人教版八年级数学 下册 第十七章 17.2 勾股定理的逆定理 课时练（含答案）
文档属性
| 名称 | 人教版八年级数学 下册 第十七章 17.2 勾股定理的逆定理 课时练（含答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 76.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-05-01 22:36:32 | ||
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文档简介
第十七章 勾股定理
17.2 勾股定理的逆定理
一、选择题
1、下列定理中，有逆定理的个数是（ ）
①有两边相等的三角形是等腰三角形;②若三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2,则该三角形是直角三角形;③全等三角形的对应角相等;④若a=b, a2 =b2.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2、在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（ ）
A．如果∠A-∠B=∠C，那么△ABC是直角三角形
B．如果a2=b2-c2，那么△ABC是直角三角形且∠C=90°
C．如果∠A：∠B：∠C=1：3：2，那么△ABC是直角三角形
D．如果a2：b2：c2=9：16：25，那么△ABC是直角三角形
3、下列各组线段中，能构成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4 B．3，4，6
C．5，12，13 D．4，6，7
4、一个三角形的三边的长分别是3，4，5，则这个三角形最长边上的高是 （ ）
A．4 B．3 C．2.5 D．2.4
5、下列命题的逆命题是真命题的是 ( )
A.若a=b,则|a|=|b|
B.全等三角形的周长相等
C.若a=0,则ab=0
D.有两边相等的三角形是等腰三角形
填空题
6、在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做____________；如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的____________．
7、一个三角形三条边的比为5：12：13，且周长为60cm，则它的面积是
8、 已知两条线段长分别为3,4,那么能与它们组成直角三角形的第三条线段长是
9、已知△ ABC中，BC=41,AC=40,AB=9,则此三角形为 三角形， 是最大角.
10、已知△ABC的三边a,b,c满足(a-5)2+(b-12)2+|c-13|=0,则△ABC是__________三角形.
三、解答题
11、写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是否成立.
(1) 如果a=0,那么 ab=0;
(2) 如果x=4,那么x2=16;
(3) 面积相等的三角形是全等三角形；
(4) 如果三角形有一个内角是钝角，那么其余两个角是锐角；
(5) 在一个三角形中，等角对等边.
12、如图所示，在四边形ABCD中，AB=2，BC=2，CD=1，AD=5，且∠C=90°，求四边形ABCD的面积。
13、如图所示，在四边形 ABCD 中，∠B= 90°，AB=4，BC=3,CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积.
14、如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少需要多少米?若楼梯宽2米，地毯每平方米30元，那么这块地毯需花多少元?
15、在B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°方向以每小时8海里的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时15海里的速度前进，2小时后，甲船到M岛，乙船到P岛，两岛相距34海里，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗?
16、一个零件的形状如图1所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角。工人师傅量得这个零件各边长如图2所示。
（1）你认为这个零件符合要求吗？为什么？
（2）求这个零件的面积。
17、 如图，在正方形ABCD中，F是CD的中点，E为BC上一点，且CE＝CB，试判断AF与EF的位置关系，并说明理由．
18、如图，南北方向PQ以东为我国领海，以西为公海，晚上10时28分，我边防反偷渡巡逻101号艇在A处发现其正西方向的C处有一艘可疑船只正向我沿海靠近，便立即通知在PQ上B处巡逻的103号艇注意其动向，经检测，AC=10海里，BC=8海里，AB=6海里，若该船只的速度为12.8海里/时，则可疑船只最早何时进入我领海？
参考答案：
一、1、B 解析 ①的逆命题是“等腰三角形有两边相等”，是真命题；②的逆命题是“若直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，则三边长a，b，c满足a2+b2=c2”，是真命题；③对应角相等的两个三角形不一定全等；④若a2=b2，则a与b不一定相等，所以③④的逆命题是假命题，没有逆等理.
