(共25张PPT)
矩形、菱形、正方形（1）
——矩形的性质
我是平行四边形,我的边,角,对角线都有哪些性质呢?
概念:有两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
O
A
B
D
C
两组对边分别平行;即:AD∥BC; AB∥ CD
对边相等; 即:AB=DC; AD=BC
对角相等;即:∠DAB=∠ BCD ; ∠ABC=∠CDA
对角线互相平分;
即 AO=CO; BO=DO
用四段木条做一个ABCD的活动木框，将其直立在桌面上轻轻地推动点D，你会发现什么?
D
A
C
B
?
O
D
A
C
B
O
┓
90°
试一试
其实我还是平行四边形啊！只是我比较特殊而已，大家发现了我的特殊之处吗？
矩形：有一个角是直角的特殊平行四边形。
A
B
D
C
A
B
D
C
┒
矩形：
木门
纸张
电脑显示屏
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
生活中的矩形图
怎样的平行四边形是矩形呢?
矩形是特殊的平行四边形。
矩形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。
矩形是轴对称图形，一共有2条对称轴。
矩形是中心对称图形吗？是轴对称图形吗？
A
B
C
D
O
矩形具有平行四边形
的一切性质
邻边：
四个角都是直角
互相平分 AO＝CO; BO＝DO
(1)边：
(2)角：
(3)对角线：
对边：
(共性)
(共性)
(个性)
(个性)
(个性)
(共性)
A
B
C
D
O
矩形性质:
平行 AD∥BC; AB∥CD
相等 AB＝CD; AD＝BC
相 等 AC＝BD
互相垂直 AB⊥BC; AB⊥AD
A
B
D
C
O
∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝ 90°
┒
┒
┒
┒
矩形性质:
矩形ABCD
┒
┒
┒
┒
A
B
C
D
O
几何语言∵四边形ABCD是矩形
∴∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝ 90°
几何语言∵四边形ABCD是矩形
∴OA=OC,OB=OD,AC=BD(或OA=OB=OC=OD）
(2)矩形的四个角都是直角。
(3)矩形的对角线互相平分且相等
(1)矩形的对边平行且相等。
利用矩形性质你在矩形中还发现了哪些基本图形？
A
B
C
D
O
A
B
C
D
O
两对全等的等腰三角形.
A
B
C
D
O
四个全等的直角三角形.
你在矩形中还发现了哪些基本图形？
两对全等的等腰三角形.
四个全等的直角三角形.
A
B
C
D
O
例1、已知：如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，且 AC＝2AB．求证：△AOB是等边三角形．
A
D
B
C
O
证明：
∵四边形ABCD是矩形
∴AC=BD（矩形的对角线相等）.
AO=CO=AC/2，BO=DO=BD/2（矩形的对角线互相平分）.
∵AC=2AB，即AB=AC/2
∴AO=BO=AB.
∴ΔAOB是等边三角形.
例2、如图，矩形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，∠AOD=120°，AB=4. 求矩形对角线的长.
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝DB.
又∵OA＝AC,OB＝BD,
∴OA＝OB.
又∵∠AOD ＝120°,
∴ ∠AOB ＝60°,
∴ △AOB 是等边三角形.
∴ OA＝AB ＝4.
∴ AC＝2AB ＝8.
4.下列性质中，矩形不一定具有的是（ ）
A、对角线相等 B、 四个角都相等
C、对角线垂直 D、是轴对称图形
1.矩形的定义中有两个条件:一是____________,二是_______________。
2.有一个角是直角的四边形是矩形。（ ）
3.矩形的对角线互相平分。（ ）
平行四边形
有一个角是直角
√
×
C
练一练
5.矩形具有而平行四边形不具有的性质是( )
A.两组对边分别平行 B.对角相等
C.对角线互相平分 D.对角线相等
6.矩形ABCD中，对角线AC、BD把矩形分成( )个等腰三角形,
( )个直角三角形。
A.2 B.4 C.6 D.8
D
B
B
Ｏ
A
B
D
C
7、如图，矩形ABCD的对角线的长为2，∠BDC=300,则矩形ABCD的面积为______.
8、矩形两条对角线所夹的锐角为60°,较短的边长为3.6cm,则对角线的长为_____cm.
