人教版八年级下册 第18章 平行四边形 单元练习试题含答案
文档属性
| 名称 | 人教版八年级下册 第18章 平行四边形 单元练习试题含答案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 182.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-04-30 14:37:20 | ||
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文档简介
第18章 平行四边形
一．选择题（共10小题）
1．如图，在?ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是BC边上的中点，若OE＝2，AD＝5，则?ABCD的周长为（ ）
A．9 B．16 C．18 D．20
2．已知四边形ABCD，给出下列条件：①AB∥CD；②BC∥AD；③AB＝CD；④∠A＝∠C；从中任取两个条件，可以得出四边形ABCD是平行四边形这一结论的情况有（ ）
A．5种 B．4种 C．3种 D．2种
3．已知四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，对角线AC，BD相交于点O．下列结论一定成立的是（ ）
A．AC⊥BD B．AC＝BD C．∠ABC＝90° D．∠ABC＝∠BAC
4．如图，在?ABCD中，下列说法能判定ABCD是菱形的是（ ）
A．AC⊥BD B．BA⊥BD C．AB＝CD D．AD＝BC
5．如图，矩形ABCD中，AD＝4，对角线AC与BD交于点O，OE⊥AC交BC于点E，CE＝3，则矩形ABCD的面积为（ ）
A． B． C．12 D．32
6．如图，在长方形ABCD中，AB＝6，AD＝8，若P是AC上的一个动点，则AP+BP+CP的最小值是（ ）
A．14.8 B．15 C．15.2 D．16
7．如图，有下列四个条件：①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④∠ADC＝∠BAD，从中选取1个作为补充条件，使?ABCD为矩形，其中错误的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
8．已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，AE∥BD．则四边形AODE一定是（ ）
A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．不能确定
9．如果要证明平行四边形ABCD为正方形，那么我们需要在四边形ABCD是平行四边形的基础上，进一步证明（ ）
A．AC与BD互相垂直平分 B．∠A＝∠B且AC＝BD
C．AB＝AD且AC＝BD D．AB＝AD且AC⊥BD
10．如图，正方形ABCD，点E，F分别在AD，CD上，BG⊥EF，点G为垂足，AB＝5，AE＝1，CF＝2，则BG＝（ ）
A． B．5 C． D．
二．填空题（共5小题）
11．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E，F分别是AC，BD的中点，已知AB＝12，CD＝6，则EF＝ ．
12．如图，平行四边形ABCD的对角线交于坐标原点O，点A的坐标为（﹣3，2），点B的坐标为（﹣1，﹣2），则点C的坐标为 ．
13．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为（1，2），则点C的坐标为 ．
14．如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在AB，AD上，若CE＝5，且∠ECF＝45°，则CF的长为 ．
15．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，点E为AD中点，点F为BC边上任一点，过点F别作EB，EC的垂线，垂足分别为点G，H，则FG+FH为 ．
三．解答题（共7小题）
16．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC与BD相交于点O，AO＝CO．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若AC⊥BD，AB＝10，求BC的长．
17．如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点．
（1）AB＝6，AC＝4，求四边形AEDF的周长；
（2）EF与AD有怎样的位置关系？证明你的结论．
18．已知：如图，在平行四边形ABCD中，G、H分别是AD、BC的中点，E、O、F分别是对角线BD上的四等分点，顺次连接G、E、H、F．
（1）求证：四边形GEHF是平行四边形；
