第5讲 一次方程(组)
重难点 一次方程(组)的应用
在元旦期间，某商场计划购进甲、乙两种商品．
(1)已知甲、乙两种商品的进价分别为30元，70元，该商场购进甲、乙两种商品共50件需要2 300元，则该商场购进甲、乙两种商品各多少件？
(2)该商场共投入9 500元资金购进这两种商品若干件，这两种商品的进价和售价如下表所示：
甲 乙
进价(元/件) 30 70
售价(元/件) 50 100
若全部销售完后可获利5 000元(利润＝(售价－进价)×销量)，则该商场购进甲、乙两种商品各多少件？
【思路点拨】 (1)首先找出题目中的等量关系：①甲商品数量＋乙商品数量＝50；②购进甲商品费用＋购进乙商品费用＝2 300.根据题中等量关系，有列一元一次方程和列二元一次方程组两种不同的解法；
(2)首先根据题中等量关系：①商场购进甲商品费用＋商场购进乙商品费用＝9 500；②商场销售甲商品利润＋商场销售乙商品利润＝5 000.然后设该商场购进甲商品a件、乙商品b件，根据题目中等量关系列方程组解答即可．
【自主解答】 解：(1)解法一：(列一元一次方程求解)设该商场购进甲商品x件，则购进乙商品(50－x)件．根据题意，得
30x＋70(50－x)＝2 300.解得x＝30.
则50－x＝50－30＝20.
答：该商场购进甲商品30件，乙商品20件．
解法二：(列二元一次方程组求解)设该商场购进甲商品x件，乙商品y件．根据题意，得
解得
答：该商场购进甲商品30件，乙商品20件．
(2)设该商场购进甲商品a件，乙商品b件．根据题意，得
解得
答：该商场购进甲商品130件，乙商品80件．
1．列方程(组)的关键是寻找等量关系，寻找等量关系常用的方法有：(1)抓住不变量；(2)找关键词；(3)运用常用数量关系和数学公式；(4)根据题目所述情境找；(5)画线段图列表格．
2．在选择是列一元一次方程还是方程组解题时，若题中两个未知量有比较简单的关系，比如倍数关系、差一定或和一定时，可以很方便地用一个变量表示出另一个变量，那我们既可以设一个未知数列一元一次方程求解，也可以设两个未知数列方程组求解．相反，若两个未知量比较独立，关系较复杂，难以简洁地用一个变量表示出另一个变量时，那就设两个未知数列方程组求解．
【变式训练1】 (中考十堰)我国古代数学著作《九章算术》卷七有下列问题：“今有共买物，人出八，盈三：人出七，不足四，问人数、物价几何？”意思是：现在有几个人共同出钱去买件物品，如果每人出8钱，则剩余3钱：如果每人出7钱，则差4钱．问有多少人，物品的价格是多少？设有x人，物品的价格为y元，可列方程(组)为(A)
A. B. C.＝ D.＝
【变式训练2】 (中考青岛改编)5月份，甲、乙两个工厂用水量共为200吨．进入夏季用水高峰期后，两工厂积极响应国家号召，采取节水措施.6月份，甲工厂用水量比5月份减少了15%，乙工厂用水量比5月份减少了10%，两个工厂6月份用水量共为174吨，求两个工厂5月份的用水量各是多少？
解：解法一：设甲工厂5月份用水量为x吨，乙工厂5月份用水量为y吨，根据题意，得
解得
解法二：设甲工厂5月份用水量为x吨，则
(1－15%)x＋(1－10%)(200－x)＝174，解得x＝120.
则200－x＝80.
答：甲工厂5月份用水量为120吨，乙工厂5月份用水量为80吨．
考点1 等式的性质
1．(中考杭州)设x，y，c是实数，下列说法正确的是(B)
A．若x＝y，则x＋c＝y－c
B．若x＝y，则xc＝yc
C．若x＝y，则＝
D．若＝，则2x＝3y
考点2 一元一次方程及其解法
2．(中考南充)如果a＋3＝0，那么a的值是(B)
A．3 B．－3 C. D．－
3．若方程3(2x－2)＝2－3x的解与关于x的方程6－2k＝2(x＋3)的解相同，则k的值为(B)
A. B．－ C. D．－
4．(中考攀枝花)解方程：－＝1.
解：去分母，得3(x－3)－2(2x＋1)＝6.
去括号，得3x－9－4x－2＝6.
移项，得－x＝17.
系数化为1，得x＝－17.