7.2
A
D
C
B
A
D
C
B
第7题
第8题
O
9、矩形ABCD中,AC、BD相交于点O，AB=6，BC=8，则△ABO的周长为_____
A
D
C
B
O
16
10、如图，在矩形ABCD中，AB＝3， BC ＝ 4， BE⊥AC于E．试求出AC、BE的长．
解:在矩形ABCD中，∠ABC ＝ 90°，
AC ＝
＝
＝
＝ 5(勾股定理)．
又∵S△ABC ＝AB·BC
∴BE ＝
＝ 2.4
＝AC·BE，
＝
A
B
D
C
E
┒
11、设矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别为S1、S2，则二者的大小关系是：S1________S2,请说明理由．
＝
12、如图，矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86cm,对角线长是13cm，那么矩形的周长是多少？
∵ △AOB、 △BOC、 △COD和△AOD四个三角形的周长和为86cm，
又∵ AC=BD=13cm（矩形的对角线相等）
∴ AB+BC+CD+DA ＝ 86－2(AC+BD)
＝ 86－2×2×13
即矩形ABCD的周长等于34cm。
解：
Ｏ
A
B
D
C
＝ 34(cm)
即 AB+BC+CD+DA+2(AC+BD) ＝86
A
D
C
B
E
13、如图，矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E，ED=5cm,EC=3cm,求矩形的周长。
解：∵四边形ABCD是矩形
∴∠C＝∠B=∠BAD=90°,AB=DC
注:解决矩形的有关问题时,常根据性质转化为直角三角形或等腰三角形的有关问题进行解答.
∵DE=5,EC=3
∴DC2=DE2-EC2=52-32,即：DC=4
∵AE平分∠BAD
∴∠BAE=45°
∴AB=BE＝4
∴BC=7
∴矩形ABCD的周长为22cm
14、已知如图，O是矩形ABCD对角线的交点，AE平分∠BAD，∠AOD=1200，求∠EAO的度数和∠OEA的度数 。
注:解决矩形的有关问题时,常根据性质转化为直角三角形或等腰三角形的有关问题进行解答.
课堂小结1. 什么叫矩形？
矩形有哪些性质？
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
平行四边形 矩形
边
角
对角线
对边平行且相等
对角相等
对角线互相平分
对角线相等且互相平分
四个角都是直角
对边平行且相等
思路:解决矩形的有关问题时,常根据性质转化为直角三角形或等腰三角形的有关问题进行解答.
谢 谢
(共20张PPT)
矩形、菱形、正方形（2）
——矩形的判定
一个角是直角
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
矩形
平行四边形
矩形的 两条对角线相等且互相平分
矩形的对边平行且相等
矩形的四个角都是直角
边
对角线
角
矩形的定义
矩形的性质
温故知新
一天,吴小丽和王娟到一个商店准备给今天要过生日的肖华买生日礼物,选了半天,她们俩最后决定买相框送给她,在里面摆放她们三个好朋友的相片,为了保证相框摆放的美观性,她们选择了矩形的相框,那么她们是用什么方法可以知道她们拿的就是矩形相框呢?
思考与探究
吴小丽和王娟是怎样知道所买的相框是矩形的呢?
通过测量四个角是直角
思考
有三个角是直角的四边形是矩形吗?
已知:如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°.
证明:
∵ ∠A=∠B=∠C=90°,
∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°.
∴AD∥BC,AB∥CD.
求证:四边形ABCD是矩形.
∴四边形ABCD是平行四边形.
D
B
C
A
∴平行四边形ABCD是矩形.
猜想并证明
又∵ ∠A=90°,
一定要有四个角是直角的四边形才是矩形吗?
矩形判定1：有三个角是直角的四边形是矩形
∠A= ∠B= ∠C=90°
四边形ABCD
是矩形
D
B
C
A
除度量角度之外,她们需要度量什么也能知道做好的相框是矩形呢?
能证明它的正确性吗?
证明：
在
ABCD中
AB=DC,BD=CA,AD=DA
∴△BAD≌△CDA(SSS)
∴∠BAD=∠CDA
∵AB∥CD
∴∠BAD +∠CDA=180°
∴∠BAD＝∠CDA=90°
∴ ABCD是矩形（有一个内角是直角的平行四边形是矩形）
对角线相等的平行四边形是矩形吗？
四边形ABCD是平行四边形,AC=BD
四边形ABCD是矩形
已知:
求证:
猜想并证明
矩形判定2：对角线相等的平行四边形是矩形
ABCD
AC = BD
ABCD
是矩形
注意：判断是正确的，但是不能直接用于证明！
四边形ABCD
是矩形
提问:对角线互相平分且相等的四边形是矩形？
1.有一个角是直角的平行四边形
2.对角线相等的平行四边形
3.有三个角是直角的四边形
矩形.