（2）当平行四边形ABCD满足 条件时，四边形GEHF是菱形；
（3）若BD＝2AB，探究四边形GEHF的形状，并说明理由．
19．如图，?ABCD中，O是AB的中点，CO＝DO．
（1）求证：?ABCD是矩形．
（2）若AD＝3，∠COD＝60°，求?ABCD的面积．
20．如图，在?ABCD中，∠ABD＝90°，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE．
（1）求证：四边形BECD是矩形．
（2）连接DE交BC于点F，连接AF，若CE＝3，∠DAB＝30°：求AF的长．
21．已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE＝AF．
（1）求证：BE＝DF；
（2）连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM＝OA，连接EM，FM，判断四边形AEMF是什么特殊四边形？并证明你的结论．
22．正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，P是对角线AC上一动点，过点P作PF⊥CD于点F．如图1，当点P与点O重合时，显然有DF＝CF．
（1）如图2，若点P在线段AO上（不与点A、O重合），PE⊥PB且PE交CD于点E．
①求证：DF＝EF；
②写出线段PC、PA、CE之间的一个等量关系，并证明你的结论；
（2）若点P在线段OC上（不与点O、C重合），PE⊥PB且PE交直线CD于点E．请完成图3并判断（1）中的结论①、②是否分别成立？若不成立，写出相应的结论．（所写结论均不必证明）
参考答案
一．选择题（共10小题）
1． C．
2． B．
3． A．
4． A．
5． B．
6． A．
7． A．
8． C．
9． C．
10． C．
二．填空题（共5小题）
11． 3．
12．（3，﹣2）．
13．（﹣2，1）．
14． ．
15． ．
三．解答题（共7小题）
16．（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠DCO＝∠BAO，
在△DCO和△BAO中
∴△DCO≌△BAO（ASA），
∴DO＝BO，
∵AO＝CO，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）解：∵由勾股定理得：BC2＝CO2+OB2，AB2＝AO2+OB2，
又∵AO＝CO，
∴AB2＝BC2，
∴AB＝BC，
∵AB＝10，
∴BC＝AB＝10．
17．解：（1）∵AD是高，
∴∠ACB＝∠ADC＝90°，
在Rt△ADB中，E是AB的中点，
∴DE＝AB＝3，AE＝AB＝3，
同理可得，AF＝DF＝AC＝2，
∴四边形AEDF的周长＝3+3+2+2＝10；
（2）EF垂直平分AD，
理由如下：∵EA＝ED，FA＝FD，
∴EF是AD的垂直平分线．
18．（1）证明：连接AC，如图1所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∴BD的中点在AC上，
∵E、O、F分别是对角线BD上的四等分点，
∴E、F分别为OB、OD的中点，
∵G是AD的中点，
∴GF为△AOD的中位线，
∴GF∥OA，GF＝OA，
同理：EH∥OC，EH＝OC，
∴EH＝GF，EH∥GF，
∴四边形GEHF是平行四边形；
（2）解：当?ABCD满足AB⊥BD条件时，四边形GEHF是菱形；理由如下：
连接GH，如图2所示：
则AG＝BH，AG∥BH，
∴四边形ABHG是平行四边形，
∴AB∥GH，
∵AB⊥BD，
∴GH⊥BD，
∴GH⊥EF，
∴四边形GEHF是菱形；
故答案为：AB⊥BD；
（3）解：四边形GEHF是矩形；理由如下：
由（2）得：四边形GEHF是平行四边形，
∴GH＝AB，
∵BD＝2AB，
∴AB＝BD＝EF，
∴GH＝EF，
∴四边形GEHF是矩形．
19．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，
∵O是AB的中点，
∴AO＝BO，
在△DAO和△CBO中
∴△DAO≌△CBO（SSS），
∴∠A＝∠B，
∵∠A+∠B＝180°，
∴∴∠A＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵△DAO≌△CBO，∠DOC＝60°，
∴∠DOA＝∠COB＝（180°﹣∠DOC）＝60°，
∵∠A＝90°，
∴∠ADO＝30°，
∵AD＝3，
DO＝2AO，
由勾股定理得：AO2+32＝（2AO）2，
解得：AO＝，
∴AB＝2AO＝2，
∴?ABCD的面积是AB×AD＝2＝6．
20．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，CD∥AB，
∵BE＝AB，
