等腰三角形
重难点 等腰(边)三角形的性质与判定
(中考滨州)如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，且DA＝DC，BD＝BA，则∠B的大小为(B)
A．40° B．36° C．30° D．25°
【思路点拨】 设∠B＝x，则利用等边对等角得∠C＝x，∠DAC＝∠C＝x，利用三角形外角的性质，得∠ADB＝2x，再次利用等边对等角得∠BAD ＝2x，最后利用三角形内角和等于180°，列方程求得∠B的度数．
在等腰三角形中求角的度数，常常考虑用“等边对等角”，通过相等边的代换，得到不同角的数量关系，最后一般用三角形内角和定理或其推论，得到所求的角度的等量关系，进而列出方程求解．Ｋ
如图，在△ABC中，AM平分∠BAC，D为AC的中点，连接BD，MD，AM与BD交于点O.
(1)若△ABC是等腰三角形，AB＝AC，求证：△DMC是等腰三角形；
【自主解答】 证明：方法一：∵AB＝AC，AM平分∠BAC，
∴AM⊥BC，即∠AMC＝90°.
又∵D为AC中点，
∴DM＝AC＝DC.∴△DMC是等腰三角形．
方法二：∵AB＝AC，AM平分∠BAC，
∴M为BC的中点．
又∵D为AC的中点，
∴DM＝AB＝AC＝DC.
∴△DMC是等腰三角形．
【变式提问】 (2)如图，若△ABC是等边三角形，试判断△CDM的形状，并求出当AO＝12时，OM的长度．
解：由(1)知，△CDM为等腰三角形．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠C＝60°.
∴△CDM是等边三角形．
易知DM是△ABC的中位线，∴DM∥AB，
∴△AOB∽△MOD.∴＝＝2.∴AO＝2OM.
∵AO＝12，∴OM＝6.
【思路点拨】 (1)利用等腰三角形“三线合一”，结合直角三角形斜边上的中线性质或三角形中位线定理证得三角形的两边相等，即得等腰三角形；
(2)由等边三角形的每个内角为60°，结合第(1)问中证得的等腰三角形，得等边三角形；利用三角形中位线定理，结合相似三角形对应边成比例，求得线段的长度．
【变式训练】 (中考内江改编)如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为D，DE∥AC.求证：△BDE是等腰三角形．
证明：∵DE∥AC，∴∠1＝∠3.
∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2.∴∠2＝∠3.
∵AD⊥BD，
∴∠2＋∠B＝90°，∠3＋∠BDE＝90°.∴∠B＝∠BDE.
∴△BDE是等腰三角形．
1.在等腰三角形中，已知顶角的平分线，则可得到底边的中线和高，即可得到垂直和中点，再利用这些条件，寻找所要求证的边或角的关系．
2．要证明一个三角形是等边三角形，可考虑：(1)直接证明三条边相等；(2)证明三个角相等；(3)先证明是等腰三角形，再证明含有60°的角．
3．等腰三角形的判定定理是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据．一般情况下，在同一个三角形中，要证边相等，先证角相等；要证角相等，先证边相等．
考点1 等腰三角形的性质
1．(中考新疆)如图，AB∥CD，点E在线段BC上，CD＝CE.若∠ABC＝30°，则∠D为(B)
A．85° B．75° C．60° D．30°
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线．若AB＝13，AD＝12，则BC的长为(B)
A．5 B．10 C．20 D．24
3．(中考安顺)一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2－7x＋10＝0的两根，则该等腰三角形的周长为(A)
A．12 B．9 C．13 D．12或9
4．(中考黄冈)如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，∠B＝60°，∠C＝25°，则∠BAD为(B)
A．50° B．70° C．75° D．80°
5．(中考湖州)如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB＝AC，∠CAD＝20°，则∠ACE的度数是(B)
A．20° B．35° C．40° D．70°
6．(中考荆州)如图，两条直线l1∥l2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，顶点A，B分别在l1和l2上，∠1＝20°，则∠2的度数是(C)
A．45° B．55° C．65° D．75°
7．(中考成都)等腰三角形的一个底角为50°，则它的顶角的度数为80°．
8．(中考遵义)如图，在△ABC中，点D在BC边上，BD＝AD＝AC，E为CD的中点．若∠CAE＝16°，则∠B为37°．
考点2 等腰三角形的判定
9．在△ABC中，其两个内角的度数如下，则能判定△ABC为等腰三角形的是(C)
A．∠A＝40°，∠B＝50°
B．∠A＝40°，∠B＝60°
C．∠A＝20°，∠B＝80°
D．∠A＝40°，∠B＝80°
10．(中考桂林)如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC，则图中等腰三角形的个数是3．
考点3 等边三角形的性质
11．如图，在等边三角形ABC中，AB＝2，点D为BC的中点，DE∥AB交AC于点E，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，则图中长度为1的线段有(D)
A．3条 B．4条 C．5条 D．6条
12．(中考泰州)如图，已知直线l1∥l2，将等边三角形如图放置．若∠α＝40°，则∠β等于20°．
13．如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC，BE⊥AC，△BDE是正三角形．求∠C的度数．
解：∵△BDE是正三角形，
∴∠DBE＝60°.