判断矩形有哪几种方法?
矩形的判定方法
矩形.
矩形.
对于 四边形，满足哪些条件就可以得到矩形呢？
任意
平行
小结归纳
（1）矩形具有而平行四边形不具有的性质（ ）
A.内角和是360度 B.对角相等
C.对边平行且相等 D.对角线相等
（2）下面性质中，矩形不一定具有的是（ ）
A.对角线相等 B.四个角相等
C.是轴对称图形 D.对角线垂直
D
D
课堂练习
一、选择题
二.判断题
对角线相等的四边形是矩形。
对角线互相平分且相等的四边形是矩形。
有一个角是直角的四边形是矩形。
四个角都是直角的四边形是矩形。
四个角都相等的四边形是矩形。
对角线相等且有一个角是直角的四边形是矩形。
对角线相等且互相垂直的四边形是矩形。
矩形的判定：
角：有一个角是直角的平行四边形是矩形
有三个角是直角的四边形是矩形
对角线：对角线相等的平行四边形是矩形
对角线相等且互相平分的四边形是矩形。（不能直接用）
例1、已知：如图．矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO的中点，求证四边形EFGH是矩形．
证明：
∵四边形ABCD是矩形
∴AC=BD（矩形的对角线相等)
AO=BO=CO=DO（矩形的对角线互相平分）
∵ E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO的中点
∴OE=OF=OG=OH
∴四边形EFGH是平行四边形（对角
线互相平分的四边形是平行四边形）
∵EO+OG=FO+OH
即EG=FH
∴四边形EFGH是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）。
已知：如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F、G 、 H分别是AO 、BO 、 CO 、 DO上的一点 ,且AE=BF=CG=DH.
求证:四边形EFGH是矩形
变式:
B
C
D
E
F
G
H
O
A
例2、已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°,D是AB的中点，DE、DF分别是△BDC、△ADC的角平分线.求证：四边形DECF是矩形.
E
F
D
C
A
B
1. 如何说明平行四边形的四个内角的平分线相交所构成的四边形是矩形？
拓展延伸
2、在平行四边形ABCD中，以AC为斜边作Rt△ACE，又∠BED=90°.
说明：四边形ABCD是矩形.
拓展延伸
O
这节课你有什么收获？
∠A= ∠B= ∠C=90°
ABCD
AC = BD
ABCD
是矩形
四边形ABCD
是矩形
任意一个四边形，
矩形的判定口诀：
三角直角定矩形。
对于平行四边形，
一个直角即可定；
对线相等也矩形。
谢 谢
(共26张PPT)
矩形、菱形、正方形（3）
——菱形的性质
感受生活
三菱越野汽车
菱形就在我们身边
一组邻边相等
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
菱形
平行四边形
菱形的定义
边：菱形的对边平行且相等．
角：菱形的对角相等，邻角互补.
菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的一切性质．即
对角线：菱形的对角线互相平分．
那么菱形本身具备的性质有什么呢？
探究菱形的性质
对称性：菱形是中心对称图形,对角线的交点是对称中心.
把一张矩形纸片对折再对折，然后沿着图中的虚线剪下、打开，你能发现它是一个什么样的图形吗？
折纸探究
①、菱形的四边在数量上有什么关系?
②、菱形是轴对称图形吗?如果是,那么对称轴是?
③、菱形的两对角线有什么位置关系?
④、菱形的每一条对角线是否平分一组对角?
谈谈你的发现
探究菱形的性质
菱形是特殊的平行四边形,它有不同于平行四边形的特殊性质：
①、菱形的四边相等；
菱形的性质
②、菱形是轴对称图形，两条对角线所在直线都是它的对称轴；
③、菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角.
归纳总结：菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形是中心对称图形，也是轴对称图形；
③菱形的四边都相等；
④菱形的对角线互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角。
二.菱形ABCD中,O是两条对角线的交点，已知AB＝5cm,BO=4cm，则对角线AC的长为____,BD的长为_____。
一.判断
1、有一组邻边相等的四边形是菱形。( )
2、菱形是平行四边形。( )
练一练
三.如图，已知菱形ABCD的一条对角线BD恰好与其边AB的长相等，求这个菱形的各个内角的度数.
四、□ABCD的对角线AC与BD相交于点O
（1）若AB=AD，则□ABCD是 形；
（2）若AC=BD，则□ABCD是 形；
（3）若∠ABC是直角，则□ABCD是 形；
（4）若∠BAO=∠DAO，则□ABCD是 形。
菱
矩
矩
菱
菱形是特殊的平行四边形,那么能否利用平行四边形面积公式计算菱形的面积吗?
