课件19张PPT。第12章 整式的乘除12.5 因式分解第1课时 因式分解1课堂讲解因式分解的定义
因式分解与整式乘法关系的关系2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升1知识点因式分解的定义回 忆运用前面所学的知识填空:
(1)m(a+b+c) =_____________;
(2)(a+b)(a-b) = ____________;
(3)(a+b)2 =______________. 知1－导试一试知1－导观察上面三个等式，填空：
ma + mb + mc =( )( );
a2 - b2 =( )( );
a2 + 2ab + b2 =( )2.“回忆”和“试一试”得到的这两组等式，有什么联系和区别？因式分解的定义：
把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做多
项式的因式分解，也叫做多项式的分解因式．
整式乘法与因式分解的关系：
（1）整式乘法与因式分解一个是积化和差，另一个是和差化积，是互 逆的变形.
即：多项式 整式乘积.
（2）可以利用整式乘法检验因式分解的结果的正确性.知1－讲要点精析：
1.因式分解的对象是多项 式，结果是整式的积 .
2. 因式分解是恒等变形，形 式改变但值不改变 .
3.因式分解必须分解到每个 多项式的因式不能再分解为止 .知1－讲?知1－讲?知1－讲知1－讲识别因式分解的两个关 键词：
1.“多项式”说明等式的左 边是多项式，即分解 的对象是多项式.
2.“整式的积”说明右边 的结果是整式的积. 一句话：因式分解是整 式的和差化积的变化 过程.1 (中考·海南)下列式子从左到右变形是因式分解的是( )
A．a2＋4a－21＝a(a＋4)－21
B．a2＋4a－21＝(a－3)(a＋7)
C．(a－3)(a＋7)＝a2＋4a－21
D．a2＋4a－21＝(a＋2)2－25
2 下列等式从左到右的变形是因式分解的是( )
A．6a2b2＝3ab·2ab
B． a－ ay＝ a(1－y)
C．2x2＋8x－1＝2x(x＋4)－1
D．(x＋1)(x－1)＝x2－1知1－练下列各式从左边到右边的变形：①15x2y＝3x·5xy；
②(x＋y)(x－y)＝x2－y2；③x2－2x＋1＝(x－1)2；
④x2－3x＋1＝x，其中是因式分解的有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个知1－练2知识点因式分解与整式乘法关系的关系知2－导还记得整数的因数分解与乘法之间的关系吗？知2－讲整式乘法与因式分解的关系：
整式乘法与因式分解一个是积化和差，另一个是
和差化积，是两种互逆的变形．
即：多项式 整式乘积的形式若一个多项式分解因式的结果为(a＋2)(a－3)，则这个
多项式为________．
2 因为(a－2)2＝a2－4a＋4，所以a2－4a＋4可因式分解
为_________．
(中考·株洲)把多项式x2＋mx＋5因式分解得(x＋5)(x＋
n)，则m＝________，n＝________.
4 若x2＋3x＋m＝(x＋1)(x＋2)，则m的值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
知2－练一个多项式分解因式的结果是(b3＋2)(2－b3)，那么 这个多项式是( )
A．b6－4 B．4－b6 C．b6＋4 D．－b6－4
6 (中考·常德)下列因式分解正确的是( )
A．x2＋2x＋1＝x(x＋2)＋1
B．(x2－4)x＝x3－4x
C．ax＋bx＝(a＋b)x
D．m2－2mn＋n2＝(m＋n)2知2－练7 (中考·眉山)下列因式分解错误的是( )
A．x2－y2＝(x＋y)(x－y) B．x2＋6x＋9＝(x＋3)2
C．x2＋xy＝x(x＋y) D．x2＋y2＝(x＋y)2
(中考·甘肃)已知多项式2x2＋bx＋c分解因式为
2(x－3)(x＋1)，则b，c的值为( )
A．b＝3，c＝－1 B．b＝－6，c＝2
C．b＝－6，c＝－4 D．b＝－4，c＝－6知2－练如图①，在边长为a的正方形上剪掉一个边长为b的小正
方形(a＞b)，把余下的部分剪拼成一个长方形，如图②，通过计算两个图形(阴影部分)的面积，验证了一个等式，这个等式是( )
A．a2－b2＝(a＋b)(a－b) B．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
C．(a－b)2＝a2－2ab＋b2 D．(a＋2b)(a－b)＝a2＋ab－2b2知2－练1.因式分解与整式乘法是一个互逆过程：
即：
2．因式分解必须做到两点：
(1)结果必须是因式的积的形式；
(2)每个因式是整式且不能再分解．谢谢！
课件21张PPT。第12章 整式的乘除12.5 因式分解第2课时 提公因式法1课堂讲解公因式
提公因式法分解因式2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升1知识点公因式的定义试一试(1)ma+mb+mc=m(a+b+c)中m的特点. 知1－导公因式的定义：多项式ma+mb+mc中的每一项都含有一个相同的因式m，我们称之为公因式.
