人教版八年级下册数学 16.1二次根式概念及性质课件(2课时 共72张PPT)

(共72张PPT)

二次根式的概念及性质（第一课时）
初二年级 数学

一、引入概念
二次根式

整式、分式

字母表示数

数式通性


运算 数与字母运算 定义
加/减
乘
除
乘方
开方
单项式
多项式

整式
一般地,如果A , B表示两个整式,并且
B中含有字母,那么式子
叫做分式（fraction）.
分式定义


运算 数与字母运算 定义
加/减
乘
除
乘方
开方
单项式
多项式

整式
？
分式
（分母含字母）
电视塔越高,从塔顶发射出的电磁波传播得越远,从而能收看到电视节目的区域就越广.电视塔高h（单位:km）与电视节目信号的传播半径r（单位:km ）之间存在近似关系r＝
其中R是地球半径, R≈6400km .
实际应用
汽车刹车时的速度v与汽车刹车后滑行的距离S之间存在关系 .其中, g是常数9.8 , μ是摩擦系数.

在解决交通肇事问题时,可以通过测量刹车后车轮滑过的距离计算车辆行驶的速度.
实际应用
爱因斯坦的相对论家喻户晓.它是关于时空和引力的理论.根据爱因斯坦的相对论, 地球上的1秒钟,宇宙飞船内只经过 秒.
其中, v是宇宙飞船的速度,
c是光速(约每秒30万千米) .
实际应用
一元二次方程的
求根公式:
直角三角形的斜边



a
b
c
数学应用
二、抽象概念
算术平方根：
一般地,如果一个正数x的平方等于a, 即x2=a , 那么这个正数x叫做a的算术平方根 .
规定：0的算术平方根是0 .
被开方数
二次根号


一般地, 我们把形如 的式子
叫做二次根式.
二次根式：
①含有二次根号.
②a可以是数,也可以是含字母的式子.
注意：
想一想

在二次根式的定义中,为什么要求“a≥0”？
“数式通性”：负数没有算术平方根.
若a是常数,则a为非负数；
若a是式子,则式子的值是非负的.
反过来：
当a > 0时, 0；
当a = 0时, 0.
=
想一想
二次根式的双重非负性：
归纳
如5 ,
它们都是用基本运算符号(基本运算包括加、减、
乘、除、乘方和开方)把数或表示数的字母连接起
来的式子,我们称这样的式子为代数式.

(1)下列式子一定是二次根式的是 (　 ) .
（A）
（B）
（C）
（D）
例1 根据二次根式定义进行判断
C

(2)当x是怎样的实数时,下列各式在实数范围内有意义？
例1 根据二次根式定义进行判断

解：
解：
例1 根据二次根式定义进行判断


解：
解：
(2)当x是怎样的实数时,下列各式在实数范围内有意义？
例1 根据二次根式定义进行判断



解：
解：
(2)当x是怎样的实数时,下列各式在实数范围内有意义？




例1 根据二次根式定义进行判断
解：
解：
(2)当x是怎样的实数时,下列各式在实数范围内有意义？
总结：求使代数式有意义的字母取值范围的条件：
1.
二次根式型： 被开方数≥0；
2.
分式型： 分母 0 ；
3.
零指数幂型： 底数 0 ；
4. 复合型：
各部分取值范围的公共部分.
例2 二次根式双重非负性的应用
（1）当x取何值时, 的值最小,
最小值是多少？
≥0
0
解：
的值最小.
即当 时, 的值最小,
最小值是3.
,
当 时,
例2 二次根式双重非负性的应用
（2）若 , 则a+b?c= .
分析：

0 + 0 = 0
≥0
≥0
≥0
0 + 0 + 0 = 0
a =?2 , b=3 , c=?4.

a +b?c=5.
5
总结：二次根式的双重非负性
1. 二次根式的最小值为0；
2.常见的具有非负性的式子有：

若 , 则a=b=c=0.
(1)若 是正整数, 则n的最大整数值是 .
例3 二次根式双重非负性的应用
n取最大整数

完全平方数
正整数
10-n是非0的
最小的完全平方数
分析：
9
10-n =1
(2)已知a满足 ,
则 .
例3 二次根式双重非负性的应用
例3 二次根式双重非负性的应用

分析：
(2)已知a满足 ,
则 .
例3 二次根式双重非负性的应用
2021
分析：
例4 二次根式双重非负性的应用
已知：a与b为等腰三角形的两边长,且满足等式
求这个等腰三角形的周长.
分析：
(舍)
例4 二次根式双重非负性的应用
解：由题意可得
解得
a ,b为等腰三角形的两边长,
2+2=4(舍) ,
等腰三角形周长为4+4+2=10.
三边为2,2,4或4,4,2.
提升练习
1.下列式子中是二次根式的有(　 ) .
①
；②
；③
④
⑤ .
(m＞2)；
；
④ ⑤



