ACE=∠AEC=45°，
∴CG=AG=GE，
∴CE=2AG，
∴CE=2AF．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，角平分线性质，直角三角形的性质的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，难度适中．
25.【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）由Rt△ABC≌Rt△DBE推出BC=BE，连接BF，根据HL证Rt△BCF≌Rt△BEF，推出CF=EF即可；
（2）猜想（1）结论不成立，关系式是AF=EF+DE，连接BF，根据HL证Rt△BEF≌Rt△BCF，推出EF=FC，由AF=AC+FC可推出AF=DE+EF．
（1）证明：由Rt△ABC≌Rt△DBE知：BC=BE．
连接BF．
∵在Rt△BCF和Rt△BEF中
，
∴Rt△BCF≌Rt△BEF（HL），
∴CF=EF，
∵AC=DE，CF+FA=CA，
∴AF+EF=DE；
（2）解：（1）中猜想结论不成立，关系式是AF=EF+DE．理由是：
连接BF．
在Rt△BEF和Rt△BCF中
，
∴Rt△BEF≌Rt△BCF（HL），
∴EF=FC，
∵AC=DE，
由AF=AC+FC知：AF=DE+EF．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，通过构建全等三角形来得出简单的线段相等是解题的关键．
26.【考点】全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．
【分析】（1）证△BFQ≌△AEQ即可； （2）证△FBQ≌△DAQ，推出QF=QD，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可； （3）证△AEQ≌△BDQ，推出DQ=QE，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可．
解：（1）AE∥BF，QE=QF，
理由是：如图1，∵Q为AB中点，
∴AQ=BQ，
∵BF⊥CP，AE⊥CP，
∴BF∥AE，∠BFQ=∠AEQ，
在△BFQ和△AEQ中
∴△BFQ≌△AEQ（AAS），
∴QE=QF，
故答案为：AE∥BF，QE=QF．
（2）QE=QF，
证明：如图2，延长FQ交AE于D，
∵AE∥BF，
∴∠QAD=∠FBQ，
在△FBQ和△DAQ中
∴△FBQ≌△DAQ（ASA），
∴QF=QD，
∵AE⊥CP，
∴EQ是直角三角形DEF斜边上的中线，
∴QE=QF=QD，
即QE=QF．
（3）（2）中的结论仍然成立，
证明：如图3，
延长EQ、FB交于D，
∵AE∥BF，
∴∠1=∠D，
在△AQE和△BQD中
，
∴△AQE≌△BQD（AAS），
∴QE=QD，
∵BF⊥CP，
∴FQ是斜边DE上的中线，
∴QE=QF．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线性质的应用，注意：①全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，②全等三角形的性质是：全等三角形的对应边相等，对应角相等．