要点精析：1.公因式必须是多项式中每 一项都含有的因式.只在 某个或某些项中含有而其 他项中没有的因式不能成 为公因式的一部分 .
2. 公因式可以是数，也可以 是单项式或多项式．
3.若多项式各项中含有互为 相反数的因式，则可将互 为相反数的因式统一成相 同的因式 .知1－讲公因式的确定：
（1）确定公因式的系数：若多项式中各项系数都是整数，则取各项系数的最大公因数．
（2）确定字母及字母的指数：取各项都含有的相同字母作为公因式中的字母，各相同字母的指数取其中指数最低的．
（3）若多项式各项中含有相同的多项式因式，则应将其看成一个整体， 不要拆开，作为公因式中的因式.如 3x（x-y）+x2（x-y）的公因式是
x（x-y）.知1－讲例1 指出下列多项式各项的公因式：
(1)3a2y－3ya＋6y；(2) xy3－ x3y2；
(3)a(x－y)3＋b(x－y)2＋(x－y)3；
(4)－27a2b3＋36a3b2＋9a2b.
解：(1)3，6的最大公约数是3，所以公因式的系数是3；有
相同字母y，并且y的最低次数是1，所以公因式是3y.
(2)多项式各项的系数是分数，分母的最小公倍数是27，
分子的最大公约数是4，所以公因式的系数是 ；两
项都有x，y，且x的最低次数是1，y的最低次数是2，
所以公因式是 xy2.知1－讲(3)观察发现三项都含有x－y，且x－y的最低次数是2，所以公
因式是(x－y)2.
(4)此多项式的第一项是“－”，应将“－”提取变为－(27a2b3－
36a3b2－9a2b)．多项式27a2b3－36a3b2－9a2b各项系数的最
大公约数是9；各项都有a，b，且a的最低次数是2，b的最低
次数是1，所以这个多项式各项的公因式是－9a2b.知1－讲知1－讲找准公因式要“五看”，即：一看系数：若各项系数都
是整数，应提取各项的系数的最大公约数；二看字母：
公因式的字母是各项相同的字母；三看字母的次数：
各相同字母的指数取次数最低的；四看整体：如果多
项式中含有相同的多项式，应将其看作整体，不要拆
开；五看首项符号，若多项式中首项是“－”，一般
情况下公因式符号为负．1 多项式8x2y2－14x2y＋4xy3各项的公因式是( )
A．8xy B．2xy C．4xy D．2y
2 15a3b3(a－b)，5a2b(b－a)的公因式是( )
A．5ab(b－a) B．5a2b2(b－a)
C．5a2b(b－a) D．以上均不正确
观察下列各组式子：①2a＋b和a＋b；②5m(a－b)和
－a＋b；③3(a＋b)和－a－b；④x2－y2和x2＋y2.其中有公因式的是( )
A．①② B．②③ C．③④ D．①④知1－练2知识点提公因式法分解因式知2－讲提公因式法
把公因式提出来，多项式ma+mb+mc就可以分解成两
个因式m和 （a+b+c）的乘积了，像这种因式分解的方
法，叫做提公因式法.
用字母表示为：ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)．
要点精析：1.提公因式法实质上是逆用 乘法的分配律 .
2.提公因式法就是把一个多 项式分解成两个因式的积 的形式，其中的一个因式 是各项的公因式，另一个 因式是多项式除以这个公 因式所得的商 .知2－讲 提公因式法的一般步骤：
（1）找出公因式，就是找出各项都含有的公共因式.
（2）确定另一个因式，另一个因式即多项式除以公因
式所得的商.
（3）写成积的形式.例2 将下列各式分解因式：
（1）6x3y2-8xy3z；
（2）-4a3b2+12a2b-4ab.
导引：紧扣提公因式法的步骤分解因式.