考点3 二元一次方程(组)及其解法
5．(中考北京)方程组的解为(D)
A. B. C. D.
6．已知关于x，y的方程x2m－n－2＋4ym＋n＋1＝6是二元一次方程，则m，n的值为(A)
A．m＝1，n＝－1 B．m＝－1，n＝1
C．m＝，n＝－ D．m＝－，n＝
7．(中考乐山)方程组＝＝x＋y－4的解是(D)
A. B. C. D.
8．(中考桂林)若|3x－2y－1|＋＝0，则x，y的值为(D)
A. B. C. D.
9．(中考淮安)若关于x，y的二元一次方程3x－ay＝1有一个解是则a＝4．
10．(中考随州)已知是关于x，y的二元一次方程组的一组解，则a＋b＝5．
11．(中考包头)若a－3b＝2，3a－b＝6，则b－a的值为－2．
12．(中考武汉)解方程组：
解：②－①，得x＝6.
把x＝6代入①，得y＝4.
则方程组的解为
13．(中考嘉兴)用消元法解方程组时，两位同学的解法如下：
解法一：由①－②，得3x＝3.
解法二：由②得，3x＋(x－3y)＝2.③
把①代入③，得3x＋5＝2.
(1)反思：上述两个解题过程中有无计算错误？若有误，请在错误处打“×”；
(2)请选择一种你喜欢的方法，完成解答．
解：(1)解法一中的解题过程有错误，
由①－②，得3x＝3“×”，
应为由①－②，得－3x＝3.
(2)由①－②，得－3x＝3，解得x＝－1.
把x＝－1代入①，得－1－3y＝5，解得y＝－2.
故原方程组的解是
考点4 一次方程(组)的应用
14．(中考杭州)某次知识竞赛共有20道题，规定：每答对一道题得＋5分，每答错一道题得－2分，不答的题得0分，已知圆圆这次竞赛得了60分，设圆圆答对了x道题，答错了y道题，则(C)
A．x－y＝20 B．x＋y＝20
C．5x－2y＝60 D．5x＋2y＝60
15．(中考泰安)夏季来临，某超市试销A，B两种型号的风扇，两周内共销售30台，销售收入5 300元，A型风扇每台200元，B型风扇每台150元，问A，B两种型号的风扇分别销售了多少台？若设A型风扇销售了x台，B型风扇销售了y台，则根据题意列出方程组为(C)
A. B.
C. D.
16．(中考呼和浩特)文具店销售某种笔袋，每个18元，小华去购买这种笔袋，结账时店员说：“如果你再多买一个就可以打九折，价钱比现在便宜36元”，小华说：“那就多买一个吧，谢谢”，根据两人的对话可知，小华结账时实际付款486元．
17．(中考海南)“绿水青山就是金山银山”，海南省委省政府高度重视环境生态保护，截至2017年底，全省建立国家级、省级和市县级自然保护区共49个，其中国家级10个，省级比市县级多5个．问省级和市县级自然保护区各有多少个？
解：设市县级自然保护区有x个，则省级自然保护区有(x＋5)个，根据题意，得
10＋x＋5＋x＝49，解得x＝17.
∴x＋5＝22.
答：省级自然保护区有22个，市县级自然保护区有17个．
18．(中考永州)在永州市青少年禁毒教育活动中，某班男生小明与班上同学一起到禁毒教育基地参观，以下是小明和妈妈的对话，请根据对话内容，求小明班上参观禁毒教育基地的男生和女生的人数．
解：设小明班上参观禁毒教育基地的男生人数为x人，女生人数为y人，依题意，得
解得
答：小明班上参观禁毒教育基地的男生人数为35人，女生人数为20人．
19．(中考张家界)列方程解应用题．
《九章算术》中有“盈不足术”的问题，原文如下：“今有共買羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊價各幾何？”题意是：若干人共同出资买羊，每人出5元，则差45元；每人出7元，则差3元．求人数和羊价各是多少？
解：设买羊人数为x人，则羊价为(5x＋45)元，由题意，得
5x＋45＝7x＋3，解得x＝21.
则5x＋45＝150.
