华师大版数学八年级上册12.3.2 两数和（差）的平方 课件（23张ppt)

课件23张PPT。第12章 整式的乘除12.3 乘法公式第2课时
两数和(差)的平方 1课堂讲解完全平方公式的特征
完全平方公式
完全平方公式的应用 2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升1知识点完全平方公式的特征弄清公式的特征
公式的左边是一个二项式的完全平方，公式的
右边是一个三项式，包括左边二项式的各项的
平方和，另一项是这两项的乘积的2倍．知1－讲1 若x2＋6x＋k是完全平方式，则k等于(　　)
A．9 B．－9 C．±9 D．±3
小明计算一个二项式的平方时，得到正确结果a2－10ab＋
■，但最后一项不慎被污染了，这一项应是(　　)
A．5b B．5b2 C．25b2 D．100b2
3 下列变形中，错误的是(　　)
①(b－4c)2＝b2－16c2； ②(a－2bc)2＝a2＋4abc＋4b2c2；
③(x＋y)2＝x2＋xy＋y2；
④(4m－n)2＝16m2－8mn＋n2.
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④知1－练2知识点完全平方公式知2－导利用这个公式，可以直接计算两数和的平方.用多项式乘法法则计算:(a+b)2.
(a+b)2=(a+b)(a＋b)=____________________.
我们又得到一个漂亮的结果:
(a + b)2 =a2 ＋2ab＋b2.
这就是说，两数和的平方，等于这两数的平 方和加上它们
的积的2倍.
这个公式叫做两数和的平方公式.知2－讲两数和(差)的平方公式（也称完全平方公式）：
两数和(或差)的平方，等于这两数的平方和加上(减去)它
们的积的2倍．
用式子表示为：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a－b)2＝a2－2ab＋b2.
要点精析：(1)理解字母a，b的意义：公式中的字母a，b可以
表示具体的数，也可以表示单项式或多项式．
(2)学会用口诀加深记忆：对于公式(a±b)2＝a2±2ab＋b2，可
以用下面简单的口诀来记忆：头平方和尾平方，头(乘)尾两
倍在中央，中间符号照原样．知2－讲例1 计算：(1)(2x+3y)2；(2)(2a+ )2.
解：(1)(2x+3y)2=(2x)2 +2 ? 2x ? 3y + (3y)2 =4x2+12xy+9y2.
(2)(2a+ )2=(2a)2 + 2 ? 2a ? +
=4a2 + 2ab +知2－讲知2－讲推导两数差的平方公式.
我们可以根据多项式的乘法法则直接计算(a-b)2. 注意到a-b =
a+(-b)，也可以利用两数和的平方公式 来计算，即
(a-b)2 =[a+(-b) ]2 =a2+2a(-b)+(-b)2 =a2-2ab+b2.
这样就得到了两数差的平方公式：
(a－b)2=a2-2ab+b2.
这就是说，两数差的平方，等于这两数的平方和减去 它们的
积的2倍.知2－讲你能用图 12.3.3中的面积 关系来解释两数 差的平方公式吗？
例2 计算：(1) (3x-2y)2；(2)
解：(1)(3x-2y)2=(3x)2 - 2 ? 3x ? 2y + (2y)2 =9x2 -12xy+ 4y2.知2－讲知2－讲在应用公式(a±b)2＝a2±2ab＋b2时关键是弄清题目
中哪一个相当于公式中的a，哪一个相当于公式中的
b，同时还要确定用两数和的平方公式还是两数差的
平方公式．1 计算(－a－b)2等于(　　)
A．a2＋b2 B．a2－b2
C．a2＋2ab＋b2 D．a2－2ab＋b2
2 (中考·遵义)下列运算正确的是(　　)
A．4a－a＝3 B．2(2a－b)＝4a－b
C．(a＋b)2＝a2＋b2 D．(a＋2)(a－2)＝a2－4知2－练知3－讲3知识点完全平方公式的应用拓展：
两数和（差）的平方公式的几种常见变形公式： （1）a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab；
（2）(a＋b)2－(a－b)2＝4ab；
（3）（a-b）2 =（a+b）2-4ab；
（4）（a+b）2 +（a-b）2 = 2（a2+b2）； 知3－讲? 例3 (1)若(x－5)2＝x2＋kx＋25，则k的值是多少？
(2)先化简，再求值：(1＋a)(1－a)＋(a－2)2，
其中a＝－3.
(3)已知x2－4x＋1＝0，求代数式(2x－3)2－(x＋y)
(x－y)－y2的值．
导引：对于(1)，把等号左边的式子展开后对比各项，即可
得解；对于(2)，利用平方差公式和两数和(差)的平
方公式展开，合并同类项后代入求值；对于(3)，
先化简代数式，再将条件变形整体代入求值．知3－讲解：(1)依题意，得x2－10x＋25＝x2＋kx＋25.
所以k＝－10.
(2)原式＝1－a2＋a2－4a＋4＝－4a＋5，
当a＝－3时，原式＝－4×(－3)＋5＝12＋5＝17.
(3)原式＝4x2－12x＋9－x2＋y2－y2＝3x2－12x＋9
＝3(x2－4x＋3)．
因为x2－4x＋1＝0，所以x2－4x＝－1，
所以，原式＝3×(－1＋3)＝3×2＝6.知3－讲 例4 已知a2＋b2＝13，ab＝6，
求(a＋b)2，(a－b)2的值．
导引：利用两数和(差)的平方公式展开，得到两数的平方
和与这两数积的两倍，再将条件代入求解．
解：因为a2＋b2＝13，ab＝6，
所以(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab＝13＋2×6＝25，
(a－b)2＝a2＋b2－2ab＝13－2×6＝1.知3－讲知3－讲在利用两数和(差)的平方公式进行计算时，经常会遇
到这个公式的如下变形：①(a＋b)2－2ab＝a2＋b2；
②(a－b)2＋2ab＝a2＋b2；③(a＋b)2＋(a－b)2＝2(a2＋
b2)；④(a＋b)2－(a－b)2＝4ab，
灵活运用这些公式的变形，往往可以解答一些特殊的
计算问题，培养综合运用知识的能力．知3－练1 若(a＋b)2＝(a－b)2＋A，则A为(　　)
A．2ab B．－2ab C．4ab D．－4ab
2 若(x＋3)2＝x2＋ax＋9，则a的值为(　　)
A．3 B．±3 C．6 D．±6
(2015·邵阳)已知a＋b＝3，ab＝2，则a2＋b2的值
为( 　)
A．3 B．4 C．5 D．61.完全平方公式的特征：左边是二项式的平方，右边是二次三项式，
其中两项分别是公式左边两项的平方，中间一项是左边二项式中
两项乘积的2倍．
2.公式中的a，b可以是单项式，也可以是多项式．公式也可以逆用：
a2±2ab＋b2＝(a±b)2.
3.利用完全平方公式化简求值时常利用整体思想，把a2＋b2 ，ab，
a±b看成一个整体，利用完全平方公式的变形，整体代换求值，
常见的变形公式有：(1)a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab；
(2) (a＋b)2－(a－b)2＝4ab.
完成教材P35 T1-3
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