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数学人教版 必修二
8.6 空间直线、平面的垂直
新知导入
竖电线杆时，电线杆所在的直线与地面应满足怎样的位置呢？
为了让一面墙砌的稳固，不易倒塌，不易倒塌，墙面所在的平面与地面又应该满足怎样的位置关系呢？
答：垂直
二面角定义
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面。
棱为l,两个面分别为α、β的二面角记作α-l-β。
新知讲解
α
β
l
思考：在日常生活中，我们常说“把门开大一点”是指哪个角大一些？受此启发，应如何刻画二面角？
如图，在二面角α-l-β的棱l上任取一点O,以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB,则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角。二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度，平面角是直角的二面角叫做直二面角，二面角的取值范围是0°≤α≤180°。
面面垂直定义
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直，平面α与β垂直，记作α⊥β
探究：建筑工人在砌墙时，常用铅锤来检测所砌的墙面与地面是否垂直，如果系有铅锤的细绳紧贴墙面，工人师傅被认为墙面垂直于地面，否则他就认为墙面不垂直于地面，这种方法说明了什么道理？
这个方法说明，如果墙面经过地面的垂线，那么墙面与地面垂直。
定理：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直。
符号语言：l α，l⊥β，则α⊥β。
例一：如图所示，在正方体ABCD-A'B'C'D'中，求证：平面A'BD垂直平面ACC'A'
证明：∵ABCD-A'B'C'D'是正方体
∴AA'⊥平面ABCD
∴AA'⊥BD
又BD⊥AC
∴BD⊥平面ACC'A'
∴平面A'BD⊥平面ACC'A'
例二：如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆o所在的平面，C是圆周上不同于A,B的任意一点，求证:平面PAC⊥平面PBC
证明：∵PA⊥平面ABC
BC在平面ABC内
∴PA⊥BC
∵点C是圆周上不同于A,B的任意一点，AB是圆O的直径
∴∠BCA=90°即BC⊥AC
又PA∩AC=A,PA在平面PAC中，AC在平面PAC中
∴BC在平面PBC内
∴平面PAC⊥平面PBC
练习一：如图，棱柱ABC-A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B.
证明：平面AB1C⊥平面A1BC1
证明：∵四边形BCC1B1为梯形，∴BC1⊥B1C,又已知B1C⊥A1B,
A1B∩BC1=B，∴B1C⊥平面A1BC1,又∵B1C在平面AB1C内，
∴平面AB1C⊥A1BC1
总结证明面面垂直
一证线面垂直
二线在面内
三面面垂直
探究：如图，设α⊥β，α∩β=a,则β内任意一条直线b与a有什么关系？相应的b与α有什么位置关系？
证明：显然b与a平行或相交，当b//a时，b//α;当b与a相交时，b与α也相交。而当b垂直a时，b也垂直α。
定理：两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直。
符号语言：α⊥β，α∩β=a,b α，则b⊥β
练习二：如图PA⊥平面ABC,平面PAB⊥平面PBC,求证：AB⊥BC
证明：如图过点A作AD⊥PB于点D,
∵平面PAB垂直平面PBC,平面PAB∩平面PBC=PB
AD在平面PAB内∴AD⊥平面PBC又∵BC在平面PBC内
∴AD⊥BC又∵PA⊥平面ABC,BC在平面ABC内
∴BC⊥PA又∵AD∩PA=A∴BC⊥平面PAB,
又∵AB在平面PAB内∴BC⊥AB
，
探究二：设平面α⊥平面β，点P在平面α内，过点P作平面β的垂线a,直线a与平面α有什么位置关系？
证明：我们知道，过一点只能做一条直线与已知平面垂直，因此，如果过一点有两条直线与平面垂直，那么这两条直线重合。如图，设α∩β=c,过点P在平面α内作直线b⊥c，根据平面与平面垂直的性质定理，b⊥β，因为过一点有且只有一条直线与平面β垂直，所以直线a与直线b重合，因此a在α内。
例三：如图，已知平面α垂直平面β，直线a⊥β，a不在α内，判断a与α的位置关系。
解：在α内作垂直于α与β的直线b
∵α⊥β，∴b⊥β
又a⊥β∴a//b
又a不在α内
∴a//α
即直线a与平面α平行
例四：如图，已知PA⊥平面ABC,平面PAB⊥平面PBC,求证：BC⊥平面PAB
证明：如图，过点A作AE⊥PB,垂足为E
∵平面PAB⊥平面PBC,平面PAB∩平面PBC
∴AE⊥平面PBC
∵BC在平面PBC内∴AE⊥BC
∵PA⊥平面ABC,BC在平面ABC内
∴PA⊥BC又PA∩AE=A
∴BC⊥平面PAB
一、如图所示，四棱锥P-ABCD是菱形，∠BCD=60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD。证明：平面PBE⊥平面PAB
课堂小验
证明：如图，连接BD,由四边形ABCD是菱形，且∠BCD=60°，知△BCD是
等边三角形。因为E是CD的中点，∴BE⊥CD，又AB//CD所以BE⊥AB
又因为PA⊥平面ABCD，BE在平面ABCD内，所以PA垂直BE
又PA∩AB=A，因此BE垂直平面PAB又BE在平面PBE内，
所以平面PBE⊥平面PAB
二、在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD垂直平面ABCD
证明：AB⊥平面VAD
证明：由于面VAD是正三角形设AD的中点为E，则VE⊥AD，而面VAD⊥底面ABCD则VE⊥AB，又面ABCD是正方形，则AB⊥AD故AB面VAD。
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