3.1 基本不等式 第一课时(共30张PPT)

(共30张PPT)


第1课时　基本不等式
第三章　§3.4　基本不等式：

学习目标
1.理解基本不等式的内容及证明.
2.能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小.
3.能初步运用基本不等式证明简单的不等式.
问题导学
达标检测
题型探究
内容索引
问题导学
知识点一　算术平均数与几何平均数




思考　如图，AB是圆O的直径，点Q是AB上任一点，AQ＝a，BQ＝b，过点Q作PQ垂直于AB且交圆O于点P，连接AP，PB.如何用a，b表示PO，PQ的长度？



算术
几何
知识点二　基本不等式及其常见推论
[思考辨析 判断正误]
√
×
×
题型探究
例1　证明不等式a2＋b2≥2ab(a，b∈R).
类型一　常见推论的证明
证明
证明　∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，
∴a2＋b2≥2ab.
证明
证明　由例1，得a2＋b2≥2ab，
∴2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab，
反思与感悟　作差法与不等式性质是证明中常用的方法.
跟踪训练1　已知a，b，c为任意的实数，求证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
证明
证明　∵a2＋b2≥2ab；b2＋c2≥2bc；c2＋a2≥2ca，
∴2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)，
即a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，
当且仅当a＝b＝c时，等号成立.
类型二　用基本不等式证明不等式
证明
证明　∵x，y都是正数，
当且仅当x＝y时，等号成立.
证明
证明　∵x，y都是正数，
∴(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)
(2)(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3.
即(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3，
当且仅当x＝y时，等号成立.
反思与感悟　利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项
(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”.
(2)注意事项：
①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用.
跟踪训练2　已知a，b，c都是正实数，求证：(a＋b)(b＋c)·(c＋a)≥8abc.
证明
证明　∵a，b，c都是正实数，
即(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8abc，
当且仅当a＝b＝c时，等号成立.
类型三　用基本不等式比较大小
例3　某工厂生产某种产品，第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x(a，b，x均大于零)，则
答案
√
解析
解析　第二年产量为A＋A·a＝A(1＋a)，
第三年产量为A(1＋a)＋A(1＋a)·b＝A(1＋a)(1＋b).
若平均增长率为x，则第三年产量为A(1＋x)2.
依题意有A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b)，
∵a＞0，b＞0，x＞0，
答案
解析
√
解析　∵a＞b＞1，∴lg a＞lg b＞0，
综合①②，有P达标检测
答案
1
2
3
4
√
5
解析
答案
解析
1
2
3
4
5
√
解析　对于A，当x≤0时，无意义，故A不恒成立；
对于B，当x＝1时，x2＋1＝2x，故B不成立；
对于D，当x<0时，不成立；
1
2
3
4
答案
解析
5
4.lg 9×lg 11与1的大小关系是
A.lg 9×lg 11>1 B.lg 9×lg 11＝1
C.lg 9×lg 11<1 D.不能确定
√
解析　∵lg 9>0，lg 11>0，
即lg 9×lg 11<1.
5
1
2
3
4
答案
解析
①②③
5
1
2
3
4
当a＝3时，a2＋9＝6a，故④不恒成立.
综上，恒成立的是①②③.
2. 在利用基本不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或把恒等式变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式.
规律与方法
本 课 结 束