知2－讲解：（1）6x3y2-8xy3z
=2xy2·3x2-2xy2·4yz
=2xy2（3x2-4yz）.
（2）-4a3b2+12a2b-4ab
= -（4a3b2-12a2b+4ab）
= -（4ab·a2b-4ab·3a+4ab）
= -4ab（a2b-3a+1）.知2－讲 例3 下面用提公因式法分解因式的结果是否正确？说明理
由．若不正确，请写出正确的结果．
(1)3x2y－9xy2＝3x(xy－3y2)；
(2)4x2y－6xy2＋2xy＝2xy(2x－3y)；
(3)x(a－b)3(a＋b)－y(b－a)3＝(a－b)3[x(a＋b)－y]．
导引：(1)中括号内的多项式还有公因式，没有分解完；(2)中
漏掉了商是“1”的项；(3)中(a－b)3与(b－a)3是不同的，
符号相反，另外中括号内没有化简．知2－讲解：(1)不正确，理由：公因式没有提完全；正确的是：3x2y－
9xy2＝3xy(x－3y)．
(2)不正确，理由：提取公因式后剩下的因式中有常数项
“1”；正确的是：4x2y－6xy2＋2xy＝2xy(2x－3y＋1)．
(3)不正确，理由：(a－b)3与(b－a)3不一样，应先统一，
且因式是多项式时要最简；正确的是：x(a－b)3(a＋b)－
y(b－a)3＝x(a－b)3(a＋b)＋(a－b)3y＝(a－b)3[x(a＋b)＋y]
＝(a－b)3(ax＋bx＋y)．知2－讲知2－讲提公因式法分解因式，要注意分解彻底；当某项恰好
是公因式时，提取公因式后要用“1”把守；出现形如
(b－a)3，(b－a)2等形式的问题，可化成－(a－b)3，(a
－b)2的形式，即指数是奇数时要改变符号，指数是
偶数时不改变符号，简言之：奇变偶不变．例4 用提公因式法将下列各式分解因式：
(1)4x2y3＋8x2y2z－12xy2z；(2)－a2b3c＋2ab2c3－ab2c；
(3)5x(x－2y)3－20y(2y－x)3.
导引：运用提公因式法分解因式的第一步是确定公因式，公因
式可以是单项式，也可以是多项式；第二步是提取公因
式，其中(2)题应先提出“－”号，(3)题可把(2y－x)3化为
－(x－2y)3.
解：(1)原式＝4xy2(xy＋2xz－3z)；
(2)原式＝－(a2b3c－2ab2c3＋ab2c)＝－ab2c(ab－2c2＋1)；
(3)原式＝5x(x－2y)3＋20y(x－2y)3＝5(x－2y)3(x＋4y)．知2－讲知2－讲准确地找出公因式是分解因式的关键，(3)题将(x－
2y)3和(2y－x)3化成同底数幂时，要注意符号的变化．将3a(x － y)－b(x－y)用提公因式法分解因式，应提取的公因式是( )
A．3a－b B．3（x－y）
C．x－y D． 3a+b
2 (中考·自贡)把a2－4a分解因式，结果正确的是( )
A．a(a－4) B． (a＋2) (a－2)
C．a(a＋2) (a－2) D．(a－2)2－4知2－练公因式的确定方法：(1)系数：取各项系数的最大公
约数；(2)字母：取各项都含有的字母；(3)指数：取
相同字母的最低次数．公因式可以是单项式，包括
单独的一个数，一个字母，也可以是多项式．
注意：分解因式时，第一项的系数是负数时可先提
“－”号，当公因式与多项式某一项相同时，提公因
式后剩余项为1，注意不要漏项． 谢谢！
课件17张PPT。第12章 整式的乘除12.5 因式分解第3课时
公式法——平方差公式1课堂讲解直接用平方差公式分解因式
先整理再用平方差公式分解因式 2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升1知识点直接用平方差公式分解因式a2–b2=____________.知1－导(a+b)(a-b) 平方差公式法：
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积．
即：a2－b2＝(a＋b)(a－b)．
要点精析：
1. 因式分解中的平方差公式 是乘法公式中的平方差公式逆用的形式 .