∴BE＝CD，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵∠ABD＝90°，
∴∠DBE＝90°．
∴?BECD是矩形；
（2）解：如图，取BE中点G，连接FG．
由（1）可知，FB＝FC＝FE，
∴FG＝CE＝1.5，FG⊥BE，
∵在?ABCD中，AD∥BC，
∴∠CBE＝∠DAB＝30°．
∴BG＝．
∴AB＝BE＝3．
∴AG＝，
∴在Rt△AGF中，由勾股定理可求AF＝＝3．
21．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
∵，
∴Rt△ADF≌Rt△ABE（HL）
∴BE＝DF；
（2）解：四边形AEMF是菱形，理由为：
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCA＝∠DCA＝45°（正方形的对角线平分一组对角），
BC＝DC（正方形四条边相等），
∵BE＝DF（已证），
∴BC﹣BE＝DC﹣DF（等式的性质），
即CE＝CF，
在△COE和△COF中，
，
∴△COE≌△COF（SAS），
∴OE＝OF，又OM＝OA，
∴四边形AEMF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），
∵AE＝AF，
∴平行四边形AEMF是菱形．
22．解：（1）如图2，延长FP交AB于点Q，
①∵AC是正方形ABCD对角线，
∴∠QAP＝∠APQ＝45°，
∴AQ＝PQ，
∵AB＝QF，
∴BQ＝PF，
∵PE⊥PB，
∴∠QPB+∠FPE＝90°，
∵∠QBP+∠QPB＝90°，
∴∠QBP＝∠FPE，
∵∠BQP＝∠PFE＝90°，
∴△BQP≌△PFE，
∴QP＝EF，
∵AQ＝DF，
∴DF＝EF；
②如图2，过点P作PG⊥AD．
∵PF⊥CD，∠PCF＝∠PAG＝45°，
∴△PCF和△PAG均为等腰直角三角形，
∵四边形DFPG为矩形，
∴PA＝PG，PC＝CF，
∵PG＝DF，DF＝EF，
∴PA＝EF，
∴PC＝CF＝（CE+EF）＝CE+EF＝CE+PA，
即PC、PA、CE满足关系为：PC＝CE+PA；
（2）结论①仍成立；结论②不成立，此时②中三条线段的数量关系是PA﹣PC＝CE．
如图3：
①∵PB⊥PE，BC⊥CE，
∴B、P、C、E四点共圆，
∴∠PEC＝∠PBC，
在△PBC和△PDC中有：BC＝DC（已知），∠PCB＝∠PCD＝45°（已证），PC边公共边，
∴△PBC≌△PDC（SAS），
∴∠PBC＝∠PDC，
∴∠PEC＝∠PDC，
∵PF⊥DE，
∴DF＝EF；
②同理：PA＝PG＝DF＝EF，PC＝CF，
∴PA＝EF＝（CE+CF）＝CE+CF＝CE+PC
即PC、PA、CE满足关系为：PA﹣PC＝CE．
一．选择题（共10小题）
1．如图，在?ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是BC边上的中点，若OE＝2，AD＝5，则?ABCD的周长为（ ）
A．9 B．16 C．18 D．20
2．已知四边形ABCD，给出下列条件：①AB∥CD；②BC∥AD；③AB＝CD；④∠A＝∠C；从中任取两个条件，可以得出四边形ABCD是平行四边形这一结论的情况有（ ）
A．5种 B．4种 C．3种 D．2种
3．已知四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，对角线AC，BD相交于点O．下列结论一定成立的是（ ）
A．AC⊥BD B．AC＝BD C．∠ABC＝90° D．∠ABC＝∠BAC
4．如图，在?ABCD中，下列说法能判定ABCD是菱形的是（ ）
A．AC⊥BD B．BA⊥BD C．AB＝CD D．AD＝BC
5．如图，矩形ABCD中，AD＝4，对角线AC与BD交于点O，OE⊥AC交BC于点E，CE＝3，则矩形ABCD的面积为（ ）
A． B． C．12 D．32
6．如图，在长方形ABCD中，AB＝6，AD＝8，若P是AC上的一个动点，则AP+BP+CP的最小值是（ ）
A．14.8 B．15 C．15.2 D．16
7．如图，有下列四个条件：①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④∠ADC＝∠BAD，从中选取1个作为补充条件，使?ABCD为矩形，其中错误的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
8．已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，AE∥BD．则四边形AODE一定是（ ）
A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．不能确定
9．如果要证明平行四边形ABCD为正方形，那么我们需要在四边形ABCD是平行四边形的基础上，进一步证明（ ）