菱形
A
B
C
D
O
E
S菱形=BC×AE
思考:计算菱形的面积除了上式方法外,利用对角线能 计算菱形的面积公式吗?
S菱形=底×高=对角线乘积的一半
为什么?
ABCD=S△ABD+S△BCD=BD×AO+BD×CO =BD× AC
S菱形
探究菱形的面积
D
O
A
C
B
例1、菱形ABCD的周长为20，相邻两角的度数比为1：2
⑴求菱形ABCD的对角线的长；
⑵求菱形ABCD的面积．
有关菱形问题可转化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决
例2、如果已知菱形ABCD 的对角线AC=4cm,BD =3cm,
（1）请你求出菱形ABCD的面积和周长.
（2）求出菱形的高
A
B
C
D
O
1.已知菱形的周长是12cm，那么它的边长是______.
2.菱形ABCD中∠ABC＝60°，则∠BAC＝_______.
3cm
60°
有关菱形问题可转化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决
3.菱形的两条对角线的长分别为6cm和8cm，那么菱形的面积是_____.
24cm2
练一练
4、如图，已知菱形ABCD的边AB长5cm，一条对角线AC长6cm，求这个菱形的周长和它的面积。
练一练
5、如图，木制活动衣帽架由3个全等的菱形构成，在A、E、F、C、G、H处安装上、下两排挂钩，可以根据需要改变挂钩间的距离，并在B、M处固定.已知菱形ABCD的边长为13cm，要使两排挂钩间的距离为24cm，求B、M之间的距离.
A
D
B
C
E
F
G
H
M
练一练
6、在菱形ABCD中作一个等边△AEF，且AE =AB，求∠C的大小．
练一练
▲你对菱形知多少？请你谈一谈．
★从定义上来谈；
●从性质上来谈；
※从计算上来谈．
小结回顾
从定义上来谈——
有一组邻边相等的平行四边形是 菱形.
从性质上来谈——
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形是中心对称图形，也是轴对称图形；
③菱形的四边都相等；
④菱形的对角线互相垂直平分，并且每条对角线
平分一组对角。
从计算上来谈——有关菱形问题可转化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决
菱形的面积可以等于它的对角线长的乘积的一半。设菱形的两对角线长分别为，则它的面积S=
如图：两条等宽的长纸条倾斜地重叠着
你能说明重叠部分ABCD是菱形吗?
思考:
A
B
C
D
E
F
谢 谢
(共11张PPT)
矩形、菱形、正方形
(第4课时)
复习
菱形的定义
菱形的性质
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
菱形具有平行四边形的一切性质.
菱形的四条边相等，对角线互相垂直.
菱形既是轴对称又是中心对称图形.
探索
问题1：四边相等的四边形是菱形吗？
分析：
∵ AB=CD， BC=AD
∴四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)
∵ AB=BC
∴ □ABCD是菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形)
菱形的判定定理：四边相等的四边形是菱形.
已知四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD.四边形ABCD是菱形吗？
探索
问题2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？
已知□ABCD中，AC⊥BD于点O. □ABCD是菱形吗？
分析：
∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ OB=OD (平行四边形的对角线互相平分)
∵ AC⊥BD于点O
∴ AC是BD的中垂线
∴ □ABCD是菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形)
∴ AB=AD
菱形的判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
对角线互相垂直的四边形是菱形吗？
归纳
菱形的判定方法
方法1(根据定义)：一组邻边相等的平行四边形是菱形.
方法2(根据判定定理) ：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
方法3(根据判定定理) ：四边相等的四边形是菱形.
四边相等的四边形是菱形
平行四边形的判定
一组邻边相等
平行四边形的判定
对角线互相垂直
四边形
平行四边形
平行四边形
菱形
习题
1.如图，要使□ABCD成为菱形，则需添加的一个条件是（ ）
A．AC=AD
B．BA=BC
C．∠ABC=90°
D． AC=BD
B
一组邻边相等
2.如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，OA=OC，OB=OD，
添加一个条件__________，使四边形ABCD是菱形(写出一个即可)
AB=AD
AC⊥BD
平行四边形
例题
例1.如图，在四边形ABCD中，AD//BC，对角线AC的垂直平分线与边AD、BC
分别相交于点E、F.
求证：四边形AFCE是菱形.
