课件30张PPT。第二章 二次根式2.7 二次根式第1课时
二次根式及其性质1课堂讲解二次根式的定义
二次根式的性质
最简二次根式2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升 观察下列代数式：
可以发现，这些式子我们在前面都已学习过，它们的
共同特征是：都含有开平方运算，并且被开方数都是非负
数.1知识点二次根式的定义知1－讲 形如 (a≥0)的式子叫做二次根式．
其中a为整式或分式，a叫做被开方式．
特点：①都是形如 的式子，
②a都是非负数.知1－讲例1 判断下列各式是否为二次根式，并说明理由． 导引： 判断一个式子是不是二次根式，实质是看它是否具备二次根
式定义的条件，紧扣定义进行识别．
解：(1) 不是．理由：因为 的根指数是3，所以 不是二次根
式．
(2) 是．理由：因为不论x为何值，都有x2＋1＞0，且 的
根指数为2，所以 是二次根式．知1－讲(3) 不一定是．理由：当－5a≥0，即a≤0时， 是二次
根式；当a＞0时，－5a＜0，则 不是二次根式．
所以 不一定是二次根式．
(4) 不是．理由： (a≥0)只能称为含有二次根式的代
数式，不能称为二次根式．知1－讲(5)不一定是．理由：当a＝4，即a－4＝0时， 是二次根式；
当a≠4时，－(a－4)2＜0，所以 不是二次根式．所以
不一定是二次根式．
(6)是．理由：因为x2＋2x＋2＝x2＋2x＋1＋1＝(x＋1)2＋1＞0，且
的根指数为2，所以 是二次根式．
(7)是．理由：因为|x|≥0，且 的根指数为2，所以 是二次根式．知1－讲二次根式是在初始的外在形式上定义的，不能从化
简结果上判断，如 是二次根式.
像 （a≥0）这样的式子只能称为含有二次根式
的式子，不能称为二次根式.知1－讲 例2 当x取怎样的数时，下列各式在实数范围内有意义？
导引： 要使二次根式有意义，则被开方数是非负数．
解：(1) 欲使 有意义，则必有2x－6≥0且x
－5≠0，所以x≥3且 x≠5.
(2) 欲使 有意义，则必有x－2≥0且5
－x≥0，所以2≤x≤5.知1－讲求式子有意义时字母的取值范围的方法：
第一步，明确式子有意义的条件，对于单个的二次根
式只需满足被开方数为非负数；对于含有多个二次
根式的，则必须满足多个被开方数同时为非负数；
对于零指数，则必须满足底数不能为零．
第二步，利用式子中所有有意义的条件，建立不等关
系．第三步，由不等关系得出字母的取值范围．1下列式子一定是二次根式的是( )
(中考·武汉)若代数式 在实数范围内有意义，
则x的取值范围是( )
A．x≥－2 B．x>－2 C．x≥2 D．x≤2知1－练2CC2知识点二次根式的性质知2－导做一做
（1）计算下列各式，你能得到什么猜想？
（2）根据上面的猜想，估计下面每组两个式子是否相等，借
助计算器验证，并与同伴进行交流.知识点知2－讲 二次根式的性质：
积的算术平方根，等于________________;
商的算术平方根，等于________________;算术平方根的积算术平方根的商知识点知2－讲例3 化简：解：知识点知2－讲 例4 〈易错题〉化简：
导引：紧扣积的算术平方根的性质进行化简 .知识点知2－讲解：知识点知2－讲商的算术平方根再探索
(1)商的算术平方根的性质的实质是逆用二次根式的除法
法则；
(2)应用商的算术平方根的前提条件是商中被除式是非负
数，除式是正数；
(3)商的算术平方根的性质的作用是化简二次根式，将分
母中的根号化去．知识点知2－讲分母有理化
(1)定义：化去分母中根号的变形叫做分母有理化；
(2)依据：分式的基本性质及 (a≥0)；
(3)方法：将分子和分母都乘分母的有理化因式．1(中考·荆门)当1＜a＜2时，代数式
的值是( )
A．－1 B．1
C．2a－3 D．3－2a知2－练B下列结果正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个知2－练2C3知识点最简二次根式知3－讲1.定义：一般地，被开方数不含分母，也不含能开得
尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二
次根式．
最简二次根式必须满足：
(1)被开方数不含分母；
(2)被开方数中不能含开的尽方的因数或因式.知识点知3－讲2．二次根式化简成最简二次根式的步骤：
(1) “一分”，即利用因数(式)分解的方法把被开方
数的分子、分母都化成质因数(式)的幂的乘积形
式；
(2) “二移”， 即把能开得尽方的因数(式)用它的算
术平方根代替，移到根号外，其中把根号内的分
母中的因式移到根号外时，要注意应写在分母的
位置上；
(3) “三化”，即化去被开方数中的分母．知识点知3－讲 例5 下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是最简二次根
式？不是最简二次根式的，请说明理由．
解： (1)不是最简二次根式，因为被开方数中含有分母．
(2)是最简二次根式．
(3)不是最简二次根式，因为被开方数是小数．
(4)不是最简二次根式，因为被开方数24x中含有能开得尽方的
因数4，4＝22.