2、B【答案】B
【解析】如果∠A-∠B=∠C，那么△ABC是直角三角形，A正确；如果a2=b2-c2，那么△ABC是直角三角形且∠B=90°，B错误；如果∠A：∠B：∠C=1：3：2，设∠A=x，则∠B=2x，∠C=3x，则x+3x+2x=180°，解得，x=30°，则3x=90°，那么△ABC是直角三角形，C正确；如果a2：b2：c2=9：16：25，则如果a2+b2=c2，那么△ABC是直角三角形，D正确；故选：B。
C
D
【解析】选D.A的逆命题是若|a|=|b|,则a=b.假命题;B的逆命题是周长相等的三角形是全等三角形.假命题;C的逆命题是若ab=0,则a=0.假命题;D的逆命题是等腰三角形的其中两边相等.真命题.
二、6、互逆命题，逆命题．
7、120cm2
8、5或。解析：当第三条线段为直角边时,4为斜边,根据勾股定理得第三边长为=;当第三条线段为斜边时,根据勾股定理得第三边长为=5.
9、直角，∠A
10、【解析】∵(a-5)2+(b-12)2+|c-13|=0,
∴a=5,b=12,c=13,
∵52+122=132,∴△ABC是直角三角形.
答案:直角
三、11、解：（1）的逆命题是如果ab=0，那么a=0.不成立.（2）的逆命题是如果x2=16，那么x=4.不成立.（3）的逆命题是全等三角形的面积相等.成立.（4）的逆命题是如果三角形有两个内角是锐角，那么另一个内角是钝角.不成立.（5）的逆命题是在一个三角形中，等边对等角.成立.
点拨：要确定一个命题的逆命题，只要将原命题的题设与结论互换即可.
12、【答案】连接BD，
∵∠C=90°，
∴△BCD为直角三角形，
∵BD2=BC2+CD2=22+12=（）2，
∵BD＞0，
∴BD=，
在△ABD中，
∵AB2+BD2=20+5=25，AD2=52=25，
∴AB2+BD2=AD2，
∴△ABD为直角三角形，且∠ABD=90°，
∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=×2×+×2×1=6．
故四边形ABCD的面积是6。
13、解：如图所示，连接AC.
∵∠B=90°，
∴ΔABC是直角三角形.
依据勾股定理的AC2=AB2+BC2=42+32=25=52，∴AC=5.
在ΔACD中，AD2=132=169，CD2+AC2=122+52=169，∴AD2=AC2+CD2.
∴ΔACD是直角三角形，∠ACD=90°.
∴S四边形ABCD=SΔABC+SΔACD=AB?BC+AC?CD=×4×3+×5×12=6+30=36.
∴四边形ABCD的面积为36.
方法：要求不规则四边形ABCD的面积，可把四边形分割成几个三角形，这是常用的方法.此题是先利用勾股定理求出AC的长，再利用勾股定理的逆定理判断ΔACD为直角三角形，即原四边形ABCD可分割成两个直角三角形.[来源:学_科_网
14、7米，420元．
15、南偏东30°
16、【答案】（1）∵AD=4，AB=3，BD=5，DC=13，BC=12，
∴AB2+AD2=BD2，
BD2+BC2=DC2，
∴△ABD、△BDC是直角三角形，
∴∠A=90°，∠DBC=90°，
故这个零件符合要求。
（2）这个零件的面积=△ABD的面积+△BDC的面积
=3×4÷2+5×12÷2
=6+30
=36．
故这个零件的面积是36。
17、解：AF⊥EF.理由如下：
设正方形的边长为4a,
则EC＝a，BE＝3a，CF＝DF＝2a.
在Rt△ABE中，得AE2＝AB2＋BE2＝16a2＋9a2＝25a2.
在Rt△CEF中，得EF2＝CE2＋CF2＝a2＋4a2＝5a2.
在Rt△ADF中，得AF2＝AD2＋DF2＝16a2＋4a2＝20a2.
在△AEF中，AE2＝EF2＋AF2，
∴△AEF为直角三角形，且AE为斜边．
∴∠AFE＝90°，即AF⊥EF.
18、解：∵AC=10，AB=6，BC=8，
∴AC2=AB2+BC2，
即△ABC是直角三角形.
设PQ与AC相交于点D，根据三
角形面积公式有 BC·AB= AC·BD，
即6×8=10BD，解得BD=24/5
在Rt△BCD中，解CD=6.4（海里）
又∵该船只的速度为12.8海里/时，
6.4÷12.8=0.5（小时）=30（分钟），
∴需要30分钟进入我领海，即最早晚上10时58分进入我领海.