证明：∵AD//BC
∴∠1=∠2
∵对角线AC的垂直平分线是EF
∴OA=OC，∠3=∠4=90°
∴△OAE≌△OCF
∴AE=CF
∴四边形AFCE是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)
∵AC⊥EF
∴□AFCE是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形)
习题
变式.如图，过矩形ABCD的对角线AC的中点O作EF⊥AC，交BC边于点E，交
AD边于点F,分别连接AE、CF.若AB= ,∠DCF=30°,则EF的长为（ ）
A.2 B.3 C． D.
A
30°
1
2
60°
例题
例2.如图，E、F、G、H分别是矩形ABCD各边的中点，四边形EFGH是怎样
的特殊四边形？证明你的结论.
证明：菱形
∵点H、F分别为AD、BC的中点
∴AH=DH，BF=CF
∵四边形ABCD是矩形
∴AB=CD，AD=BC，∠D=∠A=∠B=90°
∵点E、G分别为AB、CD的中点
∴AE=DG
∴△AEH≌△DGH
∴EH=GH
同理：EF=GF
∵ AH=DH，BF=CF
AB=CD
∴ AH=BF
∴△AEH≌△BEF
∴EH=EF
∴EH=GH=EF=GF
∴四边形EFGH是菱形(四边相等的四边形
是菱形)
例题
例3.如图，点O为矩形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD．
(1)试判断四边形OCED的形状，并说明理由；
(2)若AB＝6，BC＝8，求四边形OCED的面积．
解(1) ∵DE∥AC，CE∥BD
∴四边形OCED是平行四边形(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)
∵点O为矩形ABCD对角线的交点
∴OC=OD=OB
∴□OCED是菱形(一组邻边相等的平行四边形是菱形)
(2)连接OE
∵矩形ABCD中AB=6
∴CD=AB=6
∵□OCED是菱形
∴CE=OD
∴CE=OB
∵CE∥BD
∴四边形OBCE是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形
是平行四边形)
∴OE=BC=8
∴菱形OCED的面积=
=24
收获
菱形的判定
菱形的性质与判定
方法1(根据定义)：一组邻边相等的平行四边形是菱形.
方法2(根据判定定理) ：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
方法3(根据判定定理) ：四边相等的四边形是菱形.
菱形 性质 判定
边的关系
角的关系
对角线的关系
对边平行
四边相等
一组邻边相等的平行四边形
四边相等的四边形
对角相等
对角线互相垂直平分
对角线互相垂直的平行四边形
(共15张PPT)
矩形、菱形、正方形
(第5课时)
复习旧知
四边相等的四边形是菱形(判定定理)
平行四边形的判定
一组邻边相等(定义)
平行四边形的判定
对角线互相垂直(判定定理)
四边形
平行四边形
平行四边形
菱形
创设情境
拼完整的七巧板ABCD是什么几何图形？
正方形
探索新知
问题1.这块七巧板ABCD是否也可以说成是平行四边形？矩形？菱形？
问题2.与一般的平行四边形相比，它有何特殊性？
可以
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
平行四边形
菱形
有一组邻边相等
有一个角是直角
有一个角是直角
有一组邻边相等
有一组邻边相等、有一个角是直角
正方形的定义：
探索新知
正方形的判定定理
有一组邻边相等的矩形是正方形.
有一个角是直角的菱形是正方形.
练习1.下列说法正确吗？为什么？
(1)四条边都相等且有一个角是直角的四边形是正方形.
(2)有三个角是直角且有一组邻边相等的四边形是正方形.
(3)有三个角是直角且对角线互相垂直的四边形是正方形.
(4)对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形.
菱形
( √ )
矩形
( √ )
矩形
( √ )
平行四边形
( √ )
菱形
在四边形ABCD中，点O是对角线的交点，能判定这个四边形是 正方形的是( )
A．AC=BD，AB∥CD ， AB=CD
B．AD∥BC ， ∠A=∠C
C．AO=BO=CO=DO ， AC⊥BD
D．AO=CO ， BO=DO ， AB=BC
练习2.
矩形
平行四边形
菱形
正方形
证明： ∵ AO=CO，BO=DO
∴四边形ABCD是平行四边形
∵ AO=BO=CO=DO
∴ AO+CO=BO+DO 即：AC=BD
∴□ABCD是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形)
∵ AC⊥BD，AO=CO
∴DA=DC
∴矩形ABCD是正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形)
C
证明:
∵ AD//BC
∴∠A+∠B=180°
∵∠A=∠C
∴∠C+∠B=180°
∴ AB//CD
∴ 四边形ABCD是平行四边形
探索新知
平行四边形
矩形
菱形
正方形
问题3.正方形具有什么性质？
平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系：
正方形的边、角、对角线各具有什么性质？
正方形的四条边相等，四个角都是直角．
正方形的对角线互相平分、相等且垂直．
探索新知
正方形的性质
边—正方形的对边平行，四条边都相等.