∵BE⊥AC，∴∠BEC＝90°.
∵∠C＝∠ABC＝∠ABE＋∠EBC，
∴∠EBC＝∠ABC－60°＝∠C－60°.
∵∠EBC＋∠C＝90°，即∠C－60°＋∠C＝90°，
∴∠C＝75°.
考点4 等边三角形的判定
14．如图，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AC，AE⊥AB.
(1)求∠C的度数；
(2)求证：△ADE是等边三角形．
解：(1)∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°.
(2)证明：∵∠B＝∠C＝30°，
AD⊥AC，AE⊥AB，
∴∠DAC＝∠EAB＝90°.
∴∠ADC＝∠AEB＝60°.
∴∠ADC＝∠AEB＝∠EAD＝60°.
∴△ADE是等边三角形．
15．(中考达州)如图，△ABC的周长为19，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M.若BC＝7，则MN的长为(C)
A. B．2 C. D．3
16．(易错易混)等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为25°，则顶角的度数为115°或65°．
17．(人教八上教材P83T10变式题)如图1，在△ABC中，∠B，∠C的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC分别交AB，AC于点E，F.
(1)EF与BE，CF之间有什么关系？
(2)如图2，若在△ABC中，∠B的平分线与三角形外角∠ACD的平分线相交于点O，过点O作OE∥BC交AB于点E，交AC于点F，EF与BE，CF之间又有怎样的数量关系，并给予证明．
图1 图2
解：(1)∵BO平分∠ABC，∴∠EBO＝∠OBC.
∵EF∥BC，∴∠EOB＝∠OBC.
∴∠EOB＝∠EBO.∴OE＝BE.
同理CF＝OF.
∴EF＝OE＋OF＝BE＋CF.
(2)EF＝BE－CF.
证明：∵BO平分∠ABC，∴∠EBO＝∠CBO.
∵OE∥BC，∴∠EOB＝∠CBO.
∴∠EOB＝∠EBO.
∴BE＝OE.
同理CF＝OF.
∴EF＝OE－OF＝BE－CF.
18．(人教八上教材P93T13变式题)等边△ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且AE＝BD.
(1)当点E为AB的中点时，如图1，求证：EC＝ED；
(2)当点E不是AB的中点时，如图2，过点E作EF∥BC，求证：△AEF是等边三角形；
(3)在(2)的条件下，EC与ED还相等吗？请说明理由．
解：(1)证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°.
∵点E为AB的中点，
∴AE＝EB＝BD，∠ECB＝∠ACB＝30°.
∴∠EDB＝∠DEB＝∠ABC＝30°.
∴∠EDB＝∠ECB.
∴EC＝ED.
(2)证明：∵EF∥BC，
∴∠AEF＝∠ABC＝60°，∠AFE＝∠ACB＝60°.
∴△AEF为等边三角形．
(3)EC＝ED.
理由：∵△AEF为等边三角形，
∴AE＝AF＝EF＝BD.