2. 乘法公式中的平方差指的是符合两数和与两数差的积的条件后，结果写成平方差；而因式分解中的平方差公式指的是能写成平 方差形式的多项式，可以 分解成两个数的和乘以这 两个数的差 .知1－讲 平方差公式的特点：
（1）等号的左边是一个二项式，各项都是平方的形式且符号相
反；
（2）等号的右边是两个二项式的积，其中一个二项式是两个数
的和， 另一个二项式是这两个数的差.知1－讲 运用平方差公式分解因式的步骤：
一判：根据平方差公式的特点，判断是否为平方差，若负平方
项在前面， 利用加法的交换律把负平方项交换放在后面.
二定：确定公式中的a和b，除a和b是单独一个数或字母外，其
余 不管是单项式还是多项式都必须用括号括起来，表示
一个整体.
三套：套用平方差公式进行分解.
四整理：将每个因式去括号，合并同类项化成最简的.知1－讲例1 把多项式分解因式： 25x2-16y2.
解：25x2-16y2
=(5x)2 - (4y)2
=(5x+4y)(5x - 4y).
知1－讲?知1－讲?知1－讲解：知1－讲(1)运用平方差公式法分解因式的关键是确定公式法
中的a和b，再运用公式法进行因式分解；对于有
公因式的多项式，需要先提取公因式后再用平方
差公式法分解因式，同时分解因式要进行到每一
个因式都不能再分解为止．
(2)注意：运用平方差公式法分解因式，最后的结果
除了要求不能再分解因式外，还要注意使每个因
式最简．1 下列各式中，可用平方差公式分解因式的有( )
①－a2－b2；②16x2－9y2；③(－a)2－(－b)2；
④－121m2＋225n2；⑤(6x)2－9(2y)2.
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
2 (中考·仙桃)将(a－1)2－1分解因式，结果正确的是( )
A．a(a－1) B．a(a－2)
C．(a－2)(a－1) D．(a－2)(a＋1)
若n为任意整数，(n＋11)2－n2的值总可以被k整除，则k
等于( )
A．11 B．22 C．11或22 D．11的倍数知1－练2知识点先整理再用平方差公式分解因式知2－讲用平方差公式法分解因式时，若多项式有公因式，
要先提取公因式，再用平方差公式法分解因式．知2－讲例3 把多项式分解因式： 3x3-12xy2.
解： 3x3-12xy2
=3x(x2-4y2)
=3x[x2-(2y)2]
=3x(x+2y) (x-2y). 例4 若a为正整数，试说明：(2a＋1)2－1能被8整除．
导引：先利用因式分解化为积的形式，再说明是否是8的倍数．
解：(2a＋1)2－1
＝(2a＋1＋1)(2a＋1－1)
＝2a(2a＋2)
＝4a(a＋1)．
因为a为正整数，所以a，a＋1为相邻的两个正整数，其中必有
一个偶数，从而有一个为2的倍数，故4a(a＋1)为8的倍数．
故(2a＋1)2－1能被8整除．知2－讲1 (中考·广东)把x3－9x分解因式，结果正确的是( )
A．x(x2－9) B．x(x－3)2
C．x(x＋3)2 D．x(x＋3)(x－3)
(中考·台州)把多项式2x2－8分解因式，结果正确的
是( )
A．2(x2－8) B．2(x－2)2
C．2(x＋2)(x－2) D．2x知2－练应用平方差公式分解因式的注意事项：
(1)等号左边：
①等号左边应是二项式；
②每一项都可以表示成平方的形式；
③两项的符号相反．
(2)等号右边是等号左边两底数的和与这两底数的差的积．完成教材P45 T2（3）（4）
课件20张PPT。第12章 整式的乘除12.5 因式分解第4课时
公式法——完全平方公式1课堂讲解完全平方式的特征
用完全平方公式分解因式
先提公因式再用完全平方公式分解因式 2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升1知识点完全平方式的特征完全平方式：形如a2±2ab＋b2的式子叫做完全平方式．
完全平方式的条件： （1）多项式是二次三项式.