A．AC与BD互相垂直平分 B．∠A＝∠B且AC＝BD
C．AB＝AD且AC＝BD D．AB＝AD且AC⊥BD
10．如图，正方形ABCD，点E，F分别在AD，CD上，BG⊥EF，点G为垂足，AB＝5，AE＝1，CF＝2，则BG＝（ ）
A． B．5 C． D．
二．填空题（共5小题）
11．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E，F分别是AC，BD的中点，已知AB＝12，CD＝6，则EF＝ ．
12．如图，平行四边形ABCD的对角线交于坐标原点O，点A的坐标为（﹣3，2），点B的坐标为（﹣1，﹣2），则点C的坐标为 ．
13．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为（1，2），则点C的坐标为 ．
14．如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在AB，AD上，若CE＝5，且∠ECF＝45°，则CF的长为 ．
15．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，点E为AD中点，点F为BC边上任一点，过点F别作EB，EC的垂线，垂足分别为点G，H，则FG+FH为 ．
三．解答题（共7小题）
16．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC与BD相交于点O，AO＝CO．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若AC⊥BD，AB＝10，求BC的长．
17．如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点．
（1）AB＝6，AC＝4，求四边形AEDF的周长；
（2）EF与AD有怎样的位置关系？证明你的结论．
18．已知：如图，在平行四边形ABCD中，G、H分别是AD、BC的中点，E、O、F分别是对角线BD上的四等分点，顺次连接G、E、H、F．
（1）求证：四边形GEHF是平行四边形；
（2）当平行四边形ABCD满足 条件时，四边形GEHF是菱形；
（3）若BD＝2AB，探究四边形GEHF的形状，并说明理由．
19．如图，?ABCD中，O是AB的中点，CO＝DO．
（1）求证：?ABCD是矩形．
（2）若AD＝3，∠COD＝60°，求?ABCD的面积．
20．如图，在?ABCD中，∠ABD＝90°，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE．
（1）求证：四边形BECD是矩形．
（2）连接DE交BC于点F，连接AF，若CE＝3，∠DAB＝30°：求AF的长．
21．已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE＝AF．
（1）求证：BE＝DF；
（2）连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM＝OA，连接EM，FM，判断四边形AEMF是什么特殊四边形？并证明你的结论．
22．正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，P是对角线AC上一动点，过点P作PF⊥CD于点F．如图1，当点P与点O重合时，显然有DF＝CF．
（1）如图2，若点P在线段AO上（不与点A、O重合），PE⊥PB且PE交CD于点E．
①求证：DF＝EF；
②写出线段PC、PA、CE之间的一个等量关系，并证明你的结论；
（2）若点P在线段OC上（不与点O、C重合），PE⊥PB且PE交直线CD于点E．请完成图3并判断（1）中的结论①、②是否分别成立？若不成立，写出相应的结论．（所写结论均不必证明）
参考答案
一．选择题（共10小题）
1． C．
2． B．
3． A．
4． A．
5． B．
6． A．
7． A．
8． C．
9． C．
10． C．
二．填空题（共5小题）
11． 3．
12．（3，﹣2）．
13．（﹣2，1）．
14． ．
15． ．
三．解答题（共7小题）
16．（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠DCO＝∠BAO，
在△DCO和△BAO中
∴△DCO≌△BAO（ASA），
∴DO＝BO，
∵AO＝CO，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）解：∵由勾股定理得：BC2＝CO2+OB2，AB2＝AO2+OB2，
又∵AO＝CO，
∴AB2＝BC2，
∴AB＝BC，
∵AB＝10，
∴BC＝AB＝10．
17．解：（1）∵AD是高，
∴∠ACB＝∠ADC＝90°，
在Rt△ADB中，E是AB的中点，
∴DE＝AB＝3，AE＝AB＝3，
同理可得，AF＝DF＝AC＝2，