17.2 勾股定理的逆定理
一、选择题
1、下列定理中，有逆定理的个数是（ ）
①有两边相等的三角形是等腰三角形;②若三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2,则该三角形是直角三角形;③全等三角形的对应角相等;④若a=b, a2 =b2.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2、在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（ ）
A．如果∠A-∠B=∠C，那么△ABC是直角三角形
B．如果a2=b2-c2，那么△ABC是直角三角形且∠C=90°
C．如果∠A：∠B：∠C=1：3：2，那么△ABC是直角三角形
D．如果a2：b2：c2=9：16：25，那么△ABC是直角三角形
3、下列各组线段中，能构成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4 B．3，4，6
C．5，12，13 D．4，6，7
4、一个三角形的三边的长分别是3，4，5，则这个三角形最长边上的高是 （ ）
A．4 B．3 C．2.5 D．2.4
5、下列命题的逆命题是真命题的是 ( )
A.若a=b,则|a|=|b|
B.全等三角形的周长相等
C.若a=0,则ab=0
D.有两边相等的三角形是等腰三角形
填空题
6、在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做____________；如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的____________．
7、一个三角形三条边的比为5：12：13，且周长为60cm，则它的面积是
8、 已知两条线段长分别为3,4,那么能与它们组成直角三角形的第三条线段长是
9、已知△ ABC中，BC=41,AC=40,AB=9,则此三角形为 三角形， 是最大角.
10、已知△ABC的三边a,b,c满足(a-5)2+(b-12)2+|c-13|=0,则△ABC是__________三角形.
三、解答题
11、写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是否成立.
(1) 如果a=0,那么 ab=0;
(2) 如果x=4,那么x2=16;
(3) 面积相等的三角形是全等三角形；
(4) 如果三角形有一个内角是钝角，那么其余两个角是锐角；
(5) 在一个三角形中，等角对等边.
12、如图所示，在四边形ABCD中，AB=2，BC=2，CD=1，AD=5，且∠C=90°，求四边形ABCD的面积。
13、如图所示，在四边形 ABCD 中，∠B= 90°，AB=4，BC=3,CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积.
14、如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少需要多少米?若楼梯宽2米，地毯每平方米30元，那么这块地毯需花多少元?
15、在B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°方向以每小时8海里的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时15海里的速度前进，2小时后，甲船到M岛，乙船到P岛，两岛相距34海里，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗?
16、一个零件的形状如图1所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角。工人师傅量得这个零件各边长如图2所示。
（1）你认为这个零件符合要求吗？为什么？
（2）求这个零件的面积。
17、 如图，在正方形ABCD中，F是CD的中点，E为BC上一点，且CE＝CB，试判断AF与EF的位置关系，并说明理由．
18、如图，南北方向PQ以东为我国领海，以西为公海，晚上10时28分，我边防反偷渡巡逻101号艇在A处发现其正西方向的C处有一艘可疑船只正向我沿海靠近，便立即通知在PQ上B处巡逻的103号艇注意其动向，经检测，AC=10海里，BC=8海里，AB=6海里，若该船只的速度为12.8海里/时，则可疑船只最早何时进入我领海？
参考答案：
一、1、B 解析 ①的逆命题是“等腰三角形有两边相等”，是真命题；②的逆命题是“若直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，则三边长a，b，c满足a2+b2=c2”，是真命题；③对应角相等的两个三角形不一定全等；④若a2=b2，则a与b不一定相等，所以③④的逆命题是假命题，没有逆等理.
2、B【答案】B
【解析】如果∠A-∠B=∠C，那么△ABC是直角三角形，A正确；如果a2=b2-c2，那么△ABC是直角三角形且∠B=90°，B错误；如果∠A：∠B：∠C=1：3：2，设∠A=x，则∠B=2x，∠C=3x，则x+3x+2x=180°，解得，x=30°，则3x=90°，那么△ABC是直角三角形，C正确；如果a2：b2：c2=9：16：25，则如果a2+b2=c2，那么△ABC是直角三角形，D正确；故选：B。
C
D
【解析】选D.A的逆命题是若|a|=|b|,则a=b.假命题;B的逆命题是周长相等的三角形是全等三角形.假命题;C的逆命题是若ab=0,则a=0.假命题;D的逆命题是等腰三角形的其中两边相等.真命题.