（2）首末两项是两个数（或式子）的平方且符号相同，中间项是这两 个数（或式子）的积的 2 倍，符号可以是“+”，也可以是“-”. 知1－讲例1 将多项式x4＋4加上一个整式，使它成为完全平方式，
请写出满足上面条件的三个整式．
导引：添加的整式可以从中间项考虑或尾项考虑或首项考虑
进行添加，使添加后的多项式成为完全平方式即可．
解：添加中间项可得，x4＋4x2＋4，x4－4x2＋4是完全平方式；
添加尾项可得，x4＋4－4是完全平方式；
添加首项可得，－x4＋x4＋4， x8＋x4＋4是完全平方式；
因此，满足条件的整式有许多，可在＋4x2，－4x2，－4，
－x4， x8中任写三个就行．知1－讲?1 (中考·龙岩)下列各式中能用完全平方公式进行因式
分解的是( )
A．x2＋x＋1 B．x2＋2x－1
C．x2－1 D．x2－6x＋9
2 已知4x2＋mx＋36是完全平方式，则m的值为( )
A．8 B．±8 C．24 D．±24
给多项式x8＋4加上一个单项式，使其成为一个完全
平方式，则加上的单项式是：____________．(写出一个即可)知1－练2知识点直接用完全平方公式分解因式知2－导a2+2ab+b2=_________.(a+b)2知2－讲完全平方公式法：
两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这
两个数的和(或差)的平方．
即：a2±2ab＋b2＝(a±b)2.知2－讲要点精析：
1. 因式分解中的完全平方公 式是整式乘法中的完全平 方公式的逆用 .
2. 结果是和的平方还是差 的平方由乘积项的符号确 定，乘积项的符号可以是 “+”，也可以是“-”， 而两个平方项的符号必须 相同，否则就不是完全平 方式，因此也不能用完全 平方公式进行因式分解 .
3. 用完全平方公式分解因 式时，若多项式各项有公 因式，要先提取公因式， 再用完全平方公式分解 因式 .
拓展：完全平方公式法中的字母a，b可以是一个单项式或
一个多项式．知2－讲完全平方公式的特点：等号左边是一个完全平方式，右边是这两个数的 和（或差）的平方.
因式分解的一般步骤：
（1）当多项式有公因式时，先提取公因式；当多项式没有
公因式时（或提取公因式后），若符合平方差公式或完全平方公式，就利用公式法分解因式；
（2）当不能直接提取公因式或不能用公式法分解因式时，可根据多项式的特点，把其变形为能提取公因式或能用公式法的形式，再分解因式；
（3）当乘积中每一个因式都不能再分解时，因式分解就结束了.知2－讲 例2 把多项式分解因式： x2+4xy+4y2.
解： x2+4x y+4y2
=x2+2 ? x ? 2y + (2y)2
=(x +2y)2.?知2－讲?知2－讲1 因式分解4－4a＋a2，正确的结果是( )
A．4(1－a)＋a2 B．(2－a)2
C．(2－a)(2＋a) D．(2＋a)2
2 把2xy－x2－y2因式分解，结果正确的是( )
A．(x－y)2 B．(－x－y)2
C．－(x－y)2 D．－(x＋y)2知2－练3知识点先提公因式再用完全平方公式分解因式知3－讲用完全平方公式法分解因式时，若多项式中
各项有公因式，要先提取公因式，再用完全
平方公式法分解因式．知3－讲例4 把多项式分解因式： 4x3y-4x2y2+xy3.
解： 4x3y-4x2y2+xy3
=xy(4x2-4xy+y2)
=xy(2x -y)2.例5 已知a－2b＝ ，ab＝2，求－a4b2＋4a3b3－
4a2b4的值．
导引：利用完全平方公式法将－a4b2＋4a3b3－4a2b4分
解因式，再把条件代入可求值．
解：依题意，得：
原式＝－a2b2(a2－4ab＋4b2)＝－(ab)2(a－2b)2；
当a－2b＝ ，ab＝2时，
原式＝－22× ＝－4× ＝－1.知2－讲1 (中考·毕节)下列因式分解正确的是( )
A．a4b－6a3b＋9a2b＝a2b(a2－6a＋9)
B．x2－x＋
C．x2－2x＋4＝(x－2)2
D．4x2－y2＝(4x＋y)(4x－y)
(中考·宜宾)把代数式3x3－12x2＋12x分解因式，
结果正确的是( )
A．3x(x2－4x＋4) B．3x(x－4)2
C．3x(x＋2)·(x－2) D．3x(x－2)2知2－练因式分解的一般方法：
(1)先观察多项式各项是否有公因式，有公因式的要先
提公因式．
(2)当多项式各项没有公因式时，观察多项式是否符合
平方差公式或完全平方公式的特征，若符合则利用
公式法分解．
(3)当用上述方法不能直接分解时，可将其适当地变形
整理，再进行分解．
(4)每个因式必须分解到不能再继续分解为止．完成教材P45 T2（5）
谢谢！
