第7讲 分式方程
重难点1 由分式方程解的情况确定字母的值或取值范围
(中考黑龙江)已知关于x的分式方程＝1的解是负数，则m的取值范围是(D)
A．m≤3 B．m≤3且m≠2 C．m＜3 D．m＜3且m≠2
【思路点拨】 直接解方程得x，再利用x＜0且x≠－1求出答案．
1．已知分式方程的解，求方程中字母的值，只需要将方程的解直接代入方程中计算即可．
2．已知分式方程解的范围，求方程中字母的取值范围问题，需要先用字母表示出分式方程的解，再代入解的范围，从而确定字母，但要特别注意隐含条件分式的分母不能为0.
3．分式方程无解，需分两种情况讨论：①分式方程去分母整理后出现形如ax＝b时，当a＝0且b≠0时，方程无解，所以分式方程无解；②去分母后的整式方程有解，但整式方程的解使最简公分母为0，所以分式方程无解．Ｋ
【变式训练1】 若关于x的方程＝＋1无解，则a的值是1或2．
重难点2 分式方程的应用
(中考威海)某自动化车间计划生产480个零件，当生产任务完成一半时，停止生产进行自动化程序软件升级，用时20分钟，恢复生产后工作效率比原来提高了，结果完成任务时比原计划提前了40分钟，求软件升级后每小时生产多少个零件？
【思路点拨】 设软件升级前每小时生产x个零件，则软件升级后每小时生产(1＋)x个零件，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合软件升级后节省的时间，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【自主解答】解：设软件升级前每小时生产x个零件，则软件升级后每小时生产(1＋)x个零件，根据题意，得
－＝＋，解得x＝60.
经检验，x＝60是原方程的解，且符合题意．
∴(1＋)x＝80.
答：软件升级后每小时生产80个零件．
列分式方程解决实际问题的关键是找到等量关系，恰当地设出未知数，列出方程．
利用分式方程解应用题一定要注意检验，找出符合实际情况的答案．
【变式训练2】 (中考东营)小明和小刚相约周末到雪莲大剧院看演出，他们的家分别距离剧院1 200 m和2 000 m，两人分别从家中同时出发，已知小明和小刚的速度比是3∶4，结果小明比小刚提前4 min到达剧院．求两人的速度．
解：设小明的速度为3x m/min，则小刚的速度为4x m/min，根据题意，得
－＝4，解得x＝25.
经检验，x＝25是分式方程的根，且符合题意．
∴3x＝75，4x＝100.
答：小明的速度是75 m/min，小刚的速度是100 m/min.
(中考随州，6分)解分式方程：＋1＝.
解：原方程可化为：3＋x2－x＝x2. 2分
解得x＝3. 4分
检验：当x＝3时，x(x－1)＝6≠0， 5分
∴x＝3是原方程的解. 6分
考点1 分式方程及其解法
1．(中考河南)解分式方程－2＝，去分母，得(A)
A．1－2(x－1)＝－3 B．1－2(x－1)＝3 C．1－2x－2＝－3 D．1－2x＋2＝3
2．(中考海南)分式方程＝0的解是(B)
A．x＝－1 B．x＝1 C．x＝±1 D．无解
3．(中考哈尔滨)分式方程＝的解为(D)
A．x＝－1 B．x＝0 C．x＝ D．x＝1
4．(中考张家界)若关于x的分式方程＝1的解为x＝2，则m的值为(B)
A．5 B．4 C．3 D．2
5．(中考成都)分式方程＋＝1的解是(A)
A．x＝1 B．x＝－1 C．x＝3 D．x＝－3
6．(中考株洲)关于x的分式方程＋＝0的解为x＝4，则常数a的值为(D)
A．1 B．2 C．4 D．10
7．(中考聊城)如果解关于x的分式方程－＝1时出现增根，那么m的值为(D)
A．－2 B．2 C．4 D．－4
8．(中考眉山)已知关于x的分式方程－2＝有一个正数解，则k的取值范围为k＜6且k≠3．
9．解分式方程：
(1)＝1－；
解：去分母，得2x＝x－2＋1.
移项、合并同类项，得x＝－1.
经检验，x＝－1是分式方程的解．
(2)＋＝1.
解：去分母，得x2＋2x＋1－4＝x2－1.
解得x＝1.