∵∠AFE＝∠ABC＝60°，
∴∠EFC＝∠DBE＝120°.
∵AB＝AC，AE＝AF，
∴AB－AE＝AC－AF，即BE＝FC.
在△DBE和△EFC中，
∴△DBE≌△EFC(SAS)．
∴ED＝CE.
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等腰三角形
重难点 等腰(边)三角形的性质与判定
(中考滨州)如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，且DA＝DC，BD＝BA，则∠B的大小为( )
A．40° B．36° C．30° D．25°
如图，在△ABC中，AM平分∠BAC，D为AC的中点，连接BD，MD，AM与BD交于点O.
(1)若△ABC是等腰三角形，AB＝AC，求证：△DMC是等腰三角形；
【变式提问】 (2)如图，若△ABC是等边三角形，试判断△CDM的形状，并求出当AO＝12时，OM的长度．
【变式训练】 (中考内江改编)如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为D，DE∥AC.求证：△BDE是等腰三角形．
考点1 等腰三角形的性质
1．(中考新疆)如图，AB∥CD，点E在线段BC上，CD＝CE.若∠ABC＝30°，则∠D为( )
A．85° B．75° C．60° D．30°
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线．若AB＝13，AD＝12，则BC的长为( )
A．5 B．10 C．20 D．24
3．(中考安顺)一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2－7x＋10＝0的两根，则该等腰三角形的周长为( )
A．12 B．9 C．13 D．12或9
4．(中考黄冈)如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，∠B＝60°，∠C＝25°，则∠BAD为( )
A．50° B．70° C．75° D．80°
5．(中考湖州)如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB＝AC，∠CAD＝20°，则∠ACE的度数是( )
A．20° B．35° C．40° D．70°
6．(中考荆州)如图，两条直线l1∥l2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，顶点A，B分别在l1和l2上，∠1＝20°，则∠2的度数是( )
A．45° B．55° C．65° D．75°
7．(中考成都)等腰三角形的一个底角为50°，则它的顶角的度数为 ．
8．(中考遵义)如图，在△ABC中，点D在BC边上，BD＝AD＝AC，E为CD的中点．若∠CAE＝16°，则∠B为 ．
考点2 等腰三角形的判定
9．在△ABC中，其两个内角的度数如下，则能判定△ABC为等腰三角形的是( )
A．∠A＝40°，∠B＝50°
B．∠A＝40°，∠B＝60°
C．∠A＝20°，∠B＝80°
D．∠A＝40°，∠B＝80°
10．(中考桂林)如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC，则图中等腰三角形的个数是 ．
考点3 等边三角形的性质
11．如图，在等边三角形ABC中，AB＝2，点D为BC的中点，DE∥AB交AC于点E，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，则图中长度为1的线段有( )
A．3条 B．4条 C．5条 D．6条
12．(中考泰州)如图，已知直线l1∥l2，将等边三角形如图放置．若∠α＝40°，则∠β等于 ．
13．如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC，BE⊥AC，△BDE是正三角形．求∠C的度数．
考点4 等边三角形的判定
14．如图，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AC，AE⊥AB.
(1)求∠C的度数；
(2)求证：△ADE是等边三角形．
15．(中考达州)如图，△ABC的周长为19，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M.若BC＝7，则MN的长为( )
A. B．2 C. D．3
16．(易错易混)等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为25°，则顶角的度数为 ．
17．(人教八上教材P83T10变式题)如图1，在△ABC中，∠B，∠C的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC分别交AB，AC于点E，F.
(1)EF与BE，CF之间有什么关系？
(2)如图2，若在△ABC中，∠B的平分线与三角形外角∠ACD的平分线相交于点O，过点O作OE∥BC交AB于点E，交AC于点F，EF与BE，CF之间又有怎样的数量关系，并给予证明．
图1 图2
18．(人教八上教材P93T13变式题)等边△ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且AE＝BD.
(1)当点E为AB的中点时，如图1，求证：EC＝ED；
(2)当点E不是AB的中点时，如图2，过点E作EF∥BC，求证：△AEF是等边三角形；
(3)在(2)的条件下，EC与ED还相等吗？请说明理由．
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