二、6、互逆命题，逆命题．
7、120cm2
8、5或。解析：当第三条线段为直角边时,4为斜边,根据勾股定理得第三边长为=;当第三条线段为斜边时,根据勾股定理得第三边长为=5.
9、直角，∠A
10、【解析】∵(a-5)2+(b-12)2+|c-13|=0,
∴a=5,b=12,c=13,
∵52+122=132,∴△ABC是直角三角形.
答案:直角
三、11、解：（1）的逆命题是如果ab=0，那么a=0.不成立.（2）的逆命题是如果x2=16，那么x=4.不成立.（3）的逆命题是全等三角形的面积相等.成立.（4）的逆命题是如果三角形有两个内角是锐角，那么另一个内角是钝角.不成立.（5）的逆命题是在一个三角形中，等边对等角.成立.
点拨：要确定一个命题的逆命题，只要将原命题的题设与结论互换即可.
12、【答案】连接BD，
∵∠C=90°，
∴△BCD为直角三角形，
∵BD2=BC2+CD2=22+12=（）2，
∵BD＞0，
∴BD=，
在△ABD中，
∵AB2+BD2=20+5=25，AD2=52=25，
∴AB2+BD2=AD2，
∴△ABD为直角三角形，且∠ABD=90°，
∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=×2×+×2×1=6．
故四边形ABCD的面积是6。
13、解：如图所示，连接AC.
∵∠B=90°，
∴ΔABC是直角三角形.
依据勾股定理的AC2=AB2+BC2=42+32=25=52，∴AC=5.
在ΔACD中，AD2=132=169，CD2+AC2=122+52=169，∴AD2=AC2+CD2.
∴ΔACD是直角三角形，∠ACD=90°.
∴S四边形ABCD=SΔABC+SΔACD=AB?BC+AC?CD=×4×3+×5×12=6+30=36.
∴四边形ABCD的面积为36.
方法：要求不规则四边形ABCD的面积，可把四边形分割成几个三角形，这是常用的方法.此题是先利用勾股定理求出AC的长，再利用勾股定理的逆定理判断ΔACD为直角三角形，即原四边形ABCD可分割成两个直角三角形.[来源:学_科_网
14、7米，420元．
15、南偏东30°
16、【答案】（1）∵AD=4，AB=3，BD=5，DC=13，BC=12，
∴AB2+AD2=BD2，
BD2+BC2=DC2，
∴△ABD、△BDC是直角三角形，
∴∠A=90°，∠DBC=90°，
故这个零件符合要求。
（2）这个零件的面积=△ABD的面积+△BDC的面积
=3×4÷2+5×12÷2
=6+30
=36．
故这个零件的面积是36。
17、解：AF⊥EF.理由如下：
设正方形的边长为4a,
则EC＝a，BE＝3a，CF＝DF＝2a.
在Rt△ABE中，得AE2＝AB2＋BE2＝16a2＋9a2＝25a2.
在Rt△CEF中，得EF2＝CE2＋CF2＝a2＋4a2＝5a2.
在Rt△ADF中，得AF2＝AD2＋DF2＝16a2＋4a2＝20a2.
在△AEF中，AE2＝EF2＋AF2，
∴△AEF为直角三角形，且AE为斜边．
∴∠AFE＝90°，即AF⊥EF.
18、解：∵AC=10，AB=6，BC=8，
∴AC2=AB2+BC2，
即△ABC是直角三角形.
设PQ与AC相交于点D，根据三
角形面积公式有 BC·AB= AC·BD，
即6×8=10BD，解得BD=24/5
在Rt△BCD中，解CD=6.4（海里）
又∵该船只的速度为12.8海里/时，
6.4÷12.8=0.5（小时）=30（分钟），
∴需要30分钟进入我领海，即最早晚上10时58分进入我领海.