经检验，x＝1是增根．
所以分式方程无解．
考点2 分式方程的应用
10．(中考昆明)甲、乙两船从相距300 km的A，B两地同时出发相向而行，甲船从A地顺流航行180 km时与从B地逆流航行的乙船相遇，水流的速度为6 km/h.若甲、乙两船在静水中的速度均为x km/h，则求两船在静水中的速度，可列方程为(A)
A.＝ B.＝ C.＝ D.＝
11．(中考衡阳)衡阳市某生态示范园计划种植一批梨树，原计划总产值30万千克，为了满足市场需求，现决定改良梨树品种，改良后平均每亩产量是原来的1.5倍，总产量比原计划增加了6万千克，种植亩数减少了10亩，则原来平均每亩产量是多少万千克？设原来平均每亩产量为x万千克，根据题意，列方程为(A)
A.－＝10 B.－＝10 C.－＝10 D.＋＝10
12．(中考临沂)新能源汽车环保节能，越来越受到消费者的喜爱．各种品牌相继投放市场．一汽贸公司经销某品牌新能源汽车．去年销售总额为5 000万元，今年1～5月，每辆车的销售价格比去年降低1万元．销售数量与去年一整年的相同．销售总额比去年一整年的少20%，今年1～5月每辆车的销售价格是多少万元？设今年1～5月每辆车的销售价格为x万元．根据题意，列方程正确的是(A)
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
13．(中考岳阳)为落实党中央“长江大保护”新发展理念，我市持续推进长江岸线保护，还洞庭湖和长江水清岸绿的自然生态原貌．某工程队负责对一面积为33 000平方米的非法砂石码头进行拆除，回填土方和复绿施工，为了缩短工期，该工程队增加了人力和设备，实际工作效率比原计划每天提高了20%，结果提前11天完成任务，求实际平均每天施工多少平方米？
解：设原计划平均每天施工x平方米，则实际平均每天施工1.2x平方米，根据题意，得
－＝11，解得x＝500.
经检验，x＝500是原方程的解．
∴1.2x＝600.
答：实际平均每天施工600平方米．
14．(中考重庆)若数a使关于x的不等式组有且只有四个整数解，且使关于y的方程＋＝2的解为非负数，则符合条件的所有整数a的和为(C)
A．－3 B．－2 C．1 D．2
15．(中考齐齐哈尔)若关于x的方程＋＝无解，则m的值为－1或5或－．
16．(中考玉林)山地自行车越来越受中学生的喜爱．一网店经营的一种型号山地自行车，今年一月份销售额为30 000元，二月份每辆车售价比一月份每辆车售价降价100元．若销售的数量与上一月销售的数量相同，则销售额是27 000元．
(1)求二月份每辆车售价是多少元？
(2)为了促销，三月份每辆车售价比二月份每辆车售价降低了10%，网店仍可获利35%，求每辆山地自行车的进价是多少元？
解：(1)设二月份每辆车售价是x元，则一月份每辆车售价为(x＋100)元，根据题意，得
＝，解得x＝900.
经检验，x＝900是原分式方程的解．
答：二月份每辆车售价是900元．
(2)设每辆山地自行车的进价是y元，
根据题意，得900×(1－10%)－y＝35%y.
解得y＝600.
答：每辆山地自行车的进价是600元．
17．(中考吉林)如图是学习分式方程应用时，老师板书的问题和两名同学所列的方程．
15．3分式方程
甲、乙两个工程队，甲队修路400米与乙队修路600米所用时间相等，乙队每天比甲队多修20米，求甲队每天修路的长度．
冰冰：＝
庆庆：－＝20
根据以上信息，解答下列问题．
(1)冰冰同学所列方程中的x表示甲队每天修路的长度，庆庆同学所列方程中的y表示甲队修路400米所需时间；
(2)两个方程中任选一个，并写出它的等量关系；
(3)解(2)中你所选择的方程，并回答老师提出的问题．
解：(2)冰冰用的等量关系是甲队修路400米所用时间＝乙队修路600米所用时间；
庆庆用的等量关系是乙队每天修路的长度－甲队每天修路的长度＝20米．(选择一个即可)
(3)选冰冰的方程：＝，解得x＝40.
检验：当x＝40时，x，x＋20均不为零．
∴x＝40.
选庆庆的方程：－＝20，解得y＝10.
检验：当y＝10时，分母y不为0.
∴y＝10，则＝40.
答：甲队每天修路的长度为40米．
PAGE
第7讲 分式方程
重难点1 由分式方程解的情况确定字母的值或取值范围
(中考黑龙江)已知关于x的分式方程＝1的解是负数，则m的取值范围是( )
A．m≤3 B．m≤3且m≠2 C．m＜3 D．m＜3且m≠2
【变式训练1】 若关于x的方程＝＋1无解，则a的值是 ．
重难点2 分式方程的应用
(中考威海)某自动化车间计划生产480个零件，当生产任务完成一半时，停止生产进行自动化程序软件升级，用时20分钟，恢复生产后工作效率比原来提高了，结果完成任务时比原计划提前了40分钟，求软件升级后每小时生产多少个零件？
【变式训练2】 (中考东营)小明和小刚相约周末到雪莲大剧院看演出，他们的家分别距离剧院1 200 m和2 000 m，两人分别从家中同时出发，已知小明和小刚的速度比是3∶4，结果小明比小刚提前4 min到达剧院．求两人的速度．
(中考随州，6分)解分式方程：＋1＝.