角—正方形的四个角都是直角.
对角线—正方形的对角线互相平分、相等且垂直.
对称性—正方形既是轴对称、又是中心对称图形.
A
B
C
D
O
∵ 四边形ABCD是正方形
∴ AB//CD，BC//AD，AB=BC=CD=AD
∠BAD=∠ADC=∠BCD=∠ABC=90°
AO=CO ， BO=DO ，AC=BD ， AC⊥BD
小试牛刀
1.如图，四边形ABCD是正方形，两条对角线相交于点O．
(1)一条对角线把它分成_____个____的________ 三角形；
(2)两条对角线把它分成_____个全等的________三角形；
图中一共有______个等腰直角三角形；
(3)∠AOB＝_____度，∠OAB＝_____度．
A
B
C
D
O
两 全等 等腰直角
四 等腰直角
八
90 45
2.如图，正方形ABCD中，延长AB到E，使AE=AC，则
∠BCE的度数是 °．
22.5
45°
45°
分析：∠BCE=∠ACE－∠ACB
=(180°－45°) ÷2 －45°
=22.5°
小试牛刀
3.如图，在正方形ABCD外侧作等边△ADE，则∠AEB的度数为是 °．
A
B
C
D
E
15
分析：∠AEB=(180°－∠BAE ) ÷2
=(180°－150°) ÷2
=15°
4.以正方形ABCD的边AD为边作等边△ADE，则∠AEB的度数为是 °．
分析：以AD为边向正方形外作等边△ADE ：
∠AEB=(180°－∠BAE ) ÷2
=(180°－150°) ÷2
=15°
以AD为边向正方形内作等边△ADE ：
∠AEB=(180°－∠BAE ) ÷2
=(180°－30°) ÷2
=75°
15或75
例题选讲
例1.如图，在正方形ABCD中，点A’、B’ 、C’、D’分别在AB、CD、DA上，且
AA’＝BB’＝CC’＝DD’.
求证：四边形A’B’C’D’是正方形.
证明：∵ 四边形ABCD是正方形
∴ AB=BC=CD=AD
∠A=∠B=∠C=∠D=90°
∵ AA’＝BB’＝CC’＝DD’
∴ AD’=A’B=B’C=C’D
∴△AA’D’≌△BB’A
∴A’D’=A’B’
同理：A’D’=C’D’
A’B’=B’C’
∴A’D’=A’B’=B’C’=C’D’
∴四边形A’B’C’D’是菱形
(四边相等的四边形是菱形)
∵△AA’D’≌△BB’A
∴∠2=∠3
∵∠A=90°
∴∠1+∠2=90°
∴∠1+∠3=90°
∴∠D’A’B’=90°
∴菱形A’B’C’D’是正方形
(有一个角是直角的菱形是正方形)
例题选讲
例2.正方形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，P是射线AB上任意一点，
过P点分别作直线AC、BD的垂线PE、PF，垂足为E、F.
(1)如图1:当P在线段AB上时线段PE、PF、OB有怎样的等量关系？说明理由.
分析：四边形PEOF是矩形
PE=OF
△PBF是等腰直角三角形
PF=BF
OB=OF+BF
=PE+PF
(2)如图2:当P在线段AB的延长线上时线段PE、PF、OB又有怎样的等量关系?
例题选讲
例2.正方形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，P是射线AB上任意一点，
过P点分别作直线AC、BD的垂线PE、PF，垂足为E、F.
分析：四边形PEOF是矩形
PE=OF
△PBF是等腰直角三角形
PF=BF
OB=OF － BF
=PE － PF
平行四边形
菱形
有一组邻边相等
有一个角是直角
有一个角是直角
有一组邻边相等
有一组邻边相等、有一个角是直角
课堂小结
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
有一组邻边相等的矩形是正方形.
有一个角是直角的菱形是正方形.
正方形的定义
判定定理
平行四边形
矩形
菱形
正方形
正方形的性质
边—正方形的对边平行，四条边都相等.
角—正方形的四个角都是直角.
对角线—正方形的对角线互相平分、相等且垂直.
对称性—正方形既是轴对称、又是中心对称图形.
课堂小结