提升练习
x 不可以取3的是( ) .
(A) 只有① (B) 只有② (C) ①和② (D) ①和③
C
2.在下列式子：①
, ②(x－3)0, ③
中,
归纳小结
1.二次根式的定义
形如 （a≥0）的式子叫做二次根式.
2.二次根式的性质
（1）双重非负性：
.
作业
1.当a是怎样的实数时,下列各式在实数范围内有意义？
2.当x是怎样的实数时,下列各式在实数范围内有意义？
3.(1)已知 是整数,求自然数n所有可能的值;
(2)已知 是整数,求正整数n的最小值.
祝同学们越来越优秀！

二次根式的概念及性质（第二课时）
初二年级 数学

复习回顾
1.二次根式的定义
形如 （a≥0）的式子叫做二次根式.
2.二次根式的性质
（1）双重非负性：
.
乘方 开方

互逆
乘 除

互逆
加 减

互逆
猜想：
规律探究

验证猜想：
猜想2:
猜想1:
算术平方根的定义：如果一个正数x的平方等于a, 即x2=a,
那么这个正数x叫做a的算术平方根. 0的算术平方根是0.

是4的算术平方根,因此它的平方等于4, 即 ;
4
验证猜想1：

4

2
0
是4的算术平方根,因此它的平方等于4 , 即 ;
是2的算术平方根,因此它的平方等于2 , 即 ;
是 的算术平方根,因此它的平方等于 , 即 ;
是0的算术平方根,因此它的平方等于0 , 即
.
验证猜想1：
是a的算术平方根,因此它的平方等于a ,即
4
2
0
验证猜想1：

是4的算术平方根,因此它的平方等于4 , 即 ;…
1.双重非负性：
2.
二次根式性质：
验证猜想：
猜想2:
猜想1:
验证猜想：
猜想2:
二次根式性质2:
2
0.1
0

是一个非负数,它的平方等于 所以

是一个非负数,它的平方等于 所以

是一个非负数,它的平方等于 所以
是一个非负数,它的平方等于 ,所以
验证猜想2：
2
0.1
0
是一个非负数,它的平方等于
验证猜想2：

是一个非负数,它的平方等于 所以
验证猜想2：


不成立.
反例：

是一个非负数,它的平方等于 所以
2
0.1
2
0.1
0
是一个非负数,它的平方等于
验证猜想2：

是一个非负数,它的平方等于 所以
2
0.1
0
验证猜想2：

是一个非负数,它的平方等于 所以
2
0.1
0
是一个非负数,它的平方等于
验证猜想2：

是一个非负数,它的平方等于 所以



2
0.1
0
是一个非负数,它的平方等于 ,所以
验证猜想2：

是一个非负数,它的平方等于 所以
2
0.1
0
验证猜想2：

是一个非负数,它的平方等于 所以
1.双重非负性：
2.
3.
二次根式性质：
验证猜想：
二次根式性质2:
二次根式性质3:


性质
含义
a的取值
运算结果
a为任意实数
一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值
一个非负数算术平方根的平方等于它本身
运用性质
例1 运用性质进行计算
（1）
运用 进行计算.
运用性质
（2）
例1 运用性质进行计算

运用 进行计算.
运用性质
（2）
例1 运用性质进行计算
运用 进行计算.
运用性质
若
, 则a的取值范围是（ ）.
（B）
（C）
（D）
（A）
D
法1：
法2：
例1 运用性质进行计算
（3）
运用性质
（1）判断下列等式是否成立：




例2 性质运用的辨析
运用性质
（2）对于题目：化简并求值：
其中 .
乙的解答如下：
甲的解答如下：
例2 性质运用的辨析
乙的解答：
甲的解答：


逆用性质


逆用性质

任意一个非负数都能写成平方的形式.
一个非负数算术平方根的平方等于它本身.
逆用性质

任意一个非负数都能化成二次根式的形式.
一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值.
任意一个非负数都能化成平方的形式.
任意一个非负数都能化成二次根式的形式.
逆用性质


归纳小结
1. 二次根式的定义：
形如 （a≥0）的式子.
2. 二次根式的性质
（1）双重非负性：
（2）
（3）
作业
1.计算：
2.把下列非负数分别写成一个非负数的平方的形式：
3.一个圆柱体的高为10 ,体积为V.求它的底面半径r(用含V的
代数式表示),并分别求当V ＝5π , 10π和20π时 ,
底面半径r的大小.
祝同学们越来越优秀！