(5)不是最简二次根式，因为x3＋6x2＋9x＝x(x2＋6x＋9)＝x(x
＋3)2，被开方数中含有能开得尽方的因式．
(6)不是最简二次根式，因为分母中有二次根式．
综上，只有(2)是最简二次根式.知3－讲判断最简二次根式有两大思维误区：
(1)被开方数不含分母而不是式子不含分母，如
中含有分母但 是最简二次根式；
(2)被开方数不能含有能开得尽方的因数或因式，
如 是最简二次根式．知识点知3－讲例6 化简：若被开方数是小数，则先将其化为分数，再化简．解： 导引：知3－讲被开方数是数的二次根式的化简技巧：
(1)当被开方数是整数时，应先将它分解因数；
(2)当被开方数是小数或带分数时，应先将小数化
成分数或带分数化成假分数的形式；
(3)当被开方数是整数或分数的和差时，应先将这
个和差的结果求出．1(中考·淮安)下列式子为最简二次根式的是( )
在下列根式中，不是最简二次根式的是( )知3－练2AD当a≥0时，
当a≥0时，
3.完成教材P43,习题T1-T4
谢谢！课件18张PPT。第二章 二次根式2.7 二次根式第2课时 二次根式的乘除1课堂讲解二次根式的乘法
二次根式的除法2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升1.什么叫二次根式？回顾旧知式子 (a≥0)叫做二次根式.2.两个基本性质：1知识点二次根式的乘法二次根式的乘法法则：两个二次根式相乘，把被开
方数相乘，根指数不变；
即：知1－讲知1－讲例1 计算： 紧扣二次根式乘法法则进行计算．导引：知1－讲解：知1－讲(1) 二次根式相乘，被开方数的积中有开得尽方的因数
或因式一定要开方；
(2)当二次根式根号外有因数(式)时，可类比单项式乘
单项式的法则进行运算，即将根号外因数(式)之积
作为积的根号外因数(式)，被开方数之积作为积的
被开方数，即 (b≥0，d≥0).知1－讲例2 化简：解：(1)方法一： 方法二：知1－讲(中考·新疆)下列运算结果，错误的是( )知1－练1C2知识点二次根式的除法知2－讲 二次根式的除法法则：两个二次根式相除，把
被开方数相除，根指数不变，
即： 知识点知2－讲例3 计算：导引：紧扣二次根式除法法则进行计算．解：知2－讲 的运算方法：
1. 当a 是b 的倍数或a，b 为分数时，常先利用 计算；
2. 当 ， 中的被开方数含有完全平方的因数（式） 时，常
先将完全平方的因数（式）“开方”出来， 再进行除法运
算；
3. 当根号前含有系数时，根号前的系数与系数对应相除，根号
内的被开方数与被开方数对应相除，再把除得的结果相乘．1下列计算正确的是( )知2－练B如果ab>0，a＋b<0，那么下面各式：
其中正确的是( )
A．①② B．②③
C．①③ D．①②③知2－练2B通过本节课的学习，你有哪些收获？与同伴交流.完成教材P43,习题2.9T1
谢谢！课件18张PPT。第二章 二次根式2.7 二次根式第3课时 二次根式的加减1课堂讲解被开方数相同的最简二次根式
二次根式的加减2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升二次根式计算、化简的结果符合什么要求？
(1)被开方数不含分母；分母不含根号；
(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.回顾旧知1知识点被开方数相同的最简二次根式知1－导 一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化
成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行
合并.可合并的二次根式的条件：
(1)最简二次根式；
(2)被开方数相同．
要点精析：
(1) 可合并的二次根式必须同时满足：最简二次根式和被
开方数相同这两个条件，它与根号前面的数字因数无
关；
(2)“被开方数相同的最简二次根式”在习惯上及相关课外
读物上都称为“同类二次根式”．知1－讲导引：首先把选项中每个根式化成最简二次根式，然后
找出被开方数不是3的二次根式．即例1 〈凉山州〉下列根式中，不能与 合并的是( )
A. B. C. D.知1－讲C知1－讲 判断两个二次根式是否能合并，应先把二次根式
化为最简二次根式，然后判断被开方数是否相同，相
同就能合并，否则不能合并．1 (2018·曲靖) 下列二次根式中能与 合并的
是( )
A. B. C. D.知1－练B2知识点二次根式的加减知2－讲二次根式的加减法则：二次根式加减时，先将
二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相
同的二次根式进行合并．
即：m ＋n ＝(m＋n) .知2－讲2．二次根式加减运算的步骤：
(1)“化”：将每个二次根式化成最简二次根式；
(2)“找”：找出被开方数相同的最简二次根式；
(3)“并”：将被开方数相同的最简二次根式合并
成一项．
3．整式加减运算中的交换律、结合律、去括号法
则、添括号法则在二次根式运算中仍然适用．知识点知2－讲例2 计算：
解：
知识点知2－讲例3 计算：解:知识点知2－讲例4 计算： 导引：题目中的每个二次根式都不是最简二次根式，因此应按化
简、去括号、合并的步骤进行．解：知2－讲二次根式加减运算的技巧：
(1)将每个二次根式都化为最简二次根式，若被开方数
中含有带分数，则要先化成假分数；若含有小数，
则要化成分数，进而化为最简二次根式；
(2)原式中若有括号，要先去括号，再应用加法交换律、
结合律将被开方数相同的二次根式进行合并．1(中考·潜江)下列各式计算正确的是( )知2－练D二次根式加减运算的步骤：
(1) “化”，将每个二次根式都化成最简二次根式；
(2) “找”，找出被开方数相同的最简二次根式；
(3) “并”，将被开方数相同的最简二次根式合并
成一项．完成教材P45-46,习题T1-T4
谢谢！