考点1 分式方程及其解法
1．(中考河南)解分式方程－2＝，去分母，得( )
A．1－2(x－1)＝－3 B．1－2(x－1)＝3 C．1－2x－2＝－3 D．1－2x＋2＝3
2．(中考海南)分式方程＝0的解是( )
A．x＝－1 B．x＝1 C．x＝±1 D．无解
3．(中考哈尔滨)分式方程＝的解为( )
A．x＝－1 B．x＝0 C．x＝ D．x＝1
4．(中考张家界)若关于x的分式方程＝1的解为x＝2，则m的值为( )
A．5 B．4 C．3 D．2
5．(中考成都)分式方程＋＝1的解是( )
A．x＝1 B．x＝－1 C．x＝3 D．x＝－3
6．(中考株洲)关于x的分式方程＋＝0的解为x＝4，则常数a的值为( )
A．1 B．2 C．4 D．10
7．(中考聊城)如果解关于x的分式方程－＝1时出现增根，那么m的值为( )
A．－2 B．2 C．4 D．－4
8．(中考眉山)已知关于x的分式方程－2＝有一个正数解，则k的取值范围为 ．
9．解分式方程：
(1)＝1－；
考点2 分式方程的应用
10．(中考昆明)甲、乙两船从相距300 km的A，B两地同时出发相向而行，甲船从A地顺流航行180 km时与从B地逆流航行的乙船相遇，水流的速度为6 km/h.若甲、乙两船在静水中的速度均为x km/h，则求两船在静水中的速度，可列方程为( )
A.＝ B.＝ C.＝ D.＝
11．(中考衡阳)衡阳市某生态示范园计划种植一批梨树，原计划总产值30万千克，为了满足市场需求，现决定改良梨树品种，改良后平均每亩产量是原来的1.5倍，总产量比原计划增加了6万千克，种植亩数减少了10亩，则原来平均每亩产量是多少万千克？设原来平均每亩产量为x万千克，根据题意，列方程为( )
A.－＝10 B.－＝10 C.－＝10 D.＋＝10
12．(中考临沂)新能源汽车环保节能，越来越受到消费者的喜爱．各种品牌相继投放市场．一汽贸公司经销某品牌新能源汽车．去年销售总额为5 000万元，今年1～5月，每辆车的销售价格比去年降低1万元．销售数量与去年一整年的相同．销售总额比去年一整年的少20%，今年1～5月每辆车的销售价格是多少万元？设今年1～5月每辆车的销售价格为x万元．根据题意，列方程正确的是( )
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
13．(中考岳阳)为落实党中央“长江大保护”新发展理念，我市持续推进长江岸线保护，还洞庭湖和长江水清岸绿的自然生态原貌．某工程队负责对一面积为33 000平方米的非法砂石码头进行拆除，回填土方和复绿施工，为了缩短工期，该工程队增加了人力和设备，实际工作效率比原计划每天提高了20%，结果提前11天完成任务，求实际平均每天施工多少平方米？
14．(中考重庆)若数a使关于x的不等式组有且只有四个整数解，且使关于y的方程＋＝2的解为非负数，则符合条件的所有整数a的和为( )
A．－3 B．－2 C．1 D．2
15．(中考齐齐哈尔)若关于x的方程＋＝无解，则m的值为 ．
16．(中考玉林)山地自行车越来越受中学生的喜爱．一网店经营的一种型号山地自行车，今年一月份销售额为30 000元，二月份每辆车售价比一月份每辆车售价降价100元．若销售的数量与上一月销售的数量相同，则销售额是27 000元．
(1)求二月份每辆车售价是多少元？
(2)为了促销，三月份每辆车售价比二月份每辆车售价降低了10%，网店仍可获利35%，求每辆山地自行车的进价是多少元？
17．(中考吉林)如图是学习分式方程应用时，老师板书的问题和两名同学所列的方程．
15．3分式方程
甲、乙两个工程队，甲队修路400米与乙队修路600米所用时间相等，乙队每天比甲队多修20米，求甲队每天修路的长度．
冰冰：＝
庆庆：－＝20
根据以上信息，解答下列问题．
(1)冰冰同学所列方程中的x表示 ，庆庆同学所列方程中的y表示 ；
(2)两个方程中任选一个，并写出它的等量关系；
(3)解(2)中你所选择的方程，并回答老师提出的问题．
PAGE