答：买羊人数为21人，羊价为150元．
20．(中考长沙)随着中国传统节日“端午节”的临近，东方红商场决定开展“欢度端午，回馈顾客”的让利促销活动，对部分品牌粽子进行打折销售，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折，已知打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需600元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需5 200元．
(1)打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元？
(2)阳光敬老院需购买甲品牌粽子80盒，乙品牌粽子100盒，问打折后购买这批粽子比不打折节省了多少钱？
解：(1)设打折前甲品牌粽子每盒x元，乙品牌粽子每盒y元，根据题意，得
解得
答：打折前甲品牌粽子每盒40元，乙品牌粽子每盒120元．
(2)80×40＋100×120－80×0.8×40－100×0.75×120＝3 640(元)．
答：打折后购买这批粽子比不打折节省了3 640元．
21．(中考台州)甲、乙两运动员在长为100 m的直道AB(A，B为直道两端点)上进行匀速往返跑训练，两人同时从A点起跑，到达B点后，立即转身跑向A点，到达A点后，又立即转身跑向B点，….若甲跑步的速度为5 m/s，乙跑步的速度为4 m/s，则起跑后100 s内，两人相遇的次数为(B)
A．5 B．4 C．3 D．2
22．(中考德州)对于实数a，b，定义运算“◆”：a◆b＝例如4◆3，因为4＞3.所以4◆3＝＝5.若x，y满足方程组则x◆y＝60．
23．(中考威海)用若干个形状、大小完全相同的矩形纸片围成正方形，4个矩形纸片围成如图1所示的正方形，其阴影部分的面积为12；8个矩形纸片围成如图2所示的正方形，其阴影部分的面积为8；12个矩形纸片围成如图3所示的正方形，其阴影部分的面积为44－16．
图1 图2 图3
24．(中考荆州)《九章算术》是中国传统数学名著，其中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛，2只羊，值金10两；2头牛，5只羊，值金8两．问每头牛、每只羊各值金多少两？”若设每头牛、每只羊分别值金x两，y两，则可列方程组为(A)
A. B. C. D.
25．(中考邵阳)程大位是我国明朝商人，珠算发明家．他60岁时完成的《直指算法统宗》是东方古代数学名著，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法．书中有如下问题：
一百馒头一百僧，大僧三个更无争，
小僧三人分一个，大小和尚得几丁．
意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，大、小和尚各有多少人，下列求解结果正确的是(A)
A．大和尚25人，小和尚75人
B．大和尚75人，小和尚25人
C．大和尚50人，小和尚50人
D．大、小和尚各100人
26．(中考安徽)《孙子算经》中有这样一道题，原文如下：
今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又三家共一鹿，适尽，问：城中家几何？
大意为：
今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完，问：城中有多少户人家？
请解答上述问题．
解：设城中有x户人家，依题意，得
x＋＝100，解得x＝75.
答：城中有75户人家．
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第5讲 一次方程(组)
重难点 一次方程(组)的应用
在元旦期间，某商场计划购进甲、乙两种商品．
(1)已知甲、乙两种商品的进价分别为30元，70元，该商场购进甲、乙两种商品共50件需要2 300元，则该商场购进甲、乙两种商品各多少件？
(2)该商场共投入9 500元资金购进这两种商品若干件，这两种商品的进价和售价如下表所示：
甲 乙
进价(元/件) 30 70
售价(元/件) 50 100
若全部销售完后可获利5 000元(利润＝(售价－进价)×销量)，则该商场购进甲、乙两种商品各多少件？
【变式训练1】 (中考十堰)我国古代数学著作《九章算术》卷七有下列问题：“今有共买物，人出八，盈三：人出七，不足四，问人数、物价几何？”意思是：现在有几个人共同出钱去买件物品，如果每人出8钱，则剩余3钱：如果每人出7钱，则差4钱．问有多少人，物品的价格是多少？设有x人，物品的价格为y元，可列方程(组)为( )
A. B. C.＝ D.＝
【变式训练2】 (中考青岛改编)5月份，甲、乙两个工厂用水量共为200吨．进入夏季用水高峰期后，两工厂积极响应国家号召，采取节水措施.6月份，甲工厂用水量比5月份减少了15%，乙工厂用水量比5月份减少了10%，两个工厂6月份用水量共为174吨，求两个工厂5月份的用水量各是多少？
考点1 等式的性质
1．(中考杭州)设x，y，c是实数，下列说法正确的是( )
A．若x＝y，则x＋c＝y－c
B．若x＝y，则xc＝yc
C．若x＝y，则＝
D．若＝，则2x＝3y
考点2 一元一次方程及其解法
2．(中考南充)如果a＋3＝0，那么a的值是( )
A．3 B．－3 C. D．－
3．若方程3(2x－2)＝2－3x的解与关于x的方程6－2k＝2(x＋3)的解相同，则k的值为( )
A. B．－ C. D．－
4．(中考攀枝花)解方程：－＝1.
考点3 二元一次方程(组)及其解法
5．(中考北京)方程组的解为( )
A. B. C. D.
6．已知关于x，y的方程x2m－n－2＋4ym＋n＋1＝6是二元一次方程，则m，n的值为( )
A．m＝1，n＝－1 B．m＝－1，n＝1
C．m＝，n＝－ D．m＝－，n＝
7．(中考乐山)方程组＝＝x＋y－4的解是( )
A. B. C. D.
8．(中考桂林)若|3x－2y－1|＋＝0，则x，y的值为( )
A. B. C. D.
9．(中考淮安)若关于x，y的二元一次方程3x－ay＝1有一个解是则a＝ ．
10．(中考随州)已知是关于x，y的二元一次方程组的一组解，则a＋b＝ ．
11．(中考包头)若a－3b＝2，3a－b＝6，则b－a的值为 ．
12．(中考武汉)解方程组：
13．(中考嘉兴)用消元法解方程组时，两位同学的解法如下：
解法一：由①－②，得3x＝3.