∴四边形AEDF的周长＝3+3+2+2＝10；
（2）EF垂直平分AD，
理由如下：∵EA＝ED，FA＝FD，
∴EF是AD的垂直平分线．
18．（1）证明：连接AC，如图1所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∴BD的中点在AC上，
∵E、O、F分别是对角线BD上的四等分点，
∴E、F分别为OB、OD的中点，
∵G是AD的中点，
∴GF为△AOD的中位线，
∴GF∥OA，GF＝OA，
同理：EH∥OC，EH＝OC，
∴EH＝GF，EH∥GF，
∴四边形GEHF是平行四边形；
（2）解：当?ABCD满足AB⊥BD条件时，四边形GEHF是菱形；理由如下：
连接GH，如图2所示：
则AG＝BH，AG∥BH，
∴四边形ABHG是平行四边形，
∴AB∥GH，
∵AB⊥BD，
∴GH⊥BD，
∴GH⊥EF，
∴四边形GEHF是菱形；
故答案为：AB⊥BD；
（3）解：四边形GEHF是矩形；理由如下：
由（2）得：四边形GEHF是平行四边形，
∴GH＝AB，
∵BD＝2AB，
∴AB＝BD＝EF，
∴GH＝EF，
∴四边形GEHF是矩形．
19．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，
∵O是AB的中点，
∴AO＝BO，
在△DAO和△CBO中
∴△DAO≌△CBO（SSS），
∴∠A＝∠B，
∵∠A+∠B＝180°，
∴∴∠A＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵△DAO≌△CBO，∠DOC＝60°，
∴∠DOA＝∠COB＝（180°﹣∠DOC）＝60°，
∵∠A＝90°，
∴∠ADO＝30°，
∵AD＝3，
DO＝2AO，
由勾股定理得：AO2+32＝（2AO）2，
解得：AO＝，
∴AB＝2AO＝2，
∴?ABCD的面积是AB×AD＝2＝6．
20．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，CD∥AB，
∵BE＝AB，
∴BE＝CD，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵∠ABD＝90°，
∴∠DBE＝90°．
∴?BECD是矩形；
（2）解：如图，取BE中点G，连接FG．
由（1）可知，FB＝FC＝FE，
∴FG＝CE＝1.5，FG⊥BE，
∵在?ABCD中，AD∥BC，
∴∠CBE＝∠DAB＝30°．
∴BG＝．
∴AB＝BE＝3．
∴AG＝，
∴在Rt△AGF中，由勾股定理可求AF＝＝3．
21．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
∵，
∴Rt△ADF≌Rt△ABE（HL）
∴BE＝DF；
（2）解：四边形AEMF是菱形，理由为：
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCA＝∠DCA＝45°（正方形的对角线平分一组对角），
BC＝DC（正方形四条边相等），
∵BE＝DF（已证），
∴BC﹣BE＝DC﹣DF（等式的性质），
即CE＝CF，
在△COE和△COF中，
，
∴△COE≌△COF（SAS），
∴OE＝OF，又OM＝OA，
∴四边形AEMF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），
∵AE＝AF，
∴平行四边形AEMF是菱形．
22．解：（1）如图2，延长FP交AB于点Q，
①∵AC是正方形ABCD对角线，
∴∠QAP＝∠APQ＝45°，
∴AQ＝PQ，
∵AB＝QF，
∴BQ＝PF，
∵PE⊥PB，
∴∠QPB+∠FPE＝90°，
∵∠QBP+∠QPB＝90°，
∴∠QBP＝∠FPE，
∵∠BQP＝∠PFE＝90°，
∴△BQP≌△PFE，
∴QP＝EF，
∵AQ＝DF，
∴DF＝EF；
②如图2，过点P作PG⊥AD．
∵PF⊥CD，∠PCF＝∠PAG＝45°，
∴△PCF和△PAG均为等腰直角三角形，
∵四边形DFPG为矩形，
∴PA＝PG，PC＝CF，
∵PG＝DF，DF＝EF，
∴PA＝EF，
∴PC＝CF＝（CE+EF）＝CE+EF＝CE+PA，
即PC、PA、CE满足关系为：PC＝CE+PA；
（2）结论①仍成立；结论②不成立，此时②中三条线段的数量关系是PA﹣PC＝CE．
如图3：
①∵PB⊥PE，BC⊥CE，
∴B、P、C、E四点共圆，
∴∠PEC＝∠PBC，
在△PBC和△PDC中有：BC＝DC（已知），∠PCB＝∠PCD＝45°（已证），PC边公共边，
∴△PBC≌△PDC（SAS），
∴∠PBC＝∠PDC，
∴∠PEC＝∠PDC，
∵PF⊥DE，
∴DF＝EF；
②同理：PA＝PG＝DF＝EF，PC＝CF，
∴PA＝EF＝（CE+CF）＝CE+CF＝CE+PC
即PC、PA、CE满足关系为：PA﹣PC＝CE．