解法二：由②得，3x＋(x－3y)＝2.③
把①代入③，得3x＋5＝2.
(1)反思：上述两个解题过程中有无计算错误？若有误，请在错误处打“×”；
(2)请选择一种你喜欢的方法，完成解答．
考点4 一次方程(组)的应用
14．(中考杭州)某次知识竞赛共有20道题，规定：每答对一道题得＋5分，每答错一道题得－2分，不答的题得0分，已知圆圆这次竞赛得了60分，设圆圆答对了x道题，答错了y道题，则( )
A．x－y＝20 B．x＋y＝20
C．5x－2y＝60 D．5x＋2y＝60
15．(中考泰安)夏季来临，某超市试销A，B两种型号的风扇，两周内共销售30台，销售收入5 300元，A型风扇每台200元，B型风扇每台150元，问A，B两种型号的风扇分别销售了多少台？若设A型风扇销售了x台，B型风扇销售了y台，则根据题意列出方程组为( )
A. B.
C. D.
16．(中考呼和浩特)文具店销售某种笔袋，每个18元，小华去购买这种笔袋，结账时店员说：“如果你再多买一个就可以打九折，价钱比现在便宜36元”，小华说：“那就多买一个吧，谢谢”，根据两人的对话可知，小华结账时实际付款 元．
17．(中考海南)“绿水青山就是金山银山”，海南省委省政府高度重视环境生态保护，截至2017年底，全省建立国家级、省级和市县级自然保护区共49个，其中国家级10个，省级比市县级多5个．问省级和市县级自然保护区各有多少个？
18．(中考永州)在永州市青少年禁毒教育活动中，某班男生小明与班上同学一起到禁毒教育基地参观，以下是小明和妈妈的对话，请根据对话内容，求小明班上参观禁毒教育基地的男生和女生的人数．
19．(中考张家界)列方程解应用题．
《九章算术》中有“盈不足术”的问题，原文如下：“今有共買羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊價各幾何？”题意是：若干人共同出资买羊，每人出5元，则差45元；每人出7元，则差3元．求人数和羊价各是多少？
20．(中考长沙)随着中国传统节日“端午节”的临近，东方红商场决定开展“欢度端午，回馈顾客”的让利促销活动，对部分品牌粽子进行打折销售，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折，已知打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需600元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需5 200元．
(1)打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元？
(2)阳光敬老院需购买甲品牌粽子80盒，乙品牌粽子100盒，问打折后购买这批粽子比不打折节省了多少钱？
21．(中考台州)甲、乙两运动员在长为100 m的直道AB(A，B为直道两端点)上进行匀速往返跑训练，两人同时从A点起跑，到达B点后，立即转身跑向A点，到达A点后，又立即转身跑向B点，….若甲跑步的速度为5 m/s，乙跑步的速度为4 m/s，则起跑后100 s内，两人相遇的次数为( )
A．5 B．4 C．3 D．2
22．(中考德州)对于实数a，b，定义运算“◆”：a◆b＝例如4◆3，因为4＞3.所以4◆3＝＝5.若x，y满足方程组则x◆y＝ ．
23．(中考威海)用若干个形状、大小完全相同的矩形纸片围成正方形，4个矩形纸片围成如图1所示的正方形，其阴影部分的面积为12；8个矩形纸片围成如图2所示的正方形，其阴影部分的面积为8；12个矩形纸片围成如图3所示的正方形，其阴影部分的面积为 ．
图1 图2 图3
24．(中考荆州)《九章算术》是中国传统数学名著，其中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛，2只羊，值金10两；2头牛，5只羊，值金8两．问每头牛、每只羊各值金多少两？”若设每头牛、每只羊分别值金x两，y两，则可列方程组为( )
A. B. C. D.
25．(中考邵阳)程大位是我国明朝商人，珠算发明家．他60岁时完成的《直指算法统宗》是东方古代数学名著，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法．书中有如下问题：
一百馒头一百僧，大僧三个更无争，
小僧三人分一个，大小和尚得几丁．
意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，大、小和尚各有多少人，下列求解结果正确的是( )
A．大和尚25人，小和尚75人
B．大和尚75人，小和尚25人
C．大和尚50人，小和尚50人
D．大、小和尚各100人
26．(中考安徽)《孙子算经》中有这样一道题，原文如下：
今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又三家共一鹿，适尽，问：城中家几何？
大意为：
今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完，问：城中有多少户人家？
请解答上述问题．
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